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平拋運動的臨界極值問題和空間拋體運動
一、平拋運動的臨界極值問題
常見的三種臨界特征
(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這個極值點往往是臨界點。
例1 (多選)如圖1所示，某運動員在乒乓球訓練中，從左側球臺中心處，將球沿垂直于球網的方向水平擊出，球恰好通過球網的上沿落到右側邊緣，設乒乓球的運動為平拋運動，下列判斷正確的是(　　)
圖1
A.擊球點的高度與球網的高度之比為3∶2
B.擊球點的高度與球網的高度之比為9∶8
C.若僅使擊出的乒乓球的速度在水平面內順時針(從上往下看)轉動一個角度，則乒乓球落在球網的右側
D.若僅使擊出的乒乓球的速度在水平面內順時針(從上往下看)轉動一個角度，則乒乓球落在球網的左側
答案　BD
解析　從擊球點到球網，有x＝v0t1，h1＝gt，從擊球點到右側邊緣，有3x＝v0t2，h2＝gt，擊球點的高度與球網的高度之比為＝，故A錯誤，B正確；乒乓球的速度在水平面內順時針(從上往下看)轉動一個角度，由空間位置關系可知，轉動后乒乓球要想過網，乒乓球到達網的高度時水平位移需要增大，若球拋出的初速度大小不變，從擊球點拋出運動到球網高度時，球的水平位移不變，未能過網，則乒乓球落在球網的左側，故C錯誤，D正確。
例2 (2023·新課標卷，24)將扁平的石子向水面快速拋出，石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠方，俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產生“水漂”效果，石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”，一同學將一石子從距水面高度為h處水平拋出，拋出速度的最小值為多少？(不計石子在空中飛行時的空氣阻力，重力加速度大小為g)
答案　
解析　設石子拋出時的水平速度為v0，接觸水面時豎直方向的速度為vy，不計空氣阻力，石子做平拋運動，豎直方向有v＝2gh
可以觀察到“水漂”時，有tan θ≥
聯立解得v0≥
即拋出速度的最小值為vmin＝。
二、空間拋體運動
例3 (多選)(2022·山東卷，11)如圖2所示，某同學將離地1.25 m的網球以13 m/s的速度斜向上擊出，擊球點到豎直墻壁的距離為4.8 m。當網球豎直分速度為零時，擊中墻壁上離地高度為8.45 m的P點。網球與墻壁碰撞后，垂直墻面速度分量大小變為碰前的0.75倍。平行墻面的速度分量不變。重力加速度g取10 m/s2，網球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為(　　)
圖2
A.v＝5 m/s B.v＝3 m/s
C.d＝3.6 m D.d＝3.9 m
答案　BD
解析　設網球飛出時的速度為v0，豎直方向v＝2g(H－h)
代入數據得v0豎直＝ m/s＝12 m/s
則v0水平＝ m/s＝5 m/s
網球擊出點到P點水平方向的距離x水平＝v0水平t＝v0水平·＝6 m
根據幾何關系可得打在墻面上時，垂直墻面的速度分量v0水平⊥＝v0水平·＝4 m/s
平行墻面的速度分量v0水平∥＝v0水平·＝3 m/s
反彈后，垂直墻面的速度分量v水平⊥′＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s
則反彈后的網球速度大小為v＝＝3 m/s
網球落到地面的時間t′＝＝ s＝1.3 s
著地點到墻壁的距離d＝v水平⊥′t′＝3.9 m
故B、D正確，A、C錯誤。
1.如圖1所示，猴子在地面與豎直墻壁之間跳躍玩耍，直桿AB與水平地面之間的夾角為45°，A點到地面的距離為5 m，已知重力加速度g取10 m/s2，空氣阻力不計，若猴子從豎直墻上距地面3.2 m的C點以水平速度v0跳出，要到達直桿，水平速度v0至少為(　　)
圖1
A.3 m/s B.4 m/s
C.5 m/s D.6 m/s
答案　D
解析　運動軌跡與桿相切時如圖所示，AC之間的距離為5 m－3.2 m＝1.8 m，由圖可知x＝y＋1.8 m，根據平拋運動規律有x＝v0t，y＝gt2，平拋運動的軌跡與直桿相切，則v0tan 45°＝gt，聯立解得v0＝6 m/s，故D正確。
2.(2024·河南開封模擬)如圖2所示，剛性圓柱形容器，上端開口，容器內側高h＝5 m，內徑D＝1.6 m，現有一剛性小球(視為質點)從容器上端內邊緣沿直徑方向以v0的初速度水平拋出，小球恰好可以擊中容器底部中心位置。已知重力加速度g＝10 m/s2，忽略空氣阻力，小球與容器內壁碰撞視為彈性碰撞(碰撞時間不計)，則小球的初速度v0可能是(　　)
圖2
A.2 m/s B.4 m/s
C.6 m/s D.8 m/s
答案　B
解析　根據平拋運動的規律可知，豎直方向有h＝gt2，解得t＝＝1 s，而根據題意，水平方向有D＝v0t(n＝0，1，2，…)，解得v0＝0.8(2n＋1) m/s(n＝0，1，2，…)，因此v0的可能值為0.8 m/s、2.4 m/s、4.0 m/s、5.6 m/s、7.2 m/s、8.8 m/s，故B正確。
3.如圖3所示，容量足夠大的圓筒豎直放置，水面高度為h，在圓筒側壁開一個小孔P，筒內的水從小孔水平射出，設水到達地面時的落點距小孔的水平距離為x，小孔P到水面的距離為y。短時間內可認為筒內水位不變，重力加速度為g，不計空氣阻力，在這段時間內，下列說法正確的是(　　)
圖3
A.水從小孔P射出的速度大小為
B.y越小，則x越大
C.x與小孔的位置無關
D.當y＝時，x最大，最大值為h
答案　D
解析　取水面上質量為m的水滴，從小孔噴出時，由機械能守恒定律可知mgy＝mv2，解得v＝，A錯誤；水從小孔P射出時做平拋運動，則x＝vt，h－y＝gt2，解得x＝v＝2，可知x與小孔的位置有關，由數學知識可知，當y＝h－y，即y＝h時，x最大，最大值為h，并不是y越小x越大，D正確，B、C錯誤。
4.(2024·山東濰坊高三期末)如圖4所示的正方體空間，其面ABCD水平。現將一小球先后兩次從A點水平拋出，當以速度v1沿AC方向拋出時打在C′點，且在C′點的速度與豎直方向夾角為θ1；當以速度v2沿AD方向拋出時打在DD′中點E，且在E點的速度與豎直方向夾角為θ2。不計空氣阻力，則(　　)
圖4
A.v1∶v2＝1∶1 B.v1∶v2＝1∶
C.tan θ1∶tan θ2＝1∶1 D.tan θ1∶tan θ2＝∶1
答案　A
解析　根據題意，設正方體的棱長為a，由幾何關系可知，當沿AC方向拋出時，水平位移為x1＝＝a，則有a＝v1t1，豎直方向上有a＝gt，解得v1＝，在C′點時的豎直分速度為v1y＝gt1＝，則有tan θ1＝＝，當沿AD方向拋出時，水平方向上有a＝v2t2，豎直方向上有＝gt，v2y＝gt2，解得v2＝，v2y＝，則有tan θ2＝＝1，則v1∶v2＝1∶1，tan θ1∶tan θ2＝1∶，故A正確。
5.如圖5所示，乒乓球的發球器安裝在水平桌面上，豎直轉軸OO′距桌面的高度為h，發射器O′A部分長度也為h。打開開關后，可將乒乓球從A點以初速度v0水平發射出去，其中≤v0≤2，設發射出的所有乒乓球都能落到桌面上，乒乓球自身尺寸及空氣阻力不計。若使該發球器繞轉軸OO′在90°角的范圍內來回緩慢水平轉動，持續發射足夠長時間后，乒乓球第一次與桌面相碰區域的最大面積S是(　　)
圖5
A.2πh2 B.3πh2
C.4πh2 D.8πh2
答案　C
解析　根據平拋運動規律h＝gt2，解得t＝，以最小速度v1＝發射的乒乓球，水平位移最小，為x1＝v1t＝＝2h，對應的與桌面相碰區域的圓半徑為r1＝h＋x1＝3h；以最大速度v2＝2發射的乒乓球，水平位移最大，為x2＝v2t＝2＝4h，對應的與桌面相碰區域的圓半徑為r2＝h＋x2＝5h，乒乓球第一次與桌面相碰區域的最大面積S＝π[(5h)2－(3h)2]＝4πh2，故C正確。
6.(2024·廣東茂名高三期中)如圖6，長方體ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝2|AD|＝2|AA1|，將可視為質點的小球從頂點A在∠BAD所在范圍內(包括邊界)分別沿不同方向水平拋出，落點都在A1B1C1D1范圍內(包括邊界)。不計空氣阻力，則小球(　　)
圖6
A.拋出速度最大時落在B1點
B.拋出速度最小時落在D1點
C.落在B1D1中點的速度與落在D1點的速度相等
D.從拋出到落在B1D1線段上任何一點所需的時間都相等
答案　D
解析　設AA1高度為h，由h＝gt2得t＝，則從拋出到落在B1D1線段上任何一點所需的時間都相等，D正確；設平拋的水平位移為x，拋出速度v0＝，落在C1點水平位移最大，因此拋出速度最大時落在C1點，A錯誤；水平位移小于A1D1時，比落在D1點拋出速度更小，落在A1點的拋出速度最小，B錯誤；由v＝2gh得，落在B1D1中點的豎直方向分速度與落在D1點的豎直方向分速度均為vy＝，落在B1D1中點時水平位移大于落在D1點時的水平位移，可知落在B1D1中點的水平分速度大于落在D1點的水平速度，由v＝得，落在B1D1中點的速度大于落在D1點的速度，C錯誤。
7.(多選)(2024·山東臨沂模擬)如圖7所示，足球球門寬為L，一個球員在球門線中點正前方距離球門s處高高躍起，將足球頂入球門的左下方死角(圖中P點)，球員頂球點O距地面的高度為h。足球做平拋運動(足球可看成質點，忽略空氣阻力)，重力加速度大小為g。下列說法正確的是(　　)
圖7
A.足球位移的大小為
B.足球位移的大小為
C.足球剛落到P點的速度大小為
D.足球剛落到P點的速度大小為
答案　BC
解析　足球在水平方向的位移為x＝，足球位移的大小為l＝＝，A錯誤，B正確；足球運動的時間為t＝，則足球的水平速度為vx＝，豎直方向速度為vy＝gt，可得足球剛落到P點的速度大小為vP＝＝＝，C正確，D錯誤。一、平拋運動的臨界極值問題
常見的三種臨界特征
(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這個極值點往往是臨界點。
例1 (多選)如圖1所示，某運動員在乒乓球訓練中，從左側球臺中心處，將球沿垂直于球網的方向水平擊出，球恰好通過球網的上沿落到右側邊緣，設乒乓球的運動為平拋運動，下列判斷正確的是(　　)
圖1
A.擊球點的高度與球網的高度之比為3∶2
B.擊球點的高度與球網的高度之比為9∶8
C.若僅使擊出的乒乓球的速度在水平面內順時針(從上往下看)轉動一個角度，則乒乓球落在球網的右側
D.若僅使擊出的乒乓球的速度在水平面內順時針(從上往下看)轉動一個角度，則乒乓球落在球網的左側
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 (2023·新課標卷，24)將扁平的石子向水面快速拋出，石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠方，俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產生“水漂”效果，石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”，一同學將一石子從距水面高度為h處水平拋出，拋出速度的最小值為多少？(不計石子在空中飛行時的空氣阻力，重力加速度大小為g)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、空間拋體運動
例3 (多選) (2022·山東卷，11)如圖2所示，某同學將離地1.25 m的網球以13 m/s的速度斜向上擊出，擊球點到豎直墻壁的距離為4.8 m。當網球豎直分速度為零時，擊中墻壁上離地高度為8.45 m的P點。網球與墻壁碰撞后，垂直墻面速度分量大小變為碰前的0.75倍。平行墻面的速度分量不變。重力加速度g取10 m/s2，網球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為(　　)
圖2
A.v＝5 m/s B.v＝3 m/s
C.d＝3.6 m D.d＝3.9 m
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(共22張PPT)
增分微點5 平拋運動的臨界極值問題和空間拋體運動
第四章　曲線運動　萬有引力與宇宙航行
一、平拋運動的臨界極值問題
常見的三種臨界特征
(1)有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程中存在著臨界點。
(2)若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程中存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界點。
(3)若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程中存在著極值，這個極值點往往是臨界點。
BD
圖1
例1 (多選)如圖1所示，某運動員在乒乓球訓練中，從左側球臺中心處，將球沿垂直于球網的方向水平擊出，球恰好通過球網的上沿落到右側邊緣，設乒乓球的運動為平拋運動，下列判斷正確的是(　　)
A.擊球點的高度與球網的高度之比為3∶2
B.擊球點的高度與球網的高度之比為9∶8
C.若僅使擊出的乒乓球的速度在水平面內順時針(從上往下看)轉動一個角度，則乒乓球落在球網的右側
D.若僅使擊出的乒乓球的速度在水平面內順時針(從上往下看)轉動一個角度，則乒乓球落在球網的左側
例2 (2023·新課標卷，24)將扁平的石子向水面快速拋出，石子可能會在水面上一跳一跳地飛向遠方，俗稱“打水漂”。要使石子從水面跳起產生“水漂”效果，石子接觸水面時的速度方向與水面的夾角不能大于θ。為了觀察到“水漂”，一同學將一石子從距水面高度為h處水平拋出，拋出速度的最小值為多少？(不計石子在空中飛行時的空氣阻力，重力加速度大小為g)
二、空間拋體運動
例3 (多選)(2022·山東卷，11)如圖2所示，某同學將離地1.25 m的網球以13 m/s的速度斜向上擊出，擊球點到豎直墻壁的距離為4.8 m。當網球豎直分速度為零時，擊中墻壁上離地高度為8.45 m的P點。網球與墻壁碰撞后，垂直墻面速度分量大小變為碰前的0.75倍。平行墻面的速度分量不變。重力加速度g取10 m/s2，網球碰墻后的速度大小v和著地點到墻壁的距離d分別為(　　)
圖2
BD
反彈后，垂直墻面的速度分量v水平⊥′＝0.75·v0水平⊥＝3 m/s
教師備選用題
D
1.如圖1所示，猴子在地面與豎直墻壁之間跳躍玩耍，直桿AB與水平地面之間的夾角為45°，A點到地面的距離為5 m，已知重力加速度g取10 m/s2，空氣阻力不計，若猴子從豎直墻上距地面3.2 m的C點以水平速度v0跳出，要到達直桿，水平速度v0至少為(　　)
圖1
A.3 m/s B.4 m/s C.5 m/s D.6 m/s
B
2.(2024·河南開封模擬)如圖2所示，剛性圓柱形容器，上端開口，容器內側高h＝5 m，內徑D＝1.6 m，現有一剛性小球(視為質點)從容器上端內邊緣沿直徑方向以v0的初速度水平拋出，小球恰好可以擊中容器底部中心位置。已知重力加速度g＝10 m/s2，忽略空氣阻力，小球與容器內壁碰撞視為彈性碰撞(碰撞時間不計)，則小球的初速度v0可能是(　　)
圖2
A.2 m/s B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s
D
3.如圖3所示，容量足夠大的圓筒豎直放置，水面高度為h，在圓筒側壁開一個小孔P，筒內的水從小孔水平射出，設水到達地面時的落點距小孔的水平距離為x，小孔P到水面的距離為y。短時間內可認為筒內水位不變，重力加速度為g，不計空氣阻力，在這段時間內，下列說法正確的是(　　)
圖3
A
4.(2024·山東濰坊高三期末)如圖4所示的正方體空間，其面ABCD水平。現將一小球先后兩次從A點水平拋出，當以速度v1沿AC方向拋出時打在C′點，且在C′點的速度與豎直方向夾角為θ1；當以速度v2沿AD方向拋出時打在DD′中點E，且在E點的速度與豎直方向夾角為θ2。不計空氣阻力，則(　　)
圖4
C
A.2πh2 B.3πh2
C.4πh2 D.8πh2
圖5
D
6.(2024·廣東茂名高三期中)如圖6，長方體ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝2|AD|＝2|AA1|，將可視為質點的小球從頂點A在∠BAD所在范圍內(包括邊界)分別沿不同方向水平拋出，落點都在A1B1C1D1范圍內(包括邊界)。不計空氣阻力，則小球(　　)
圖6
A.拋出速度最大時落在B1點
B.拋出速度最小時落在D1點
C.落在B1D1中點的速度與落在D1點的速度相等
D.從拋出到落在B1D1線段上任何一點所需的時間都相等
BC
7.(多選)(2024·山東臨沂模擬)如圖7所示，足球球門寬為L，一個球員在球門線中點正前方距離球門s處高高躍起，將足球頂入球門的左下方死角(圖中P點)，球員頂球點O距地面的高度為h。足球做平拋運動(足球可看成質點，忽略空氣阻力)，重力加速度大小為g。下列說法正確的是(　　)
圖7
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