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碰撞中的臨界問題及多次碰撞問題
一、碰撞中的臨界極值問題
碰撞中的臨界極值問題，指的是相互作用中的物體“恰好不相撞”“相距最近”“相距最遠”或“恰上升到最高點”等，求解的關鍵是速度相等。常見類型有
(1)當小物塊到達最高點時，兩物體速度相同。
(2)彈簧最短或最長時，兩物體速度相同，此時彈簧彈性勢能最大。
(3)兩物體剛好不相撞，兩物體速度相同。
(4)滑塊恰好不滑出長木板，滑塊滑到長木板末端時與長木板速度相同。
例1 如圖1，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時刻小孩將冰塊以相對冰面3 m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h＝0.3 m(h小于斜面體的高度)。已知小孩與滑板的總質量為m1＝30 kg，冰塊的質量為m2＝10 kg，小孩與滑板始終無相對運動。重力加速度的大小取g＝10 m/s2。
圖1
(1)求斜面體的質量；
(2)通過計算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？
答案　(1)20 kg　(2)不能，理由見解析
解析　(1)規定向左為正方向。冰塊在斜面體上上升到最大高度時兩者達到共同速度，設此共同速度為v，斜面體的質量為m3。對冰塊與斜面體分析，由水平方向動量守恒和機械能守恒得m2v0＝(m2＋m3)v
m2v＝(m2＋m3)v2＋m2gh
式中v0＝3 m/s為冰塊推出時的速度，聯立并代入題給數據得v＝1 m/s，m3＝20 kg。
(2)設小孩推出冰塊后的速度為v1，對小孩與冰塊分析，由動量守恒定律有
m1v1＋m2v0＝0
代入數據得v1＝－1 m/s
設冰塊與斜面體分離后的速度分別為v2和v3，對冰塊與斜面體分析，由動量守恒定律和機械能守恒定律有m2v0＝m2v2＋m3v3
m2v＝m2v＋m3v
聯立并代入數據得v2＝－1 m/s
由于冰塊與斜面體分離后的速度與小孩推出冰塊后的速度相同且冰塊處在小孩后方，故冰塊不能追上小孩。
1.(多選)(2024·遼寧大連模擬)如圖2所示，甲和他的冰車總質量M＝30 kg，甲推著質量m＝15 kg的小木箱一起以速度v0＝2 m/s向右滑行，乙和他的冰車總質量也為M＝30 kg，乙以同樣大小的速度迎面而來。為了避免相撞，甲將小木箱以速度v沿冰面推出，木箱滑到乙處時乙迅速把它抓住。若不計冰面的摩擦力，則小木箱的速度v可能為(　　)
圖2
A.4 m/s B.5 m/s
C.6 m/s D.7 m/s
答案　CD
解析　對于甲和箱子根據動量守恒定律得(M＋m)v0＝Mv1＋mv，對于乙和箱子根據動量守恒定律得mv－Mv0＝(M＋m)v2，甲、乙恰好不相碰，有v1＝v2，聯立解得v＝5.2 m/s，若要避免碰撞，則需要滿足v≥5.2 m/s，故C、D正確，A、B錯誤。
二、多次碰撞問題
多次碰撞問題的處理方法是數學歸納法，先利用所學知識把前幾次碰撞過程理順、分析透徹。根據前幾次數據利用數學歸納法，可寫出之后碰撞過程中對應規律或結果，然后可以計算全程的路程或發生碰撞的總次數等數據。多次碰撞問題涉及的主要模型有：1.兩個物體之間或物體與擋板之間發生多次碰撞；2.多個物體發生連續碰撞。
例2 (2024·湖北黃岡高三檢測)人和冰車的總質量為M，另有一個質量為m的堅固木箱，開始時人坐在冰車上靜止在光滑水平冰面上，某一時刻人將原來靜止在冰面上的木箱以速度v推向前方彈性擋板，木箱與擋板碰撞后又反向彈回。設木箱與擋板碰撞過程中沒有機械能的損失，人接到木箱后又以速度v將木箱推向擋板，如此反復多次，試求人推多少次木箱后將不可能再接到木箱(已知M∶m＝31∶2)。
答案　9
解析　人推木箱的過程，對于人和木箱組成的系統，由動量守恒定律有
第1次推木箱前后：0＝Mv1－mv
第2次推木箱前后：Mv1＋mv＝Mv2－mv……
第n次推木箱前后：Mvn－1＋mv＝Mvn－mv
n個式子相加得(n－1)mv＝Mvn－nmv
所以vn＝＝v
依題意可知vn≥v，則有n≥8.25，所以n＝9。
2.(多選)如圖3所示，質量分別為2m、km(k未知且k>2)的小球B、C靜止放置在光滑水平面上，一質量為m的小球A從小球B的左側以速度v水平向右運動。已知所有碰撞均為彈性碰撞，且碰撞時間極短，A與B只發生一次碰撞，則k的值可能為(　　)
圖3
A.4.5 B.6
C.7.5 D.9
答案　AB
解析　A與B碰撞過程，由動量守恒定律和機械能守恒定律可得mv＝mvA＋2mvB，mv2＝mv＋×2mv，聯立解得碰后A、B的速度分別為vA＝－v，vB＝v，B與C碰撞過程，由動量守恒定律和機械能守恒定律可得2mvB＝2mvB′＋kmvC，×2mv＝×2mvB′2＋·kmv，聯立解得碰撞后B的速度為vB′＝v，為了保證A與B只發生一次碰撞，需要滿足|vB′|＝≤＝，由于k>2，則有≤，聯立解得2碰撞中的臨界極值問題，指的是相互作用中的物體“恰好不相撞”“相距最近”“相距最遠”或“恰上升到最高點”等，求解的關鍵是速度相等。常見類型有
(1)當小物塊到達最高點時，兩物體速度相同。
(2)彈簧最短或最長時，兩物體速度相同，此時彈簧彈性勢能最大。
(3)兩物體剛好不相撞，兩物體速度相同。
(4)滑塊恰好不滑出長木板，滑塊滑到長木板末端時與長木板速度相同。
例1 如圖1，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時刻小孩將冰塊以相對冰面3 m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h＝0.3 m(h小于斜面體的高度)。已知小孩與滑板的總質量為m1＝30 kg，冰塊的質量為m2＝10 kg，小孩與滑板始終無相對運動。重力加速度的大小取g＝10 m/s2。
圖1
(1)求斜面體的質量；
(2)通過計算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.(多選)(2024·遼寧大連模擬)如圖2所示，甲和他的冰車總質量M＝30 kg，甲推著質量m＝15 kg的小木箱一起以速度v0＝2 m/s向右滑行，乙和他的冰車總質量也為M＝30 kg，乙以同樣大小的速度迎面而來。為了避免相撞，甲將小木箱以速度v沿冰面推出，木箱滑到乙處時乙迅速把它抓住。若不計冰面的摩擦力，則小木箱的速度v可能為(　　)
圖2
A.4 m/s B.5 m/s
C.6 m/s D.7 m/s
二、多次碰撞問題
多次碰撞問題的處理方法是數學歸納法，先利用所學知識把前幾次碰撞過程理順、分析透徹。根據前幾次數據利用數學歸納法，可寫出之后碰撞過程中對應規律或結果，然后可以計算全程的路程或發生碰撞的總次數等數據。多次碰撞問題涉及的主要模型有：1.兩個物體之間或物體與擋板之間發生多次碰撞；2.多個物體發生連續碰撞。
例2 (2024·湖北黃岡高三檢測)人和冰車的總質量為M，另有一個質量為m的堅固木箱，開始時人坐在冰車上靜止在光滑水平冰面上，某一時刻人將原來靜止在冰面上的木箱以速度v推向前方彈性擋板，木箱與擋板碰撞后又反向彈回。設木箱與擋板碰撞過程中沒有機械能的損失，人接到木箱后又以速度v將木箱推向擋板，如此反復多次，試求人推多少次木箱后將不可能再接到木箱(已知M∶m＝31∶2)。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(多選)如圖3所示，質量分別為2m、km(k未知且k>2)的小球B、C靜止放置在光滑水平面上，一質量為m的小球A從小球B的左側以速度v水平向右運動。已知所有碰撞均為彈性碰撞，且碰撞時間極短，A與B只發生一次碰撞，則k的值可能為(　　)
圖3
A.4.5 B.6
C.7.5 D.9(共14張PPT)
增分微點7 碰撞中的臨界問題及多次碰撞問題
第六章　動量守恒定律
一、碰撞中的臨界極值問題
碰撞中的臨界極值問題，指的是相互作用中的物體“恰好不相撞”“相距最近”“相距最遠”或“恰上升到最高點”等，求解的關鍵是速度相等。常見類型有
(1)當小物塊到達最高點時，兩物體速度相同。
(2)彈簧最短或最長時，兩物體速度相同，此時彈簧彈性勢能最大。
(3)兩物體剛好不相撞，兩物體速度相同。
(4)滑塊恰好不滑出長木板，滑塊滑到長木板末端時與長木板速度相同。
圖1
例1 如圖1，光滑冰面上靜止放置一表面光滑的斜面體，斜面體右側一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰塊均靜止于冰面上。某時刻小孩將冰塊以相對冰面3 m/s的速度向斜面體推出，冰塊平滑地滑上斜面體，在斜面體上上升的最大高度為h＝0.3 m(h小于斜面體的高度)。已知小孩與滑板的總質量為m1＝30 kg，冰塊的質量為m2＝10 kg，小孩與滑板始終無相對運動。重力加速度的大小取g＝10 m/s2。
(1)求斜面體的質量；
解析　規定向左為正方向。冰塊在斜面體上上升到最大高度時兩者達到共同速度，設此共同速度為v，斜面體的質量為m3。對冰塊與斜面體分析，由水平方向動量守恒和機械能守恒得m2v0＝(m2＋m3)v
式中v0＝3 m/s為冰塊推出時的速度，聯立并代入題給數據得v＝1 m/s，m3＝20 kg。
答案　20 kg
(2)通過計算判斷，冰塊與斜面體分離后能否追上小孩？
解析　設小孩推出冰塊后的速度為v1，對小孩與冰塊
分析，由動量守恒定律有m1v1＋m2v0＝0
代入數據得v1＝－1 m/s
設冰塊與斜面體分離后的速度分別為v2和v3，對冰塊與斜面體分析，由動量守恒定律和機械能守恒定律有m2v0＝m2v2＋m3v3
聯立并代入數據得v2＝－1 m/s
由于冰塊與斜面體分離后的速度與小孩推出冰塊后的速度相同且冰塊處在小孩后方，故冰塊不能追上小孩。
答案　不能，理由見解析
　CD
1.(多選)(2024·遼寧大連模擬)如圖2所示，甲和他的冰車總質量M＝30 kg，甲推著質量m＝15 kg的小木箱一起以速度v0＝2 m/s向右滑行，乙和他的冰車總質量也為M＝30 kg，乙以同樣大小的速度迎面而來。為了避免相撞，甲將小木箱以速度v沿冰面推出，木箱滑到乙處時乙迅速把它抓住。若不計冰面的摩擦力，則小木箱的速度v可能為(　　)
圖2
A.4 m/s B.5 m/s C.6 m/s D.7 m/s
解析　對于甲和箱子根據動量守恒定律得(M＋m)v0＝Mv1＋mv，對于乙和箱子根據動量守恒定律得mv－Mv0＝(M＋m)v2，甲、乙恰好不相碰，有v1＝v2，聯立解得v＝5.2 m/s，若要避免碰撞，則需要滿足v≥5.2 m/s，故C、D正確，A、B錯誤。
二、多次碰撞問題
多次碰撞問題的處理方法是數學歸納法，先利用所學知識把前幾次碰撞過程理順、分析透徹。根據前幾次數據利用數學歸納法，可寫出之后碰撞過程中對應規律或結果，然后可以計算全程的路程或發生碰撞的總次數等數據。多次碰撞問題涉及的主要模型有：1.兩個物體之間或物體與擋板之間發生多次碰撞；2.多個物體發生連續碰撞。
解析　人推木箱的過程，對于人和木箱組成的系統，由動量守恒定律有
第1次推木箱前后：0＝Mv1－mv
第2次推木箱前后：Mv1＋mv＝Mv2－mv……
第n次推木箱前后：Mvn－1＋mv＝Mvn－mv
例2 (2024·湖北黃岡高三檢測)人和冰車的總質量為M，另有一個質量為m的堅固木箱，開始時人坐在冰車上靜止在光滑水平冰面上，某一時刻人將原來靜止在冰面上的木箱以速度v推向前方彈性擋板，木箱與擋板碰撞后又反向彈回。設木箱與擋板碰撞過程中沒有機械能的損失，人接到木箱后又以速度v將木箱推向擋板，如此反復多次，試求人推多少次木箱后將不可能再接到木箱(已知M∶m＝31∶2)。
n個式子相加得(n－1)mv＝Mvn－nmv
依題意可知vn≥v，則有n≥8.25，所以n＝9。
答案　9
AB
2.(多選)如圖3所示，質量分別為2m、km(k未知且k>2)的小球B、C靜止放置在光滑水平面上，一質量為m的小球A從小球B的左側以速度v水平向右運動。已知所有碰撞均為彈性碰撞，且碰撞時間極短，A與B只發生一次碰撞，則k的值可能為(　　)
圖3
A.4.5 B.6 C.7.5 D.9
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