資源簡介

第1講　功與功率
學習目標　1.理解功的概念，會判斷正、負功，會計算功的大小。 2.理解功率的概念，會求解平均功率和瞬時功率。 3.會分析、解決機車啟動的兩類問題。
1.思考判斷
(1)只要物體受力的同時又發(fā)生了位移，就一定有力對物體做功。(×)
(2)一個力對物體做了負功，則說明這個力一定阻礙物體的運動。(√)
(3)作用力做正功時，反作用力一定做負功。(×)
(4)由P＝Fv既能求某一時刻的瞬時功率，也可以求平均功率。(√)
(5)由P＝知，只要知道W和t就可求出任意時刻的功率。(×)
(6)當F為恒力時，v增大，F(xiàn)的功率一定增大。(×)
2.水平恒力F兩次作用在同一靜止物體上，使物體沿力的方向發(fā)生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，兩次力F做的功和平均功率的大小關(guān)系是(　　)
A.W1＝W2，P1＞P2
B.W1＞W(wǎng)2，P1＝P2
C.W1＞W(wǎng)2，P1＞P2
D.W1＝W2，P1＝P2
答案　A
考點一　恒力做功的分析和計算
1.判斷力是否做功及做正、負功的方法
判斷根據(jù) 適用情況
根據(jù)力和位移方向的夾角判斷 常用于恒力做功的判斷
根據(jù)力和瞬時速度方向的夾角判斷 常用于質(zhì)點做曲線運動
根據(jù)功能關(guān)系或能量守恒定律判斷 常用于變力做功的判斷
2.恒力做功的計算方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α計算或用動能定理計算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其適用于已知質(zhì)量m和加速度a的情況。
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3、…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：利用動能定理，合力做的功等于物體動能的變化量。
例1 (多選)(人教版必修第二冊改編)一位質(zhì)量m＝60 kg的滑雪運動員從高h＝10 m的斜坡自由下滑，如圖1所示，如果運動員在下滑過程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的傾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，運動員滑至坡底的過程中，關(guān)于各力做功的情況，下列說法正確的是(　　)
圖1
A.重力做的功為6 000 J B.阻力做的功為1 000 J
C.支持力不做功 D.各力做的總功為零
答案　AC
解析　對運動員受力分析如圖所示，重力做功WG＝mgh＝60×10×10 J＝6 000 J，阻力做功Wf＝－f·＝－50× J＝－1 000 J，由于支持力方向與位移方向垂直，支持力不做功，即WN＝0，各力做的總功W總＝WG＋Wf＋WN＝5 000 J，故A、C正確，B、D錯誤。
1.(多選)如圖2所示，升降機內(nèi)斜面的傾角θ＝30°，質(zhì)量為2 kg的物體置于斜面上始終不發(fā)生相對滑動，在升降機以5 m/s2的加速度從靜止開始勻加速上升4 s的過程中。g取10 m/s2，則(　　)
圖2
A.斜面對物體的支持力做功900 J
B.斜面對物體的摩擦力做功－300 J
C.物體克服重力做功－800 J
D.合外力對物體做功400 J
答案　AD
解析　物體置于升降機內(nèi)隨升降機一起勻加速運動過程中，受力分析如圖所示，由牛頓第二定律得Ffcos θ－FNsin θ＝0，F(xiàn)fsin θ＋FNcos θ－mg＝ma，代入數(shù)據(jù)得Ff＝15 N，F(xiàn)N＝15 N，又x＝at2＝40 m，斜面對物體的支持力所做的功WN＝FNxcos θ＝900 J，故A正確；斜面對物體的摩擦力所做的功Wf＝Ffxsin θ＝300 J，故B錯誤；物體所受重力做的功WG＝－mgx＝－800 J，則物體克服重力做功800 J，故C錯誤；合外力對物體做的功W合＝WN＋Wf＋WG＝400 J，故D正確。
考點二　變力做功的分析和計算
變力做功常見的五種計算方法
方法 情境說明 方法總結(jié)
微元法 質(zhì)量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運動，運動一周克服摩擦力做的功為Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
等效 轉(zhuǎn)換 法 恒力F把物塊從A拉到B，繩子對物塊做的功為 W＝F·
平均 力法 彈簧由伸長量為x1被繼續(xù)拉至伸長量為x2的過程中，克服彈簧彈力做的功為W＝Δx＝·(x2－x1)
圖像法 在F－x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數(shù)和就表示力F在這段位移上所做的功
動能定 理法 用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做的功為WF，則有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
例2 (多選)力F對物體所做的功可由公式W＝Flcos α求得。公式中力F必須是恒力。而實際問題中，有很多情況是變力在對物體做功。如圖3，對于甲、乙、丙、丁四種情況下求解某個力所做的功，下列說法正確的是(　　)
圖3
A.甲圖中若F大小不變，物塊從A到C過程中力F做的為W＝F(lOA－lOC)
B.乙圖中，全過程中F做的總功為72 J
C.丙圖中，繩長為R，若空氣阻力f大小不變，小球從A運動到B過程中空氣阻力做的功W＝πRf
D.圖丁中，F(xiàn)始終保持水平，無論是F緩慢將小球從P拉到Q，還是F為恒力將小球從P拉到Q，F(xiàn)做的功都是W＝Flsin θ
答案　AB
解析　等效轉(zhuǎn)換法：甲圖中因力對繩做的功等于繩對物塊做的功，則物塊從A到C過程中繩對物塊做的功為W＝F(lOA－lOC)，故A正確。
提示：輕繩對物體的拉力一直在變化，但輕繩拉力大小不變，可將變力做功問題轉(zhuǎn)化為恒力做功來處理，輕繩對物塊拉力做的功和恒力F做的功相等。
圖像法：乙圖中，F(xiàn)－x圖線與坐標軸圍成的面積代表功，則全過程中F做的總功為W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B正確。
微元法：丙圖中，繩長為R，若空氣阻力f大小不變，方向始終與運動方向相反，可用微元法得小球從A運動到B過程中空氣阻力做的功為W＝－f·＝－πRf，故C錯誤。
動能定理法：圖丁中，F(xiàn)始終保持水平，當F為恒力時將小球從P拉到Q，F(xiàn)做的功是W＝Flsin θ，而F緩慢將小球從P拉到Q，F(xiàn)為水平方向的變力，F(xiàn)做的功不能直接用力乘以位移計算，要根據(jù)動能定理求解力F做功，故D錯誤。
除了以上求變力做功的方法外，還存在其他變力做功情況，如：
(1)用功率求功：機車類發(fā)動機保持功率P恒定做變速運動時，牽引力是變力，牽引力做的功W＝Pt。
(2)恒力做功和變力做功均可應用動能定理求解?！　?br/>2.如圖4所示，質(zhì)量均為m的A、B兩小物塊用輕質(zhì)彈簧相連，A放置在光滑水平地面上，一輕繩通過光滑的定滑輪與物塊B相連(連接物塊B的繩子恰好伸直但不繃緊)，彈簧的勁度系數(shù)k?，F(xiàn)用一水平向右的拉力F作用在輕繩上，使物塊B緩慢向上運動，已知重力加速度為g，當A物塊恰好離開地面時，F(xiàn)所做功為(　　)
圖4
A.F B.F
C. D.
答案　D
解析　開始時彈簧的壓縮量為x1＝，此時F1＝0，當A物塊恰好離開地面時彈簧伸長量為x2＝，此時F2＝2mg，則力F做功W＝(x1＋x2)＝，故D正確。
3.(2024·山東威海模擬)水平桌面上，長6 m的輕繩一端固定于O點，如圖5所示(俯視圖)，另一端系一質(zhì)量m＝2.0 kg的小球。現(xiàn)對小球施加一個沿桌面大小不變的力F＝10 N，F(xiàn)拉著物體從M點運動到N點，F(xiàn)的方向始終與小球的運動方向成37°角。已知小球與桌面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計空氣阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則下列說法正確的是(　　)
圖5
A.拉力F對小球做的功為16π J
B.拉力F對小球做的功為8π J
C.小球克服摩擦力做的功為16π J
D.小球克服摩擦力做的功為4π J
答案　A
解析　將圓弧分成很多小段l1，l2，…，ln，拉力F在每小段上做的功為W1，W2，…，Wn，因拉力F大小不變，方向始終與小球的運動方向成37°角，所以W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°，故WF＝W1＋W2＋…＋Wn＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln)＝Fcos 37°·＝16π J，故A正確，B錯誤；同理可得小球克服摩擦力做的功Wf＝μmg·＝8π J，故C、D錯誤。
考點三　功率的分析與計算
1.公式P＝和P＝Fv的區(qū)別
P＝是功率的定義式，P＝Fv是功率的計算式。
2.平均功率的計算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F cos α，其中為物體運動的平均速度。
3.瞬時功率的計算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v為t時刻的瞬時速度。
(2)P＝FvF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fvv，其中Fv為物體受到的外力F在速度v方向上的分力。
例3 (2023·山東卷，4)《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉(zhuǎn)筒車往稻田里引水的場景。引水過程簡化如下：兩個半徑約為R的水輪，以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動。水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動，每個水筒離開水面時裝有質(zhì)量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田，當?shù)氐闹亓铀俣葹間，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為(　　)
圖6
A. B.
C. D.nmgωRH
答案　B
解析　由題知，水輪轉(zhuǎn)一圈灌入農(nóng)田的水的總質(zhì)量為m總＝2πRnm×60%＝1.2πRnm，則水輪轉(zhuǎn)一圈灌入稻田的水克服重力做的功W＝1.2πRnmgH，筒車對灌入稻田的水做功的功率為P＝，又T＝，聯(lián)立解得P＝，故B正確。
4.如圖7所示，質(zhì)量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37°的斜面上由靜止開始下滑，斜面足夠長，木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，則前2 s內(nèi)重力的平均功率和2 s末重力的瞬時功率分別為(　　)
圖7
A.48 W　24 W B.24 W　48 W
C.24 W　12 W D.12 W　24 W
答案　B
解析　木塊所受的合外力F合＝mgsin θ－μmgcos θ＝4 N，木塊的加速度a＝＝2 m/s2，前2 s內(nèi)木塊的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m，所以重力在前2 s內(nèi)做的功為W＝mgxsin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J，重力在前2 s內(nèi)的平均功率＝＝24 W，木塊在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s，2 s末重力的瞬時功率P＝mgvsin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W，故選項B正確。
考點四　機車啟動問題
兩種啟動方式
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P－t圖像 和 v－t圖像
OA段 過程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不變 F不變，v↑ P＝Fv↑直到P＝P額＝Fv1
運動 性質(zhì) 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，維持時間t1＝
AB段 過程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
運動 性質(zhì) 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速直線運動
BC段 過程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝
運動 性質(zhì) 以vm做勻速直線運動
轉(zhuǎn)折點 在轉(zhuǎn)折點A，牽引力與阻力大小相等，此時加速度為零，速度達到最大，為vm＝ 在轉(zhuǎn)折點A，功率達到額定功率，勻加速運動結(jié)束，此時v1＝；在轉(zhuǎn)折點B，速度達到最大，為vm＝
角度　恒定功率啟動問題
例4 (多選)發(fā)展新能源汽車是當前一項國家戰(zhàn)略，更是世界發(fā)展的潮流。假設(shè)有一輛純電動客車質(zhì)量m＝1×103 kg，客車沿平直的公路以恒定功率P從靜止開始啟動，如圖8所示為牽引力F與速度v的關(guān)系圖像，加速過程在圖中的B點結(jié)束，所用的時間t＝10 s，10 s后客車做勻速運動。若客車所受阻力始終不變，下列說法正確的是(　　)
圖8
A.客車的功率P＝64 kW
B.圖中A點對應的時刻為5 s
C.圖中A點對應時刻客車的加速度大小為4 m/s2
D.0～10 s客車通過的路程為128 m
答案　ACD
解析　客車以恒定功率P啟動，由圖可得P＝Fv＝64 kW，故A正確；客車以額定功率啟動，作出其v－t圖像如圖曲線所示，如果客車是做初速度為零的勻加速直線運動，則v－t圖像如圖中的直線所示，當速度為8 m/s時直線對應的時間剛好是5 s，而A點對應曲線的時間tA小于5 s，故B錯誤；10 s后客車做勻速運動，此時客車受到的牽引力與阻力大小相等，故f＝4 000 N，圖中A點，F(xiàn)A＝8 000 N，根據(jù)牛頓第二定律可得aA＝＝4 m/s2，故C正確；設(shè)0～10 s客車通過的路程為s，根據(jù)動能定理可得Pt－fs＝mv，代入數(shù)據(jù)解得s＝128 m，故D正確。
角度　恒定加速度啟動問題
例5 (多選)質(zhì)量m＝200 kg的小型電動汽車在平直的公路上由靜止啟動，如圖9甲表示汽車運動的速度與時間的關(guān)系，圖乙表示汽車牽引力的功率與時間的關(guān)系。設(shè)汽車在運動過程中阻力不變，在18 s末汽車的速度恰好達到最大，則下列說法正確的是(　　)
圖9
A.汽車受到的阻力為800 N
B.8～18 s過程中汽車牽引力逐漸增大
C.0～8 s過程中汽車牽引力做的功為6.4×104J
D.0～18 s過程中汽車的位移大小為127.5 m
答案　AD
解析　當牽引力等于阻力時，速度達到最大值，由P＝Fvm＝fvm得f＝＝ N＝800 N，故A正確；v－t圖像中圖線的斜率表示加速度，根據(jù)圖甲可知，8～18 s過程中汽車加速度不斷減小，又因為阻力不變，由F－f＝ma知，汽車牽引力是逐漸減小的，故B錯誤；P－t圖像中圖線與時間軸圍成的面積表示牽引力做的功，所以根據(jù)圖乙可知0～8 s過程中汽車牽引力做的功為W＝ J＝3.2×104 J，故C錯誤；v－t圖像中圖線與時間軸圍成的面積表示位移，故0～8 s過程中汽車的位移為x1＝ m＝32 m，8～18 s過程中，根據(jù)動能定理可得Pt－fx2＝mv－mv，代入數(shù)據(jù)解得x2＝95.5 m，則0～18 s過程中汽車的位移大小為x＝x1＋x2＝32 m＋95.5 m＝127.5 m，故D正確。
掌握三個重要關(guān)系式
1.無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝＝(式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力大小F阻)?！　?br/>2.機車以恒定加速度啟動的過程中，勻加速過程結(jié)束時，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝。
3.機車以恒定功率啟動時，牽引力做的功W＝Pt。由動能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式經(jīng)常用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小。
5.(2023·湖北卷，4)兩節(jié)動車的額定功率分別為P1和P2，在某平直鐵軌上能達到的最大速度分別為v1和v2?，F(xiàn)將它們編成動車組，設(shè)每節(jié)動車運行時受到的阻力在編組前后不變，則該動車組在此鐵軌上能達到的最大速度為(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由題意可知對兩節(jié)動車分別有P1＝f1v1，P2＝f2v2，當將它們編組后有P1＋P2＝(f1＋f2)v，聯(lián)立可得v＝，故D正確。
A級　基礎(chǔ)對點練
對點練1　恒力做功的分析和計算
1.(多選)(2024·河南新鄉(xiāng)高三期中)如圖1所示，滑塊A和B疊放在固定的斜面體上，它們從靜止開始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑。已知B與斜面體的接觸面光滑，則在A、B下滑的過程中，下列說法正確的是(　　)
圖1
A.B對A的支持力做負功
B.B對A的作用力不做功
C.A對B的摩擦力做正功
D.斜面體對B的支持力做負功
答案　AB
解析　B對A的支持力豎直向上，與A、B的運動方向之間的夾角大于90°，B對A的支持力做負功，A正確；以A、B整體為研究對象，應用牛頓第二定律得(mA＋mB)gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，隔離A分析，如圖所示，則mAgsin θ＋Ffcos θ－FNsin θ＝mAa，得Ffcos θ＝FNsin θ，F(xiàn)f與FN的合力方向與斜面垂直，所以B對A的作用力不做功，B正確；A對B的摩擦力沿著水平面向右，與運動方向之間的夾角大于90°，則A對B的摩擦力做負功，C錯誤；斜面體對B的支持力與斜面體垂直，即與B下滑的速度方向垂直，不做功，D錯誤。
2.如圖2所示，長為L的小車置于光滑的水平面上，小車前端放一小物塊，用大小為F的水平力將小車向右拉動一段距離s，此時物塊剛好滑到小車的左端。物塊與小車間的摩擦力為Ff，在此過程中(　　)
圖2
A.摩擦力對小物塊做的功為Ffs
B.摩擦力對系統(tǒng)做的總功為0
C.力F對小車做的功為FL
D.小車克服摩擦力所做的功為Ffs
答案　D
解析　由題意知，小物塊對地的位移方向向右，大小為s－L，小物塊受到的摩擦力方向水平向右，則摩擦力對小物塊做的功為W1＝Ff(s－L)，故A錯誤；物塊相對于小車的位移大小為L，則摩擦力對系統(tǒng)做的總功為－FfL，故B錯誤；小車對地位移大小為s，則力F對小車做的功為Fs，故C錯誤；小車受到的摩擦力方向水平向左，位移方向向右，大小為s，則小車克服摩擦力所做的功為Ffs，故D正確。
3.(2023·北京卷，11)如圖3所示，一物體在力F作用下沿水平桌面做勻加速直線運動。已知物體質(zhì)量為m，加速度大小為a，物體和桌面之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，在物體移動距離x的過程中(　　)
圖3
A.摩擦力做功大小與F方向無關(guān)
B.合力做功大小與F方向有關(guān)
C.F為水平方向時，F(xiàn)做功為μmgx
D.F做功的最小值為max
答案　D
解析　設(shè)力F與水平方向的夾角為θ，則摩擦力為Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做的功Wf＝－μ(mg－Fsin θ)x，則摩擦力做功與F的方向有關(guān)，選項A錯誤；合力做功W＝F合x＝max，可知合力做功與力F方向無關(guān)，選項B錯誤；當力F水平時，有F－μmg＝ma，力F做功為WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，選項C錯誤；因合外力做功為max大小一定，而合外力做的功等于力F與摩擦力Ff做功的代數(shù)和，而當Fsin θ＝mg時，摩擦力Ff＝0，則此時摩擦力做功為零，此時力F做功最小，最小值為max，選項D正確。
對點練2　變力做功的分析和計算
4.(2023·新課標卷，15)無風時，雨滴受空氣阻力的作用在地面附近會以恒定的速率豎直下落。一質(zhì)量為m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的過程中，克服空氣阻力做的功為(重力加速度大小為g)(　　)
A.0 B.mgh
C.mv2－mgh D.mv2＋mgh
答案　B
解析　雨滴在地面附近下落過程中做勻速運動，對雨滴下落高度h的過程，由動能定理有mgh－Wf＝0，即Wf＝mgh，B正確，A、C、D錯誤。
5.如圖4所示，一輕質(zhì)立方體被從水表面緩慢壓入水中，直至其上表面沒入水中，已知立方體的棱長為L，水的密度為ρ，重力加速度為g，不考慮水面高度的變化。該過程中，立方體克服水的浮力所做的功為(　　)
圖4
A. B.
C.ρgL2 D.ρgL4
答案　B
解析　設(shè)浸入的深度為h，則浮力的大小為F＝ρgV＝ρgL2h，可見浮力與浸入水中的深度成正比。由平均值法知克服浮力做的功為W＝L＝L＝，故B正確。
對點練3　功率的分析與計算
6.(2024·山東濟寧高三期末)如圖5所示，在某次體能訓練中，運動員身上系著輕繩拖著輪胎從靜止開始沿著筆直的跑道勻加速奔跑，2 s末輪胎的速度大小為4 m/s。已知繩與地面的夾角θ＝37°，繩對輪胎的拉力大小為50 N，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列說法正確的是(　　)
圖5
A.前2 s內(nèi)繩子拉力對輪胎所做的功為200 J
B.第2 s內(nèi)運動員克服繩子拉力所做的功為120 J
C.前2 s內(nèi)繩子拉力對輪胎做功的平均功率為100 W
D.第2 s末繩子拉力對輪胎做功的瞬時功率為200 W
答案　B
解析　前2 s內(nèi)的位移為x＝t＝4 m，前2 s內(nèi)繩子拉力對輪胎所做的功為W＝Fxcos 37°＝50×4×0.8 J＝160 J，故A錯誤；根據(jù)v＝at，解得a＝2 m/s2，第2 s內(nèi)的位移為x′＝x－at＝3 m，第2 s內(nèi)運動員克服繩子拉力所做的功為W′＝Fx′cos 37°＝50×3×0.8 J＝120 J，故B正確；前2 s內(nèi)繩子拉力對輪胎做功的平均功率為＝＝80 W，故C錯誤；第2 s末繩子拉力對輪胎做功的瞬時功率P＝Fvcos 37°＝50×4×0.8 W＝160 W，故D錯誤。
7.(2023·山東卷，8)質(zhì)量為M的玩具動力小車在水平面上運動時，牽引力F和受到的阻力f均為恒力。如圖6所示，小車用一根不可伸長的輕繩拉著質(zhì)量為m的物體由靜止開始運動。當小車拖動物體行駛的位移為s1時，小車達到額定功率，輕繩從物體上脫落，物體繼續(xù)滑行一段時間后停下，其總位移為s2。物體與地面間的動摩擦因數(shù)不變，不計空氣阻力。小車的額定功率P0為(　　)
圖6
A. B.
C. D.
答案　A
解析　設(shè)物體與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，小車拖動物體行駛的位移為s1的過程中，有F－f－μmg＝(m＋M)a，v2＝2as1，P0＝Fv；輕繩從物體上脫落后，a2＝μg，v2＝2a2(s2－s1)，聯(lián)立解得P0＝，故A正確。
對點練4　機車啟動問題
8.復興號動車在世界上首次實現(xiàn)速度350 km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創(chuàng)新的又一重大標志性成果。一列質(zhì)量為m的動車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運動，經(jīng)時間t達到該功率下的最大速度vm，設(shè)動車行駛過程所受到的阻力f保持不變。動車在時間t內(nèi)(　　)
圖7
A.做勻加速直線運動
B.牽引力的功率P＝fvm
C.當動車速度為時，其加速度為
D.牽引力做功W＝mv－mv
答案　B
解析　動車以恒定功率啟動，由P＝F牽v可知動車的速度增大，則牽引力減小，由牛頓第二定律F牽－f＝ma可得動車的加速度逐漸減小，A錯誤；當動車的加速度為零時，即牽引力等于阻力時，動車的速度最大，則P＝fvm，B正確；當動車速度為時，牽引力為F牽′＝＝＝3f，根據(jù)牛頓第二定律可得F牽′－f＝ma1，則此時其加速度為a1＝，C錯誤；設(shè)動車在時間t內(nèi)的位移為x，由動能定理得W－fx＝mv－mv，則牽引力所做的功為W＝fx＋mv－mv，D錯誤。
9.(多選)下列各圖是反映汽車(額定功率為P額)從靜止開始勻加速啟動，最后做勻速直線運動的過程中，其速度隨時間以及加速度、牽引力和功率隨速度變化的圖像，其中正確的是(　　)
答案　ACD
解析　汽車從靜止開始勻加速啟動，根據(jù)牛頓第二定律可得F0－f＝ma，可知牽引力在勻加速階段保持不變，由功率P＝F0v，可知在勻加速階段，功率與速度成正比，隨著速度的增大而增大，當P＝P額時，功率保持不變，設(shè)此時的速度為v1，則有v1＝＝，之后牽引力減小，加速度減小，速度繼續(xù)增加，汽車做加速度逐漸減小的加速運動，當牽引力F＝f時，加速度為零，汽車速度達到最大vm，汽車做勻速直線運動，則有vm＝＝，由以上分析可知，A、C、D正確，B錯誤。
B級　綜合提升練
10.(多選)(2024·四川成都模擬)如圖8甲所示，有長度均為x0的AB、BC兩段水平路面，AB段光滑，BC段粗糙。在A處靜止的小物體質(zhì)量為m(可視為質(zhì)點)在水平恒力F作用下，從A點開始運動，到C點恰好停下，BC段動摩擦因數(shù)自左往右逐漸增大，具體變化如圖乙所示，重力加速度為g。下列判斷正確的是(　　)
圖8
A.水平恒力F的大小F＝μ0mg
B.水平恒力F在AB、BC兩段路面上做功不相等
C.水平恒力F在AB段的平均功率等于BC段的平均功率
D.水平恒力F在AB段中間時刻瞬時功率小于在BC段中間時刻瞬時功率
答案　AD
解析　根據(jù)動能定理，在AC段水平恒力F做的功等于克服摩擦力做的功，有F·2x0－μ0mgx0＝0，解得F＝μ0mg，故A正確；F在AB、BC兩段做的功相同，故B錯誤；小物體在AB段做勻加速直線運動，在BC段先做加速度減小的加速運動再做加速度增加的減速運動，在AB段運動的時間大于在BC段運動的時間，則水平恒力F在AB段的平均功率小于BC段的平均功率，故C錯誤；小物體在AB段中間時刻的瞬時速度小于在BC段中間時刻的瞬時速度，則水平恒力F在AB段中間時刻瞬時功率小于在BC段中間時刻瞬時功率，故D正確。
11.(2024·山東濟南模擬)一輛玩具賽車在水平直線跑道上由靜止開始以10 kW的恒定功率加速前進，賽車瞬時速度的倒數(shù)和瞬時加速度a的關(guān)系如圖9所示，已知賽車在跑道上所受到的阻力不變，賽車到達終點前已達到最大速度。下列說法中正確的是(　　)
圖9
A.賽車做加速度逐漸增大的加速直線運動
B.賽車的質(zhì)量為20 kg
C.賽車所受阻力大小為500 N
D.賽車速度大小為5 m/s時，加速度大小為50 m/s2
答案　C
解析　由牛頓第二定律有－f＝ma，賽車做加速度逐漸減小的加速直線運動，整理得＝a＋，可知圖像的斜率恒定為，與縱軸的截距為，結(jié)合圖像可得＝0.05 s/m，＝ s3 /m2，解得m＝25 kg，f＝500 N，代入v＝5 m/s，解得a＝60 m/s2，故C正確，A、B、D錯誤。
C級　培優(yōu)加強練
12.(2024·山東臨沂高三月考)某學?？萍夹〗M對一輛自制小遙控車的性能進行研究，他們讓小車在水平地面上由靜止開始運動，將小車運動的全過程記錄下來，通過數(shù)據(jù)處理得到如圖10所示的v－t圖像。已知小車在0～2 s內(nèi)做勻加速直線運動，2～10 s內(nèi)小車牽引力的功率保持不變，在10 s末停止遙控，關(guān)閉電動機，小車的質(zhì)量m＝1 kg，整個過程中小車受到的阻力保持不變，求：
圖10
(1)小車所受的阻力的大小和小車在0～2 s內(nèi)所受牽引力的大?。?br/>(2)小車在2～10 s內(nèi)牽引力的功率；
(3)小車在14 s內(nèi)阻力做的功。
答案　(1)2 N　4 N　(2)16 W　(3)－144 J
解析　(1)小車在10 s后的加速度大小為a2＝＝ m/s2＝2 m/s2
所受阻力為f＝ma2＝2 N
在0～2 s內(nèi)加速度為a1＝＝ m/s2＝2 m/s2
由牛頓第二定律有F－f＝ma1
解得F＝4 N。
(2)由7～10 s內(nèi)小車做勻速運動可得，小車牽引力功率
P＝Fv＝fvm＝16 W。
(3)小車在0～2 s內(nèi)位移為x1＝a1t＝4 m
在2～7 s內(nèi)，由動能定理有Pt2－fx2＝mv－mv，其中t2＝5 s
解得在2～7 s內(nèi)位移為x2＝28 m
在7～10 s內(nèi)位移為x3＝vmt3＝24 m
在10～14 s內(nèi)位移為x4＝vmt4＝16 m
小車運動的總位移為x＝x1＋x2＋x3＋x4＝72 m
小車在14 s內(nèi)阻力做的功為W＝－fx＝－144 J。第1講　功與功率
學習目標　1.理解功的概念，會判斷正、負功，會計算功的大小。 2.理解功率的概念，會求解平均功率和瞬時功率。 3.會分析、解決機車啟動的兩類問題。
2.
1.思考判斷
（1）只要物體受力的同時又發(fā)生了位移，就一定有力對物體做功。（　?。?br/>（2）一個力對物體做了負功，則說明這個力一定阻礙物體的運動。（　?。?br/>（3）作用力做正功時，反作用力一定做負功。（　?。?br/>（4）由P＝Fv既能求某一時刻的瞬時功率，也可以求平均功率。（　　）
（5）由P＝知，只要知道W和t就可求出任意時刻的功率。（　　）
（6）當F為恒力時，v增大，F(xiàn)的功率一定增大。（　　）
2.水平恒力F兩次作用在同一靜止物體上，使物體沿力的方向發(fā)生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，兩次力F做的功和平均功率的大小關(guān)系是（　?。?br/>A.W1＝W2，P1＞P2
B.W1＞W(wǎng)2，P1＝P2
C.W1＞W(wǎng)2，P1＞P2
D.W1＝W2，P1＝P2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考點一　恒力做功的分析和計算
1.判斷力是否做功及做正、負功的方法
判斷根據(jù) 適用情況
根據(jù)力和位移方向的夾角判斷 常用于恒力做功的判斷
根據(jù)力和瞬時速度方向的夾角判斷 常用于質(zhì)點做曲線運動
根據(jù)功能關(guān)系或能量守恒定律判斷 常用于變力做功的判斷
2.恒力做功的計算方法
（1）恒力做的功
直接用W＝Flcos α計算或用動能定理計算。
（2）合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其適用于已知質(zhì)量m和加速度a的情況。
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3、…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：利用動能定理，合力做的功等于物體動能的變化量。
例1 （多選）（人教版必修第二冊改編）一位質(zhì)量m＝60 kg的滑雪運動員從高h＝10 m的斜坡自由下滑，如圖1所示，如果運動
員在下滑過程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的傾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，運動員滑至坡底的過程中，關(guān)于各力做功的情況，下列說法正確的是（　　）
圖1
A.重力做的功為6 000 J
B.阻力做的功為1 000 J
C.支持力不做功
D.各力做的總功為零
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.（多選）如圖2所示，升降機內(nèi)斜面的傾角θ＝30°，質(zhì)量為2 kg的物體置于斜面上始終不發(fā)生相對滑動，在升降機以5 m/s2的加速度從靜止開始勻加速上升4 s的過程中。g取10 m/s2，則（　　）
圖2
A.斜面對物體的支持力做功900 J
B.斜面對物體的摩擦力做功－300 J
C.物體克服重力做功－800 J
D.合外力對物體做功400 J
考點二　變力做功的分析和計算
變力做功常見的五種計算方法
方法 情境說明 方法總結(jié)
微元法 質(zhì)量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運動，運動一周克服摩擦力做的功為Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝Ff·2πR
等效轉(zhuǎn)換法 恒力F把物塊從A拉到B，繩子對物塊做的功為W＝F·
平均力法 彈簧由伸長量為x1被繼續(xù)拉至伸長量為x2的過程中，克服彈簧彈力做的功為W＝Δx＝·（x2－x1）
圖像法 在F－x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數(shù)和就表示力F在這段位移上所做的功
動能定理法 用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做的功為WF，則有WF－mgL（1－cos θ）＝0，得WF＝mgL（1－cos θ）
例2 （多選）力F對物體所做的功可由公式W＝Flcos α求得。公式中力F必須是恒力。而實際問題中，有很多情況是變力在對物體做功。如圖3，對于甲、乙、丙、丁四種情況下求解某個力所做的功，下列說法正確的是（　?。?br/>圖3
A.甲圖中若F大小不變，物塊從A到C過程中力F做的為W＝F（lOA－lOC）
B.乙圖中，全過程中F做的總功為72 J
C.丙圖中，繩長為R，若空氣阻力f大小不變，小球從A運動到B過程中空氣阻力做的功W＝πRf
D.圖丁中，F(xiàn)始終保持水平，無論是F緩慢將小球從P拉到Q，還是F為恒力將小球從P拉到Q，F(xiàn)做的功都是W＝Flsin θ
除了以上求變力做功的方法外，還存在其他變力做功情況，如：
（1）用功率求功：機車類發(fā)動機保持功率P恒定做變速運動時，牽引力是變力，牽引力做的功W＝Pt。
（2）恒力做功和變力做功均可應用動能定理求解?！　?br/>2.如圖4所示，質(zhì)量均為m的A、B兩小物塊用輕質(zhì)彈簧相連，A放置在光滑水平地面上，一輕繩通過光滑的定滑輪與物塊B相連（連接物塊B的繩子恰好伸直但不繃緊），彈簧的勁度系數(shù)k。現(xiàn)用一水平向右的拉力F作用在輕繩上，使物塊B緩慢向上運動，已知重力加速度為g，當A物塊恰好離開地面時，F(xiàn)所做功為（　?。?br/>圖4
A.F B.F
C. D.
3.（2024·山東威海模擬）水平桌面上，長6 m的輕繩一端固定于O點，如圖5所示（俯視圖），另一端系一質(zhì)量m＝2.0 kg的小球。現(xiàn)對小球施加一個沿桌面大小不變的力F＝10 N，F(xiàn)拉著物體從M點運動到N點，F(xiàn)的方向始終與小球的運動方向成37°角。已知小球與桌面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計空氣阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則下列說法正確的是（　　）
圖5
A.拉力F對小球做的功為16π J
B.拉力F對小球做的功為8π J
C.小球克服摩擦力做的功為16π J
D.小球克服摩擦力做的功為4π J
考點三　功率的分析與計算
1.公式P＝和P＝Fv的區(qū)別
P＝是功率的定義式，P＝Fv是功率的計算式。
2.平均功率的計算方法
（1）利用＝。
（2）利用＝F cos α，其中為物體運動的平均速度。
3.瞬時功率的計算方法
（1）利用公式P＝Fvcos α，其中v為t時刻的瞬時速度。
（2）P＝FvF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度。
（3）P＝Fvv，其中Fv為物體受到的外力F在速度v方向上的分力。
例3 （2023·山東卷，4）《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉(zhuǎn)筒車往稻田里引水的場景。引水過程簡化如下：兩個半徑約為R的水輪，以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動。水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動，每個水筒
離開水面時裝有質(zhì)量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田，當?shù)氐闹亓铀俣葹間，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為（　　）
圖6
A. B.
C. D.nmgωRH
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.如圖7所示，質(zhì)量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37°的斜面上由靜止開始下滑，斜面足夠長，木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，則前
2 s內(nèi)重力的平均功率和2 s末重力的瞬時功率分別為（　?。?br/>圖7
A.48 W　24 W B.24 W　48 W
C.24 W　12 W D.12 W　24 W
考點四　機車啟動問題
兩種啟動方式
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P－t圖像 和 v－t圖像
OA段 過程 分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不變 F不變，v↑ P＝Fv↑直到P＝P額＝Fv1
運動 性質(zhì) 加速度減小的加速直線運動 勻加速直線運動，維持時間t1＝
AB段 過程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
運動 性質(zhì) 以vm做勻速直線運動 加速度減小的加速直線運動
BC段 過程 分析 F＝F阻 a＝0 vm＝
運動 性質(zhì) 以vm做勻速直線運動
轉(zhuǎn)折點 在轉(zhuǎn)折點A，牽引力與阻力大小相等，此時加速度為零，速度達到最大，為vm＝ 在轉(zhuǎn)折點A，功率達到額定功率，勻加速運動結(jié)束，此時v1＝；在轉(zhuǎn)折點B，速度達到最大，為vm＝
角度　恒定功率啟動問題
例4 （多選）發(fā)展新能源汽車是當前一項國家戰(zhàn)略，更是世界發(fā)展的潮流。假設(shè)有一輛純電動客車質(zhì)量m＝1×103 kg，客車沿平直的公路以恒定功率P從靜止開始啟動，如圖8所示為牽引力F與速度v的關(guān)系圖像，加速過程在圖中的B點結(jié)束，所用的時間t＝10 s，10 s后客車做勻速運動。若客車所受阻力始終不變，下列說法正確的是（　?。?br/>圖8
A.客車的功率P＝64 kW
B.圖中A點對應的時刻為5 s
C.圖中A點對應時刻客車的加速度大小為4 m/s2
D.0～10 s客車通過的路程為128 m
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度　恒定加速度啟動問題
例5 （多選）質(zhì)量m＝200 kg的小型電動汽車在平直的公路上由靜止啟動，如圖9甲表示汽車運動的速度與時間的關(guān)系，圖乙表示汽車牽引力的功率與時間的關(guān)系。設(shè)汽車在運動過程中阻力不變，在18 s末汽車的速度恰好達到最大，則下列說法正確的是（　?。?br/>圖9
A.汽車受到的阻力為800 N
B.8～18 s過程中汽車牽引力逐漸增大
C.0～8 s過程中汽車牽引力做的功為6.4×104J
D.0～18 s過程中汽車的位移大小為127.5 m
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
掌握三個重要關(guān)系式
1.無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝＝（式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力大小F阻）。
2.機車以恒定加速度啟動的過程中，勻加速過程結(jié)束時，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝。
3.機車以恒定功率啟動時，牽引力做的功W＝Pt。由動能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式經(jīng)常用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小?！　?br/>5.（2023·湖北卷，4）兩節(jié)動車的額定功率分別為P1和P2，在某平直鐵軌上能達到的最大速度分別為v1和v2?，F(xiàn)將它們編成動車組，設(shè)每節(jié)動車運行時受到的阻力在編組前后不變，則該動車組在此鐵軌上能達到的最大速度為（　　）
A. B.
C. D.　　　　　第1練　功與功率
A級　基礎(chǔ)對點練
對點練1　恒力做功的分析和計算
1.(多選)(2024·河南新鄉(xiāng)高三期中)如圖1所示，滑塊A和B疊放在固定的斜面體上，它們從靜止開始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑。已知B與斜面體的接觸面光滑，則在A、B下滑的過程中，下列說法正確的是(　　)
圖1
A.B對A的支持力做負功
B.B對A的作用力不做功
C.A對B的摩擦力做正功
D.斜面體對B的支持力做負功
2.如圖2所示，長為L的小車置于光滑的水平面上，小車前端放一小物塊，用大小為F的水平力將小車向右拉動一段距離s，此時物塊剛好滑到小車的左端。物塊與小車間的摩擦力為Ff，在此過程中(　　)
圖2
A.摩擦力對小物塊做的功為Ffs
B.摩擦力對系統(tǒng)做的總功為0
C.力F對小車做的功為FL
D.小車克服摩擦力所做的功為Ffs
3.(2023·北京卷，11)如圖3所示，一物體在力F作用下沿水平桌面做勻加速直線運動。已知物體質(zhì)量為m，加速度大小為a，物體和桌面之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，在物體移動距離x的過程中(　　)
圖3
A.摩擦力做功大小與F方向無關(guān)
B.合力做功大小與F方向有關(guān)
C.F為水平方向時，F(xiàn)做功為μmgx
D.F做功的最小值為max
對點練2　變力做功的分析和計算
4.(2023·新課標卷，15)無風時，雨滴受空氣阻力的作用在地面附近會以恒定的速率豎直下落。一質(zhì)量為m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的過程中，克服空氣阻力做的功為(重力加速度大小為g)(　　)
A.0 B.mgh
C.mv2－mgh D.mv2＋mgh
5.如圖4所示，一輕質(zhì)立方體被從水表面緩慢壓入水中，直至其上表面沒入水中，已知立方體的棱長為L，水的密度為ρ，重力加速度為g，不考慮水面高度的變化。該過程中，立方體克服水的浮力所做的功為(　　)
圖4
A. B.
C.ρgL2 D.ρgL4
對點練3　功率的分析與計算
6.(2024·山東濟寧高三期末)如圖5所示，在某次體能訓練中，運動員身上系著輕繩拖著輪胎從靜止開始沿著筆直的跑道勻加速奔跑，2 s末輪胎的速度大小為
4 m/s。已知繩與地面的夾角θ＝37°，繩對輪胎的拉力大小為50 N，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列說法正確的是(　　)
圖5
A.前2 s內(nèi)繩子拉力對輪胎所做的功為200 J
B.第2 s內(nèi)運動員克服繩子拉力所做的功為120 J
C.前2 s內(nèi)繩子拉力對輪胎做功的平均功率為100 W
D.第2 s末繩子拉力對輪胎做功的瞬時功率為200 W
7.(2023·山東卷，8)質(zhì)量為M的玩具動力小車在水平面上運動時，牽引力F和受到的阻力f均為恒力。如圖6所示，小車用一根不可伸長的輕繩拉著質(zhì)量為m的物體由靜止開始運動。當小車拖動物體行駛的位移為s1時，小車達到額定功率，輕繩從物體上脫落，物體繼續(xù)滑行一段時間后停下，其總位移為s2。物體與地面間的動摩擦因數(shù)不變，不計空氣阻力。小車的額定功率P0為(　　)
圖6
A.
B.
C.
D.
對點練4　機車啟動問題
8.復興號動車在世界上首次實現(xiàn)速度350 km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創(chuàng)新的又一重大標志性成果。一列質(zhì)量為m的動車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運動，經(jīng)時間t達到該功率下的最大速度vm，設(shè)動車行駛過程所受到的阻力f保持不變。動車在時間t內(nèi)(　　)
圖7
A.做勻加速直線運動
B.牽引力的功率P＝fvm
C.當動車速度為時，其加速度為
D.牽引力做功W＝mv－mv
9.(多選)下列各圖是反映汽車(額定功率為P額)從靜止開始勻加速啟動，最后做勻速直線運動的過程中，其速度隨時間以及加速度、牽引力和功率隨速度變化的圖像，其中正確的是(　　)
B級　綜合提升練
10.(多選)(2024·四川成都模擬)如圖8甲所示，有長度均為x0的AB、BC兩段水平路面，AB段光滑，BC段粗糙。在A處靜止的小物體質(zhì)量為m(可視為質(zhì)點)在水平恒力F作用下，從A點開始運動，到C點恰好停下，BC段動摩擦因數(shù)自左往右逐漸增大，具體變化如圖乙所示，重力加速度為g。下列判斷正確的是(　　)
圖8
A.水平恒力F的大小F＝μ0mg
B.水平恒力F在AB、BC兩段路面上做功不相等
C.水平恒力F在AB段的平均功率等于BC段的平均功率
D.水平恒力F在AB段中間時刻瞬時功率小于在BC段中間時刻瞬時功率
11.(2024·山東濟南模擬)一輛玩具賽車在水平直線跑道上由靜止開始以10 kW的恒定功率加速前進，賽車瞬時速度的倒數(shù)和瞬時加速度a的關(guān)系如圖9所示，已知賽車在跑道上所受到的阻力不變，賽車到達終點前已達到最大速度。下列說法中正確的是(　　)
圖9
A.賽車做加速度逐漸增大的加速直線運動
B.賽車的質(zhì)量為20 kg
C.賽車所受阻力大小為500 N
D.賽車速度大小為5 m/s時，加速度大小為50 m/s2
C級　培優(yōu)加強練
12.(2024·山東臨沂高三月考)某學?？萍夹〗M對一輛自制小遙控車的性能進行研究，他們讓小車在水平地面上由靜止開始運動，將小車運動的全過程記錄下來，通過數(shù)據(jù)處理得到如圖10所示的v－t圖像。已知小車在0～2 s內(nèi)做勻加速直線運動，2～10 s內(nèi)小車牽引力的功率保持不變，在10 s末停止遙控，關(guān)閉電動機，小車的質(zhì)量m＝1 kg，整個過程中小車受到的阻力保持不變，求：
圖10
(1)小車所受的阻力的大小和小車在0～2 s內(nèi)所受牽引力的大??；
(2)小車在2～10 s內(nèi)牽引力的功率；
(3)小車在14 s內(nèi)阻力做的功。
第1練　功與功率
1.AB　[B對A的支持力豎直向上，與A、B的運動方向之間的夾角大于90°，B對A的支持力做負功，A正確；以A、B整體為研究對象，應用牛頓第二定律得(mA＋mB)gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，隔離A分析，如圖所示，則mAgsin θ＋Ffcos θ－FNsin θ＝mAa，得Ffcos θ＝FNsin θ，F(xiàn)f與FN的合力方向與斜面垂直，所以B對A的作用力不做功，B正確；A對B的摩擦力沿著水平面向右，與運動方向之間的夾角大于90°，則A對B的摩擦力做負功，C錯誤；斜面體對B的支持力與斜面體垂直，即與B下滑的速度方向垂直，不做功，D錯誤。]
2.D　[由題意知，小物塊對地的位移方向向右，大小為s－L，小物塊受到的摩擦力方向水平向右，則摩擦力對小物塊做的功為W1＝Ff(s－L)，故A錯誤；物塊相對于小車的位移大小為L，則摩擦力對系統(tǒng)做的總功為－FfL，故B錯誤；小車對地位移大小為s，則力F對小車做的功為Fs，故C錯誤；小車受到的摩擦力方向水平向左，位移方向向右，大小為s，則小車克服摩擦力所做的功為Ffs，故D正確。]
3.D　[設(shè)力F與水平方向的夾角為θ，則摩擦力為Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做的功Wf＝－μ(mg－Fsin θ)x，則摩擦力做功與F的方向有關(guān)，選項A錯誤；合力做功W＝F合x＝max，可知合力做功與力F方向無關(guān)，選項B錯誤；當力F水平時，有F－μmg＝ma，力F做功為WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，選項C錯誤；因合外力做功為max大小一定，而合外力做的功等于力F與摩擦力Ff做功的代數(shù)和，而當Fsin θ＝mg時，摩擦力Ff＝0，則此時摩擦力做功為零，此時力F做功最小，最小值為max，選項D正確。]
4.B　[雨滴在地面附近下落過程中做勻速運動，對雨滴下落高度h的過程，由動能定理有mgh－Wf＝0，即Wf＝mgh，B正確，A、C、D錯誤。]
5.B　[設(shè)浸入的深度為h，則浮力的大小為F＝ρgV＝ρgL2h，可見浮力與浸入水中的深度成正比。由平均值法知克服浮力做的功為W＝L＝L＝，故B正確。]
6.B　[前2 s內(nèi)的位移為x＝t＝4 m，前2 s內(nèi)繩子拉力對輪胎所做的功為W＝Fxcos 37°＝50×4×0.8 J＝160 J，故A錯誤；根據(jù)v＝at，解得a＝2 m/s2，第2 s內(nèi)的位移為x′＝x－at＝3 m，第2 s內(nèi)運動員克服繩子拉力所做的功為W′＝Fx′cos 37°＝50×3×0.8 J＝120 J，故B正確；前2 s內(nèi)繩子拉力對輪胎做功的平均功率為＝＝80 W，故C錯誤；第2 s末繩子拉力對輪胎做功的瞬時功率P＝Fvcos 37°＝50×4×0.8 W＝160 W，故D錯誤。]
7.A　[設(shè)物體與地面間的動摩擦因數(shù)為μ，小車拖動物體行駛的位移為s1的過程中，有F－f－μmg＝(m＋M)a，v2＝2as1，P0＝Fv；輕繩從物體上脫落后，a2＝μg，v2＝2a2(s2－s1)，聯(lián)立解得P0＝，故A正確。]
8.B　[動車以恒定功率啟動，由P＝F牽v可知動車的速度增大，則牽引力減小，由牛頓第二定律F牽－f＝ma可得動車的加速度逐漸減小，A錯誤；當動車的加速度為零時，即牽引力等于阻力時，動車的速度最大，則P＝fvm，B正確；當動車速度為時，牽引力為F牽′＝＝＝3f，根據(jù)牛頓第二定律可得F牽′－f＝ma1，則此時其加速度為a1＝，C錯誤；設(shè)動車在時間t內(nèi)的位移為x，由動能定理得W－fx＝mv－mv，則牽引力所做的功為W＝fx＋mv－mv，D錯誤。]
9.ACD　[汽車從靜止開始勻加速啟動，根據(jù)牛頓第二定律可得F0－f＝ma，可知牽引力在勻加速階段保持不變，由功率P＝F0v，可知在勻加速階段，功率與速度成正比，隨著速度的增大而增大，當P＝P額時，功率保持不變，設(shè)此時的速度為v1，則有v1＝＝，之后牽引力減小，加速度減小，速度繼續(xù)增加，汽車做加速度逐漸減小的加速運動，當牽引力F＝f時，加速度為零，汽車速度達到最大vm，汽車做勻速直線運動，則有vm＝＝，由以上分析可知，A、C、D正確，B錯誤。]
10.AD　[根據(jù)動能定理，在AC段水平恒力F做的功等于克服摩擦力做的功，有F·2x0－μ0mgx0＝0，解得F＝μ0mg，故A正確；F在AB、BC兩段做的功相同，故B錯誤；小物體在AB段做勻加速直線運動，在BC段先做加速度減小的加速運動再做加速度增加的減速運動，在AB段運動的時間大于在BC段運動的時間，則水平恒力F在AB段的平均功率小于BC段的平均功率，故C錯誤；小物體在AB段中間時刻的瞬時速度小于在BC段中間時刻的瞬時速度，則水平恒力F在AB段中間時刻瞬時功率小于在BC段中間時刻瞬時功率，故D正確。]
11.C　[由牛頓第二定律有－f＝ma，賽車做加速度逐漸減小的加速直線運動，整理得＝a＋，可知圖像的斜率恒定為，與縱軸的截距為，結(jié)合圖像可得＝0.05 s/m，＝ s3 /m2，解得m＝25 kg，f＝500 N，代入v＝5 m/s，解得a＝60 m/s2，故C正確，A、B、D錯誤。]
12.(1)2 N　4 N　(2)16 W　(3)－144 J
解析　(1)小車在10 s后的加速度大小為
a2＝＝ m/s2＝2 m/s2
所受阻力為f＝ma2＝2 N
在0～2 s內(nèi)加速度為a1＝＝ m/s2＝2 m/s2
由牛頓第二定律有F－f＝ma1
解得F＝4 N。
(2)由7～10 s內(nèi)小車做勻速運動可得，小車牽引力功率
P＝Fv＝fvm＝16 W。
(3)小車在0～2 s內(nèi)位移為
x1＝a1t＝4 m
在2～7 s內(nèi)，由動能定理有Pt2－fx2＝mv－mv，其中t2＝5 s
解得在2～7 s內(nèi)位移為x2＝28 m
在7～10 s內(nèi)位移為x3＝vmt3＝24 m
在10～14 s內(nèi)位移為x4＝vmt4＝16 m
小車運動的總位移為
x＝x1＋x2＋x3＋x4＝72 m
小車在14 s內(nèi)阻力做的功為W＝－fx＝－144 J。(共68張PPT)
第1講　功與功率
第五章　機械能守恒定律
理解功的概念，會判斷正、負功，會計算功的大小。
理解功率的概念，會求解平均功率和瞬時功率。
會分析、解決機車啟動的兩類問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
夯實必備知識
01
研透核心考點
02
提升素養(yǎng)能力
03
夯實必備知識
1
力的方向
力的方向
量度
位移
恒力
正功
負功
克服
不做功
比值
快慢
平均功率
平均
瞬時
1.思考判斷
(1)只要物體受力的同時又發(fā)生了位移，就一定有力對物體做功。( )
(2)一個力對物體做了負功，則說明這個力一定阻礙物體的運動。( )
(3)作用力做正功時，反作用力一定做負功。( )
(4)由P＝Fv既能求某一時刻的瞬時功率，也可以求平均功率。( )
×
√
×
√
×
×
2.水平恒力F兩次作用在同一靜止物體上，使物體沿力的方向發(fā)生相同的位移，第一次是在光滑水平面上，第二次是在粗糙水平面上，兩次力F做的功和平均功率的大小關(guān)系是(　　)
A.W1＝W2，P1＞P2 B.W1＞W(wǎng)2，P1＝P2
C.W1＞W(wǎng)2，P1＞P2 D.W1＝W2，P1＝P2
A
研透核心考點
2
考點二　變力做功的分析和計算
考點一　恒力做功的分析和計算
考點三　功率的分析與計算
考點四　機車啟動問題
1.判斷力是否做功及做正、負功的方法
考點一　恒力做功的分析和計算
判斷根據(jù) 適用情況
根據(jù)力和位移方向的夾角判斷 常用于恒力做功的判斷
根據(jù)力和瞬時速度方向的夾角判斷 常用于質(zhì)點做曲線運動
根據(jù)功能關(guān)系或能量守恒定律判斷 常用于變力做功的判斷
2.恒力做功的計算方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α計算或用動能定理計算。
(2)合力做的功
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其適用于已知質(zhì)量m和加速度a的情況。
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W3、…，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：利用動能定理，合力做的功等于物體動能的變化量。
AC
例1 (多選)(人教版必修第二冊改編)一位質(zhì)量m＝60 kg的滑雪運動員從高h＝10 m的斜坡自由下滑，如圖1所示，如果運動員在下滑過程中受到的阻力f＝50 N，斜坡的傾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，運動員滑至坡底的過程中，關(guān)于各力做功的情況，下列說法正確的是(　　)
圖1
A.重力做的功為6 000 J B.阻力做的功為1 000 J
C.支持力不做功 D.各力做的總功為零
AD
1.(多選)如圖2所示，升降機內(nèi)斜面的傾角θ＝30°，質(zhì)量為2 kg的物體置于斜面上始終不發(fā)生相對滑動，在升降機以5 m/s2的加速度從靜止開始勻加速上升4 s的過程中。g取10 m/s2，則(　　)
圖2
A.斜面對物體的支持力做功900 J
B.斜面對物體的摩擦力做功－300 J
C.物體克服重力做功－800 J
D.合外力對物體做功400 J
變力做功常見的五種計算方法
考點二　變力做功的分析和計算
方法 情境說明 方法總結(jié)
微元法 質(zhì)量為m的木塊在水平面內(nèi)做圓周運動，運動一周克服摩擦力做的功為Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR
圖像法 在F－x圖像中，圖線與x軸所圍“面積”的代數(shù)和就表示力F在這段位移上所做的功
動能定 理法 用力F把小球從A處緩慢拉到B處，F(xiàn)做的功為WF，則有WF－mgL(1－cos θ)＝0，得WF＝mgL(1－cos θ)
例2 (多選)力F對物體所做的功可由公式W＝Flcos α求得。公式中力F必須是恒力。而實際問題中，有很多情況是變力在對物體做功。如圖3，對于甲、乙、丙、丁四種情況下求解某個力所做的功，下列說法正確的是(　　)
圖3
解析　等效轉(zhuǎn)換法：甲圖中因力對繩做的功等于繩對物塊做的功，則物塊從A到C過程中繩對物塊做的功為W＝F(lOA－lOC)，故A正確。
提示：輕繩對物體的拉力一直在變化，但輕繩拉力大小不變，可將變力做功問題轉(zhuǎn)化為恒力做功來處理，輕繩對物塊拉力做的功和恒力F做的功相等。
圖像法：乙圖中，F(xiàn)－x圖線與坐標軸圍成的面積代表功，則全過程中F做的總功為W＝15×6 J＋(－3)×6 J＝72 J，故B正確。
題
干
動能定理法：圖丁中，F(xiàn)始終保持水平，當F為恒力時將小球從P拉到Q，F(xiàn)做的功是W＝Flsin θ，而F緩慢將小球從P拉到Q，F(xiàn)為水平方向的變力，F(xiàn)做的功不能直接用力乘以位移計算，要根據(jù)動能定理求解力F做功，故D錯誤。
答案　AB
題
干
除了以上求變力做功的方法外，還存在其他變力做功情況，如：
(1)用功率求功：機車類發(fā)動機保持功率P恒定做變速運動時，牽引力是變力，牽引力做的功W＝Pt。
(2)恒力做功和變力做功均可應用動能定理求解。　　
D
2.如圖4所示，質(zhì)量均為m的A、B兩小物塊用輕質(zhì)彈簧相連，A放置在光滑水平地面上，一輕繩通過光滑的定滑輪與物塊B相連(連接物塊B的繩子恰好伸直但不繃緊)，彈簧的勁度系數(shù)k?，F(xiàn)用一水平向右的拉力F作用在輕繩上，使物塊B緩慢向上運動，已知重力加速度為g，當A物塊恰好離開地面時，F(xiàn)所做功為(　　)
圖4
3.(2024·山東威海模擬)水平桌面上，長6 m的輕繩一端固定于O點，如圖5所示(俯視圖)，另一端系一質(zhì)量m＝2.0 kg的小球。現(xiàn)對小球施加一個沿桌面大小不變的力F＝10 N，F(xiàn)拉著物體從M點運動到N點，F(xiàn)的方向始終與小球的運動方向成37°角。已知小球與桌面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，不計空氣阻力，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，則下列說法正確的是(　　)
圖5
A.拉力F對小球做的功為16π J
B.拉力F對小球做的功為8π J
C.小球克服摩擦力做的功為16π J
D.小球克服摩擦力做的功為4π J
A
考點三　功率的分析與計算
3.瞬時功率的計算方法
(1)利用公式P＝Fvcos α，其中v為t時刻的瞬時速度。
(2)P＝FvF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fvv，其中Fv為物體受到的外力F在速度v方向上的分力。
B
例3 (2023·山東卷，4)《天工開物》中記載了古人借助水力使用高轉(zhuǎn)筒車往稻田里引水的場景。引水過程簡化如下：兩個半徑約為R的水輪，以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動。水筒在筒車上均勻排布，單位長度上有n個，與水輪間無相對滑動，每個水筒離開水面時裝有質(zhì)量為m的水，其中的60%被輸送到高出水面H處灌入稻田，當?shù)氐闹亓铀俣葹間，則筒車對灌入稻田的水做功的功率為(　　)
圖6
B
4.如圖7所示，質(zhì)量為m＝2 kg的木塊在傾角θ＝37°的斜面上由靜止開始下滑，斜面足夠長，木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，則前2 s內(nèi)重力的平均功率和2 s末重力的瞬時功率分別為(　　)
圖7
A.48 W　24 W B.24 W　48 W
C.24 W　12 W D.12 W　24 W
兩種啟動方式
考點四　機車啟動問題
兩種方式 以恒定功率啟動 以恒定加速度啟動
P－t圖像 和 v－t圖像
ACD
例4 (多選)發(fā)展新能源汽車是當前一項國家戰(zhàn)略，更是世界發(fā)展的潮流。假設(shè)有一輛純電動客車質(zhì)量m＝1×103 kg，客車沿平直的公路以恒定功率P從靜止開始啟動，如圖8所示為牽引力F與速度v的關(guān)系圖像，加速過程在圖中的B點結(jié)束，所用的時間t＝10 s，10 s后客車做勻速運動。若客車所受阻力始終不變，下列說法正確的是(　 　)
角度　　恒定功率啟動問題
圖8
A.客車的功率P＝64 kW
B.圖中A點對應的時刻為5 s
C.圖中A點對應時刻客車的加速度大小為4 m/s2
D.0～10 s客車通過的路程為128 m
解析　客車以恒定功率P啟動，由圖可得P＝Fv＝64 kW，故A正確；客車以額定功率啟動，作出其v－t圖像如圖曲線所示，如果客車是做初速度為零的勻加速直線運動，則v－t圖像如圖中的直線所示，當速度為8 m/s時直線對應的時間剛好是5 s，而A點對應曲線的時間tA小于5 s，故B錯誤；10 s后客車做勻速運動，此時客車受到的牽引力與阻
AD
例5 (多選)質(zhì)量m＝200 kg的小型電動汽車在平直的公路上由靜止啟動，如圖9甲表示汽車運動的速度與時間的關(guān)系，圖乙表示汽車牽引力的功率與時間的關(guān)系。設(shè)汽車在運動過程中阻力不變，在18 s末汽車的速度恰好達到最大，則下列說法正確的是(　　)
角度　　恒定加速度啟動問題
圖9
A.汽車受到的阻力為800 N
B.8～18 s過程中汽車牽引力逐漸增大
C.0～8 s過程中汽車牽引力做的功為6.4×104J
D.0～18 s過程中汽車的位移大小為127.5 m
題
干
3.機車以恒定功率啟動時，牽引力做的功W＝Pt。由動能定理得Pt－F阻x＝ΔEk，此式經(jīng)常用于求解機車以恒定功率啟動過程的位移大小。
D
5.(2023·湖北卷，4)兩節(jié)動車的額定功率分別為P1和P2，在某平直鐵軌上能達到的最大速度分別為v1和v2?，F(xiàn)將它們編成動車組，設(shè)每節(jié)動車運行時受到的阻力在編組前后不變，則該動車組在此鐵軌上能達到的最大速度為(　　)
提升素養(yǎng)能力
3
AB
對點練1　恒力做功的分析和計算
1.(多選)(2024·河南新鄉(xiāng)高三期中)如圖1所示，滑塊A和B疊放在固定的斜面體上，它們從靜止開始以相同的加速度一起沿斜面加速下滑。已知B與斜面體的接觸面光滑，則在A、B下滑的過程中，下列說法正確的是(　　)
A級　基礎(chǔ)對點練
圖1
A.B對A的支持力做負功
B.B對A的作用力不做功
C.A對B的摩擦力做正功
D.斜面體對B的支持力做負功
解析　B對A的支持力豎直向上，與A、B的運動方向之間的夾角大于90°，B對A的支持力做負功，A正確；以A、B整體為研究對象，應用牛頓第二定律得(mA＋mB)gsin θ＝(mA＋mB)a，解得a＝gsin θ，隔離A分析，如圖所示，則mAgsin θ＋Ffcos θ－FNsin θ＝mAa，得Ffcos θ＝FNsin θ，F(xiàn)f與FN的合力方向與斜面垂直，所以B對A的作用力不做功，B正確；A對B的摩擦力沿著水平面向右，與運動方向之間的夾角大于90°，則A對B的摩擦力做負功，C錯誤；斜面體對B的支持力與斜面體垂直，即與B下滑的速度方向垂直，不做功，D錯誤。
D
2.如圖2所示，長為L的小車置于光滑的水平面上，小車前端放一小物塊，用大小為F的水平力將小車向右拉動一段距離s，此時物塊剛好滑到小車的左端。物塊與小車間的摩擦力為Ff，在此過程中(　　)
圖2
A.摩擦力對小物塊做的功為Ffs B.摩擦力對系統(tǒng)做的總功為0
C.力F對小車做的功為FL D.小車克服摩擦力所做的功為Ffs
解析　由題意知，小物塊對地的位移方向向右，大小為s－L，小物塊受到的摩擦力方向水平向右，則摩擦力對小物塊做的功為W1＝Ff(s－L)，故A錯誤；物塊相對于小車的位移大小為L，則摩擦力對系統(tǒng)做的總功為－FfL，故B錯誤；小車對地位移大小為s，則力F對小車做的功為Fs，故C錯誤；小車受到的摩擦力方向水平向左，位移方向向右，大小為s，則小車克服摩擦力所做的功為Ffs，故D正確。
D
3.(2023·北京卷，11)如圖3所示，一物體在力F作用下沿水平桌面做勻加速直線運動。已知物體質(zhì)量為m，加速度大小為a，物體和桌面之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，在物體移動距離x的過程中(　　)
圖3
A.摩擦力做功大小與F方向無關(guān)
B.合力做功大小與F方向有關(guān)
C.F為水平方向時，F(xiàn)做功為μmgx
D.F做功的最小值為max
解析　設(shè)力F與水平方向的夾角為θ，則摩擦力為Ff＝μ(mg－Fsin θ)，摩擦力做的功Wf＝－μ(mg－Fsin θ)x，則摩擦力做功與F的方向有關(guān)，選項A錯誤；合力做功W＝F合x＝max，可知合力做功與力F方向無關(guān)，選項B錯誤；當力F水平時，有F－μmg＝ma，力F做功為WF＝Fx＝(ma＋μmg)x，選項C錯誤；因合外力做功為max大小一定，而合外力做的功等于力F與摩擦力Ff做功的代數(shù)和，而當Fsin θ＝mg時，摩擦力Ff＝0，則此時摩擦力做功為零，此時力F做功最小，最小值為max，選項D正確。
B
對點練2　變力做功的分析和計算
4.(2023·新課標卷，15)無風時，雨滴受空氣阻力的作用在地面附近會以恒定的速率豎直下落。一質(zhì)量為m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的過程中，克服空氣阻力做的功為(重力加速度大小為g)(　　)
解析　雨滴在地面附近下落過程中做勻速運動，對雨滴下落高度h的過程，由動能定理有mgh－Wf＝0，即Wf＝mgh，B正確，A、C、D錯誤。
B
5.如圖4所示，一輕質(zhì)立方體被從水表面緩慢壓入水中，直至其上表面沒入水中，已知立方體的棱長為L，水的密度為ρ，重力加速度為g，不考慮水面高度的變化。該過程中，立方體克服水的浮力所做的功為(　　)
圖4
B
對點練3　功率的分析與計算
6.(2024·山東濟寧高三期末)如圖5所示，在某次體能訓練中，運動員身上系著輕繩拖著輪胎從靜止開始沿著筆直的跑道勻加速奔跑，2 s末輪胎的速度大小為4 m/s。已知繩與地面的夾角θ＝37°，繩對輪胎的拉力大小為50 N，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列說法正確的是(　　)
圖5
A.前2 s內(nèi)繩子拉力對輪胎所做的功為200 J
B.第2 s內(nèi)運動員克服繩子拉力所做的功為120 J
C.前2 s內(nèi)繩子拉力對輪胎做功的平均功率為100 W
D.第2 s末繩子拉力對輪胎做功的瞬時功率為200 W
A
7.(2023·山東卷，8)質(zhì)量為M的玩具動力小車在水平面上運動時，牽引力F和受到的阻力f均為恒力。如圖6所示，小車用一根不可伸長的輕繩拉著質(zhì)量為m的物體由靜止開始運動。當小車拖動物體行駛的位移為s1時，小車達到額定功率，輕繩從物體上脫落，物體繼續(xù)滑行一段時間后停下，其總位移為s2。物體與地面間的動摩擦因數(shù)不變，不計空氣阻力。小車的額定功率P0為(　　)
圖6
B
對點練4　機車啟動問題
8.復興號動車在世界上首次實現(xiàn)速度350 km/h自動駕駛功能，成為我國高鐵自主創(chuàng)新的又一重大標志性成果。一列質(zhì)量為m的動車，初速度為v0，以恒定功率P在平直軌道上運動，經(jīng)時間t達到該功率下的最大速度vm，設(shè)動車行駛過程所受到的阻力f保持不變。動車在時間t內(nèi)(　　)
圖7
解析　動車以恒定功率啟動，由P＝F牽v可知動車的速度增大，則牽引力減小，由牛頓第二定律F牽－f＝ma可得動車的加速度逐漸減小，A錯誤；當動車的加速度為零時，即牽引力等于阻力時，動車的速度
ACD
9.(多選)下列各圖是反映汽車(額定功率為P額)從靜止開始勻加速啟動，最后做勻速直線運動的過程中，其速度隨時間以及加速度、牽引力和功率隨速度變化的圖像，其中正確的是(　 　)
解析　汽車從靜止開始勻加速啟動，根據(jù)牛頓第二定律可得F0－f＝ma，可知牽引力在勻加速階段保持不變，由功率P＝F0v，可知在勻加速階段，功率與速度成正比，隨著速度的增大而增大，當P＝P額時，功率保持不變，設(shè)此時
AD
B級　綜合提升練
圖8
10.(多選)(2024·四川成都模擬)如圖8甲所示，有長度均為x0的AB、BC兩段水平路面，AB段光滑，BC段粗糙。在A處靜止的小物體質(zhì)量為m(可視為質(zhì)點)在水平恒力F作用下，從A點開始運動，到C點恰好停下，BC段動摩擦因數(shù)自左往右逐漸增大，具體變化如圖乙所示，重力加速度為g。下列判斷正確的是(　　)
B.水平恒力F在AB、BC兩段路面上做功不相等
C.水平恒力F在AB段的平均功率等于BC段的平均功率
D.水平恒力F在AB段中間時刻
瞬時功率小于在BC段中間時刻
瞬時功率
相同，故B錯誤；小物體在AB段做勻加速直線運動，在BC段先做加速度減小的加速運動再做加速度增加的減速運動，在AB段運動的時間大于在BC段運動的時間，則水平恒力F在AB段的平均功率小于BC段的平均功率，故C錯誤；小物體在AB段中間時刻的瞬時速度小于在BC段中間時刻的瞬時速度，則水平恒力F在AB段中間時刻瞬時功率小于在BC段中間時刻瞬時功率，故D正確。
C
圖9
A.賽車做加速度逐漸增大的加速直線運動
B.賽車的質(zhì)量為20 kg
C.賽車所受阻力大小為500 N
D.賽車速度大小為5 m/s時，加速度大小為50 m/s2
C級　培優(yōu)加強練
圖10
12.(2024·山東臨沂高三月考)某學校科技小組對一輛自制小遙控車的性能進行研究，他們讓小車在水平地面上由靜止開始運動，將小車運動的全過程記錄下來，通過數(shù)據(jù)處理得到如圖10所示的v－t圖像。已知小車在0～2 s內(nèi)做勻加速直線運動，2～10 s內(nèi)小車牽引力的功率保持不變，在10 s末停止遙控，關(guān)閉電動機，小車的質(zhì)量m＝1 kg，整個過程中小車受到的阻力保持不變，求：
(1)小車所受的阻力的大小和小車在0～2 s內(nèi)所受牽引力的大小；
(2)小車在2～10 s內(nèi)牽引力的功率；
(3)小車在14 s內(nèi)阻力做的功。
答案　(1)2 N　4 N　(2)16 W　(3)－144 J
所受阻力為f＝ma2＝2 N
由牛頓第二定律有F－f＝ma1
解得F＝4 N。
(2)由7～10 s內(nèi)小車做勻速運動可得，小車牽引力功率
P＝Fv＝fvm＝16 W。
小車運動的總位移為x＝x1＋x2＋x3＋x4＝72 m
小車在14 s內(nèi)阻力做的功為W＝－fx＝－144 J。
本節(jié)內(nèi)容結(jié)束
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