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第3講　機械能守恒定律及其應用
學習目標　1.理解重力勢能和彈性勢能，知道機械能守恒的條件。 2.會判斷研究對象在某一過程機械能是否守恒。 3.會用機械能守恒定律解決單個物體或系統的機械能守恒問題。
2.
4.
1.思考判斷
(1)重力勢能的變化量與零勢能參考面的選取無關。(√)
(2)被舉到高處的物體重力勢能一定不為零。(×)
(3)發生彈性形變的物體都具有彈性勢能。(√)
(4)彈力做正功，彈性勢能一定增加。(×)
(5)物體所受的合外力為零，物體的機械能一定守恒。(×)
(6)物體的速度增大時，其機械能可能減小。(√)
(7)物體除受重力外，還受其他力，但其他力不做功，則物體的機械能一定守恒。(√)
2.如圖所示是“彈簧跳跳桿”，桿的上下兩部分通過彈簧連接。當人和跳桿從一定高度由靜止豎直下落時，彈簧先壓縮后彈起。則人從靜止豎直下落到最低點的過程中(　　)
A.彈簧彈性勢能一直增加
B.桿下端剛觸地時人的動能最大
C.人的重力勢能一直減小
D.人的機械能保持不變
答案　C
考點一　機械能守恒的理解與判斷
例1 (多選)在如圖1所示的物理過程示意圖中，甲圖中一端固定有小球的輕桿從右偏上30°角釋放后繞光滑支點擺動；乙圖中輕繩一端連著一小球，從右偏上30°角處自由釋放；丙圖中物體A正在壓縮彈簧；丁圖中不計任何阻力和定滑輪質量，A加速下落，B加速上升。關于這幾個物理過程(空氣阻力忽略不計)，下列判斷中正確的是(　　)
圖1
A.甲圖中小球機械能守恒
B.乙圖中小球機械能守恒
C.丙圖中物體A的機械能守恒
D.丁圖中A、B組成的系統機械能守恒
答案　AD
解析　甲圖過程中輕桿對小球不做功，只有重力做功，小球的機械能守恒，故A正確；乙圖過程中小球在繩子繃緊的瞬間有動能損失，機械能不守恒，故B錯誤；丙圖中重力和系統內彈力做功，物體A和彈簧組成的系統機械能守恒，但物體A的機械能不守恒，故C錯誤；丁圖中繩子張力對A做負功，對B做正功，代數和為零，A、B組成的系統機械能守恒，故D正確。
方法點撥　判斷機械能守恒的三種方法
1.(2023·全國甲卷，14)一同學將鉛球水平推出，不計空氣阻力和轉動的影響，鉛球在平拋運動過程中(　　)
A.機械能一直增加 B.加速度保持不變
C.速度大小保持不變 D.被推出后瞬間動能最大
答案　B
解析　鉛球水平拋出，只受重力作用，加速度始終為重力加速度g，機械能守恒，A錯誤，B正確；平拋運動過程中，鉛球的水平方向分速度保持不變，豎直方向分速度變大，則鉛球運動過程中速度一直增大，動能也一直增大，C、D錯誤。
2.(多選)如圖2所示，將一個內外側均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)。現讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內，則下列說法正確的是(　　)
圖2
A.小球在半圓形槽內運動的全過程中，只有重力對它做功
B.小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒
C.小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統機械能守恒
D.小球從下落到從右側離開半圓形槽的過程中，小球的機械能守恒
答案　BC
解析　小球從半圓形槽的最低點運動到半圓形槽右側的過程中，小球對半圓形槽的力使半圓形槽向右運動，半圓形槽對小球的支持力對小球做負功，小球的機械能不守恒，A、D錯誤；小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，半圓形槽靜止，則只有重力做功，小球的機械能守恒，B正確；小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統只有重力做功，機械能守恒，C正確。
考點二　單物體的機械能守恒問題
1.表達式
2.一般步驟
例2 (2022·全國乙卷，16)如圖3，固定于豎直平面內的光滑大圓環上套有一個小環，小環從大圓環頂端P點由靜止開始自由下滑，在下滑過程中，小環的速率正比于(　　)
圖3
A.它滑過的弧長 B.它下降的高度
C.它到P點的距離 D.它與P點的連線掃過的面積
答案　C
解析　如圖所示，設小環下降的高度為h，大圓環的半徑為R，小環到P點的距離為L，根據機械能守恒定律得mgh＝mv2
解得v＝，故B錯誤；
由幾何關系可得h＝Lsin θ
sin θ＝
聯立可得h＝，則v＝L
故C正確，A、D錯誤。
3.(2024·江西名校聯考)一滑雪坡由AB和BC組成，AB為斜坡，BC是圓弧，C端水平。如圖4所示，運動員連同滑雪裝備的總質量m＝75 kg，從A點由靜止滑下，通過C點時速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C兩點的高度差h1＝9.8 m，豎直臺階CD的高度h2＝5 m。取地面為參考平面，重力加速度大小g＝10 m/s2，不計空氣阻力，則運動員(含裝備)落地前瞬間的機械能為(　　)
圖4
A.11 100 J B.9 150 J
C.7 350 J D.5 400 J
答案　B
解析　根據題意可知，運動員在C點的機械能為E＝mv2＋mgh2＝9 150 J，從C點離開后，運動員在空中只有重力對其做功，機械能守恒，則可知運動員(含裝備)落地前瞬間的機械能為9 150 J，故B正確。
考點三　多物體的機械能守恒問題
1.解決多物體系統機械能守恒的注意點
(1)要注意判斷物體運動過程中系統的機械能是否守恒。
(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。
(3)列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.常見的三種模型
模型　輕繩連接的物體系統機械能守恒
常見 情景
三點 提醒 ①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。 ②用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。 ③對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統，機械能則可能守恒。
例3 如圖5所示，固定的水平長桿上套有質量為m的小物塊A，跨過輕質定滑輪(可視為質點O)的細線一端連接A，另一端懸掛質量為m的小物塊B(B靠近定滑輪)，滑輪到桿的距離OC＝h，開始時A位于P點，PO與水平方向的夾角為30°，重力加速度為g，不計一切摩擦。現將A、B由靜止釋放，則當AO間的細線與水平方向的夾角為60°時，小物塊B的速度大小為(　　)
圖5
A. B.
C. D.
答案　D
解析　將A、B由靜止釋放，當AO間的細線與水平方向的夾角為60°時，B下落的高度H＝－＝2(－1)h，由A和B組成的系統機械能守恒得mgH＝mv＋mv，A沿細線方向的分速度與B的速度大小相等，則有vB＝vAcos 60°，解得vB＝，故D正確。
模型　輕桿連接的物體系統機械能守恒
常見 情景
模型 特點 ①平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等。 ②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。 ③對于桿和球組成的系統，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功，則系統機械能守恒。
例4 如圖6所示，豎直平面內固定兩根足夠長的細桿L1、L2，兩桿不接觸，且兩桿間的距離忽略不計。兩個小球a、b(視為質點)質量均為m，a球套在豎直桿L1上，b球套在水平桿L2上，a、b通過鉸鏈用長度為l的剛性輕桿L連接。將a球從圖示位置(輕桿與L2桿夾角為45°)由靜止釋放，不計一切摩擦，已知重力加速度為g。在此后的運動過程中，下列說法中正確的是(　　)
圖6
A.a球和b球所組成的系統機械能不守恒
B.b球的速度為零時，a球的加速度大小為零
C.b球的最大速度為
D.a球的最大速度為
答案　C
解析　對于a球和b球組成的系統，除重力外沒有其他力做功，因此a球和b球所組成的系統機械能守恒，A錯誤；設輕桿L和水平桿L2的夾角為θ，由于兩球沿桿方向的分速度大小相等，故vbcos θ＝vasin θ，可得vb＝vatan θ，當b球的速度為零時，輕桿L處于水平位置且與桿L2平行，則此時a球在豎直方向上只受到重力，因此a球的加速度大小為g，由機械能守恒定律有mg·L＝mv，解得va＝，此時a球具有向下的加速度g，故此時a球的速度不是最大，B、D錯誤；當輕桿L和L1第一次平行時，a球運動到最低點，b球運動到L1和L2交點位置，b球的速度達到最大，此時a球的速度為0，由機械能守恒定律有mg＝mv，解得vb＝，C正確。
模型　輕彈簧連接的物體系統機械能守恒
模型 特點 由輕彈簧連接的物體系統，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化，而總的機械能守恒。
兩點 提醒 ①對同一彈簧，彈性勢能的大小完全由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。 ②彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。
例5 (2023·全國甲卷，24)如圖7，光滑水平桌面上有一輕質彈簧，其一端固定在墻上。用質量為m的小球壓彈簧的另一端，使彈簧的彈性勢能為Ep。釋放后，小球在彈簧作用下從靜止開始在桌面上運動，與彈簧分離后，從桌面水平飛出。小球與水平地面碰撞后瞬間，其平行于地面的速度分量與碰撞前瞬間相等；垂直于地面的速度分量大小變為碰撞前瞬間的。小球與地面碰撞后，彈起的最大高度為h，重力加速度大小為g，忽略空氣阻力。求：
圖7
(1)小球離開桌面時的速度大小；
(2)小球第一次落地點距桌面上其飛出點的水平距離。
答案　(1)　(2)
解析　(1)從釋放彈簧到小球離開桌面的過程中，小球與彈簧組成的系統機械能守恒，設小球離開桌面時的速度大小為v0，由機械能守恒定律有Ep＝mv
解得v0＝。
(2)小球與地面碰撞彈起后在豎直方向做豎直上拋運動，設彈起時小球的豎直速度為vy1，由運動學公式有v＝2gh
設小球落地前的瞬間豎直方向速度大小為vy，有vy1＝vy
小球從桌面水平飛出后，做平拋運動的過程中，有vy＝gt
其水平位移x＝v0t
聯立解得x＝。
4.(2024·江蘇揚州模擬)如圖8所示，在一直立的光滑管內放置一輕質彈簧，上端O點與管口A的距離為2x0，一質量為m的小球從管口由靜止下落，將彈簧壓縮至最低點B，壓縮量為x0，不計空氣阻力，則(　　)
圖8
A.彈簧的最大彈性勢能為3mgx0
B.小球運動的最大速度等于2
C.彈簧的勁度系數為
D.小球運動中最大加速度為g
答案　A
解析　小球下落到最低點時重力勢能全部轉化為彈簧的彈性勢能，此時彈性勢能最大，有Epmax＝3mgx0，故A正確；根據選項A和彈簧彈性勢能的表達式有3mgx0＝kx，解得k＝，故C錯誤；當小球的重力等于彈簧彈力時，小球有最大速度，則有mg＝kx，再根據彈簧和小球組成的系統機械能守恒有mg(x＋2x0)＝mv＋kx2，解得最大速度為vmax＝，故B錯誤；小球運動到最低點時有kx0－mg＝ma，解得a＝5g，故D錯誤。
A級　基礎對點練
對點練1　機械能守恒定律的理解與判斷
1.下列物體運動過程中，機械能守恒(或不變)的是(　　)
A.樹葉在空中飄落
B.小球在水平桌面做勻速圓周運動
C.汽車制動后在公路上行駛
D.潛水員在水中勻速下沉
答案　B
解析　樹葉在空中飄落，不能忽略空氣阻力，阻力做負功，機械能不守恒，故A錯誤；小球在水平桌面做勻速圓周運動，合力指向圓心不做功，機械能不變，故B正確；汽車制動后在公路上行駛，阻力做負功，機械能不守恒，故C錯誤；潛水員在水中勻速下沉，浮力做負功，機械能不守恒，故D錯誤。
2.(2024·河南許昌高三期末)如圖1所示，一輕質彈簧，下端與固定光滑斜面的底端相連，上端與斜面上的物體A相連，A處于靜止狀態。一條不可伸長的輕繩繞過光滑輕質定滑輪，一端連接物體A，另一端連一輕鉤。開始時各段繩子都處于伸直狀態，A上方的一段繩子與斜面平行。現在掛鉤上掛一物體B并從靜止狀態釋放，則在物體B向下運動的過程中(物體A不會和滑輪相碰，物體B不會和地面相碰)，下列說法正確的是(　　)
圖1
A.物體B機械能守恒
B.物體A和B組成的系統機械能守恒
C.物體A和輕彈簧組成的系統機械能守恒
D.物體A、物體B和輕彈簧三者組成的系統機械能守恒
答案　D
解析　物體B在下落的過程中，繩子的拉力對其做負功，機械能不守恒，故A錯誤；物體A和B組成的系統在運動過程中，彈簧彈力對系統做功，該系統機械能不守恒，故B錯誤；物體A和輕彈簧組成的系統在運動過程中，繩子拉力對系統做正功，該系統機械能不守恒，故C錯誤；物體A、物體B和輕彈簧三者組成的系統，在運動過程中，系統內只發生勢能與動能之間的相互轉化，該系統機械能守恒，故D正確。
對點練2　單物體的機械能守恒問題
3.(多選)(人教版必修第二冊教材改編題)如圖2所示，在地面上以速度v0拋出質量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上，若以地面為參考平面且不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法中正確的是(　　)
圖2
A.物體落到海平面時的重力勢能為mgh
B.物體從拋出到落到海平面的過程重力對物體做功為mgh
C.物體在海平面上的速度為
D.物體在海平面上的機械能為mv
答案　BCD
解析　物體運動過程中，機械能守恒，所以在任意一點的機械能均相等，都等于拋出時的機械能，物體在地面上的重力勢能為零，動能為mv，故整個過程中的機械能均為mv，所以物體在海平面上的機械能為mv，物體下落h，在海平面上的重力勢能為－mgh，根據機械能守恒定律可得－mgh＋mv2＝mv，所以物體在海平面上的速度為v＝，從拋出到落到海平面，重力做功為mgh，故A錯誤，B、C、D正確。
4.(2023·6月浙江選考，3)鉛球被水平推出后的運動過程中，不計空氣阻力，下列關于鉛球在空中運動時的加速度大小a、速度大小v、動能Ek和機械能E隨運動時間t的變化關系中，正確的是(　　)
答案　D
解析　鉛球在空中做平拋運動，加速度為重力加速度，恒定不變，A錯誤；鉛球的速度大小為v＝，又vy＝gt，聯立可得v＝，所以v－t圖像為曲線，B錯誤；由于不計空氣阻力，則鉛球在空中運動過程中只有重力做功，機械能守恒，E不變，D正確；由動能定理有mgh＝Ek－Ek0，又h＝gt2，聯立可得Ek＝Ek0＋mg2t2，所以Ek－t圖線為二次函數圖線，C錯誤。
5.(多選)(2024·山東日照高三期中)如圖3所示，半徑為r的豎直圓環A固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側各有一擋板固定在地面上，使木板B不能左右移動。小球C在環內側做圓周運動，小球運動至環的最高點時的速度大小為。已知A、B、C的質量均為m，不計一切摩擦，重力加速度為g。下列判斷正確的是(　　)
圖3
A.小球運動至環的最高點時對環的壓力大小為3mg
B.小球運動至環的最高點時地面對木板的支持力為零
C.小球運動至環的最低點時的速度大小為
D.小球運動至環的最低點時處于超重狀態
答案　BD
解析　小球運動至環的最高點時，由牛頓第二定律可得FN＋mg＝m，解得FN＝2mg，由牛頓第三定律可知，小球運動至環的最高點時對環的壓力大小為2mg，A錯誤；小球運動至環的最高點時，對木板受力分析可知，木板受本身重力mg和環豎直向上的拉力大小為mg，因此地面對木板的支持力為零，B正確；設小球從最高點運動至環的最低點時速度大小為v2，由機械能守恒定律有mg·2r＋mv＝mv，解得v2＝，C錯誤；小球運動至環的最低點時向心加速度指向圓心，方向向上，小球處于超重狀態，D正確。
對點練3　多物體的機械能守恒問題
6.(多選)(2024·天津寧河區模擬)如圖4所示，豎直固定的光滑細桿上穿著一個小球B，小球通過一根不可伸長的輕繩繞過輕質光滑定滑輪與質量為m的物塊A相連，用手將物塊A豎直向上托起至定滑輪左側細繩與豎直方向的夾角為θ，現突然松手，物塊A開始在豎直方向上做往復運動，小球最高能到達M點。已知定滑輪到細桿的距離為d，Q點和定滑輪的高度相同，OM⊥OP，sin θ＝0.6，重力加速度大小為g，定滑輪可看作質點，下列說法正確的是(　　)
圖4
A.當小球經過Q點時，A物塊的加速度為零
B.小球的質量為
C.小球經過Q點時的加速度大小為g
D.A和B組成的系統機械能不守恒
答案　BC
解析　小球從P到Q，物塊A從靜止運動到最低點，此時速度為零，所以物塊A先加速后減速，物塊A受到的拉力先小于重力后大于重力，當小球經過Q點時，A物塊處于最低點，此時A物塊的加速度不為零，故A錯誤；小球經過Q點時水平方向受力平衡，在豎直方向僅受到重力作用，則加速度大小為g，故C正確；A和B組成的系統只有重力做功，所以系統機械能守恒，則有mBg·＝mg，解得mB＝，故B正確，D錯誤。
7.(2024·山東青島模擬)如圖5所示，一輕桿連接兩相同的光滑小球，由傾角為75°的斜面滑下，滑到圖示位置時小球a到地面高度為L，此時桿與水平地面夾角為45°，b球速度大小為，則小球a滑到水平面上時球的速度大小為(　　)
圖5
A. B.
C.2 D.
答案　B
解析　滑到圖示位置時，兩球沿桿方向速度大小相同，則vacos 30°＝vbcos 45°，由圖示位置到a滑到水平面上過程，根據機械能守恒定律有mv＋mv＋mgL＝
(m＋m)v2，聯立解得v＝，故B正確。
B級　綜合提升練
8.(多選)(2024·重慶模擬)如圖6所示，輕彈簧一端固定于O點，另一端與質量為m的滑塊連接，在外力作用下使滑塊靜止在固定光滑斜面上的A點，此時彈簧恰好水平。將滑塊從A點由靜止釋放，沿斜面經B點運動到位于O點正下方的C點時，滑塊的速度大小為v，且彈簧恰處于原長。已知彈簧原長為L，斜面傾角θ＝37°，OB⊥AC，彈簧始終在彈性限度內，重力加速度為g，不計空氣阻力。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。從A點運動到C點的過程中(　　)
圖6
A.滑塊的加速度先減小后增大
B.滑塊在B點的速度最大
C.滑塊在A點時彈簧的彈性勢能為mv2－mgL
D.滑塊在A點時彈簧的彈性勢能大于在B點時彈簧的彈性勢能
答案　CD
解析　根據牛頓第二定律，可知滑塊的加速度先減小后增大再減小，故A錯誤；滑塊在C點的勢能最小，由機械能守恒定律可知，滑塊在C點的動能最大，則滑塊在C點的速度最大，故B錯誤；由機械能守恒定律有mv2＝mgL＋Ep，解得Ep＝mv2－mgL，故C正確；滑塊在A點時彈簧的形變量ΔxA＝L＝L，滑塊在B點時彈簧的形變量ΔxB＝L(1－cos θ)＝L，則ΔxA>ΔxB，所以滑塊在A點時彈簧的彈性勢能大于在B點時的彈性勢能，故D正確。
9.(2024·山東泰安模擬)某教師受兒童娛樂場過山車與彩色滑道項目的啟發，設計了如圖7所示的實驗裝置，豎直放置的光滑曲線軌道AM、水平軌道MN與光滑圓軌道O在M點平滑連接，在B點安裝有壓力傳感器并與計算機連接(B為圓軌道的最高點)，已知圓O的半徑為R。一質量為m的小物塊從距水平軌道高h處的A點無初速度滑下，經過圓軌道O后到達水平軌道MN，壓力傳感器顯示小物塊經過B點時對軌道的壓力大小為mg。下列說法正確的是(　　)
圖7
A.h＝3R
B.小物塊滑過M點時加速度大小a＝5.5g
C.減小h，小物塊經過M點和B點時對軌道的壓力差一定減小
D.減小h，使小物塊恰能做完整圓周運動，則經過M點時對軌道的壓力為5mg
答案　B
解析　小物塊從A點運動到B點的過程，由機械能守恒定律得mgh＝mg·2R＋mv，在B點由牛頓第二定律得mg＋FNB＝m，由牛頓第三定律知FNB＝FNB′＝mg，解得h＝2.75R，故A錯誤；小物塊從A點運動到M點的過程，由機械能守恒定律得mgh＝mv，M點由牛頓第二定律得FNM－mg＝m＝ma，解得FNM＝6.5 mg，aM＝＝5.5g，故B正確；減小h，小物塊在B點由牛頓第二定律有FNB1＋mg＝m，在M點由牛頓第二定律有FNM1－mg＝m，從B點運動到M點由機械能守恒定律有2mgR＋mv＝mv，又FB1′＝FNB1，FM1′＝FNM1，聯立解得FM1′－FB1′＝6mg，壓力差恒定不變，若小物塊恰能做完整圓周運動，在最高點對軌道的壓力為0，那么在最低點對軌道的壓力為6mg，故C、D錯誤。
10.如圖8所示，A、B兩小球由繞過輕質定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，C球放在水平地面上。現用手控制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側細線豎直、右側細線與斜面平行。已知A的質量為4m，B、C的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計。開始時整個系統處于靜止狀態；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面。求：
圖8
(1)斜面的傾角α；
(2)A球獲得的最大速度vm的大小。
答案　(1)30°　(2)2g
解析　(1)由題意可知，當A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面，A的加速度此時為零
由牛頓第二定律得4mgsin α－2mg＝0
則sin α＝，α＝30°。
(2)初始時系統靜止且細線無拉力，彈簧處于壓縮狀態，設彈簧壓縮量為Δx，對B，由平衡條件有kΔx＝mg
C球恰好離開地面時，彈簧伸長量也為Δx，故彈簧彈性勢能變化量為零
A、B、C三小球和彈簧組成的系統機械能守恒
有4mg·2Δx·sin α－mg·2Δx＝(5m)v
聯立解得vm＝2g。
11.如圖9所示，鼓形輪的半徑為R，可繞固定的光滑水平軸O轉動。在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質量為m的小球，球與O的距離均為2R。在輪上繞有長繩，繩上懸掛著質量為M的重物。重物由靜止下落，帶動鼓形輪轉動。重物落地后鼓形輪勻速轉動，轉動的角速度為ω。繩與輪之間無相對滑動，忽略鼓形輪、直桿和長繩的質量，不計空氣阻力，重力加速度為g。求：
圖9
(1)重物落地后，小球線速度的大小v；
(2)重物落地后一小球轉到水平位置A，此時該球受到桿的作用力的大小F：
(3)重物下落的高度h。
答案　(1)2ωR　(2)　(3)(ωR)2
解析　(1)線速度v＝ωr，得v＝2ωR。
(2)向心力F向＝2mω2R
設F與水平方向的夾角為α，則Fcos α＝F向，Fsin α＝mg
則F＝。
(3)落地時，重物的速度v′＝ωR，由機械能守恒定律得Mv′2＋4×mv2＝Mgh
解得h＝(ωR)2。第3講　機械能守恒定律及其應用
學習目標　1.理解重力勢能和彈性勢能，知道機械能守恒的條件。 2.會判斷研究對象在某一過程機械能是否守恒。 3.會用機械能守恒定律解決單個物體或系統的機械能守恒問題。
2.
4.
1.思考判斷
（1）重力勢能的變化量與零勢能參考面的選取無關。（　　）
（2）被舉到高處的物體重力勢能一定不為零。（　　）
（3）發生彈性形變的物體都具有彈性勢能。（　　）
（4）彈力做正功，彈性勢能一定增加。（　　）
（5）物體所受的合外力為零，物體的機械能一定守恒。（　　）
（6）物體的速度增大時，其機械能可能減小。（　　）
（7）物體除受重力外，還受其他力，但其他力不做功，則物體的機械能一定守恒。（　　）
2.如圖所示是“彈簧跳跳桿”，桿的上下兩部分通過彈簧連接。當人和跳桿從一定高度由靜止豎直下落時，彈簧先壓縮后彈起。則人從靜止豎直下落到最低點的過程中（　　）
A.彈簧彈性勢能一直增加
B.桿下端剛觸地時人的動能最大
C.人的重力勢能一直減小
D.人的機械能保持不變
考點一　機械能守恒的理解與判斷
例1 （多選）在如圖1所示的物理過程示意圖中，甲圖中一端固定有小球的輕桿從右偏上30°角釋放后繞光滑支點擺動；乙圖中輕繩一端連著一小球，從右偏上30°角處自由釋放；丙圖中物體A正在壓縮彈簧；丁圖中不計任何阻力和定滑輪質量，A加速下落，B加速上升。關于這幾個物理過程（空氣阻力忽略不計），下列判斷中正確的是（　　）
圖1
A.甲圖中小球機械能守恒
B.乙圖中小球機械能守恒
C.丙圖中物體A的機械能守恒
D.丁圖中A、B組成的系統機械能守恒
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
方法點撥　判斷機械能守恒的三種方法
1.（2023·全國甲卷，14）一同學將鉛球水平推出，不計空氣阻力和轉動的影響，鉛球在平拋運動過程中（　　）
A.機械能一直增加
B.加速度保持不變
C.速度大小保持不變
D.被推出后瞬間動能最大
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.（多選）如圖2所示，將一個內外側均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側有一固定的豎直墻壁（不與槽粘連）。現讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內，則下列說法正確的是（　　）
圖2
A.小球在半圓形槽內運動的全過程中，只有重力對它做功
B.小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒
C.小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統機械能守恒
D.小球從下落到從右側離開半圓形槽的過程中，小球的機械能守恒
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考點二　單物體的機械能守恒問題
1.表達式
2.一般步驟
例2 （2022·全國乙卷，16）如圖3，固定于豎直平面內的光滑大圓環上套有一個小環，小環從大圓環頂端P點由靜止開始自由下滑，在下滑過程中，小環的速率正比于（　　）
圖3
A.它滑過的弧長
B.它下降的高度
C.它到P點的距離
D.它與P點的連線掃過的面積
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.（2024·江西名校聯考）一滑雪坡由AB和BC組成，AB為斜坡，BC是圓弧，C端水平。如圖4所示，運動員連同滑雪裝備的總質量m＝75 kg，從A點由靜止滑下，通過C點時速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C兩點的高度差h1＝9.8 m，豎直臺階CD的高度h2＝5 m。取地面為參考平面，重力加速度大小g＝10 m/s2，不計空氣阻力，則運動員（含裝備）落地前瞬間的機械能為（　　）
圖4
A.11 100 J B.9 150 J
C.7 350 J D.5 400 J
考點三　多物體的機械能守恒問題
1.解決多物體系統機械能守恒的注意點
（1）要注意判斷物體運動過程中系統的機械能是否守恒。
（2）注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。
（3）列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
2.常見的三種模型
模型　輕繩連接的物體系統機械能守恒
常見 情景
三點 提醒 ①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。 ②用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。 ③對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統，機械能則可能守恒。
例3 如圖5所示，固定的水平長桿上套有質量為m的小物塊A，跨過輕質定滑輪（可視為質點O）的細線一端連接A，另一端懸掛質量為m的小物塊B（B靠近定滑輪），滑輪到桿的距離OC＝h，開始時A位于P點，PO與水平方向的夾角為30°，重力加速度為g，不計一切摩擦。現將A、B由靜止釋放，則當AO間的細線與水平方向的夾角為60°時，小物塊B的速度大小為（　　）
圖5
A. B.
C. D.
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
模型　輕桿連接的物體系統機械能守恒
常見 情景
模型 特點 ①平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等。 ②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。 ③對于桿和球組成的系統，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功，則系統機械能守恒。
例4 如圖6所示，豎直平面內固定兩根足夠長的細桿L1、L2，兩桿不接觸，且兩桿間的距離忽略不計。兩個小球a、b（視為質點）質量均為m，a球套在豎直桿L1上，b球套在水平桿L2上，a、b通過鉸鏈用長度為l的剛性輕桿L連接。將a球從圖示位置（輕桿與L2桿夾角為45°）由靜止釋放，不計一切摩擦，已知重力加速度為g。在此后的運動過程中，下列說法中正確的是（　　）
圖6
A.a球和b球所組成的系統機械能不守恒
B.b球的速度為零時，a球的加速度大小為零
C.b球的最大速度為
D.a球的最大速度為
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
模型　輕彈簧連接的物體系統機械能守恒
模型 特點 由輕彈簧連接的物體系統，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化，而總的機械能守恒。
兩點 提醒 ①對同一彈簧，彈性勢能的大小完全由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。 ②彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長（或壓縮至最短）時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。
例5 （2023·全國甲卷，24）如圖7，光滑水平桌面上有一輕質彈簧，其一端固定在墻上。用質量為m的小球壓彈簧的另一端，使彈簧的彈性勢能為Ep。釋放后，小球在彈簧作用下從靜止開始在桌面上運動，與彈簧分離后，從桌面水平飛出。小球與水平地面碰撞后瞬間，其平行于地面的速度分量與碰撞前瞬間相等；垂直于地面的速度分量大小變為碰撞前瞬間的。小球與地面碰撞后，彈起的最大高度為h，重力加速度大小為g，忽略空氣阻力。求：
圖7
（1）小球離開桌面時的速度大小；
（2）小球第一次落地點距桌面上其飛出點的水平距離。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.（2024·江蘇揚州模擬）如圖8所示，在一直立的光滑管內放置一輕質彈簧，上端O點與管口A的距離為2x0，一質量為m的小球從管口由靜止下落，將彈簧壓縮至最低點B，壓縮量為x0，不計空氣阻力，則（　　）
圖8
A.彈簧的最大彈性勢能為3mgx0
B.小球運動的最大速度等于2
C.彈簧的勁度系數為
D.小球運動中最大加速度為g　　　　　第3練　機械能守恒定律及其應用
A級　基礎對點練
對點練1　機械能守恒定律的理解與判斷
1.下列物體運動過程中，機械能守恒(或不變)的是(　　)
A.樹葉在空中飄落
B.小球在水平桌面做勻速圓周運動
C.汽車制動后在公路上行駛
D.潛水員在水中勻速下沉
2.(2024·河南許昌高三期末)如圖1所示，一輕質彈簧，下端與固定光滑斜面的底端相連，上端與斜面上的物體A相連，A處于靜止狀態。一條不可伸長的輕繩繞過光滑輕質定滑輪，一端連接物體A，另一端連一輕鉤。開始時各段繩子都處于伸直狀態，A上方的一段繩子與斜面平行。現在掛鉤上掛一物體B并從靜止狀態釋放，則在物體B向下運動的過程中(物體A不會和滑輪相碰，物體B不會和地面相碰)，下列說法正確的是(　　)
圖1
A.物體B機械能守恒
B.物體A和B組成的系統機械能守恒
C.物體A和輕彈簧組成的系統機械能守恒
D.物體A、物體B和輕彈簧三者組成的系統機械能守恒
對點練2　單物體的機械能守恒問題
3.(多選)(人教版必修第二冊教材改編題)如圖2所示，在地面上以速度v0拋出質量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上，若以地面為參考平面且不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法中正確的是(　　)
圖2
A.物體落到海平面時的重力勢能為mgh
B.物體從拋出到落到海平面的過程重力對物體做功為mgh
C.物體在海平面上的速度為
D.物體在海平面上的機械能為mv
4.(2023·6月浙江選考，3)鉛球被水平推出后的運動過程中，不計空氣阻力，下列關于鉛球在空中運動時的加速度大小a、速度大小v、動能Ek和機械能E隨運動時間t的變化關系中，正確的是(　　)
5.(多選)(2024·山東日照高三期中)如圖3所示，半徑為r的豎直圓環A固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側各有一擋板固定在地面上，使木板B不能左右移動。小球C在環內側做圓周運動，小球運動至環的最高點時的速度大小為。已知A、B、C的質量均為m，不計一切摩擦，重力加速度為g。下列判斷正確的是(　　)
圖3
A.小球運動至環的最高點時對環的壓力大小為3mg
B.小球運動至環的最高點時地面對木板的支持力為零
C.小球運動至環的最低點時的速度大小為
D.小球運動至環的最低點時處于超重狀態
對點練3　多物體的機械能守恒問題
6.(多選)(2024·天津寧河區模擬)如圖4所示，豎直固定的光滑細桿上穿著一個小球B，小球通過一根不可伸長的輕繩繞過輕質光滑定滑輪與質量為m的物塊A相連，用手將物塊A豎直向上托起至定滑輪左側細繩與豎直方向的夾角為θ，現突然松手，物塊A開始在豎直方向上做往復運動，小球最高能到達M點。已知定滑輪到細桿的距離為d，Q點和定滑輪的高度相同，OM⊥OP，sin θ＝0.6，重力加速度大小為g，定滑輪可看作質點，下列說法正確的是(　　)
圖4
A.當小球經過Q點時，A物塊的加速度為零
B.小球的質量為
C.小球經過Q點時的加速度大小為g
D.A和B組成的系統機械能不守恒
7.(2024·山東青島模擬)如圖5所示，一輕桿連接兩相同的光滑小球，由傾角為75°的斜面滑下，滑到圖示位置時小球a到地面高度為L，此時桿與水平地面夾角為45°，b球速度大小為，則小球a滑到水平面上時球的速度大小為(　　)
圖5
A. B.
C.2 D.
B級　綜合提升練
8.(多選)(2024·重慶模擬)如圖6所示，輕彈簧一端固定于O點，另一端與質量為m的滑塊連接，在外力作用下使滑塊靜止在固定光滑斜面上的A點，此時彈簧恰好水平。將滑塊從A點由靜止釋放，沿斜面經B點運動到位于O點正下方的C點時，滑塊的速度大小為v，且彈簧恰處于原長。已知彈簧原長為L，斜面傾角θ＝37°，OB⊥AC，彈簧始終在彈性限度內，重力加速度為g，不計空氣阻力。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。從A點運動到C點的過程中(　　)
圖6
A.滑塊的加速度先減小后增大
B.滑塊在B點的速度最大
C.滑塊在A點時彈簧的彈性勢能為mv2－mgL
D.滑塊在A點時彈簧的彈性勢能大于在B點時彈簧的彈性勢能
9.(2024·山東泰安模擬)某教師受兒童娛樂場過山車與彩色滑道項目的啟發，設計了如圖7所示的實驗裝置，豎直放置的光滑曲線軌道AM、水平軌道MN與光滑圓軌道O在M點平滑連接，在B點安裝有壓力傳感器并與計算機連接(B為圓軌道的最高點)，已知圓O的半徑為R。一質量為m的小物塊從距水平軌道高h處的A點無初速度滑下，經過圓軌道O后到達水平軌道MN，壓力傳感器顯示小物塊經過B點時對軌道的壓力大小為mg。下列說法正確的是(　　)
圖7
A.h＝3R
B.小物塊滑過M點時加速度大小a＝5.5g
C.減小h，小物塊經過M點和B點時對軌道的壓力差一定減小
D.減小h，使小物塊恰能做完整圓周運動，則經過M點時對軌道的壓力為5mg
10.如圖8所示，A、B兩小球由繞過輕質定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，C球放在水平地面上。現用手控制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側細線豎直、右側細線與斜面平行。已知A的質量為4m，B、C的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計。開始時整個系統處于靜止狀態；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面。求：
圖8
(1)斜面的傾角α；
(2)A球獲得的最大速度vm的大小。
11.如圖9所示，鼓形輪的半徑為R，可繞固定的光滑水平軸O轉動。在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質量為m的小球，球與O的距離均為2R。在輪上繞有長繩，繩上懸掛著質量為M的重物。重物由靜止下落，帶動鼓形輪轉動。重物落地后鼓形輪勻速轉動，轉動的角速度為ω。繩與輪之間無相對滑動，忽略鼓形輪、直桿和長繩的質量，不計空氣阻力，重力加速度為g。求：
圖9
(1)重物落地后，小球線速度的大小v；
(2)重物落地后一小球轉到水平位置A，此時該球受到桿的作用力的大小F：
(3)重物下落的高度h。
第3練　機械能守恒定律及其應用
1.B　[樹葉在空中飄落，不能忽略空氣阻力，阻力做負功，機械能不守恒，故A錯誤；小球在水平桌面做勻速圓周運動，合力指向圓心不做功，機械能不變，故B正確；汽車制動后在公路上行駛，阻力做負功，機械能不守恒，故C錯誤；潛水員在水中勻速下沉，浮力做負功，機械能不守恒，故D錯誤。]
2.D　[物體B在下落的過程中，繩子的拉力對其做負功，機械能不守恒，故A錯誤；物體A和B組成的系統在運動過程中，彈簧彈力對系統做功，該系統機械能不守恒，故B錯誤；物體A和輕彈簧組成的系統在運動過程中，繩子拉力對系統做正功，該系統機械能不守恒，故C錯誤；物體A、物體B和輕彈簧三者組成的系統，在運動過程中，系統內只發生勢能與動能之間的相互轉化，該系統機械能守恒，故D正確。]
3.BCD　[物體運動過程中，機械能守恒，所以在任意一點的機械能均相等，都等于拋出時的機械能，物體在地面上的重力勢能為零，動能為mv，故整個過程中的機械能均為mv，所以物體在海平面上的機械能為mv，物體下落h，在海平面上的重力勢能為－mgh，根據機械能守恒定律可得－mgh＋mv2＝mv，所以物體在海平面上的速度為v＝，從拋出到落到海平面，重力做功為mgh，故A錯誤，B、C、D正確。]
4.D　[鉛球在空中做平拋運動，加速度為重力加速度，恒定不變，A錯誤；鉛球的速度大小為v＝，又vy＝gt，聯立可得v＝，所以v－t圖像為曲線，B錯誤；由于不計空氣阻力，則鉛球在空中運動過程中只有重力做功，機械能守恒，E不變，D正確；由動能定理有mgh＝Ek－Ek0，又h＝gt2，聯立可得Ek＝Ek0＋mg2t2，所以Ek－t圖線為二次函數圖線，C錯誤。]
5.BD　[小球運動至環的最高點時，由牛頓第二定律可得FN＋mg＝m，解得FN＝2mg，由牛頓第三定律可知，小球運動至環的最高點時對環的壓力大小為2mg，A錯誤；小球運動至環的最高點時，對木板受力分析可知，木板受本身重力mg和環豎直向上的拉力大小為mg，因此地面對木板的支持力為零，B正確；設小球從最高點運動至環的最低點時速度大小為v2，由機械能守恒定律有mg·2r＋mv＝mv，解得v2＝，C錯誤；小球運動至環的最低點時向心加速度指向圓心，方向向上，小球處于超重狀態，D正確。]
6.BC　[小球從P到Q，物塊A從靜止運動到最低點，此時速度為零，所以物塊A先加速后減速，物塊A受到的拉力先小于重力后大于重力，當小球經過Q點時，A物塊處于最低點，此時A物塊的加速度不為零，故A錯誤；小球經過Q點時水平方向受力平衡，在豎直方向僅受到重力作用，則加速度大小為g，故C正確；A和B組成的系統只有重力做功，所以系統機械能守恒，則有mBg·＝mg，解得mB＝，故B正確，D錯誤。]
7.B　[滑到圖示位置時，兩球沿桿方向速度大小相同，則vacos 30°＝vbcos 45°，由圖示位置到a滑到水平面上過程，根據機械能守恒定律有mv＋mv＋mgL＝(m＋m)v2，聯立解得v＝，故B正確。]
8.CD　[根據牛頓第二定律，可知滑塊的加速度先減小后增大再減小，故A錯誤；滑塊在C點的勢能最小，由機械能守恒定律可知，滑塊在C點的動能最大，則滑塊在C點的速度最大，故B錯誤；由機械能守恒定律有mv2＝mgL＋Ep，解得Ep＝mv2－mgL，故C正確；滑塊在A點時彈簧的形變量ΔxA＝L＝L，滑塊在B點時彈簧的形變量ΔxB＝L(1－cos θ)＝L，則ΔxA>ΔxB，所以滑塊在A點時彈簧的彈性勢能大于在B點時的彈性勢能，故D正確。]
9.B　[小物塊從A點運動到B點的過程，由機械能守恒定律得mgh＝mg·2R＋mv，在B點由牛頓第二定律得mg＋FNB＝m，由牛頓第三定律知FNB＝FNB′＝mg，解得h＝2.75R，故A錯誤；小物塊從A點運動到M點的過程，由機械能守恒定律得mgh＝mv，M點由牛頓第二定律得FNM－mg＝m＝ma，解得FNM＝6.5 mg，aM＝＝5.5g，故B正確；減小h，小物塊在B點由牛頓第二定律有FNB1＋mg＝m，在M點由牛頓第二定律有FNM1－mg＝m，從B點運動到M點由機械能守恒定律有2mgR＋mv＝mv，又FB1′＝FNB1，FM1′＝FNM1，聯立解得FM1′－FB1′＝6mg，壓力差恒定不變，若小物塊恰能做完整圓周運動，在最高點對軌道的壓力為0，那么在最低點對軌道的壓力為6mg，故C、D錯誤。]
10.(1)30°　(2)2g
解析　(1)由題意可知，當A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面，A的加速度此時為零
由牛頓第二定律得4mgsin α－2mg＝0
則sin α＝，α＝30°。
(2)初始時系統靜止且細線無拉力，彈簧處于壓縮狀態，設彈簧壓縮量為Δx，對B，由平衡條件有kΔx＝mg
C球恰好離開地面時，彈簧伸長量也為Δx，故彈簧彈性勢能變化量為零
A、B、C三小球和彈簧組成的系統機械能守恒
有4mg·2Δx·sin α－mg·2Δx＝(5m)v
聯立解得vm＝2g。
11.(1)2ωR　(2)　(3)(ωR)2
解析　(1)線速度v＝ωr，得v＝2ωR。
(2)向心力F向＝2mω2R
設F與水平方向的夾角為α，則Fcos α＝F向，Fsin α＝mg
則F＝。
(3)落地時，重物的速度v′＝ωR，由機械能守恒定律得
Mv′2＋4×mv2＝Mgh
解得h＝(ωR)2。(共60張PPT)
第3講　機械能守恒定律及其應用
第五章　機械能守恒定律
理解重力勢能和彈性勢能，知道機械能守恒的條件。
會判斷研究對象在某一過程機械能是否守恒。
會用機械能守恒定律解決單個物體或系統的機械能守恒問題。
學習目標
目 錄
CONTENTS
夯實必備知識
01
研透核心考點
02
提升素養能力
03
夯實必備知識
1
機械能
mgh
地球
有關
無關
減小
增大
減小
彈性形變
減少
增加
動能
勢能
保持不變
不做功
為零
1.思考判斷
(1)重力勢能的變化量與零勢能參考面的選取無關。( )
(2)被舉到高處的物體重力勢能一定不為零。( )
(3)發生彈性形變的物體都具有彈性勢能。( )
(4)彈力做正功，彈性勢能一定增加。( )
(5)物體所受的合外力為零，物體的機械能一定守恒。( )
(6)物體的速度增大時，其機械能可能減小。( )
(7)物體除受重力外，還受其他力，但其他力不做功，則物體的機械能一定守恒。( )
√
×
√
×
×
√
√
2.如圖所示是“彈簧跳跳桿”，桿的上下兩部分通過彈簧連接。當人和跳桿從一定高度由靜止豎直下落時，彈簧先壓縮后彈起。則人從靜止豎直下落到最低點的過程中(　　)
C
A.彈簧彈性勢能一直增加
B.桿下端剛觸地時人的動能最大
C.人的重力勢能一直減小
D.人的機械能保持不變
研透核心考點
2
考點二　單物體的機械能守恒問題
考點一　機械能守恒的理解與判斷
考點三　多物體的機械能守恒問題
例1 (多選)在如圖1所示的物理過程示意圖中，甲圖中一端固定有小球的輕桿從右偏上30°角釋放后繞光滑支點擺動；乙圖中輕繩一端連著一小球，從右偏上30°角處自由釋放；丙圖中物體A正在壓縮彈簧；丁圖中不計任何阻力和定滑輪質量，A加速下落，B加速上升。關于這幾個物理過程(空氣阻力忽略不計)，下列判斷中正確的是(　　)
考點一　機械能守恒的理解與判斷
圖1
A.甲圖中小球機械能守恒
B.乙圖中小球機械能守恒
C.丙圖中物體A的機械能守恒
D.丁圖中A、B組成的系統機械能守恒
AD
解析　甲圖過程中輕桿對小球不做功，只有重力做功，小球的機械能守恒，故A正確；乙圖過程中小球在繩子繃緊的瞬間有動能損失，機械能不守恒，故B錯誤；丙圖中重力和系統內彈力做功，物體A和彈簧組成的系統機械能守恒，但物體A的機械能不守恒，故C錯誤；丁圖中繩子張力對A做負功，對B做正功，代數和為零，A、B組成的系統機械能守恒，故D正確。
方法點撥　判斷機械能守恒的三種方法
B
1.(2023·全國甲卷，14)一同學將鉛球水平推出，不計空氣阻力和轉動的影響，鉛球在平拋運動過程中(　　)
A.機械能一直增加 B.加速度保持不變
C.速度大小保持不變 D.被推出后瞬間動能最大
解析　鉛球水平拋出，只受重力作用，加速度始終為重力加速度g，機械能守恒，A錯誤，B正確；平拋運動過程中，鉛球的水平方向分速度保持不變，豎直方向分速度變大，則鉛球運動過程中速度一直增大，動能也一直增大，C、D錯誤。
2.(多選)如圖2所示，將一個內外側均光滑的半圓形槽置于光滑的水平面上，槽的左側有一固定的豎直墻壁(不與槽粘連)。現讓一小球自左端槽口A點的正上方由靜止開始下落，從A點與半圓形槽相切進入槽內，則下列說法正確的是(　　)
圖2
A.小球在半圓形槽內運動的全過程中，只有重力對它做功
B.小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，小球的機械能守恒
C.小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統機械能守恒
D.小球從下落到從右側離開半圓形槽的過程中，小球的機械能守恒
BC
解析　小球從半圓形槽的最低點運動到半圓形槽右側的過程中，小球對半圓形槽的力使半圓形槽向右運動，半圓形槽對小球的支持力對小球做負功，小球的機械能不守恒，A、D錯誤；小球從A點向半圓形槽的最低點運動的過程中，半圓形槽靜止，則只有重力做功，小球的機械能守恒，B正確；小球從A點經最低點向右側最高點運動的過程中，小球與半圓形槽組成的系統只有重力做功，機械能守恒，C正確。
1.表達式
考點二　單物體的機械能守恒問題
2.一般步驟
C
A.它滑過的弧長 B.它下降的高度
C.它到P點的距離 D.它與P點的連線掃過的面積
例2 (2022·全國乙卷，16)如圖3，固定于豎直平面內的光滑大圓環上套有一個小環，小環從大圓環頂端P點由靜止開始自由下滑，在下滑過程中，小環的速率正比于(　　)
圖3
由幾何關系可得h＝Lsin θ
B
3.(2024·江西名校聯考)一滑雪坡由AB和BC組成，AB為斜坡，BC是圓弧，C端水平。如圖4所示，運動員連同滑雪裝備的總質量m＝75 kg，從A點由靜止滑下，通過C點時速度大小v＝12 m/s，之后落到水平地面DE上。A、C兩點的高度差h1＝9.8 m，豎直臺階CD的高度h2＝5 m。取地面為參考平面，重力加速度大小g＝10 m/s2，不計空氣阻力，則運動員(含裝備)落地前瞬間的機械能為(　　)
圖4
A.11 100 J B.9 150 J C.7 350 J D.5 400 J
1.解決多物體系統機械能守恒的注意點
(1)要注意判斷物體運動過程中系統的機械能是否守恒。
(2)注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關系和位移關系。
(3)列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。
考點三　多物體的機械能守恒問題
2.常見的三種模型
模型　　輕繩連接的物體系統機械能守恒
常見 情景
三點 提醒 ①分清兩物體是速度大小相等，還是沿繩方向的分速度大小相等。
②用好兩物體的位移大小關系或豎直方向高度變化的關系。
③對于單個物體，一般繩上的力要做功，機械能不守恒；但對于繩連接的系統，機械能則可能守恒。
圖5
D
模型　　輕桿連接的物體系統機械能守恒
常見 情景
模型 特點 ①平動時兩物體線速度相等，轉動時兩物體角速度相等。
②桿對物體的作用力并不總是沿桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒。
③對于桿和球組成的系統，忽略空氣阻力和各種摩擦且沒有其他力對系統做功，則系統機械能守恒。
C
例4 如圖6所示，豎直平面內固定兩根足夠長的細桿L1、L2，兩桿不接觸，且兩桿間的距離忽略不計。兩個小球a、b(視為質點)質量均為m，a球套在豎直桿L1上，b球套在水平桿L2上，a、b通過鉸鏈用長度為l的剛性輕桿L連接。將a球從圖示位置(輕桿與L2桿夾角為45°)由靜止釋放，不計一切摩擦，已知重力加速度為g。在此后的運動過程中，下列說法中正確的是(　　)
圖6
A.a球和b球所組成的系統機械能不守恒
B.b球的速度為零時，a球的加速度大小為零
解析　對于a球和b球組成的系統，除重力外沒有其他力做功，因此a球和b球所組成的系統機械能守恒，A錯誤；設輕桿L和水平桿L2的夾角為θ，由于兩球沿桿方向的分速度大小相等，故vbcos θ＝vasin θ，可得vb＝vatan θ，當b球的速度為零時，輕桿L處于水平位置且與桿L2平行，則此時a球在堅直方向上只受到重力，因此a球的加速度
模型　　輕彈簧連接的物體系統機械能守恒
模型 特點 由輕彈簧連接的物體系統，一般既有重力做功又有彈簧彈力做功，這時系統內物體的動能、重力勢能和彈簧的彈性勢能相互轉化，而總的機械能守恒。
兩點 提醒 ①對同一彈簧，彈性勢能的大小完全由彈簧的形變量決定，無論彈簧伸長還是壓縮。
②彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(或壓縮至最短)時，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢能最大。
例5 (2023·全國甲卷，24)如圖7，光滑水平桌面上有一輕質彈簧，其一端固定在墻上。用質量為m的小球壓彈簧的另一端，使彈簧的彈性勢能為Ep。釋放后，小球在彈簧作用下從靜止開始在桌面上運動，與彈簧分離后，從桌面水平飛出。小球與水平地面碰撞后瞬間，其平行于地面的速度分量與碰撞前瞬間相等；垂
圖7
(2)小球第一次落地點距桌面上其飛出點的水平距離。
小球從桌面水平飛出后，做平拋運動的過程中，有vy＝gt
其水平位移x＝v0t
A
4.(2024·江蘇揚州模擬)如圖8所示，在一直立的光滑管內放置一輕質彈簧，上端O點與管口A的距離為2x0，一質量為m的小球從管口由靜止下落，將彈簧壓縮至最低點B，壓縮量為x0，不計空氣阻力，則(　　)
圖8
提升素養能力
3
B
對點練1　機械能守恒定律的理解與判斷
1.下列物體運動過程中，機械能守恒(或不變)的是(　　)
A.樹葉在空中飄落 B.小球在水平桌面做勻速圓周運動
C.汽車制動后在公路上行駛 D.潛水員在水中勻速下沉
A級　基礎對點練
解析　樹葉在空中飄落，不能忽略空氣阻力，阻力做負功，機械能不守恒，故A錯誤；小球在水平桌面做勻速圓周運動，合力指向圓心不做功，機械能不變，故B正確；汽車制動后在公路上行駛，阻力做負功，機械能不守恒，故C錯誤；潛水員在水中勻速下沉，浮力做負功，機械能不守恒，故D錯誤。
D
2.(2024·河南許昌高三期末)如圖1所示，一輕質彈簧，下端與固定光滑斜面的底端相連，上端與斜面上的物體A相連，A處于靜止狀態。一條不可伸長的輕繩繞過光滑輕質定滑輪，一端連接物體A，另一端連一輕鉤。開始時各段繩子都處于伸直狀態，A上方的一段繩子與斜面平行。現在掛鉤上掛一物體B并從靜止狀態釋放，則在物體B向下運動的過程中(物體A不會和滑輪相碰，物體B不會和地面相碰)，下列說法正確的是(　　)
圖1
A.物體B機械能守恒
B.物體A和B組成的系統機械能守恒
C.物體A和輕彈簧組成的系統機械能守恒
D.物體A、物體B和輕彈簧三者組成的系統機械能守恒
解析　物體B在下落的過程中，繩子的拉力對其做負功，機械能不守恒，故A錯誤；物體A和B組成的系統在運動過程中，彈簧彈力對系統做功，該系統機械能不守恒，故B錯誤；物體A和輕彈簧組成的系統在運動過程中，繩子拉力對系統做正功，該系統機械能不守恒，故C錯誤；物體A、物體B和輕彈簧三者組成的系統，在運動過程中，系統內只發生勢能與動能之間的相互轉化，該系統機械能守恒，故D正確。
BCD
對點練2　單物體的機械能守恒問題
3.(多選)(人教版必修第二冊教材改編題)如圖2所示，在地面上以速度v0拋出質量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上，若以地面為參考平面且不計空氣阻力，重力加速度為g，則下列說法中正確的是(　 　)
圖2
A.物體落到海平面時的重力勢能為mgh
B.物體從拋出到落到海平面的過程重力對物體做功為mgh
D
4.(2023·6月浙江選考，3)鉛球被水平推出后的運動過程中，不計空氣阻力，下列關于鉛球在空中運動時的加速度大小a、速度大小v、動能Ek和機械能E隨運動時間t的變化關系中，正確的是(　　)
BD
5.(多選)(2024·山東日照高三期中)如圖3所示，半徑為r的豎直圓環A固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側各有一擋板固定在地面上，使木板B不能左右移動。小球C在環內側做圓周運動，小球運動至環的最高點時的速度
圖3
A.小球運動至環的最高點時對環的壓力大小為3mg
B.小球運動至環的最高點時地面對木板的支持力為零
D.小球運動至環的最低點時處于超重狀態
BC
對點練3　多物體的機械能守恒問題
6.(多選)(2024·天津寧河區模擬)如圖4所示，豎直固定的光滑細桿上穿著一個小球B，小球通過一根不可伸長的輕繩繞過輕質光滑定滑輪與質量為m的物塊A相連，用手將物塊A豎直向上托起至定滑輪左側細繩與豎直方向的夾角為θ，現突然松手，物塊A開始在豎直方向上做往復運動，小球最高能到達M點。已知定滑輪到細桿的距離為d，Q點和定滑輪的高度相同，OM⊥OP，sin θ＝0.6，重力加速度大小為g，定滑輪可看作質點，下列說法正確的是(　　)
圖4
A.當小球經過Q點時，A物塊的加速度為零
C.小球經過Q點時的加速度大小為g
D.A和B組成的系統機械能不守恒
B
圖5
CD
8.(多選)(2024·重慶模擬)如圖6所示，輕彈簧一端固定于O點，另一端與質量為m的滑塊連接，在外力作用下使滑塊靜止在固定光滑斜面上的A點，此時彈簧恰好水平。將滑塊從A點由靜止釋放，沿斜面經B點運動到位于O點正下方的C點時，滑塊的速度大小為v，且彈簧恰處于原長。已知彈簧原長為L，斜面傾角θ＝37°，OB⊥AC，彈簧始終在彈性限度內，重力加速度為g，不計空氣阻力。sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。從A點運動到C點的過程中(　　)
圖6
B級　綜合提升練
A.滑塊的加速度先減小后增大
B.滑塊在B點的速度最大
D.滑塊在A點時彈簧的彈性勢能大于在B點時彈簧的彈性勢能
解析　根據牛頓第二定律，可知滑塊的加速度先減小后增大再減小，故A錯誤；滑塊在C點的勢能最小，由機械能守恒定律可知，滑塊在C點的動能最大，則滑塊在C點的速度最大，故B錯誤；
B
9.(2024·山東泰安模擬)某教師受兒童娛樂場過山車與彩色滑道項目的啟發，設計了如圖7所示的實驗裝置，豎直放置的光滑曲線軌道AM、水平軌道MN與光滑圓軌道O在M點平滑連接，在B點安裝有壓力傳感器并與計算機連接(B為圓軌道的最高點)，已知圓O的半徑為R。一質量為m的小物塊從距水平軌道高h處的A點無初速度滑下，經過圓軌道O后到達水平軌道MN，壓力傳感器
圖7
A.h＝3R
B.小物塊滑過M點時加速度大小a＝5.5g
C.減小h，小物塊經過M點和B點時對軌道的壓力差一定減小
D.減小h，使小物塊恰能做完整圓周運動，則經過M點時對軌道的壓力為5mg
聯立解得FM1′－FB1′＝6mg，壓力差恒定不變，若小物塊恰能做完整圓周運動，在最高點對軌道的壓力為0，那么在最低點對軌道的壓力為6mg，故C、D錯誤。
10.如圖8所示，A、B兩小球由繞過輕質定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，B、C兩小球在豎直方向上通過勁度系數為k的輕質彈簧相連，C球放在水平地面上。現用手控制住A，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，并保證滑輪左側細線豎直、右側細線與斜面平行。已知A的質量為4m，B、C的質量均為m，重力加速度為g，細線與滑輪之間的摩擦不計。開始時整個系統處于靜止狀態；釋放A后，A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好離開地面。求：
圖8
(1)斜面的傾角α；
(2)A球獲得的最大速度vm的大小。
解析　(1)由題意可知，當A沿斜面下滑至速度最大時，C恰好
離開地面，A的加速度此時為零
由牛頓第二定律得4mgsin α－2mg＝0
(2)初始時系統靜止且細線無拉力，彈簧處于壓縮狀態，設彈簧壓縮量為Δx，對B，由平衡條件有kΔx＝mg
C球恰好離開地面時，彈簧伸長量也為Δx，故彈簧彈性勢能變化量為零
A、B、C三小球和彈簧組成的系統機械能守恒
11.如圖9所示，鼓形輪的半徑為R，可繞固定的光滑水平軸O轉動。在輪上沿相互垂直的直徑方向固定四根直桿，桿上分別固定有質量為m的小球，球與O的距離均為2R。在輪上繞有長繩，繩上懸掛著質量為M的重物。重物由靜止下落，帶動鼓形輪轉動。重物落地后鼓形輪勻速轉動，轉動的角速度為ω。繩與輪之間無相對滑動，忽略鼓形輪、直桿和長繩的質量，不計空氣阻力，重力加速度為g。求：
圖9
(1)重物落地后，小球線速度的大小v；
(2)重物落地后一小球轉到水平位置A，此時該球受到桿的作用力的大小F：
(3)重物下落的高度h。
解析　(1)線速度v＝ωr，得v＝2ωR。
(2)向心力F向＝2mω2R
設F與水平方向的夾角為α，則Fcos α＝F向，Fsin α＝mg
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