資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第08講 冪函數(shù)與二次函數(shù)
01：考情分析
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）冪函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì) （2）二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 2020年天津卷第3題，5分 2020年江蘇卷第7題，5分 從近五年全國卷的考查情況來看，本節(jié)內(nèi)容很少單獨(dú)命題，冪函數(shù)要求相對較低, 常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合，比較冪值的大小，多以選擇題、填空題出現(xiàn).
學(xué)科素養(yǎng)：（1）通過具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律. （2）掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值等).
02.思維導(dǎo)圖
03.考點(diǎn)突破，題型探究
知識點(diǎn)1：冪函數(shù)
1、冪函數(shù)的定義
一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).
2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).
(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：
函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調(diào)性 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
【診斷自測】若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則＝（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，
所以，所以.
故選：C
知識點(diǎn)2：二次函數(shù)
1、二次函數(shù)解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對稱軸方程.
（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
2、二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）單調(diào)性與最值
①當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；
②當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，
（2）與軸相交的弦長
當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點(diǎn)和，.
3、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.
對二次函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則.
【診斷自測】下列四個圖象中，有一個圖象是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，
于是函數(shù)的圖象是開口向上，對稱軸為的拋物線，①②不滿足，
又，即函數(shù)的圖象對稱軸不是y軸，④不滿足，因此符合條件的是③，
函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且，顯然，從而，
，所以.
故選：D
解題方法總結(jié)
1、冪函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：
①當(dāng)時，其圖象可類似畫出；
②當(dāng)時，其圖象可類似畫出；
③當(dāng)時，其圖象可類似畫出．
2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號與系數(shù)之間的關(guān)系
（1）方程有兩個不等正根
（2）方程有兩個不等負(fù)根
（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為
3、一元二次方程的根的分布問題
一般情況下需要從以下4個方面考慮：
（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).
設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.
根的分布 圖像 限定條件
在區(qū)間內(nèi) 沒有實(shí)根
在區(qū)間內(nèi) 有且只有一個實(shí)根
在區(qū)間內(nèi) 有兩個不等實(shí)根
4、有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.
（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.
（2）對于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).
題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像
【典例1-1】（2024·山東日照·二模）已知冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為，由于函數(shù)過點(diǎn)，故，解得，該冪函數(shù)的解析式為；
故選：B
【典例1-2】已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且
B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
【答案】D
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，
所以0，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，即p為偶數(shù)，
又p、q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，所以選項(xiàng)D正確，故選：D.
【方法技巧】
確定冪函數(shù)的定義域，當(dāng)為分?jǐn)?shù)時，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或?yàn)閯t被開方式非負(fù).當(dāng)時，底數(shù)是非零的.
【變式1-1】已知函數(shù)為冪函數(shù)，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意有，可得，其定義域?yàn)镽，
且，則函數(shù)為奇函數(shù)，
所以.
故選：A.
【變式1-2】（多選題）（2024·新疆喀什·一模）若函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】是冪函數(shù)，
則，解得或.
故選：BC.
【變式1-3】給出冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中滿足條件的函數(shù)的個數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由題，滿足條件表示函數(shù)圖象在第一象限上凸，結(jié)合冪函數(shù)的圖象特征可知只有④滿足.
故選：A
題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【典例2-1】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，下面給出的四個結(jié)論：①；②為奇函數(shù)；③在R上單調(diào)遞增；④，其中所有正確命題的序號為（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
【答案】B
【解析】對于①：由冪函數(shù)的定義可知，解得，
將點(diǎn)代入函數(shù)得，解得，
所以，故①錯誤；
對于②：因?yàn)槎x域?yàn)镽，且，
所以為奇函數(shù)，故②正確；
對于③：由冪函數(shù)的圖象可知，在R上單調(diào)遞增，故③正確；
對于④：因?yàn)椋以赗上單調(diào)遞增，所以，故④錯誤，
綜上可知，②③正確，①④錯誤.
故選：B.
【典例2-2】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)，對任意，總存在使得，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，則，，
在上單調(diào)遞減，則，可得，
，在上的值域?yàn)椋?br/>在上的值域?yàn)椋?br/>根據(jù)題意有，的范圍為.
故答案為：.
【方法技巧】
緊扣冪函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意為奇數(shù)時，為奇函數(shù)，為偶數(shù)時，為偶函數(shù).
【變式2-1】已知.若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則 .
【答案】
【解析】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上遞減，所以，
又冪函數(shù)為奇函數(shù)，可知為奇數(shù)，即.
故答案為：
【變式2-2】已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題意得，
設(shè)，則，的定義域?yàn)镽，
且，所以為奇函數(shù)，
都是增函數(shù)，所以是增函數(shù)，
的圖象是由的圖象先向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的，所以圖象的對稱中心為，所以．
易知在R上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?br/>所以，所以，解得，
故答案為：．
【變式2-3】已知冪函數(shù)（其中，）為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的值為 .
【答案】1
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，
又，所以或1或2，當(dāng)或2時，定義域?yàn)椋?br/>且，此時函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；當(dāng)時，定義域?yàn)椋遥藭r函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；綜上所述，.
故答案為：1.
【變式2-4】已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為 .
【答案】
【解析】由題意可知，的定義域?yàn)椋裕?br/>所以函數(shù)是奇函數(shù)，由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)在函數(shù)上單調(diào)遞增，
由，得，即，
所以，即，解得，所以關(guān)于的表達(dá)式的解集為.故答案為：.
【變式2-5】滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】冪函數(shù)在為減函數(shù)，且函數(shù)值為正，在為減函數(shù)，且函數(shù)值為負(fù)，
等價于，或或，
解得或或，所以不等式的解集為.故選：D.
題型三：由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小
【典例3-1】（2024·天津紅橋·二模）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，而，
所以a，b，c的大小關(guān)系為.故選：C
【典例3-2】設(shè)，則大小關(guān)系是 .
【答案】
【解析】因?yàn)樵趩握{(diào)增，所以，即，因?yàn)樵趩握{(diào)減，所以，即綜上，.故答案為：.
【變式3-1】（2024·河北衡水·三模）已知，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得或，由，得，由，得，
∴當(dāng)，，同時成立時，取交集得，故選：A.
【變式3-2】已知，，，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為 ．（用“”連接）
【答案】
【解析】由，，令且，則，
所以在上遞減，則，即，所以，
由，，只需比較與的大小，
根據(jù)與，相交于兩點(diǎn)，圖象如下，
由，結(jié)合圖知，故，
綜上，.故答案為：
【變式3-3】已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)冪函數(shù)，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，則，解得，所以.因?yàn)楹瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，
所以，且，故選項(xiàng)錯誤；又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增，
則當(dāng)時，，且，故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)錯誤.
故選：D.
【變式3-4】（2024·高三·河北邢臺·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，且，則的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷
【答案】B
【解析】由得或，
時，在上是增函數(shù)，不合題意，
時，，在上是減函數(shù)，滿足題意，
所以，，則，，是奇函數(shù)，因此，所以，即，故選：B.
題型四：二次函數(shù)的解析式
【典例4-1】（2024·高三·海南海口·開學(xué)考試）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，在x軸上截得的線段長為2，并且對任意，都有，則＝ .
【答案】
【解析】因?yàn)閷愠闪ⅲ?br/>所以的圖象關(guān)于對稱.又的圖象在軸上截得的線段長為2，
所以的兩根為或，所以二次函數(shù)與軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為和，
因此設(shè).又點(diǎn)在的圖象上，所以，則，故.故答案為：
【典例4-2】寫出同時滿足下列條件①②③的一個函數(shù) ．
①是二次函數(shù)；②是奇函數(shù)；③在上是減函數(shù)．
【答案】
【解析】因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，所以令，，
令，
，故滿足條件②；
令在上是減函數(shù)，滿足條件③，
故答案為：
【變式4-1】已知函數(shù)（）的圖象關(guān)于軸對稱，且與直線相切，寫出滿足上述條件的一個函數(shù) ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】已知，∵的圖象關(guān)于y軸對稱，∴對稱軸，∴，
∴，聯(lián)立，整理得，即，
∵的圖象與直線相切，∴，∴，當(dāng)時， .
∴滿足條件的二次函數(shù)可以為．故答案為： .
【變式4-2】已知二次函數(shù)f(x)滿足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函數(shù)的解析式是 ．
【答案】f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【解析】法一　(利用“一般式”解題)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由題意得解得∴所求二次函數(shù)為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二　(利用“頂點(diǎn)式”解題)
設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因?yàn)閒（2）＝f(－1)，所以拋物線的對稱軸為，所以m＝.
又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，所以n＝8，所以y＝f(x)＝.因?yàn)閒（2）＝－1，所以，解得a＝－4，所以f(x)＝＝－4x2＋4x＋7.
法三　(利用“零點(diǎn)式”解題)
由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值8，即.
解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
故答案為：f(x)＝－4x2＋4x＋7.
題型五：二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值
【典例5-1】已知，并且m、n是方程的兩根，則實(shí)數(shù)a、b、m、n的大小關(guān)系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，又，分別畫出這兩個函數(shù)的圖象，其中的圖象可看成是由的圖象向上平移1個單位得到，如圖，
由圖可知：．故選：A．
【典例5-2】（2024·高三·江蘇蘇州·期中）滿足的實(shí)數(shù)對，構(gòu)成的點(diǎn)共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個
【答案】C
【解析】由，又，則，所以在單調(diào)遞增，
故值域?yàn)椋词堑膬筛獾茫?dāng)時，點(diǎn)為，
當(dāng)時，點(diǎn)為，當(dāng)時，點(diǎn)為.故選：C
【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】令，
則或或或解得或，
即實(shí)數(shù)m得取值范圍為.故選：C．
【變式5-2】（2024·高三·山東濟(jì)寧·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，令，即或，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知：在上遞減，在上遞增又在定義域上遞增，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C
【變式5-3】（2024·廣東珠海·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
【變式5-4】若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
【答案】
【解析】令，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，作出函數(shù)的大致圖象，
由于函數(shù)在區(qū)間上有最大值，
結(jié)合圖象，由題意可得，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故答案為：
題型六：二次函數(shù)定軸動區(qū)間和動軸定區(qū)間問題
【典例6-1】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；
(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．
【解析】（1）當(dāng)時，不等式，
即為，
即，所以，
所以或，
所以原不等式的解集為．
（2），
由題意或，這時解得，
若，則，所以；
若，即，
所以，則，
綜上，或．
【典例6-2】已知函數(shù)在上的最大值為4，求的值．
【解析】函數(shù)的圖象為對稱軸為，開口向上的拋物線，
當(dāng)時，即時，此時離對稱軸更遠(yuǎn)，
所以當(dāng)時有最大值，最大值為，由已知，故，
當(dāng)時，即時，此時離對稱軸更遠(yuǎn)，所以當(dāng)時有最大值，最大值為，
由已知，故，所以或.
【變式6-1】已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)．
(1)在區(qū)間上的最大值記為，求的表達(dá)式；
(2)在區(qū)間上的最小值記為，求的表達(dá)式；
(3)若，求實(shí)數(shù)的值．
【解析】（1），對稱軸為，
當(dāng)，即時，，
當(dāng)，即時，，
綜上，.
（2）當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，
當(dāng)，即時，，
綜上，.
（3）當(dāng)時，，，
由，得，解得（舍）；
當(dāng)時，，，
由，得，即，
解得或（舍）；
當(dāng)時，，，
由，得，即，
解得（舍）或；
當(dāng)時，，，
由，得，解得（舍），
綜上，或.
題型七：二次方程實(shí)根的分布及條件
【典例7-1】若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)根，且．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】令函數(shù)，依題意，的兩個不等實(shí)根滿足，
而函數(shù)圖象開口向上，因此，則，解得，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
【典例7-2】方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】令，圖象恒過點(diǎn)，
方程0在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，
，解得.
故答案為：
【變式7-2】關(guān)于的方程滿足下列條件，求的取值范圍．
(1)有兩個正根；
(2)一個根大于，一個根小于；
(3)一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；
(4)一個根小于，一個根大于；
(5)兩個根都在內(nèi)．
【解析】（1）令，設(shè)的兩個根為.
由題得，解得.
（2）若方程的一個根大于，一個根小于，則，解得
（3）若方程一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)，則，解得
（4）若方程的一個根小于，一個根大于，
則，解得
（5）若方程的兩個根都在內(nèi)，則，解得
1．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.故選：D
2．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.所以.故選：D
3．（2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（陜西卷））函數(shù)的圖象是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（1，1），故排除A，D；由特殊點(diǎn)（8，2），，可排除C．故選B．
1．(鏈接人A必修一P91T1)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)，則f(4)的值是(　　)
A．64 B．4 C． D．
答案：D
解析：設(shè)f(x)＝xα，則＝2α，即α＝－1.所以f(x)＝，所以f(4)＝.故選D.
2．(鏈接人A必修一P58T6)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
答案：C
解析：由題意知解得a>.
3．(鏈接人A必修一P100T4)若函數(shù)f(x)＝3x2－kx－8在[5,20]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．
答案：(－∞，30]∪[120，＋∞)
解析：由題意知，≤5或≥20，解得k≤30或k≥120.
4．(鏈接人A必修一P91T2)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，則a，b，c的大小關(guān)系是________．(用”<“連接)
答案：c解析：由指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性可知0.30.4<0.30.3,0.40.3>0.30.3，即c5.（蘇教版必修1）設(shè) 為實(shí)數(shù),若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,則 的取值范圍為________
解： 由 得 .
6. （北師大必修1）探究函數(shù) 的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
解： 結(jié)論: 當(dāng) 時,函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減; 當(dāng) 時,函數(shù) 在 上單 調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,當(dāng) 0 時,函數(shù) 為常數(shù)函數(shù).
證明: (1) 當(dāng) 時,函數(shù) 為 常數(shù)函數(shù);
(2) 當(dāng) 時,
任取 ,且 ,則 .
因?yàn)? ,所以 .
(1)若 ,當(dāng) 時, . ,即 .
當(dāng) 時, . ,即 .
所以當(dāng) 時,函數(shù) 在 上單調(diào)遞增,在 上單調(diào)遞減.
(2)若 ,當(dāng) 時, .
,即 .當(dāng) 時, .
,即 . 所以當(dāng) 時,函數(shù) 在 上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增.
7. （北師大必修1）根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷函數(shù) 的單調(diào)性.
解： 當(dāng) 和 時,函數(shù)單 調(diào)遞減; 當(dāng) 和 時, 函數(shù)單調(diào)遞增.
8.（北師大必修1） 已知函數(shù) 對任意實(shí)數(shù) 都有 ,并且對任意 ,總有 , 比較下列各組值的大小:
(1) 和 ; (2) 和 ;
(3) 和 ; (4) 和 .
解：(1) ; (2) ; ; (4) .
9．（人教版必修1）畫出函數(shù)的圖象，并判斷函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)性.
【解析】
的圖象如圖所示，
設(shè)的定義域?yàn)镽.，為偶函數(shù).
當(dāng)時，為增函數(shù)，證明如下：
設(shè)任意的，且，則.
，且即.
在上為增函數(shù).
當(dāng)時，為減函數(shù)，證明如下：
設(shè)任意的，且，則.
，且，即.
在上是減函數(shù).
10．（人教版必修1）在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當(dāng)氣體通過圓形管道時，其流量速率v，（單位：）與管道半徑r（單位：cm）的四次方成正比.
（1）寫出氣體流量速率v，關(guān)于管道半徑r的函數(shù)解析式；
（2）若氣體在半徑為3cm的管道中，流量速率為，求該氣體通過半徑為r的管道時，其流量速率v的表達(dá)式；
（3）已知（2）中的氣體通過的管道半徑為5cm，計算該氣體的流量速率（精確到）.
【解析】（1）設(shè)比例系數(shù)為，氣體的流量速率關(guān)于管道半徑的函數(shù)解析式為.
（2）將與代入中，有.解得，
所以，氣體通過半徑為r的管道時，其流量速率v的表達(dá)式為.
（3）當(dāng)時，.所以，當(dāng)氣體81通過的管道半徑為5cm時，該氣體的流量速率約為.
11．（人教版必修1）試用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象，求函數(shù)的定義域、值域；討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，并證明.
【解析】.
列表：
x … -3 -2 -1 1 2 3 …
… 1 1 …
描點(diǎn)，連線.圖象如圖所示.
定義域：，值域：.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).
證明如下：設(shè)任意的，且.則.
.
，即，在上是增函數(shù).
設(shè)任意的，且，則.
，，即.
在上是減函數(shù).是偶函數(shù).
12．（人教版必修1）證明：
（1）若，則.
（2）若，則.
【解析】（1）.
（2）
.
因?yàn)椋?br/>即，
則.
所以.
易錯點(diǎn)：解二次型函數(shù)問題時忽視對二次項(xiàng)系數(shù)的討論
易錯分析：在二次函數(shù)中，當(dāng)時為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當(dāng)時為一次函數(shù)，其圖象為直線．在解決此類問題時，應(yīng)注意項(xiàng)的系數(shù)是否為0，若不能確定，應(yīng)該分類討論．
【易錯題1】對于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
當(dāng)，即時，，恒成立；
時，，解得，
故選
【易錯題2】已知對任意恒成立，則__________．
【答案】
【解析】
令，解得，故，即，所以，所以對任意恒成立，所以即解得，
同理對任意恒成立可得a的取值范圍，綜上得，
答題模板：含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題
1、模板解決思路
解決含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題常用的方法是數(shù)形結(jié)合與分類討論.
2、模板解決步驟
第一步：通過觀察二次函數(shù)的特征，分析二次函數(shù)參數(shù)的位置；
第二步：通過討論含參二次函數(shù)的單調(diào)性和已知區(qū)間之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；
第三步：根據(jù)含參二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求出其最值；
第四步：得出結(jié)論．
【典例1】已知二次函數(shù)同時滿足以下條件：①，②，③．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若，，求的最小值．
【解析】（1）由得，對稱軸為，
設(shè)，
∴，得，
∴．
（2），，對稱軸，
ⅰ當(dāng)即時，在單調(diào)遞增，
，
ⅱ即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
∴，
ⅲ當(dāng)即時，在單調(diào)遞減，
，
綜上：
【典例2】已知二次函數(shù)，滿足條件和.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若，求函數(shù)在A上的最小值.
【解析】解:（1）∵， ∴
∴
∴
∴， ∴，解得：，，
∴
（2）的對稱軸是，
當(dāng)，
當(dāng)即時，
當(dāng)即時，
∴
【典例3】已知函數(shù)．當(dāng)時，求函數(shù)最大值的表達(dá)式；
【解析】，
①當(dāng)即時，，
②當(dāng)即時，，
數(shù)學(xué)文化閱讀
1637 年, 法國數(shù)學(xué)家笛卡兒 (R. Descartes, 1596-1650)在《幾何 學(xué)》中第一次提到“未知和未定的量”, 涉及了變量, 同時也引入函數(shù) 的思想. 1692 年, 德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨 (G. Leibniz, 1646-1716) 最早 使用“函數(shù)”這個詞, 他用“函數(shù)”表示隨著曲線的變化而改變的幾何 量, 如切線和點(diǎn)的縱坐標(biāo)等.
1718 年, 瑞士數(shù)學(xué)家約翰 伯努利 (J. Bernoulli, 1667-1748) 給 出函數(shù)新的解釋: “由變量 和常量用任何方式構(gòu)成的量都可以叫作 的函數(shù). "
1755 年, 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉 (L. Euler, 1707-1783) 給出了函數(shù)的 如下定義: “如果某些變量, 以這樣一種方式依賴于另一些變量, 即當(dāng) 后面這些變量變化時, 前面這些變量也隨之而改變, 那么將前面的變 量稱為后面變量的函數(shù). ”在函數(shù)概念形成的早期階段, 由于接觸到 的函數(shù)都是解析式形式, 于是多數(shù)人認(rèn)為函數(shù)一定能用解析式表示, 他們很難理解不能用解析式表示的函數(shù).
隨著微積分等數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的深入, 人們對函數(shù)的本質(zhì)理解也 不斷加深. 1837 年, 德國數(shù)學(xué)家狄利克雷 (P. G. Dirichlet, 1805一 1859) 認(rèn)為: “如果對于 的每一個值, 總有一個完全確定的值與之 對應(yīng),那么 是 的函數(shù). ”此外,他還給出了 “狄利克雷函數(shù)”:
自此,人們對函數(shù)的本質(zhì)有了深刻的理解. “變量 是 的函數(shù)” 意味著: 只要有一個法則存在, 使得這個函數(shù)定義域中的每一個值 ,有一個確定的 值和它對應(yīng),而不管這個法則是公式、圖象、表格 還是其他形式.
19 世紀(jì) 70 年代后, 集合概念的出現(xiàn)使函數(shù)概念又得到進(jìn)一步的 發(fā)展. 人們用集合和對應(yīng)的語言來定義函數(shù)概念, 可以更深入地理解 函數(shù)本質(zhì).
1859 年, 我國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭 (1811-1882) 將 function 一詞 譯成“函數(shù)”, 并給出定義: “凡此變數(shù)中函彼變數(shù), 則此為彼之函數(shù). ” 這里的 “函”, 是包含的意思. 在國外的數(shù)學(xué)書上, 習(xí)慣將函數(shù) (即對應(yīng) 關(guān)系) 記為 ,而在國內(nèi)的數(shù)學(xué)書上,通常將函數(shù)寫為 .
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第08講 冪函數(shù)與二次函數(shù)
01：考情分析
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）冪函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì) （2）二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 2020年天津卷第3題，5分 2020年江蘇卷第7題，5分 從近五年全國卷的考查情況來看，本節(jié)內(nèi)容很少單獨(dú)命題，冪函數(shù)要求相對較低, 常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)綜合，比較冪值的大小，多以選擇題、填空題出現(xiàn).
學(xué)科素養(yǎng)：（1）通過具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律. （2）掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(單調(diào)性、對稱性、頂點(diǎn)、最值等).
02.思維導(dǎo)圖
03.考點(diǎn)突破，題型探究
知識點(diǎn)1：冪函數(shù)
1、冪函數(shù)的定義
一般地，(為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).
2、冪函數(shù)的特征：同時滿足一下三個條件才是冪函數(shù)
①的系數(shù)為1； ②的底數(shù)是自變量； ③指數(shù)為常數(shù).
(3)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)
3、常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：
函數(shù)
圖象
定義域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調(diào)性 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在上單調(diào)遞增 在和上單調(diào)遞減
公共點(diǎn)
【診斷自測】若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則＝（　　）
A． B．2 C．4 D．
知識點(diǎn)2：二次函數(shù)
1、二次函數(shù)解析式的三種形式
（1）一般式：；
（2）頂點(diǎn)式：；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，為對稱軸方程.
（3）零點(diǎn)式：，其中，是拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
2、二次函數(shù)的圖像
二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，對稱軸方程為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.
（1）單調(diào)性與最值
①當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，；
②當(dāng)時，如圖所示，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減，當(dāng)時，
（2）與軸相交的弦長
當(dāng)時，二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點(diǎn)和，.
3、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值
閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.
對二次函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是，最小值是，令：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則.
【診斷自測】下列四個圖象中，有一個圖象是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2、實(shí)系數(shù)一元二次方程的實(shí)根符號與系數(shù)之間的關(guān)系
（1）方程有兩個不等正根
（2）方程有兩個不等負(fù)根
（3）方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為
3、一元二次方程的根的分布問題
一般情況下需要從以下4個方面考慮：
（1）開口方向；（2）判別式；（3）對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).
設(shè)為實(shí)系數(shù)方程的兩根，則一元二次的根的分布與其限定條件如表所示.
根的分布 圖像 限定條件
在區(qū)間內(nèi) 沒有實(shí)根
在區(qū)間內(nèi) 有且只有一個實(shí)根
在區(qū)間內(nèi) 有兩個不等實(shí)根
4、有關(guān)二次函數(shù)的問題，關(guān)鍵是利用圖像.
（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問題——動軸定區(qū)間和定軸動區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對稱軸.即注意對對稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸穿過區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.
（2）對于二次方程實(shí)根分布問題，要抓住四點(diǎn)，即開口方向、判別式、對稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù).
題型一：冪函數(shù)的定義及其圖像
【典例1-1】（2024·山東日照·二模）已知冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知冪函數(shù)（且互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對稱，如圖所示，則（ ）
A．p，q均為奇數(shù)，且B．q為偶數(shù)，p為奇數(shù)，且
C．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且D．q為奇數(shù)，p為偶數(shù)，且
【變式1-1】已知函數(shù)為冪函數(shù)，則（ ）
A．0 B． C． D．
【變式1-2】（多選題）（2024·新疆喀什·一模）若函數(shù)是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值可能是
A． B． C． D．
【變式1-3】給出冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中滿足條件的函數(shù)的個數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型二：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【典例2-1】已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，下面給出的四個結(jié)論：①；②為奇函數(shù)；③在R上單調(diào)遞增；④，其中所有正確命題的序號為（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
【典例2-2】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)，對任意，總存在使得，則的取值范圍為 .
【變式2-1】已知.若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則 .
【變式2-2】已知函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是 ．
【變式2-3】已知冪函數(shù)（其中，）為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的值為 .
【變式2-4】已知函數(shù)，則關(guān)于的表達(dá)式的解集為 .
【變式2-5】滿足的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）.
A． B． C． D．
題型三：由冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小
【典例3-1】（2024·天津紅橋·二模）若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】設(shè)，則大小關(guān)系是 .
【變式3-1】（2024·河北衡水·三模）已知，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】已知，，，則這三個數(shù)的大小關(guān)系為 ．（用“”連接）
【變式3-3】已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C． D．
【變式3-4】（2024·高三·河北邢臺·期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，若，且，則的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．無法判斷
題型四：二次函數(shù)的解析式
【典例4-1】（2024·高三·海南海口·開學(xué)考試）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，在x軸上截得的線段長為2，并且對任意，都有，則＝ .
【典例4-2】寫出同時滿足下列條件①②③的一個函數(shù) ．
①是二次函數(shù)；②是奇函數(shù)；③在上是減函數(shù)．
【變式4-1】已知函數(shù)（）的圖象關(guān)于軸對稱，且與直線相切，寫出滿足上述條件的一個函數(shù) ．
【變式4-2】已知二次函數(shù)f(x)滿足f（2）＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，二次函數(shù)的解析式是 ．
題型五：二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性與最值
【典例5-1】已知，并且m、n是方程的兩根，則實(shí)數(shù)a、b、m、n的大小關(guān)系可能是（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】（2024·高三·江蘇蘇州·期中）滿足的實(shí)數(shù)對，構(gòu)成的點(diǎn)共有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．無數(shù)個
【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C． D．
【變式5-2】（2024·高三·山東濟(jì)寧·期中）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·廣東珠海·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【變式5-4】若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
題型六：二次函數(shù)定軸動區(qū)間和動軸定區(qū)間問題
【典例6-1】已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，解關(guān)于x的不等式；
(2)函數(shù)在上的最大值為0，最小值是，求實(shí)數(shù)a和t的值．
【典例6-2】已知函數(shù)在上的最大值為4，求的值．
【變式6-1】已知函數(shù)，其中是實(shí)數(shù)．
(1)在區(qū)間上的最大值記為，求的表達(dá)式；
(2)在區(qū)間上的最小值記為，求的表達(dá)式；
(3)若，求實(shí)數(shù)的值．
題型七：二次方程實(shí)根的分布及條件
【典例7-1】若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)根，且．則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
【典例7-2】方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，的取值范圍為 ．
【變式7-2】關(guān)于的方程滿足下列條件，求的取值范圍．
(1)有兩個正根；(2)一個根大于，一個根小于；
(3)一個根在內(nèi)，另一個根在內(nèi)；
(4)一個根小于，一個根大于；(5)兩個根都在內(nèi)．
1．（2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是
A． B． C． D．
2．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
3．（2011年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（陜西卷））函數(shù)的圖象是
A． B． C． D．
1．(鏈接人A必修一P91T1)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)，則f(4)的值是(　　)
A．64 B．4 C． D．
2．(鏈接人A必修一P58T6)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x＋5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是(　　)
A． B． C． D．
3．(鏈接人A必修一P100T4)若函數(shù)f(x)＝3x2－kx－8在[5,20]上單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．
4．(鏈接人A必修一P91T2)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，則a，b，c的大小關(guān)系是________．(用”<“連接)
5.（蘇教版必修1）設(shè) 為實(shí)數(shù),若函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞減,則 的取值范圍為________
6. （北師大必修1）探究函數(shù) 的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
7. （北師大必修1）根據(jù)函數(shù)圖象直觀判斷函數(shù) 的單調(diào)性.
8.（北師大必修1） 已知函數(shù) 對任意實(shí)數(shù) 都有 ,并且對任意 ,總有 , 比較下列各組值的大小:
(1) 和 ; (2) 和 ;(3) 和 ; (4) 和 .
9．（人教版必修1）畫出函數(shù)的圖象，并判斷函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)性.
10．（人教版必修1）在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當(dāng)氣體通過圓形管道時，其流量速率v，（單位：）與管道半徑r（單位：cm）的四次方成正比.
（1）寫出氣體流量速率v，關(guān)于管道半徑r的函數(shù)解析式；
（2）若氣體在半徑為3cm的管道中，流量速率為，求該氣體通過半徑為r的管道時，其流量速率v的表達(dá)式；
（3）已知（2）中的氣體通過的管道半徑為5cm，計算該氣體的流量速率（精確到）.
11．（人教版必修1）試用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖象，求函數(shù)的定義域、值域；討論函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，并證明.
12．（人教版必修1）證明：
（1）若，則.
（2）若，則.
易錯點(diǎn)：解二次型函數(shù)問題時忽視對二次項(xiàng)系數(shù)的討論
易錯分析：在二次函數(shù)中，當(dāng)時為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當(dāng)時為一次函數(shù)，其圖象為直線．在解決此類問題時，應(yīng)注意項(xiàng)的系數(shù)是否為0，若不能確定，應(yīng)該分類討論．
【易錯題1】對于任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a取值范圍（ ）
A． B． C． D．
答題模板：含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題
【典例1】已知二次函數(shù)同時滿足以下條件：①，②，③．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若，，求的最小值．
【典例2】已知函數(shù)．當(dāng)時，求函數(shù)最大值的表達(dá)式；
數(shù)學(xué)文化閱讀
1637 年, 法國數(shù)學(xué)家笛卡兒 (R. Descartes, 1596-1650)在《幾何 學(xué)》中第一次提到“未知和未定的量”, 涉及了變量, 同時也引入函數(shù) 的思想. 1692 年, 德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨 (G. Leibniz, 1646-1716) 最早 使用“函數(shù)”這個詞, 他用“函數(shù)”表示隨著曲線的變化而改變的幾何 量, 如切線和點(diǎn)的縱坐標(biāo)等.
1718 年, 瑞士數(shù)學(xué)家約翰 伯努利 (J. Bernoulli, 1667-1748) 給 出函數(shù)新的解釋: “由變量 和常量用任何方式構(gòu)成的量都可以叫作 的函數(shù). "
1755 年, 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉 (L. Euler, 1707-1783) 給出了函數(shù)的 如下定義: “如果某些變量, 以這樣一種方式依賴于另一些變量, 即當(dāng) 后面這些變量變化時, 前面這些變量也隨之而改變, 那么將前面的變 量稱為后面變量的函數(shù). ”在函數(shù)概念形成的早期階段, 由于接觸到 的函數(shù)都是解析式形式, 于是多數(shù)人認(rèn)為函數(shù)一定能用解析式表示, 他們很難理解不能用解析式表示的函數(shù).
隨著微積分等數(shù)學(xué)領(lǐng)域研究的深入, 人們對函數(shù)的本質(zhì)理解也 不斷加深. 1837 年, 德國數(shù)學(xué)家狄利克雷 (P. G. Dirichlet, 1805一 1859) 認(rèn)為: “如果對于 的每一個值, 總有一個完全確定的值與之 對應(yīng),那么 是 的函數(shù). ”此外,他還給出了 “狄利克雷函數(shù)”:
自此,人們對函數(shù)的本質(zhì)有了深刻的理解. “變量 是 的函數(shù)” 意味著: 只要有一個法則存在, 使得這個函數(shù)定義域中的每一個值 ,有一個確定的 值和它對應(yīng),而不管這個法則是公式、圖象、表格 還是其他形式.
19 世紀(jì) 70 年代后, 集合概念的出現(xiàn)使函數(shù)概念又得到進(jìn)一步的 發(fā)展. 人們用集合和對應(yīng)的語言來定義函數(shù)概念, 可以更深入地理解 函數(shù)本質(zhì).
1859 年, 我國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭 (1811-1882) 將 function 一詞 譯成“函數(shù)”, 并給出定義: “凡此變數(shù)中函彼變數(shù), 則此為彼之函數(shù). ” 這里的 “函”, 是包含的意思. 在國外的數(shù)學(xué)書上, 習(xí)慣將函數(shù) (即對應(yīng) 關(guān)系) 記為 ,而在國內(nèi)的數(shù)學(xué)書上,通常將函數(shù)寫為 .
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑