資源簡介

　　　　　第1練　機械振動
A級　基礎對點練
對點練1　簡諧運動的基本特征
1.如圖1所示，彈簧振子在A、B之間做簡諧運動，O為平衡位置，測得A、B間距為6 cm，小球完成30次全振動所用時間為60 s，則(　　)
圖1
A.該振子振動周期是2 s，振幅是6 cm
B.該振子振動頻率是2 Hz
C.小球完成一次全振動通過的路程是12 cm
D.小球過O點時開始計時，3 s內通過的路程為24 cm
2.(2024·浙江杭州聯考)如圖2為某魚漂示意圖。當魚漂靜止時，水位恰好在O點。用手將魚漂往下按，使M點到達水位處。松手后，魚漂會上下運動，魚漂上的M、N兩點在水位上下來回移動，且魚漂的運動是簡諧運動。下列說法正確的是(　　)
圖2
A.水位在O點時，魚漂的速度最大
B.N點到達水位處時，魚漂的位移向下最大
C.M點到達水位處時，魚漂具有向下的加速度
D.M、N之間的距離即魚漂的振幅
對點練2　簡諧運動的表達式和圖像
3.某質點的振動圖像如圖3所示，下列說法正確的是(　　)
圖3
A.1 s和3 s時刻，質點的速度相同
B.1 s到2 s時間內，質點的速度與加速度方向相同
C.簡諧運動的表達式為y＝2sin(0.5πt＋1.5π) cm
D.簡諧運動的表達式為y＝2sin(0.5πt＋0.5π) cm
4.(多選)一個質點經過平衡位置O，在A、B間做簡諧運動，如圖4甲所示，它的振動圖像如圖乙所示，設向右為正方向，則下列說法中正確的是(　　)
圖4
A.OB＝5 cm
B.第0.2 s末，質點的速度方向是A→O
C.第0.4 s末，質點的加速度方向是A→O
D.第0.7 s末，質點位置在O點與A點之間
對點練3　單擺及周期公式
5.擺球質量為m的單擺做簡諧運動，其動能Ek隨時間t的變化關系如圖5所示，重力加速度為g，則該單擺(　　)
圖5
A.擺長為
B.擺長為
C.擺球向心加速度的最大值為
D.擺球向心加速度的最大值為
6.(2024·廣東廣州模擬)將一臺智能手機水平粘在秋千的座椅上，使手機邊緣與座椅邊緣平行(圖6甲)，讓秋千以小擺角(小于5°)自由擺動，此時秋千可看作一個理想的單擺，擺長為l。從手機傳感器中得到了其垂直手機平面方向的a－t關系圖如圖乙所示。則以下說法正確的是(　　)
圖6
A.忽略空氣阻力，秋千的回復力由重力和拉力的合力提供
B.當秋千擺至最低點時，秋千對手機的支持力等于手機所受的重力
C.秋千擺動的周期為t3－t1
D.該地的重力加速度g＝
對點練4　受迫振動和共振
7.(2024·江蘇連云港模擬)飛力士棒是物理治療師發明的一種康復器材，它由一根PVC軟桿、兩端的負重頭和中間的握柄組成，棒的固有頻率為4.5 Hz，如圖7所示。下列說法正確的是(　　)
圖7
A.用力越大，棒振動得越快
B.增大手驅動的頻率，棒的振幅一定變大
C.增大手驅動的頻率，棒的振動頻率可能減小
D.雙手驅動該棒每分鐘振動270次，則棒的振幅最大
8.(多選)(2024·遼寧沈陽高三月考)共振現象是指一個物理系統在其自然的振動頻率(所謂的共振頻率)下趨于從周圍環境吸收更多能量的趨勢。自然中有許多地方有共振的現象。人類也在其技術中利用或者試圖避免共振現象。如圖8所示為一個單擺在地面上做受迫振動的共振曲線(振幅A與驅動力頻率f的關系)，重力加速度g取10 m/s2，下列說法正確的是(π2≈10)(　　)
圖8
A.此單擺的固有周期為2 s
B.此單擺的擺長約為2 m
C.若僅擺長增大，單擺的固有頻率增大
D.若僅擺長增大，共振曲線的峰將向左移
B級　綜合提升練
9.(2024·山東青島高三期中)如圖9甲所示，輕質彈簧下端固定在水平地面上，上端連接一輕質薄板。t＝0時刻，一物塊從其正上方某處由靜止下落，落至薄板上后和薄板始終粘連，粘接時間可忽略，其位置隨時間變化的圖像(x－t)如圖乙所示，其中t＝0.2 s時物塊剛接觸薄板。彈簧形變始終在彈性限度內，空氣阻力不計，重力加速度g＝10 m/s2，則(　　)
圖9
A.t＝0.4 s時物塊的加速度等于重力加速度
B.t＝0.7 s時物塊的加速度小于重力加速度
C.該物塊與薄板粘連后振動的周期為0.1 s
D.t＝0.2 s后物塊坐標位置隨時間變化關系為x＝0.3＋0.2sin (m)
10.(2022·浙江6月選考，11)如圖10所示，一根固定在墻上的水平光滑桿，兩端分別固定著相同的輕彈簧，兩彈簧自由端相距x。套在桿上的小球從中點以初速度v向右運動，小球將做周期為T的往復運動，則(　　)
圖10
A.小球做簡諧運動
B.小球動能的變化周期為
C.兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為T
D.小球的初速度為時，其運動周期為2T
11.(多選)如圖11甲是用力傳感器對單擺做小角度擺動過程進行測量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F－t圖像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N。已知擺球質量m＝100 g，重力加速度g取9.8 m/s2，π2取9.8，不計擺線質量及空氣阻力。下列說法正確的是(　　)
圖11
A.單擺周期為0.8 s
B.單擺擺長為0.64 m
C.F的最小值Fmin＝0.96 N
D.若僅將擺球質量變為200 g，單擺周期不變
C級　培優加強練
12.(多選)(2023·山東卷，10)如圖12所示，沿水平方向做簡諧振動的質點，依次通過相距L的A、B兩點。已知質點在A點的位移大小為振幅的一半，B點位移大小是A點的倍，質點經過A點時開始計時，t時刻第二次經過B點，該振動的振幅和周期可能是(　　)
圖12
A.，3t B.，4t
C.，t D.，t
第1練　機械振動
1.C　[由題意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝3 cm，A錯誤；頻率T＝，解得f＝0.5 Hz，B錯誤；小球完成一次全振動通過的路程為振幅的4倍，即s0＝4A＝12 cm，C正確；小球在3 s內通過的路程為s＝×4A＝×4×3 cm＝18 cm，D錯誤。]
2.A　[O點是平衡位置，根據簡諧運動的特點可知，水位在O點時，魚漂的速度最大，故A正確；魚漂的N點到達水位處時，說明魚漂向上運動，位移方向向上且最大，速度為零，故B錯誤；M點到達水位處時，魚漂向下的位移最大，具有向上的加速度，故C錯誤；魚漂上下做簡諧運動，偏離平衡位置的最大位移叫振幅，M點或N點到達水位處時，位移最大，振幅等于OM的長度或者ON的長度，故D錯誤。]
3.D　[y－t圖像上某點切線的斜率表示速度；1 s和3 s時刻，質點的速度大小相等，方向相反，故A錯誤；1 s到2 s時間內，質點做減速運動，加速度與速度方向相反，故B錯誤；振幅為A＝2 cm，周期為T＝4 s，ω＝＝ rad/s＝0.5π rad/s，t＝0時，y＝2 cm，則φ＝0.5 π，簡諧運動的表達式為y＝Asin(ωt＋φ)＝2sin(0.5πt＋0.5π) cm，故C錯誤，D正確。]
4.AC　[由題圖乙可知振幅為5 cm，則有OB＝OA＝5 cm，A正確；0～0.2 s內質點從B向O運動，即第0.2 s末質點的速度方向是O→A，B錯誤；第0.4 s末質點運動到A點處，則此時質點的加速度方向是A→O，C正確；第0.7 s末時質點位置在O與B之間，D錯誤。]
5.C　[由題圖可知，單擺的周期T＝4t0，根據單擺周期公式T＝2π，解得l＝，故A、B錯誤；擺球到最低點的動能Ek＝E0＝mv2，向心加速度的最大值為a＝，解得a＝，故C正確，D錯誤。]
6.C　[忽略空氣阻力，秋千的回復力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，A錯誤；在最低點，合力提供向心力有FN－mg＝m，秋千對手機的支持力FN＝mg＋m＞mg，故秋千對手機的支持力大于手機的重力，B錯誤；秋千的周期為從最大位移處到另外一最大位移處再回到最大位移處位置所用的時間，所以兩次經過最低點，有兩次向心加速度最大，根據垂直手機平面方向的a－t關系圖，可知周期為T＝t3－t1，C正確；根據單擺周期公式T＝t3－t1＝2π，可知當地重力加速度g＝，D錯誤。]
7.D　[使用者用力大小影響的是振幅，與振動快慢沒有關系，故A錯誤；增大手驅動的頻率，飛力士棒振動的頻率隨之增大，但是振幅不一定越來越大，故B、C錯誤；雙手驅動該飛力士棒每分鐘振動270次，則驅動力的頻率為f＝ Hz＝4.5 Hz，驅動力的頻率與飛力士棒的固有頻率相等，此時振幅最大，故D正確。]
8.AD　[當驅動力的頻率等于單擺的固有頻率時，發生共振現象，振幅達到最大，由題圖知，驅動力的頻率為0.5 Hz時，振幅最大，則此單擺的固有頻率為0.5 Hz，固有周期為2 s，故A正確；根據單擺周期公式T＝2π，解得此單擺的擺長約為L＝＝ m＝1 m，故B錯誤；若僅擺長增大，根據單擺周期公式，單擺的固有周期增大，固有頻率減小，共振曲線的峰將向左移，故C錯誤，D正確。]
9.D　[薄板為輕質薄板，質量可忽略不計。由題圖乙可知，t＝0.4 s時的B點對應的速度為零，物塊處于最低點位置；t＝0.7 s時的C點對應的速度為零，物塊處于與薄板粘連后的最高點；根據簡諧運動的對稱性可知，最高點的加速度和最低點的加速度大小相等，即aB＝aC，由于C點對應物塊處于最高點，此時彈簧處于伸長狀態，根據牛頓第二定律可得aC＝>g，故A、B錯誤；物塊從最低點B到最高點C所用時間為tBC＝0.7 s－0.4 s＝0.3 s，該物塊與薄板粘連后振動的周期為T＝2tBC＝0.6 s，故C錯誤；因為ω＝＝ rad/s，振幅為A＝ cm＝0.2 m，t＝0.2 s后物塊坐標位置隨時間變化關系為x＝0.3＋0.2sin m，當t＝0.4 s時，x＝0.5 m，代入上式得φ0＝－，所以x＝0.3＋0.2sin (m)，故D正確。]
10.B　[物體做簡諧運動的條件是它在運動中所受回復力與位移成正比，且方向總是指向平衡位置，可知小球在桿中點到接觸彈簧的過程，所受合力為零，此過程做勻速直線運動，故小球不是做簡諧運動，A錯誤；假設桿中點為O，小球向右壓縮彈簧至最大壓縮量時的位置為A，小球向左壓縮彈簧至最大壓縮量時的位置為B，可知小球做周期為T的往復運動，過程為O→A→O→B→O，根據對稱性可知小球從O→A→O與O→B→O，這兩個過程小球的動能變化完全一致，兩根彈簧的總彈性勢能的變化完全一致，故小球動能的變化周期為，兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為，B正確，C錯誤；小球的初速度為時，可知小球在勻速運動階段的時間變為原來的2倍，接觸彈簧過程，根據彈簧振子周期公式T0＝2π，可知與彈簧接觸過程所用時間與速度無關，即與彈簧接觸過程時間保持不變，故小球的初速度為時，其運動周期應小于2T，D錯誤。]
11.BCD　[分析可知小球在最低點時擺線受到的拉力最大，在F－t圖像上相鄰的兩次最大拉力的時間間隔剛好為單擺振動的半個周期，故T＝2×(0.9－0.1)s＝1.6 s，選項A錯誤；根據單擺的周期公式T＝2π可知單擺做簡諧振動的周期與擺球的質量無關，只與擺長和當地的重力加速度有關，選項D正確；由T＝2π得l＝＝0.64 m，選項B正確；分析可知當擺球上升到最高點時對擺線的拉力最小，設此時擺線與豎直方向的夾角為θ，故Fmin＝mgcos θ，從最高點到最低點的過程中只有重力對擺球做功，擺球的機械能守恒，則有mgl(1－cos θ)＝mv2，在最低點根據牛頓第二定律有Fmax－mg＝m，聯立解得Fmin＝＝0.96 N，選項C正確。]
12.BC　[當A、B兩點在平衡位置的同側時有A＝Asin φA，A＝Asin φB，可得φA＝，φB＝或者φB＝，因此可知第二次經過B點時φB＝，T＝t，解得T＝4t，此時位移關系為A－A＝L，解得A＝，故A錯誤，B正確；當A、B兩點在平衡位置兩側時，有－A＝Asin φA，A＝Asin φB，解得φA＝－或者φA＝－(由圖中運動方向，舍去)，φB＝或者φB＝，當第二次經過B點時，φB＝，則T＝t，解得T＝t，此時位移關系為A＋A＝L，解得A＝，故C正確，D錯誤。](共71張PPT)
第1講　機械振動
第七章　機械振動和機械波
認識簡諧運動，理解簡諧運動的表達式和圖像。
知道單擺，理解并熟記單擺的周期公式。
認識受迫振動，了解產生共振的條件及其應用。
學習目標
目 錄
CONTENTS
夯實必備知識
01
研透核心考點
02
提升素養能力
03
夯實必備知識
1
平衡位置
一、簡諧運動
回復力
平衡位置
平衡位置
效果
合力
分力
2.兩種模型
彈力
重力
原長
彈性勢能
重力勢能
－kx
二、簡諧運動的表達式和圖像
Asin(ωt＋φ)
初相
Asin ωt
Acos ωt
驅動力
三、受迫振動和共振
驅動力
無關
固有頻率
等于
振幅
Am
越小
1.思考判斷
(1)簡諧運動的平衡位置就是質點所受合力為零的位置。( )
(2)做簡諧運動的質點先后通過同一點，回復力、速度、加速度、位移都是相同的。( )
(3)做簡諧運動的質點，速度增大時，其加速度一定減小。( )
×
×
√
×
(5)單擺在任何情況下的運動都是簡諧運動。( )
(6)物體做受迫振動時，其振動頻率與固有頻率無關。( )
(7)簡諧運動的圖像描述的是振動質點的軌跡。( )
(8)簡諧運動的振動圖像一定是正弦曲線。( )
×
√
×
√
答案　小于　最大
3.[2022·河北卷，16(1)]一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，波速為10 m/s。在傳播方向上有P、Q兩質點，坐標分別為xP＝1 m，xQ＝6 m。波傳播到P點開始計時，該點的振動圖像如圖所示，則簡諧波的波長為________m，經過________s，Q點第一次到達正向最大位移處。
答案　2　0.55
4.如圖所示，兩個彈簧振子懸掛在同一支架上，已知甲彈簧振子的固有頻率為8 Hz，乙彈簧振子的固有頻率為72 Hz。當支架受到沿豎直方向且頻率為9 Hz的驅動力作用做受迫振動時，兩個彈簧振子的振動情況是(　　)
B
A.甲的振幅較大，且振動頻率為8 Hz
B.甲的振幅較大，且振動頻率為9 Hz
C.乙的振幅較大，且振動頻率為9 Hz
D.乙的振幅較大，且振動頻率為72 Hz
研透核心考點
2
考點二　簡諧運動的表達式和圖像
考點一　簡諧運動的基本特征
考點三　單擺及周期公式
考點四　受迫振動和共振
簡諧運動的五個特征
考點一　簡諧運動的基本特征
受力特征 回復力F＝－kx，F(或a)的大小與x的大小成正比，方向相反
運動特征 衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小
能量特征 振幅越大，能量越大。在運動過程中，動能和勢能相互轉化，系統的機械能守恒
A
例1 如圖1所示，小球在BC之間做簡諧運動，當小球位于O點時，彈簧處于原長，在小球從C點運動到O點的過程中(　　)
角度　　簡諧運動基本物理量的分析
圖1
A.動能不斷增大，加速度不斷減小
B.回復力不斷增大，系統機械能守恒
C.彈性勢能不斷減小，加速度不斷增大
D.彈性勢能不斷增大，加速度不斷減小
解析　做簡諧運動的小球，從C點到O點的過程中逐漸
衡位置，速度方向指向平衡位置，彈簧彈力充
當回復力，也指向平衡位置，故速度方向與受力方向相同，合外力做正功，動能不斷增大；同時由于偏離平衡位置的位移減小，由回復力公式F＝－kx可知，回復力逐漸減小，根據牛頓第二定律可知F＝－kx＝ma，故加速度不斷減小，故A正確；由上述分析可知回復力不斷減小，整個系統只有彈簧彈力做功，故系統的機械能守恒，故B錯誤；在小球從C點到O點的過程中，彈簧形變量逐漸減小，故彈性勢能逐漸減小，同時由上述分析可知，加速度也逐漸減小，故C、D錯誤。
D
例2 小球做簡諧運動，若從平衡位置O開始計時，經過0.5 s，小球第一次經過P點，又經過0.2 s，小球第二次經過P點，則再過多長時間該振子第三次經過P點(　　)
A.1.0 s B.2.4 s C.0.8 s D.2.2 s
角度　　簡諧運動的周期性與對稱性
解析　若小球從O點開始向指向P點的方向振動，作出示意圖如圖甲所示
則小球的振動周期為T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，則該小球再經過時間Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次經過P點；若小球從O點開始向背離P點的方向振動，作出示意圖如圖乙所示
以位移為橋梁分析簡諧運動中各物理量的變化情況
(1)位移增大時，振動質點的回復力、加速度、勢能均增大，速度、動能均減??；反之，則產生相反的變化，各矢量均在位移為零時均改變方向。
(2)位移相同時，回復力、加速度、動能、勢能可以確定，但速度可能有兩個方向，由于周期性，運動時間也不確定。　　
1.簡諧運動的振動方程和圖像
(1)從平衡位置開始計時：x＝Asin ωt，如圖甲所示。
(2)從最大位移處開始計時：x＝Acos ωt，如圖乙所示。
考點二　簡諧運動的表達式和圖像
(3)圖像反映的是位移隨時間的變化規律，隨時間的增加而延伸，圖像不代表質點運動的軌跡。
2.由圖像可獲取的信息
(1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ(如圖所示)。
(2)某時刻振動質點離開平衡位置的位移。
(3)某時刻質點速度的大小和方向：曲線上各點切線的斜率的大小和正負分別表示各時刻質點的速度大小和方向，速度的方向也可根據下一相鄰時刻質點的位移的變化來確定。
(4)某時刻質點的回復力和加速度的方向：回復力總是指向平衡位置，回復力和加速度的方向相同。
(5)某段時間內質點的位移、回復力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況。
3.簡諧運動的對稱性(如圖)
BD
例3 (多選)如圖2所示是一簡諧運動的振動圖像，則下列說法正確的是(　　)
圖2
BC
1.(多選)如圖3所示，為一個水平彈簧振子的振動圖像，下列說法正確的是(　　)
圖3
1.單擺的受力特征
考點三　單擺及周期公式
(2)向心力：擺線的拉力和擺球重力沿擺線方向分力的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ。
(3)兩點說明
(1)l為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離。
(2)g為當地重力加速度。
D
例4 如圖4甲所示，一個單擺做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置時開始計時，相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，g取10 m/s2。對于這個單擺的振動過程，下列說法中正確的是(　　)
圖4
A.單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x＝10 sin(2πt) cm
B.單擺的擺長約為10 cm
C.從t＝2.5 s到t＝3 s的過程中，擺球所受的回復力逐漸增大
D.從t＝2.5 s到t＝3 s的過程中，擺球所受繩子拉力逐漸增大
CD
2.(多選)(2024·海南?？谀M)如圖5所示是兩個理想單擺在同一地點的振動圖像，縱軸表示擺球偏離平衡位置的位移。下列說法中正確的是(　　)
圖5
簡諧運動、受迫振動和共振的關系比較
考點四　受迫振動和共振
振動 項目　　 簡諧運動 受迫振動 共振
振動周期或頻率 由系統本身性質決定，即固有周期T0或固有頻率f0 由驅動力的周期或頻率決定，即T＝T驅或f＝f驅 T驅＝T0或f驅＝f0
振動能量 系統的機械能不變 由產生驅動力的物體提供 振動物體獲得的能量最大
常見例子 彈簧振子或單擺(θ≤5°) 機械工作時底座發生的振動 共振篩、聲音的共鳴等
例5 科技館內有共振秋千，參觀者坐上秋千，雙腳離地，前后擺動，會發現對面的球擺也在跟著大幅度擺動。關于這個現象，以下說法不正確的是(　　)
圖6
A
A.如果改變對面球的質量，會使球擺動幅度變小
B.秋千系統的重心高度與對面球擺的重心高度大致相同
C.如果對秋千施加一個周期性的驅動力，球擺的振動周期與該驅動力周期相同
D.若把共振秋千移到太空艙中則無法實現共振現象
B
A.系統振動頻率為200 Hz
B.系統振動頻率為300 Hz
C.為獲得更好減噪效果，可僅增大L的大小
D.為獲得更好減噪效果，可僅換用σ更大的薄板
圖7
提升素養能力
3
C
對點練1　簡諧運動的基本特征
1.如圖1所示，彈簧振子在A、B之間做簡諧運動，O為平衡位置，測得A、B間距為6 cm，小球完成30次全振動所用時間為60 s，則(　　)
A級　基礎對點練
圖1
A.該振子振動周期是2 s，振幅是6 cm
B.該振子振動頻率是2 Hz
C.小球完成一次全振動通過的路程是12 cm
D.小球過O點時開始計時，3 s內通過的路程為24 cm
A
2.(2024·浙江杭州聯考)如圖2為某魚漂示意圖。當魚漂靜止時，水位恰好在O點。用手將魚漂往下按，使M點到達水位處。松手后，魚漂會上下運動，魚漂上的M、N兩點在水位上下來回移動，且魚漂的運動是簡諧運動。下列說法正確的是(　　)
圖2
A.水位在O點時，魚漂的速度最大
B.N點到達水位處時，魚漂的位移向下最大
C.M點到達水位處時，魚漂具有向下的加速度
D.M、N之間的距離即魚漂的振幅
解析　O點是平衡位置，根據簡諧運動的特點可知，水位在O點時，魚漂的速度最大，故A正確；魚漂的N點到達水位處時，說明魚漂向上運動，位移方向向上且最大，速度為零，故B錯誤；M點到達水位處時，魚漂向下的位移最大，具有向上的加速度，故C錯誤；魚漂上下做簡諧運動，偏離平衡位置的最大位移叫振幅，M點或N點到達水位處時，位移最大，振幅等于OM的長度或者ON的長度，故D錯誤。
D
對點練2　簡諧運動的表達式和圖像
3.某質點的振動圖像如圖3所示，下列說法正確的是(　　)
圖3
A.1 s和3 s時刻，質點的速度相同
B.1 s到2 s時間內，質點的速度與加速度方向相同
C.簡諧運動的表達式為y＝2sin(0.5πt＋1.5π) cm
D.簡諧運動的表達式為y＝2sin(0.5πt＋0.5π) cm
AC
4.(多選)一個質點經過平衡位置O，在A、B間做簡諧運動，如圖4甲所示，它的振動圖像如圖乙所示，設向右為正方向，則下列說法中正確的是(　　)
圖4
A.OB＝5 cm
B.第0.2 s末，質點的速度方向是A→O
C.第0.4 s末，質點的加速度方向是A→O
D.第0.7 s末，質點位置在O點與A點之間
解析　由題圖乙可知振幅為5 cm，則有OB＝OA＝5 cm，A正確；0～0.2 s內質點從B向O運動，即第0.2 s末質點的速度方向是O→A，B錯誤；第0.4 s末質點運動到A點處，則此時質點的加速度方向是A→O，C正確；第0.7 s末時質點位置在O與B之間，D錯誤。
C
對點練3　單擺及周期公式
5.擺球質量為m的單擺做簡諧運動，其動能Ek隨時間t的變化關系如圖5所示，重力加速度為g，則該單擺(　　)
圖5
C
6.(2024·廣東廣州模擬)將一臺智能手機水平粘在秋千的座椅上，使手機邊緣與座椅邊緣平行(圖6甲)，讓秋千以小擺角(小于5°)自由擺動，此時秋千可看作一個理想的單擺，擺長為l。從手機傳感器中得到了其垂直手機平面方向的a－t關系圖如圖乙所示。則以下說法正確的是(　　)
圖6
A.忽略空氣阻力，秋千的回復力由重力和拉力的合力提供
B.當秋千擺至最低點時，秋千對手機的支持力等于手機所受的重力
C.秋千擺動的周期為t3－t1
＞mg，故秋千對手機的支持力大于手機的重力，B錯誤；秋千的周期為從最大位移處到另外一最大位移處再回到最大位移處位置所用的時間，所以兩次經過最低點，有兩次向心加速度最大，根據垂直手機平面方向的a－t關系圖，可知周期
D
對點練4　受迫振動和共振
7.(2024·江蘇連云港模擬)飛力士棒是物理治療師發明的一種康復器材，它由一根PVC軟桿、兩端的負重頭和中間的握柄組成，棒的固有頻率為4.5 Hz，如圖7所示。下列說法正確的是(　　)
圖7
A.用力越大，棒振動得越快
B.增大手驅動的頻率，棒的振幅一定變大
C.增大手驅動的頻率，棒的振動頻率可能
減小
D.雙手驅動該棒每分鐘振動270次，則棒的振幅最大
AD
8.(多選)(2024·遼寧沈陽高三月考)共振現象是指一個物理系統在其自然的振動頻率(所謂的共振頻率)下趨于從周圍環境吸收更多能量的趨勢。自然中有許多地方有共振的現象。人類也在其技術中利用或者試圖避免共振現象。如圖8所示為一個單擺在地面上做受迫振動的共振曲線(振幅A與驅動力頻率f的關系)，重力加速度g取10 m/s2，下列說法正確的是(π2≈10)(　　)
圖8
A.此單擺的固有周期為2 s
B.此單擺的擺長約為2 m
C.若僅擺長增大，單擺的固有頻率增大
D.若僅擺長增大，共振曲線的峰將向左移
D
9.(2024·山東青島高三期中)如圖9甲所示，輕質彈簧下端固定在水平地面上，上端連接一輕質薄板。t＝0時刻，一物塊從其正上方某處由靜止下落，落至薄板上后和薄板始終粘連，粘接時間可忽略，其位置隨時間變化的圖像(x－t)如圖乙所示，其中t＝0.2 s時物塊剛接觸薄板。彈簧形變始終在彈性限度內，空氣阻力不計，重力加速度g＝10 m/s2，則(　　)
B級　綜合提升練
圖9
A.t＝0.4 s時物塊的加速度等于重力加速度
B.t＝0.7 s時物塊的加速度小于重力加速度
C.該物塊與薄板粘連后振動的周期為0.1 s
B
10.(2022·浙江6月選考，11)如圖10所示，一根固定在墻上的水平光滑桿，兩端分別固定著相同的輕彈簧，兩彈簧自由端相距x。套在桿上的小球從中點以初速度v向右運動，小球將做周期為T的往復運動，則(　　)
圖10
解析　物體做簡諧運動的條件是它在運動中所受回復力與位移成正比，且方向總是指向平衡位置，可知小球在桿中點到接觸彈簧的過程，所受合力為零，此過程做勻速直線運動，故小球不是做簡諧運動，A錯誤；假設桿中點為O，小球向右壓縮彈簧至最大壓縮量時的位置為A，小球向左壓縮彈簧至最大壓縮量時的位置為B，可知小球做周期為T的往復運動，過程為O→A→O→B→O，根據對稱性可知小球從O→A→O與O→B→O，這兩個過程小球的動能變化完全
BCD
11.(多選)如圖11甲是用力傳感器對單擺做小角度擺動過程進行測量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F－t圖像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N。已知擺球質量m＝100 g，重力加速度g取9.8 m/s2，π2取9.8，不計擺線質量及空氣阻力。下列說法正確的是(　 　)
圖11
A.單擺周期為0.8 s
B.單擺擺長為0.64 m
C.F的最小值Fmin＝0.96 N
D.若僅將擺球質量變為200 g，單擺周期不變
選項C正確。
BC
C級　培優加強練
圖12
本節內容結束
THANKS第1講　機械振動
學習目標　1.認識簡諧運動，理解簡諧運動的表達式和圖像。 2.知道單擺，理解并熟記單擺的周期公式。 3.認識受迫振動，了解產生共振的條件及其應用。
一、簡諧運動
2.兩種模型
模型 彈簧振子 單擺
示意圖
簡諧運 動條件 (1)彈簧質量可忽略 (2)無摩擦等阻力 (3)在彈簧彈性限度內 (1)擺線為不可伸縮的輕細線 (2)無空氣阻力 (3)擺角小于等于5°
回復力 彈簧的彈力提供 擺球重力沿與擺線垂直方向(即切向)的分力
平衡位置 彈簧處于原長處 最低點
周期 與振幅無關 T＝2π
能量 轉化 彈性勢能與動能的相互轉化，系統的機械能守恒 重力勢能與動能的相互轉化，擺球機械能守恒
二、簡諧運動的表達式和圖像
三、受迫振動和共振
1.思考判斷
(1)簡諧運動的平衡位置就是質點所受合力為零的位置。(×)
(2)做簡諧運動的質點先后通過同一點，回復力、速度、加速度、位移都是相同的。(×)
(3)做簡諧運動的質點，速度增大時，其加速度一定減小。(√)
(4)振動物體經過半個周期，路程等于2倍振幅；經過個周期，路程等于振幅。(×)
(5)單擺在任何情況下的運動都是簡諧運動。(×)
(6)物體做受迫振動時，其振動頻率與固有頻率無關。(√)
(7)簡諧運動的圖像描述的是振動質點的軌跡。(×)
(8)簡諧運動的振動圖像一定是正弦曲線。(√)
2.[2021·廣東卷，16(1)]如圖所示，一個輕質彈簧下端掛一小球，小球靜止。現將小球向下拉動距離A后由靜止釋放，并開始計時，小球在豎直方向做簡諧運動，周期為T。經時間，小球從最低點向上運動的距離________(填“大于”“小于”或“等于”)；在時刻，小球的動能________(填“最大”或“最小”)。
答案　小于　最大
3.[2022·河北卷，16(1)]一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，波速為10 m/s。在傳播方向上有P、Q兩質點，坐標分別為xP＝1 m，xQ＝6 m。波傳播到P點開始計時，該點的振動圖像如圖所示，則簡諧波的波長為________m，經過________s，Q點第一次到達正向最大位移處。
答案　2　0.55
4.如圖所示，兩個彈簧振子懸掛在同一支架上，已知甲彈簧振子的固有頻率為8 Hz，乙彈簧振子的固有頻率為72 Hz。當支架受到沿豎直方向且頻率為9 Hz的驅動力作用做受迫振動時，兩個彈簧振子的振動情況是(　　)
A.甲的振幅較大，且振動頻率為8 Hz
B.甲的振幅較大，且振動頻率為9 Hz
C.乙的振幅較大，且振動頻率為9 Hz
D.乙的振幅較大，且振動頻率為72 Hz
答案　B
考點一　簡諧運動的基本特征
簡諧運動的五個特征
受力特征 回復力F＝－kx，F(或a)的大小與x的大小成正比，方向相反
運動特征 衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小
能量特征 振幅越大，能量越大。在運動過程中，動能和勢能相互轉化，系統的機械能守恒
周期性特征 質點的位移、回復力、加速度和速度均隨時間做周期性變化，變化周期就是簡諧運動的周期T；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周期為
對稱性特征 關于平衡位置O對稱的兩點，加速度的大小、速度的大小、動能、勢能均相等，相對平衡位置的位移大小均相等
角度　簡諧運動基本物理量的分析
例1 如圖1所示，小球在BC之間做簡諧運動，當小球位于O點時，彈簧處于原長，在小球從C點運動到O點的過程中(　　)
圖1
A.動能不斷增大，加速度不斷減小
B.回復力不斷增大，系統機械能守恒
C.彈性勢能不斷減小，加速度不斷增大
D.彈性勢能不斷增大，加速度不斷減小
答案　A
解析　做簡諧運動的小球，從C點到O點的過程中逐漸衡位置，速度方向指向平衡位置，彈簧彈力充當回復力，也指向平衡位置，故速度方向與受力方向相同，合外力做正功，動能不斷增大；同時由于偏離平衡位置的位移減小，由回復力公式F＝－kx可知，回復力逐漸減小，根據牛頓第二定律可知F＝－kx＝ma，故加速度不斷減小，故A正確；由上述分析可知回復力不斷減小，整個系統只有彈簧彈力做功，故系統的機械能守恒，故B錯誤；在小球從C點到O點的過程中，彈簧形變量逐漸減小，故彈性勢能逐漸減小，同時由上述分析可知，加速度也逐漸減小，故C、D錯誤。
角度　簡諧運動的周期性與對稱性
例2 小球做簡諧運動，若從平衡位置O開始計時，經過0.5 s，小球第一次經過P點，又經過0.2 s，小球第二次經過P點，則再過多長時間該振子第三次經過P點(　　)
A.1.0 s B.2.4 s
C.0.8 s D.2.2 s
答案　D
解析　若小球從O點開始向指向P點的方向振動，作出示意圖如圖甲所示
則小球的振動周期為T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，則該小球再經過時間Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次經過P點；若小球從O點開始向背離P點的方向振動，作出示意圖如圖乙所示
則有0.5 s＋0.1 s＝T2，小球的振動周期為T2＝0.8 s，則該小球再經過時間Δt′＝T2－0.2 s＝0.6 s，第三次經過P點，A、B、C錯誤，D正確。
以位移為橋梁分析簡諧運動中各物理量的變化情況
(1)位移增大時，振動質點的回復力、加速度、勢能均增大，速度、動能均減小；反之，則產生相反的變化，各矢量均在位移為零時均改變方向。
(2)位移相同時，回復力、加速度、動能、勢能可以確定，但速度可能有兩個方向，由于周期性，運動時間也不確定。　　
考點二　簡諧運動的表達式和圖像
1.簡諧運動的振動方程和圖像
(1)從平衡位置開始計時：x＝Asin ωt，如圖甲所示。
(2)從最大位移處開始計時：x＝Acos ωt，如圖乙所示。
(3)圖像反映的是位移隨時間的變化規律，隨時間的增加而延伸，圖像不代表質點運動的軌跡。
2.由圖像可獲取的信息
(1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ(如圖所示)。
(2)某時刻振動質點離開平衡位置的位移。
(3)某時刻質點速度的大小和方向：曲線上各點切線的斜率的大小和正負分別表示各時刻質點的速度大小和方向，速度的方向也可根據下一相鄰時刻質點的位移的變化來確定。
(4)某時刻質點的回復力和加速度的方向：回復力總是指向平衡位置，回復力和加速度的方向相同。
(5)某段時間內質點的位移、回復力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況。
3.簡諧運動的對稱性(如圖)
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的兩個時刻，彈簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2…)的兩個時刻，彈簧振子的位置關于平衡位置對稱，位移等大反向(或都為零)，速度也等大反向(或都為零)。
例3 (多選)如圖2所示是一簡諧運動的振動圖像，則下列說法正確的是(　　)
圖2
A.該簡諧運動的振幅為6 cm，周期為8 s
B.6～8 s時間內，振子由負向最大位移處向平衡位置運動
C.圖中的正弦曲線表示振子的運動軌跡
D.該振動圖像對應的表達式為x＝3sin cm
答案　BD
解析　由題圖可知，該簡諧運動的振幅為3 cm，周期為8 s，故A錯誤；6～8 s時間內，振子負方向的位移大小減小，8 s末回到平衡位置，所以振子由負向最大位移處向平衡位置運動，故B正確；題圖中的正弦曲線表示振子偏離平衡位置的位移隨時間變化的規律，不是振子的運動軌跡，故C錯誤；振動圖像表達式為x＝Asin cm，代入振幅A和周期T，則該振動圖像對應的表達式為x＝3sin cm，故D正確。
1.(多選)如圖3所示，為一個水平彈簧振子的振動圖像，下列說法正確的是(　　)
圖3
A.t＝1 s到t＝2 s內，彈簧振子的動能不斷減小
B.該彈簧振子的振動方程為x＝－10sincm
C.t＝3 s時，彈簧振子的加速度沿x軸負方向
D.t＝0到t＝10 s內彈簧振子的路程為50 cm
答案　BC
解析　t＝1 s到t＝2 s內，彈簧振子從位移最大位置向平衡位置運動，則振子的動能不斷增加，選項A錯誤；因為ω＝＝ rad/s，振幅A＝10 cm，該彈簧振子的振動方程為x＝－10sin cm，選項B正確；t＝3 s時，彈簧振子的位移正向最大，則加速度沿x軸負方向，選項C正確；因10 s＝2.5T，則t＝0到t＝10 s內彈簧振子的路程為2.5×4A＝100 cm，選項D錯誤。
考點三　單擺及周期公式
1.單擺的受力特征
(1)回復力：擺球重力沿與擺線垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，負號表示回復力F回與位移x的方向相反。
(2)向心力：擺線的拉力和擺球重力沿擺線方向分力的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ。
(3)兩點說明
①當擺球在最高點時，v＝0，Fn＝＝0，FT＝mgcos θ。
②當擺球在最低點時，Fn＝m，Fn最大，FT＝mg＋m。
2.周期公式T＝2π的兩點說明
(1)l為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離。
(2)g為當地重力加速度。
例4 如圖4甲所示，一個單擺做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置時開始計時，相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，g取10 m/s2。對于這個單擺的振動過程，下列說法中正確的是(　　)
圖4
A.單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x＝10 sin(2πt) cm
B.單擺的擺長約為10 cm
C.從t＝2.5 s到t＝3 s的過程中，擺球所受的回復力逐漸增大
D.從t＝2.5 s到t＝3 s的過程中，擺球所受繩子拉力逐漸增大
答案　D
解析　由題圖乙可知，振幅A＝10 cm，單擺周期T＝2 s，則圓頻率ω＝＝π rad/s，可得單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x＝10sin(πt) cm，A錯誤；由單擺的周期公式T＝2π解得單擺的擺長約為100 cm，B錯誤；由題圖乙可知，從t＝2.5 s到t＝3 s的過程中，擺球從最大位移處向平衡位置運動，所以加速度在減小，回復力在減小，擺球的速度在增大，設繩子與豎直方向的夾角為θ，則繩子的拉力FT＝Gcos θ＋m，此時θ減小，v增大，所以拉力逐漸增大，C錯誤，D正確。
2.(多選)(2024·海南海口模擬)如圖5所示是兩個理想單擺在同一地點的振動圖像，縱軸表示擺球偏離平衡位置的位移。下列說法中正確的是(　　)
圖5
A.t＝2 s時，甲單擺的擺線拉力為0，乙的速度為0
B.增大乙的擺球質量，乙的周期有可能與甲相等
C.甲擺球和乙擺球永遠不可能同時均處于動能最小的狀態
D.乙擺球位移隨時間變化的關系式為x＝sin cm
答案　CD
解析　t＝2 s時，甲單擺運動到最低點，擺球速度最大，細線拉力和小球重力的合力提供向心力，擺線拉力不為0，故A錯誤；由周期公式T＝2π可知，周期與擺球質量沒有關系，故B錯誤；由題圖可知，乙的周期是甲的2倍，甲、乙同時從平衡位置向正方向運動，則永遠不可能同時均處于動能最小的狀態，故C正確；由題圖可知，乙單擺的振幅為1 cm，圓頻率為ω＝＝ rad/s，又有t＝0時，x＝0，且開始向正方向運動，則乙擺球位移隨時間變化的關系式為x＝sin cm，故D正確。
考點四　受迫振動和共振
簡諧運動、受迫振動和共振的關系比較
振動 項目　　 簡諧運動 受迫振動 共振
振動周期或頻率 由系統本身性質決定，即固有周期T0或固有頻率f0 由驅動力的周期或頻率決定，即T＝T驅或f＝f驅 T驅＝T0或f驅＝f0
振動能量 系統的機械能不變 由產生驅動力的物體提供 振動物體獲得的能量最大
常見例子 彈簧振子或單擺(θ≤5°) 機械工作時底座發生的振動 共振篩、聲音的共鳴等
例5 科技館內有共振秋千，參觀者坐上秋千，雙腳離地，前后擺動，會發現對面的球擺也在跟著大幅度擺動。關于這個現象，以下說法不正確的是(　　)
圖6
A.如果改變對面球的質量，會使球擺動幅度變小
B.秋千系統的重心高度與對面球擺的重心高度大致相同
C.如果對秋千施加一個周期性的驅動力，球擺的振動周期與該驅動力周期相同
D.若把共振秋千移到太空艙中則無法實現共振現象
答案　A
解析　球發生擺動是因為參觀者晃動秋千使球做受迫振動，受迫振動的周期和頻率等于驅動力的周期和頻率，故球擺的振動周期與對該秋千施加的周期性的驅動力的周期相同，C正確；球的擺動幅度和參觀者晃動秋千的頻率與球擺的固有頻率有關，根據T＝2π，可知球擺的固有頻率只與擺長和重力加速度有關，與質量沒有關系，A錯誤；發現對面的球擺也在跟著大幅度擺動，說明發生了共振，周期相同，則擺長相同，說明重心高度大致相同，B正確；球擺的重力沿切線方向的分力提供回復力，共振秋千移到太空艙中處于完全失重狀態，則不能形成單擺，所以無法實現共振現象，D正確。
3.(2024·山東棗莊高三期中)某種減噪裝置結構如圖7所示，通過裝置的共振可吸收聲波。已知其固有頻率為f0＝(SI制)，其中σ為薄板單位面積的質量，L為空氣層的厚度。經測試發現它對頻率為200 Hz的聲音減噪效果最強，若外界聲波頻率由200 Hz變為300 Hz，則(　　)
圖7
A.系統振動頻率為200 Hz
B.系統振動頻率為300 Hz
C.為獲得更好減噪效果，可僅增大L的大小
D.為獲得更好減噪效果，可僅換用σ更大的薄板
答案　B
解析　系統做受迫振動，振動時的頻率等于驅動力的頻率，即為300 Hz，故A錯誤，B正確；由于驅動力的頻率大于系統的固有頻率，在驅動力的頻率一定時，為獲得更好減噪效果，應使系統的固有頻率增大，由f0＝(SI制)可知，應減小σ或L，故C、D錯誤。
A級　基礎對點練
對點練1　簡諧運動的基本特征
1.如圖1所示，彈簧振子在A、B之間做簡諧運動，O為平衡位置，測得A、B間距為6 cm，小球完成30次全振動所用時間為60 s，則(　　)
圖1
A.該振子振動周期是2 s，振幅是6 cm
B.該振子振動頻率是2 Hz
C.小球完成一次全振動通過的路程是12 cm
D.小球過O點時開始計時，3 s內通過的路程為24 cm
答案　C
解析　由題意可知T＝ s＝2 s，A＝ cm＝3 cm，A錯誤；頻率T＝，解得f＝0.5 Hz，B錯誤；小球完成一次全振動通過的路程為振幅的4倍，即s0＝4A＝12 cm，C正確；小球在3 s內通過的路程為s＝×4A＝×4×3 cm＝18 cm，D錯誤。
2.(2024·浙江杭州聯考)如圖2為某魚漂示意圖。當魚漂靜止時，水位恰好在O點。用手將魚漂往下按，使M點到達水位處。松手后，魚漂會上下運動，魚漂上的M、N兩點在水位上下來回移動，且魚漂的運動是簡諧運動。下列說法正確的是(　　)
圖2
A.水位在O點時，魚漂的速度最大
B.N點到達水位處時，魚漂的位移向下最大
C.M點到達水位處時，魚漂具有向下的加速度
D.M、N之間的距離即魚漂的振幅
答案　A
解析　O點是平衡位置，根據簡諧運動的特點可知，水位在O點時，魚漂的速度最大，故A正確；魚漂的N點到達水位處時，說明魚漂向上運動，位移方向向上且最大，速度為零，故B錯誤；M點到達水位處時，魚漂向下的位移最大，具有向上的加速度，故C錯誤；魚漂上下做簡諧運動，偏離平衡位置的最大位移叫振幅，M點或N點到達水位處時，位移最大，振幅等于OM的長度或者ON的長度，故D錯誤。
對點練2　簡諧運動的表達式和圖像
3.某質點的振動圖像如圖3所示，下列說法正確的是(　　)
圖3
A.1 s和3 s時刻，質點的速度相同
B.1 s到2 s時間內，質點的速度與加速度方向相同
C.簡諧運動的表達式為y＝2sin(0.5πt＋1.5π) cm
D.簡諧運動的表達式為y＝2sin(0.5πt＋0.5π) cm
答案　D
解析　y－t圖像上某點切線的斜率表示速度；1 s和3 s時刻，質點的速度大小相等，方向相反，故A錯誤；1 s到2 s時間內，質點做減速運動，加速度與速度方向相反，故B錯誤；振幅為A＝2 cm，周期為T＝4 s，ω＝＝ rad/s＝0.5π rad/s，t＝0時，y＝2 cm，則φ＝0.5 π，簡諧運動的表達式為y＝Asin(ωt＋φ)＝2sin(0.5πt＋0.5π) cm，故C錯誤，D正確。
4.(多選)一個質點經過平衡位置O，在A、B間做簡諧運動，如圖4甲所示，它的振動圖像如圖乙所示，設向右為正方向，則下列說法中正確的是(　　)
圖4
A.OB＝5 cm
B.第0.2 s末，質點的速度方向是A→O
C.第0.4 s末，質點的加速度方向是A→O
D.第0.7 s末，質點位置在O點與A點之間
答案　AC
解析　由題圖乙可知振幅為5 cm，則有OB＝OA＝5 cm，A正確；0～0.2 s內質點從B向O運動，即第0.2 s末質點的速度方向是O→A，B錯誤；第0.4 s末質點運動到A點處，則此時質點的加速度方向是A→O，C正確；第0.7 s末時質點位置在O與B之間，D錯誤。
對點練3　單擺及周期公式
5.擺球質量為m的單擺做簡諧運動，其動能Ek隨時間t的變化關系如圖5所示，重力加速度為g，則該單擺(　　)
圖5
A.擺長為
B.擺長為
C.擺球向心加速度的最大值為
D.擺球向心加速度的最大值為
答案　C
解析　由題圖可知，單擺的周期T＝4t0，根據單擺周期公式T＝2π，解得l＝，故A、B錯誤；擺球到最低點的動能Ek＝E0＝mv2，向心加速度的最大值為a＝，解得a＝，故C正確，D錯誤。
6.(2024·廣東廣州模擬)將一臺智能手機水平粘在秋千的座椅上，使手機邊緣與座椅邊緣平行(圖6甲)，讓秋千以小擺角(小于5°)自由擺動，此時秋千可看作一個理想的單擺，擺長為l。從手機傳感器中得到了其垂直手機平面方向的a－t關系圖如圖乙所示。則以下說法正確的是(　　)
圖6
A.忽略空氣阻力，秋千的回復力由重力和拉力的合力提供
B.當秋千擺至最低點時，秋千對手機的支持力等于手機所受的重力
C.秋千擺動的周期為t3－t1
D.該地的重力加速度g＝
答案　C
解析　忽略空氣阻力，秋千的回復力由重力沿圓弧切線方向的分力提供，A錯誤；在最低點，合力提供向心力有FN－mg＝m，秋千對手機的支持力FN＝mg＋m＞mg，故秋千對手機的支持力大于手機的重力，B錯誤；秋千的周期為從最大位移處到另外一最大位移處再回到最大位移處位置所用的時間，所以兩次經過最低點，有兩次向心加速度最大，根據垂直手機平面方向的a－t關系圖，可知周期為T＝t3－t1，C正確；根據單擺周期公式T＝t3－t1＝2π，可知當地重力加速度g＝，D錯誤。
對點練4　受迫振動和共振
7.(2024·江蘇連云港模擬)飛力士棒是物理治療師發明的一種康復器材，它由一根PVC軟桿、兩端的負重頭和中間的握柄組成，棒的固有頻率為4.5 Hz，如圖7所示。下列說法正確的是(　　)
圖7
A.用力越大，棒振動得越快
B.增大手驅動的頻率，棒的振幅一定變大
C.增大手驅動的頻率，棒的振動頻率可能減小
D.雙手驅動該棒每分鐘振動270次，則棒的振幅最大
答案　D
解析　使用者用力大小影響的是振幅，與振動快慢沒有關系，故A錯誤；增大手驅動的頻率，飛力士棒振動的頻率隨之增大，但是振幅不一定越來越大，故B、C錯誤；雙手驅動該飛力士棒每分鐘振動270次，則驅動力的頻率為f＝ Hz＝4.5 Hz，驅動力的頻率與飛力士棒的固有頻率相等，此時振幅最大，故D正確。
8.(多選)(2024·遼寧沈陽高三月考)共振現象是指一個物理系統在其自然的振動頻率(所謂的共振頻率)下趨于從周圍環境吸收更多能量的趨勢。自然中有許多地方有共振的現象。人類也在其技術中利用或者試圖避免共振現象。如圖8所示為一個單擺在地面上做受迫振動的共振曲線(振幅A與驅動力頻率f的關系)，重力加速度g取10 m/s2，下列說法正確的是(π2≈10)(　　)
圖8
A.此單擺的固有周期為2 s
B.此單擺的擺長約為2 m
C.若僅擺長增大，單擺的固有頻率增大
D.若僅擺長增大，共振曲線的峰將向左移
答案　AD
解析　當驅動力的頻率等于單擺的固有頻率時，發生共振現象，振幅達到最大，由題圖知，驅動力的頻率為0.5 Hz時，振幅最大，則此單擺的固有頻率為0.5 Hz，固有周期為2 s，故A正確；根據單擺周期公式T＝2π，解得此單擺的擺長約為L＝＝ m＝1 m，故B錯誤；若僅擺長增大，根據單擺周期公式，單擺的固有周期增大，固有頻率減小，共振曲線的峰將向左移，故C錯誤，D正確。
B級　綜合提升練
9.(2024·山東青島高三期中)如圖9甲所示，輕質彈簧下端固定在水平地面上，上端連接一輕質薄板。t＝0時刻，一物塊從其正上方某處由靜止下落，落至薄板上后和薄板始終粘連，粘接時間可忽略，其位置隨時間變化的圖像(x－t)如圖乙所示，其中t＝0.2 s時物塊剛接觸薄板。彈簧形變始終在彈性限度內，空氣阻力不計，重力加速度g＝10 m/s2，則(　　)
圖9
A.t＝0.4 s時物塊的加速度等于重力加速度
B.t＝0.7 s時物塊的加速度小于重力加速度
C.該物塊與薄板粘連后振動的周期為0.1 s
D.t＝0.2 s后物塊坐標位置隨時間變化關系為x＝0.3＋0.2sin (m)
答案　D
解析　薄板為輕質薄板，質量可忽略不計。由題圖乙可知，t＝0.4 s時的B點對應的速度為零，物塊處于最低點位置；t＝0.7 s時的C點對應的速度為零，物塊處于與薄板粘連后的最高點；根據簡諧運動的對稱性可知，最高點的加速度和最低點的加速度大小相等，即aB＝aC，由于C點對應物塊處于最高點，此時彈簧處于伸長狀態，根據牛頓第二定律可得aC＝>g，故A、B錯誤；物塊從最低點B到最高點C所用時間為tBC＝0.7 s－0.4 s＝0.3 s，該物塊與薄板粘連后振動的周期為T＝2tBC＝0.6 s，故C錯誤；因為ω＝＝ rad/s，振幅為A＝ cm＝0.2 m，t＝0.2 s后物塊坐標位置隨時間變化關系為x＝0.3＋0.2sin m，當t＝0.4 s時，x＝0.5 m，代入上式得φ0＝－，所以x＝0.3＋0.2sin (m)，故D正確。
10.(2022·浙江6月選考，11)如圖10所示，一根固定在墻上的水平光滑桿，兩端分別固定著相同的輕彈簧，兩彈簧自由端相距x。套在桿上的小球從中點以初速度v向右運動，小球將做周期為T的往復運動，則(　　)
圖10
A.小球做簡諧運動
B.小球動能的變化周期為
C.兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為T
D.小球的初速度為時，其運動周期為2T
答案　B
解析　物體做簡諧運動的條件是它在運動中所受回復力與位移成正比，且方向總是指向平衡位置，可知小球在桿中點到接觸彈簧的過程，所受合力為零，此過程做勻速直線運動，故小球不是做簡諧運動，A錯誤；假設桿中點為O，小球向右壓縮彈簧至最大壓縮量時的位置為A，小球向左壓縮彈簧至最大壓縮量時的位置為B，可知小球做周期為T的往復運動，過程為O→A→O→B→O，根據對稱性可知小球從O→A→O與O→B→O，這兩個過程小球的動能變化完全一致，兩根彈簧的總彈性勢能的變化完全一致，故小球動能的變化周期為，兩根彈簧的總彈性勢能的變化周期為，B正確，C錯誤；小球的初速度為時，可知小球在勻速運動階段的時間變為原來的2倍，接觸彈簧過程，根據彈簧振子周期公式T0＝2π，可知與彈簧接觸過程所用時間與速度無關，即與彈簧接觸過程時間保持不變，故小球的初速度為時，其運動周期應小于2T，D錯誤。
11.(多選)如圖11甲是用力傳感器對單擺做小角度擺動過程進行測量的裝置圖，圖乙是與力傳感器連接的計算機屏幕所顯示的F－t圖像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N。已知擺球質量m＝100 g，重力加速度g取9.8 m/s2，π2取9.8，不計擺線質量及空氣阻力。下列說法正確的是(　　)
圖11
A.單擺周期為0.8 s
B.單擺擺長為0.64 m
C.F的最小值Fmin＝0.96 N
D.若僅將擺球質量變為200 g，單擺周期不變
答案　BCD
解析　分析可知小球在最低點時擺線受到的拉力最大，在F－t圖像上相鄰的兩次最大拉力的時間間隔剛好為單擺振動的半個周期，故T＝2×(0.9－0.1)s＝1.6 s，選項A錯誤；根據單擺的周期公式T＝2π可知單擺做簡諧振動的周期與擺球的質量無關，只與擺長和當地的重力加速度有關，選項D正確；由T＝2π得l＝＝0.64 m，選項B正確；分析可知當擺球上升到最高點時對擺線的拉力最小，設此時擺線與豎直方向的夾角為θ，故Fmin＝mgcos θ，從最高點到最低點的過程中只有重力對擺球做功，擺球的機械能守恒，則有mgl(1－cos θ)＝mv2，在最低點根據牛頓第二定律有Fmax－mg＝m，聯立解得Fmin＝＝0.96 N，選項C正確。
C級　培優加強練
12.(多選)(2023·山東卷，10)如圖12所示，沿水平方向做簡諧振動的質點，依次通過相距L的A、B兩點。已知質點在A點的位移大小為振幅的一半，B點位移大小是A點的倍，質點經過A點時開始計時，t時刻第二次經過B點，該振動的振幅和周期可能是(　　)
圖12
A.，3t B.，4t
C.，t D.，t
答案　BC
解析　當A、B兩點在平衡位置的同側時有A＝Asin φA，A＝Asin φB，可得φA＝，φB＝或者φB＝，因此可知第二次經過B點時φB＝，T＝t，解得T＝4t，此時位移關系為A－A＝L，解得A＝，故A錯誤，B正確；當A、B兩點在平衡位置兩側時，有－A＝Asin φA，A＝Asin φB，解得φA＝－或者φA＝－(由圖中運動方向，舍去)，φB＝或者φB＝，當第二次經過B點時，φB＝，則T＝t，解得T＝t，此時位移關系為A＋A＝L，解得A＝，故C正確，D錯誤。第1講　機械振動
學習目標　1.認識簡諧運動，理解簡諧運動的表達式和圖像。 2.知道單擺，理解并熟記單擺的周期公式。 3.認識受迫振動，了解產生共振的條件及其應用。
一、簡諧運動
1.
2.兩種模型
模型 彈簧振子 單擺
示意圖
簡諧運 動條件 (1)彈簧質量可忽略 (2)無摩擦等阻力 (3)在彈簧彈性限度內 (1)擺線為不可伸縮的輕細線 (2)無空氣阻力 (3)擺角小于等于5°
回復力 彈簧的彈力提供 擺球重力沿與擺線垂直方向(即切向)的分力
平衡位置 彈簧處于原長處 最低點
周期 與振幅無關 T＝2π
能量 轉化 彈性勢能與動能的相互轉化，系統的機械能守恒 重力勢能與動能的相互轉化，擺球機械能守恒
二、簡諧運動的表達式和圖像
三、受迫振動和共振
1.思考判斷
(1)簡諧運動的平衡位置就是質點所受合力為零的位置。(　　)
(2)做簡諧運動的質點先后通過同一點，回復力、速度、加速度、位移都是相同的。(　　)
(3)做簡諧運動的質點，速度增大時，其加速度一定減小。(　　)
(4)振動物體經過半個周期，路程等于2倍振幅；經過個周期，路程等于振幅。(　　)
(5)單擺在任何情況下的運動都是簡諧運動。(　　)
(6)物體做受迫振動時，其振動頻率與固有頻率無關。(　　)
(7)簡諧運動的圖像描述的是振動質點的軌跡。(　　)
(8)簡諧運動的振動圖像一定是正弦曲線。(　　)
2.[2021·廣東卷，16(1)]如圖所示，一個輕質彈簧下端掛一小球，小球靜止。現將小球向下拉動距離A后由靜止釋放，并開始計時，小球在豎直方向做簡諧運動，周期為T。經時間，小球從最低點向上運動的距離________(填“大于”“小于”或“等于”)；在時刻，小球的動能________(填“最大”或“最小”)。
3.[2022·河北卷，16(1)]一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，波速為10 m/s。在傳播方向上有P、Q兩質點，坐標分別為xP＝1 m，xQ＝6 m。波傳播到P點開始計時，該點的振動圖像如圖所示，則簡諧波的波長為________m，經過________s，Q點第一次到達正向最大位移處。
4.如圖所示，兩個彈簧振子懸掛在同一支架上，已知甲彈簧振子的固有頻率為8 Hz，乙彈簧振子的固有頻率為72 Hz。當支架受到沿豎直方向且頻率為9 Hz的驅動力作用做受迫振動時，兩個彈簧振子的振動情況是(　　)
A.甲的振幅較大，且振動頻率為8 Hz
B.甲的振幅較大，且振動頻率為9 Hz
C.乙的振幅較大，且振動頻率為9 Hz
D.乙的振幅較大，且振動頻率為72 Hz
考點一　簡諧運動的基本特征
簡諧運動的五個特征
受力特征 回復力F＝－kx，F(或a)的大小與x的大小成正比，方向相反
運動特征 衡位置時，a、F、x都減小，v增大；遠離平衡位置時，a、F、x都增大，v減小
能量特征 振幅越大，能量越大。在運動過程中，動能和勢能相互轉化，系統的機械能守恒
周期性特征 質點的位移、回復力、加速度和速度均隨時間做周期性變化，變化周期就是簡諧運動的周期T；動能和勢能也隨時間做周期性變化，其變化周期為
對稱性特征 關于平衡位置O對稱的兩點，加速度的大小、速度的大小、動能、勢能均相等，相對平衡位置的位移大小均相等
角度　簡諧運動基本物理量的分析
例1 如圖1所示，小球在BC之間做簡諧運動，當小球位于O點時，彈簧處于原長，在小球從C點運動到O點的過程中(　　)
圖1
A.動能不斷增大，加速度不斷減小
B.回復力不斷增大，系統機械能守恒
C.彈性勢能不斷減小，加速度不斷增大
D.彈性勢能不斷增大，加速度不斷減小
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角度　簡諧運動的周期性與對稱性
例2 小球做簡諧運動，若從平衡位置O開始計時，經過0.5 s，小球第一次經過P點，又經過0.2 s，小球第二次經過P點，則再過多長時間該振子第三次經過P點(　　)
A.1.0 s B.2.4 s
C.0.8 s D.2.2 s
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以位移為橋梁分析簡諧運動中各物理量的變化情況
(1)位移增大時，振動質點的回復力、加速度、勢能均增大，速度、動能均減小；反之，則產生相反的變化，各矢量均在位移為零時均改變方向。
(2)位移相同時，回復力、加速度、動能、勢能可以確定，但速度可能有兩個方向，由于周期性，運動時間也不確定?！　?br/>考點二　簡諧運動的表達式和圖像
1.簡諧運動的振動方程和圖像
(1)從平衡位置開始計時：x＝Asin ωt，如圖甲所示。
(2)從最大位移處開始計時：x＝Acos ωt，如圖乙所示。
(3)圖像反映的是位移隨時間的變化規律，隨時間的增加而延伸，圖像不代表質點運動的軌跡。
2.由圖像可獲取的信息
(1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ(如圖所示)。
(2)某時刻振動質點離開平衡位置的位移。
(3)某時刻質點速度的大小和方向：曲線上各點切線的斜率的大小和正負分別表示各時刻質點的速度大小和方向，速度的方向也可根據下一相鄰時刻質點的位移的變化來確定。
(4)某時刻質點的回復力和加速度的方向：回復力總是指向平衡位置，回復力和加速度的方向相同。
(5)某段時間內質點的位移、回復力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況。
3.簡諧運動的對稱性(如圖)
(1)相隔Δt＝nT(n＝1，2，3…)的兩個時刻，彈簧振子在同一位置，位移和速度都相同。
(2)相隔Δt＝(n＋)T(n＝0，1，2…)的兩個時刻，彈簧振子的位置關于平衡位置對稱，位移等大反向(或都為零)，速度也等大反向(或都為零)。
例3 (多選)如圖2所示是一簡諧運動的振動圖像，則下列說法正確的是(　　)
圖2
A.該簡諧運動的振幅為6 cm，周期為8 s
B.6～8 s時間內，振子由負向最大位移處向平衡位置運動
C.圖中的正弦曲線表示振子的運動軌跡
D.該振動圖像對應的表達式為x＝3sin cm
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1.(多選)如圖3所示，為一個水平彈簧振子的振動圖像，下列說法正確的是(　　)
圖3
A.t＝1 s到t＝2 s內，彈簧振子的動能不斷減小
B.該彈簧振子的振動方程為x＝－10sincm
C.t＝3 s時，彈簧振子的加速度沿x軸負方向
D.t＝0到t＝10 s內彈簧振子的路程為50 cm
考點三　單擺及周期公式
1.單擺的受力特征
(1)回復力：擺球重力沿與擺線垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，負號表示回復力F回與位移x的方向相反。
(2)向心力：擺線的拉力和擺球重力沿擺線方向分力的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ。
(3)兩點說明
①當擺球在最高點時，v＝0，Fn＝＝0，FT＝mgcos θ。
②當擺球在最低點時，Fn＝m，Fn最大，FT＝mg＋m。
2.周期公式T＝2π的兩點說明
(1)l為等效擺長，表示從懸點到擺球重心的距離。
(2)g為當地重力加速度。
例4 如圖4甲所示，一個單擺做小角度擺動，從某次擺球由左向右通過平衡位置時開始計時，相對平衡位置的位移x隨時間t變化的圖像如圖乙所示。不計空氣阻力，g取10 m/s2。對于這個單擺的振動過程，下列說法中正確的是(　　)
圖4
A.單擺的位移x隨時間t變化的關系式為x＝10 sin(2πt) cm
B.單擺的擺長約為10 cm
C.從t＝2.5 s到t＝3 s的過程中，擺球所受的回復力逐漸增大
D.從t＝2.5 s到t＝3 s的過程中，擺球所受繩子拉力逐漸增大
2.(多選)(2024·海南海口模擬)如圖5所示是兩個理想單擺在同一地點的振動圖像，縱軸表示擺球偏離平衡位置的位移。下列說法中正確的是(　　)
圖5
A.t＝2 s時，甲單擺的擺線拉力為0，乙的速度為0
B.增大乙的擺球質量，乙的周期有可能與甲相等
C.甲擺球和乙擺球永遠不可能同時均處于動能最小的狀態
D.乙擺球位移隨時間變化的關系式為x＝sin cm
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考點四　受迫振動和共振
簡諧運動、受迫振動和共振的關系比較
振動 項目　　 簡諧運動 受迫振動 共振
振動周期或頻率 由系統本身性質決定，即固有周期T0或固有頻率f0 由驅動力的周期或頻率決定，即T＝T驅或f＝f驅 T驅＝T0或f驅＝f0
振動能量 系統的機械能不變 由產生驅動力的物體提供 振動物體獲得的能量最大
常見例子 彈簧振子或單擺(θ≤5°) 機械工作時底座發生的振動 共振篩、聲音的共鳴等
例5 科技館內有共振秋千，參觀者坐上秋千，雙腳離地，前后擺動，會發現對面的球擺也在跟著大幅度擺動。關于這個現象，以下說法不正確的是(　　)
圖6
A.如果改變對面球的質量，會使球擺動幅度變小
B.秋千系統的重心高度與對面球擺的重心高度大致相同
C.如果對秋千施加一個周期性的驅動力，球擺的振動周期與該驅動力周期相同
D.若把共振秋千移到太空艙中則無法實現共振現象
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3.(2024·山東棗莊高三期中)某種減噪裝置結構如圖7所示，通過裝置的共振可吸收聲波。已知其固有頻率為f0＝(SI制)，其中σ為薄板單位面積的質量，L為空氣層的厚度。經測試發現它對頻率為200 Hz的聲音減噪效果最強，若外界聲波頻率由200 Hz變為300 Hz，則(　　)
圖7
A.系統振動頻率為200 Hz
B.系統振動頻率為300 Hz
C.為獲得更好減噪效果，可僅增大L的大小
D.為獲得更好減噪效果，可僅換用σ更大的薄板

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