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等時圓模型
1.“等時圓”模型
所謂“等時圓”就是物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細桿由靜止下滑，到達圓周的最低點(或從最高點到達同一圓周上各點)的時間相等，都等于物體沿直徑做自由落體運動所用的時間。
2.模型的三種情況
(1)物體從豎直圓環上沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到環的最低點所用時間相等，如圖甲所示。
(2)物體從豎直圓環上最高點沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖乙所示。
(3)兩個豎直圓環相切且兩環的豎直直徑均過切點，物體沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖丙所示。
例題 滑滑梯是小朋友們愛玩的游戲。
圖1
有兩部直滑梯AB和AC，A、B、C在豎直平面內的同一圓周上，且A為圓周的最高點，示意圖如圖1所示。已知圓半徑為R，在圓周所在的豎直平面內有一位置P，距離A點為3R且與A等高。各滑梯的摩擦均不計，已知重力加速度為g。
(1)如果小朋友由靜止開始分別沿AB和AC滑下，試通過計算說明兩次沿滑梯運動的時間關系；
(2)若設計一部上端在P點，下端在圓周上某點的直滑梯，則小朋友沿此滑梯由靜止滑下時，在滑梯上運動的最短時間是多少。
答案　(1)tAB＝tAC＝　(2)
解析　(1)設AB與水平方向的夾角為θ，小朋友沿AB下滑時的加速度為a＝gsin θ，由運動學規律有xAB＝at，由幾何關系可知xAB＝2Rsin θ，聯立解得tAB＝，由上式可知小朋友的下滑時間與滑梯傾斜程度無關，則兩次沿滑梯運動的時間關系為tAB＝tAC＝。
(2)根據第(1)問的結論，畫出以P點為最高點的半徑為r的等時圓，如圖所示，
兩圓相切時，時間最短，有(R＋r)2＝(r－R)2＋(3R)2
解得r＝R
由第(1)問的結論有t＝。
1.(2024·浙江模擬預測)如圖2所示，OC為豎直圓的直徑，OA、OB為圓的兩條弦，現同時在A、B兩點釋放兩小滑塊，分別沿光滑的弦軌道滑到O點(O點為最低點)，滑塊滑下的先后順序是(　　)
圖2
A.沿AO的小滑塊最先到達 B.沿BO的小滑塊最先到達
C.同時到達 D.條件不足，無法判斷
答案　C
解析　設AO和BO與水平面夾角分別為α和β，長度分別為l1和l2，設圓的直徑為d，由幾何關系有l1＝dsin α，l2＝dsin β，沿AO方向上，對小滑塊由牛頓第二定律有mgsin α＝ma1，由運動學公式有l1＝a1t，聯立解得t1＝，沿OB方向上，同理可得t2＝，故C正確。
2.如圖3所示，有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點，O點恰好是下半圓的圓心，它們處在同一豎直平面內。現有三條光滑直軌道AOB、COD、EOF，它們的兩端分別位于上下兩圓的圓周上，軌道與豎直直徑的夾角關系為α＞β＞θ。現讓一小物塊先后從三條軌道頂端由靜止下滑至底端，則小物塊在每一條傾斜軌道上滑動時所經歷的時間關系為(　　)
圖3
A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB＞tCD＞tEF
C.tAB＜tCD＜tEF D.tAB＝tCD＜tEF
答案　B
解析　如圖所示，過D點作OD的垂線與豎直虛線交于G，以OG為直徑作圓，可以看出F點在輔助圓內，而B點在輔助圓外，由等時圓結論可知，tAB＞tCD＞tEF，B項正確。
3.(2024·山東臨沂高三期末)如圖4所示，傾角為θ的斜面固定在水平地面上，在與斜面共面的平面上方A點伸出三根光滑輕質細桿至斜面上B、C、D三點，其中AC與斜面垂直，且∠BAC＝∠DAC＝θ(θ<45°)，現有三個質量均為m的小圓環(看作質點)分別套在三根細桿上，依次從A點由靜止滑下，滑到斜面上B、C、D三點所用時間分別為tB、tC、tD，下列說法正確的是(　　)
圖4
A.tB>tC>tD B.tB＝tCC.tB答案　B
解析　由于∠BAC＝θ，則可以判斷出AB豎直向下，以AB為直徑作圓，則必過C點，如圖所示，圓環在桿AC上運動過程，由牛頓第二定律及運動學公式可得mgcos θ＝ma，2Rcos θ＝at，聯立解得tC＝，可見從A點出發，到達圓周各點所用的時間相等，與細桿的長短、傾角無關，則tB＝tC＝tE所謂“等時圓”就是物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細桿由靜止下滑，到達圓周的最低點(或從最高點到達同一圓周上各點)的時間相等，都等于物體沿直徑做自由落體運動所用的時間。
2.模型的三種情況
(1)物體從豎直圓環上沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到環的最低點所用時間相等，如圖甲所示。
(2)物體從豎直圓環上最高點沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖乙所示。
(3)兩個豎直圓環相切且兩環的豎直直徑均過切點，物體沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖丙所示。
例題 滑滑梯是小朋友們愛玩的游戲。
圖1
有兩部直滑梯AB和AC，A、B、C在豎直平面內的同一圓周上，且A為圓周的最高點，示意圖如圖1所示。已知圓半徑為R，在圓周所在的豎直平面內有一位置P，距離A點為3R且與A等高。各滑梯的摩擦均不計，已知重力加速度為g。
(1)如果小朋友由靜止開始分別沿AB和AC滑下，試通過計算說明兩次沿滑梯運動的時間關系；
(2)若設計一部上端在P點，下端在圓周上某點的直滑梯，則小朋友沿此滑梯由靜止滑下時，在滑梯上運動的最短時間是多少。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(2024·浙江模擬預測)如圖2所示，OC為豎直圓的直徑，OA、OB為圓的兩條弦，現同時在A、B兩點釋放兩小滑塊，分別沿光滑的弦軌道滑到O點(O點為最低點)，滑塊滑下的先后順序是(　　)
圖2
A.沿AO的小滑塊最先到達
B.沿BO的小滑塊最先到達
C.同時到達
D.條件不足，無法判斷
2.如圖3所示，有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點，O點恰好是下半圓的圓心，它們處在同一豎直平面內。現有三條光滑直軌道AOB、COD、EOF，它們的兩端分別位于上下兩圓的圓周上，軌道與豎直直徑的夾角關系為α＞β＞θ。現讓一小物塊先后從三條軌道頂端由靜止下滑至底端，則小物塊在每一條傾斜軌道上滑動時所經歷的時間關系為(　　)
圖3
A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB＞tCD＞tEF
C.tAB＜tCD＜tEF D.tAB＝tCD＜tEF
3.(2024·山東臨沂高三期末)如圖4所示，傾角為θ的斜面固定在水平地面上，在與斜面共面的平面上方A點伸出三根光滑輕質細桿至斜面上B、C、D三點，其中AC與斜面垂直，且∠BAC＝∠DAC＝θ(θ<45°)，現有三個質量均為m的小圓環(看作質點)分別套在三根細桿上，依次從A點由靜止滑下，滑到斜面上B、C、D三點所用時間分別為tB、tC、tD，下列說法正確的是(　　)
圖4
A.tB>tC>tD B.tB＝tCC.tB增分微點4 等時圓模型
第三章　運動和力的關系
1.“等時圓”模型
所謂“等時圓”就是物體沿著位于同一豎直圓上的所有光滑細桿由靜止下滑，到達圓周的最低點(或從最高點到達同一圓周上各點)的時間相等，都等于物體沿直徑做自由落體運動所用的時間。
2.模型的三種情況
(1)物體從豎直圓環上沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到環的最低點所用時間相等，如圖甲所示。
(2)物體從豎直圓環上最高點沿不同的光滑弦由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖乙所示。
(3)兩個豎直圓環相切且兩環的豎直直徑均過切點，物體沿不同的光滑弦上端由靜止開始滑到下端所用時間相等，如圖丙所示。
例題 滑滑梯是小朋友們愛玩的游戲。有兩部直滑梯AB和AC，A、B、C在豎直平面內的同一圓周上，且A為圓周的最高點，示意圖如圖1所示。已知圓半徑為R，在圓周所在的豎直平面內有一位置P，距離A點為3R且與A等高。各滑梯的摩擦均不計，已知重力加速度為g。
圖1
(1)如果小朋友由靜止開始分別沿AB和AC滑下，試通過計算說明兩次沿滑梯運動的時間關系；
解析　設AB與水平方向的夾角為θ，小朋友沿AB下滑時的加速度為a＝gsin θ，
解析　根據第(1)問的結論，畫出以P點為最高點的半徑為r的等時圓，如圖所示，兩圓相切時，時間最短，有(R＋r)2＝(r－R)2＋(3R)2
(2)若設計一部上端在P點，下端在圓周上某點的直滑梯，則小朋友沿此滑梯由靜止滑下時，在滑梯上運動的最短時間是多少。
C
1.(2024·浙江模擬預測)如圖2所示，OC為豎直圓的直徑，OA、OB為圓的兩條弦，現同時在A、B兩點釋放兩小滑塊，分別沿光滑的弦軌道滑到O點(O點為最低點)，滑塊滑下的先后順序是(　　)
圖2
A.沿AO的小滑塊最先到達 B.沿BO的小滑塊最先到達
C.同時到達 D.條件不足，無法判斷
2.如圖3所示，有一半圓，其直徑水平且與另一圓的底部相切于O點，O點恰好是下半圓的圓心，它們處在同一豎直平面內。現有三條光滑直軌道AOB、COD、EOF，它們的兩端分別位于上下兩圓的圓周上，軌道與豎直直徑的夾角關系為α＞β＞θ。現讓一小物塊先后從三條軌道頂端由靜止下滑至底端，則小物塊在每一條傾斜軌道上滑動時所經歷的時間關系為(　　)
圖3
A.tAB＝tCD＝tEF B.tAB＞tCD＞tEF
C.tAB＜tCD＜tEF D.tAB＝tCD＜tEF
B
解析　如圖所示，過D點作OD的垂線與豎直虛線交于G，以OG為直徑作圓，可以看出F點在輔助圓內，而B點在輔助圓外，由等時圓結論可知，tAB＞tCD＞tEF，B項正確。
3.(2024·山東臨沂高三期末)如圖4所示，傾角為θ的斜面固定在水平地面上，在與斜面共面的平面上方A點伸出三根光滑輕質細桿至斜面上B、C、D三點，其中AC與斜面垂直，且∠BAC＝∠DAC＝θ(θ<45°)，現有三個質量均為m的小圓環(看作質點)分別套在三根細桿上，依次從A點由靜止滑下，滑到斜面上B、C、D三點所用時間分別為tB、tC、tD，下列說法正確的是(　　)
圖4
A.tB>tC>tD B.tB＝tCC.tBB
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