資源簡介

　　　　　實驗九　用單擺測量重力加速度的大小
1.(2024·四川成都高三月考)在“用單擺測量重力加速度”實驗中，某同學進行如下步驟：
　
甲　　　　　　　　　　乙
圖1
(1)用游標為10分度(測量值可準確到0.1 mm)的卡尺測量小球的直徑。某次測量的示數如圖1甲所示，讀出小球直徑d的值為________mm。
(2)把擺球從平衡位置拉開一個小角度由靜止釋放，使單擺在豎直平面內擺動，用秒表測出單擺做n次全振動所用的時間t，秒表讀數如圖乙所示，讀數為________s。
(3)如果測得的g值偏大，可能的原因是________。
A.先將單擺放在水平桌面上測出擺長l，后把單擺懸掛起來
B.擺線上端未牢固地系于懸點，振動中出現松動，使擺線長度增加了
C.擺球不在同一豎直平面內運動，成為圓錐擺運動
D.測周期時，當擺球通過最低點時啟動秒表并數“1”，數到擺球第40次通過平衡位置時按下秒表，讀出時間t，得周期T＝
2.(2024·山東臨沂模擬)某同學在學習完單擺的相關知識后，想要在家利用手邊的物品測量本地的重力加速度。用不規則的鑰匙扣代替小球做成簡易單擺裝置，手機上的計時功能代替秒表，實驗過程如下：
圖2
(1)用家中軟尺測得懸掛點O到鑰匙扣連接處M的長度為L。
(2)拉開較小角度后將鑰匙扣由靜止釋放，并在鑰匙扣第1次通過最低點按下計時“開始”按鈕，第N次通過最低點停止計時，記錄手機上的時間為t，則單擺的周期T為____________。
(3)若該同學改變細線長度后只做兩次實驗，得到兩組長度和周期的數據：L1、T1；L2、T2，利用數據測得重力加速度為____________。
(4)若該同學多次改變細線長度得到多組數據，描點作出T2－L圖像，得到的圖像可能是________。
(5)鑰匙扣的形狀不規則，對上述實驗測得的重力加速度________(填“有”或者“無”)影響。
3.(1)在“探究單擺周期與擺長的關系”的實驗中，兩位同學用游標卡尺測量小球的直徑的操作如圖3甲、乙所示。測量方法正確的是________(選填“甲”或“乙”)。
(2)實驗時，若擺球在垂直紙面的平面內擺動，為了將人工記錄振動次數改為自動記錄振動次數，在擺球運動的最低點的左、右兩側分別放置一激光光源與光敏電阻，如圖丙所示。光敏電阻與某一自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖像如圖丁所示，則該單擺的振動周期為________。若保持懸點到擺球頂點的繩長不變，改用直徑是原擺球直徑2倍的另一擺球進行實驗，則該單擺的周期將________(選填“變大”“不變”或“變小”)，圖丁中的Δt將________(選填“變大”“不變”或“變小”)。
圖3
4.(2024·安徽池州高三質檢)實驗小組的同學們在讀到惠更斯用單擺測出巴黎的重力加速度后，設計用圖示的裝置(如圖4甲)測量當地的重力加速度。
圖4
(1)若測得：單擺的擺線長度為L，擺球直徑為D，單擺的周期為T，則重力加速度g＝________(用L、T、D表示)。
(2)某次實驗中，力傳感器記錄了繩子上的拉力大小F隨時間t的變化如圖乙所示，則單擺運動的周期為T＝________s。
(3)在完成圖乙的實驗數據測量后，用天平測得小球質量m＝98.8 g，則當地的重力加速度g＝________ m/s2(保留3位有效數字)。
5.(2023·湖南卷，11)某同學探究彈簧振子振動周期與質量的關系，實驗裝置如圖5所示，輕質彈簧上端懸掛在鐵架臺上，下端掛有鉤碼，鉤碼下表面吸附一個小磁鐵，其正下方放置智能手機，手機中的磁傳感器可以采集磁感應強度實時變化的數據并輸出圖像，實驗步驟如下：
圖5
(1)測出鉤碼和小磁鐵的總質量m；
(2)在彈簧下端掛上該鉤碼和小磁鐵，使彈簧振子在豎直方向做簡諧運動，打開手機的磁傳感器軟件，此時磁傳感器記錄的磁感應強度變化周期等于彈簧振子振動周期；
(3)某次采集到的磁感應強度B的大小隨時間t變化的圖像如圖6所示，從圖中可以算出彈簧振子振動周期T＝________(用“t0”表示)；
圖6
(4)改變鉤碼質量，重復上述步驟；
(5)實驗測得數據如下表所示，分析數據可知，彈簧振子振動周期的平方與質量的關系是________(填“線性的”或“非線性的”)；
m/kg 10T/s T/s T2/s2
0.015 2.43 0.243 0.059
0.025 3.14 0.314 0.099
0.035 3.72 0.372 0.138
0.045 4.22 0.422 0.178
0.055 4.66 0.466 0.217
(6)設彈簧的勁度系數為k，根據實驗結果并結合物理量的單位關系，彈簧振子振動周期的表達式可能是________(填正確答案標號)；
A.2π B.2π
C.2π D.2πk
(7)除偶然誤差外，寫出一條本實驗中可能產生誤差的原因：______________________________________________________________________
______________________________________________________________________。
實驗九　用單擺測量重力加速度的大小
1.(1)15.2　(2)100.0　(3)CD
解析　(1)游標卡尺的主尺讀數為15 mm，游標讀數為2×0.1 mm＝0.2 mm，則小球的直徑為d＝15 mm＋0.2 mm＝15.2 mm。
(2)秒表的讀數等于大盤讀數加上小盤讀數，則讀數為
90 s＋10.0 s＝100.0 s。
(3)根據單擺的周期公式T＝2π，變形可得g＝，先將單擺放在水平桌面上測出擺長l，后把單擺懸掛起來，測得的擺長偏小，則最終測得重力加速度偏小，故A錯誤；擺線上端未牢固地系于懸點，振動中出現松動，使擺線長度增加了，則測量的擺長偏小，則最終測得的重力加速度偏小，故B錯誤；擺球不在同一豎直平面內運動，成為圓錐擺運動，實際擺長lcos θ變短，而測量擺長偏大，所測重力加速度偏大，故C正確；測周期時，當擺球通過最低點時啟動秒表并數“1”，數到擺球第40次通過平衡位置時按下秒表，讀出時間t，實際周期T＝＝，則測量周期偏小，重力加速度偏大，故D正確。
2.(2)　(3)g＝　(4)B　(5)無
解析　(2)鑰匙扣第1次通過最低點按下計時“開始”按鈕，第N次通過最低點停止計時，記錄手機上的時間為t，則單擺的周期為T＝。
(3)設擺線末端與鑰匙扣重心間的距離為r，根據單擺周期公式
T＝2π
可得T1＝2π，T2＝2π，聯立可得重力加速度為g＝。
(4)根據T＝2π，可得T2＝L＋，故T2與L為一次函數關系，且與縱軸正半軸有截距，故B正確。
(5)由(3)(4)數據處理分析可知，鑰匙扣的形狀不規則雖導致重心位置無法測量，但對重力加速度的測量無影響。
3.(1)乙　(2)2t0　變大　變大
解析　(1)游標卡尺應該用兩外測量爪對齊的地方測量，正確的是題圖乙。
(2)一個周期內小球應該兩次經過最低點，使光敏電阻的阻值發生變化，故周期為T＝t1＋2t0－t1＝2t0；擺球的直徑變大后，擺長變長，根據T＝2π可知，周期變大；每次經過最低點時小球的擋光的時間變長，即Δt變大。
4.(1)　(2)2　(3)9.79
解析　(1)周期公式為T＝2π，整理有g＝，由題意可知l＝L＋，解得g＝。
(2)擺球運動到最低點時，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，所以擺球運動到最低點時，繩子拉力最大，而一個周期內擺球有兩次經過最低點，則此單擺的周期為T＝2 s。
(3)小球速度為零，沿繩子方向合力為零，在最高點有F1＝mgcos θ，小球在最低點有F2－mg＝m
設繩子與豎直方向的最大夾角為θ，有mgl(1－cos θ)＝mv2，整理有F2＝mg(3－2cos θ)
聯立F1和F2解得
g＝＝ m/s2＝9.79 m/s2。
5.(3)　(5)線性的　(6)A　(7)見解析
解析　(3)0～t0內恰有10個完整周期的振動圖像，故t0＝10T，解得T＝。
(5)分析圖表數據可以看出，在誤差允許的范圍內，T2∝m，即彈簧振子振動周期的平方與質量的關系是線性的。
(6)質量的單位是kg，勁度系數的單位是N/m，故的單位為＝＝s，A正確；同理分析可知，B、C、D項的量綱都不對。
(7)彈簧不是輕彈簧；手機內部有磁體，與鉤碼下的小磁鐵會產生相互作用；空氣阻力的影響等(寫出一條即可)。(共50張PPT)
實驗九　用單擺測量重力加速度的大小
第七章　機械振動和機械波
目 錄
CONTENTS
夯實必備知識
01
研透核心考點
02
提升素養能力
03
夯實必備知識
1
研透核心考點
2
考點二　創新拓展實驗
考點一　教材原型實驗
例1 (2023·新課標卷，23)一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。
(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑，首先，調節螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發現固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖1(a)所示，該示數為________mm，螺旋測微器在夾有擺球時示數如圖(b)所示，該示數為________mm，則擺球的直徑為________mm。
考點一　教材原型實驗
圖1
解析　題圖(a)中，螺旋測微器固定刻度讀數為0，可動刻度部分讀數為0.6×0.01 mm＝0.006 mm，所以示數為0.006 mm；題圖(b)中，螺旋測微器固定刻度讀數為20.0 mm，可動刻度部分讀數為3.5×0.01 mm＝0.035 mm，所以示數為20.035 mm，擺球的直徑d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。
答案　0.006　20.035　20.029
(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖(c)所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角______________5°(填“大于”或“小于”)。
解析　角度盤固定在O點時，擺線在角度盤上所指角度為擺角大小，若將角度盤固定在O點上方，即角度盤到懸點的距離變短，同樣的角度，擺線在刻度盤上掃過的弧長變短，故擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角大于5°。
答案　大于　
(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50 cm，則擺長為________cm。實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為54.60 s，則此單擺周期為________s，該小組測得的重力加速度大小為________m/s2。(結果均保留3位有效數字，π2取9.870)
答案　82.5　1.82　9.83
1.(2024·廣東珠海高三期末)小明學習“用單擺測量重力加速度”實驗后，利用圖2甲裝置做了該實驗。
圖2
(1)測量擺長時，先用毫米刻度尺測得擺球懸掛后的擺線長(從懸點到擺球的最上端)為L，再用游標卡尺測得擺球的直徑，讀數如乙圖所示，則d＝__________cm，若再測得單擺周期為T，則當地的重力加速度g＝__________(用L、d、T表示)。
(2)在安裝裝置時，擺線上端有三種系掛方式，下列方式哪種是正確的________(填對應序號)。
(3)在測量周期時，若從擺球運動到最低點開始計時且記數為1，到第n次經過最低點所用的時間為t，則單擺周期為T＝________(用n、t表示)。
(4)假如把該裝置搬到月球上進行實驗，改變單擺的擺長l，多次測量單擺在不同擺長下所對應的周期T，并描繪出T2－l圖像如圖3所示，則可得知月球重力加速度大小為________ m/s2。
圖3
例2 (2023·重慶卷，11)某實驗小組用單擺測量重力加速度。所用實驗器材有擺球、長度可調的輕質擺線、刻度尺、50分度的游標卡尺、攝像裝置等。
考點二　創新拓展實驗
圖4
(1)用游標卡尺測量擺球直徑d。當量爪并攏時，游標尺和主尺的零刻度線對齊。放置擺球后游標卡尺示數如圖4甲所示，則擺球的直徑d為________mm。
解析　用游標卡尺測量擺球直徑d＝19 mm＋10×0.02 mm＝19.20 mm。
答案　19.20　
(2)用擺線和擺球組成單擺，如圖乙所示。當擺線長度l＝990.1 mm時，記錄并分析單擺的振動視頻，得到單擺的振動周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g為________m/s2(保留3位有效數字)。
答案　9.86　
(3)改變擺線長度l，記錄并分析單擺的振動視頻，得到相應的振動周期。他們發現，分別用l和l＋作為擺長，這兩種計算方法得到的重力加速度數值的差異大小Δg隨擺線長度l的變化曲線如圖5所示。由圖可知，該實驗中，隨著擺線長度l的增加，Δg的變化特點是_____________
__________________________________，
原因是___________________________
___________________________________。
圖5
2.(2024·遼寧大連高三質檢)現代智能手機自帶了許多傳感器，利用智能手機Phyphox軟件能夠采集傳感器記錄的數據。某同學在家根據Phyphox界面提示的原始傳感器，給出了2種測量重力加速度的方案：
方案1.使用“含(g)的加速度”模塊，令手機靜置在桌面上20 s，直接讀出重力加速度(圖一)；
方案2.使用“擺”功能，該同學找到一把量程為30 cm的刻度尺，長度為100 cm左右的細線和一把鐵鎖，制成一個單擺，于小角度釋放。輸入擺長后，利用手機讀取周期，手機將計算出重力加速度(圖二)。
回答下列相關問題：
(1)根據方案2，可知手機計算重力加速度
g的表達式為________(用g、π、T、L表示)。
(2)與方案1測得的重力加速度g相比，方案2測得的重力加速度g結果有一定的誤差，產生誤差的主要原因為________。
A.鐵鎖的重心不方便確定，所以擺長不準
B.測量擺長的刻度尺量程太小，測擺長時多次移動產生了一定的誤差
C.鐵鎖質量過大，導致g測量誤差較大
(3)方案2重力加速度g計算結果誤差較大，該同學想到一個修正方案：實驗時，可以在細線上的A點做一個標記，使得懸點O到A點間的細線長度小于刻度尺量程；保持該標記以下的細線長度不變，通過改變OA間細線長度以改變擺長，當OA間細線長度分別為L1、L2時，測得相應單擺的周期為T1、T2，由此可測得重力加速度g的數值，此方案計算g的表達式為________(其中L2>L1)。
(2)方案2測得的重力加速度g結果有一定的誤差，產生誤差的主要原因有鐵鎖的重心不方便確定，所以擺長不準；方案2是用長度為100厘米左右的細線和一把鐵鎖，制成一個單擺，而該同學找到一把量程為30 cm的刻度尺，所以測量擺長的刻度尺量程太小，會導致測擺長時多次移動產生了一定的誤差，故A、B正確，C、D錯誤。
提升素養能力
3
1.(2024·四川成都高三月考)在“用單擺測量重力加速度”實驗中，某同學進行如下步驟：
甲　　　　　　　　　　乙
圖1
(1)用游標為10分度(測量值可準確到0.1 mm)的卡尺測量小球的直徑。某次測量的示數如圖1甲所示，讀出小球直徑d的值為________mm。
(2)把擺球從平衡位置拉開一個小角度由靜止釋放，使單擺在豎直平面內擺動，用秒表測出單擺做n次全振動所用的時間t，秒表讀數如圖乙所示，讀數為________s。
(3)如果測得的g值偏大，可能的原因是________。
A.先將單擺放在水平桌面上測出擺長l，后把單擺懸掛起來
B.擺線上端未牢固地系于懸點，振動中出現松動，使擺線長度增加了
C.擺球不在同一豎直平面內運動，成為圓錐擺運動
答案　(1)15.2　(2)100.0　(3)CD
解析　(1)游標卡尺的主尺讀數為15 mm，游標讀數為2×0.1 mm＝0.2 mm，則小球的直徑為d＝15 mm＋0.2 mm＝15.2 mm。
(2)秒表的讀數等于大盤讀數加上小盤讀數，則讀數為90 s＋10.0 s＝100.0 s。
2.(2024·山東臨沂模擬)某同學在學習完單擺的相關知識后，想要在家利用手邊的物品測量本地的重力加速度。用不規則的鑰匙扣代替小球做成簡易單擺裝置，手機上的計時功能代替秒表，實驗過程如下：
圖2
(1)用家中軟尺測得懸掛點O到鑰匙扣連接處M的長度為L。
(2)拉開較小角度后將鑰匙扣由靜止釋放，并在鑰匙扣第1次通過最低點按下計時“開始”按鈕，第N次通過最低點停止計時，記錄手機上的時間為t，則單擺的周期T為____________。
(3)若該同學改變細線長度后只做兩次實驗，得到兩組長度和周期的數據：L1、T1；L2、T2，利用數據測得重力加速度為____________。
(4)若該同學多次改變細線長度得到多組數據，描點作出T2－L圖像，得到的圖像可能是________。
(5)鑰匙扣的形狀不規則，對上述實驗測得的重力加速度________(填“有”或者“無”)影響。
(5)由(3)(4)數據處理分析可知，鑰匙扣的形狀不規則雖導致重心位置無法測量，但對重力加速度的測量無影響。
3.(1)在“探究單擺周期與擺長的關系”的實驗中，兩位同學用游標卡尺測量小球的直徑的操作如圖3甲、乙所示。測量方法正確的是________(選填“甲”或“乙”)。
(2)實驗時，若擺球在垂直紙面的平面內擺動，為了將人工記錄振動次數改為自動記錄振動次數，在擺球運動的最低點的左、右兩側分別放置一激光光源與光敏電阻，如圖丙所示。光敏電阻與某一自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖像如圖丁所示，則該單擺的振動周期為________。若保持懸點到擺球頂點的繩長不變，改用直徑是原擺球直徑2倍的另一擺球進行實驗，則該單擺的周期將________(選填“變大”“不變”或“變小”)，圖丁中的Δt將________(選填“變大”“不變”或“變小”)。
圖3
答案　(1)乙　(2)2t0　變大　變大
解析　(1)游標卡尺應該用兩外測量爪對齊的地方測量，正確的是題圖乙。
4.(2024·安徽池州高三質檢)實驗小組的同學們在讀到惠更斯用單擺測出巴黎的重力加速度后，設計用圖示的裝置(如圖4甲)測量當地的重力加速度。
圖4
(1)若測得：單擺的擺線長度為L，擺球直徑為D，單擺的周期為T，則重力加速度g＝________(用L、T、D表示)。
(2)某次實驗中，力傳感器記錄了繩子上的拉力大小F隨時間t的變化如圖乙所示，則單擺運動的周期為T＝________s。
(3)在完成圖乙的實驗數據測量后，用天平測得小球質量m＝98.8 g，則當地的重力加速度g＝________ m/s2(保留3位有效數字)。
(2)擺球運動到最低點時，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，所以擺球運動到最低點時，繩子拉力最大，而一個周期內擺球有兩次經過最低點，則此單擺的周期為T＝2 s。
5.(2023·湖南卷，11)某同學探究彈簧振子振動周期與質量的關系，實驗裝置如圖5所示，輕質彈簧上端懸掛在鐵架臺上，下端掛有鉤碼，鉤碼下表面吸附一個小磁鐵，其正下方放置智能手機，手機中的磁傳感器可以采集磁感應強度實時變化的數據并輸出圖像，實驗步驟如下：
圖5
(1)測出鉤碼和小磁鐵的總質量m；
(2)在彈簧下端掛上該鉤碼和小磁鐵，使彈簧振子在豎直方向做簡諧運動，打開手機的磁傳感器軟件，此時磁傳感器記錄的磁感應強度變化周期等于彈簧振子振動周期；
(3)某次采集到的磁感應強度B的大小隨時間t變化的圖像如圖6所示，從圖中可以算出彈簧振子振動周期T＝________(用“t0”表示)；
圖6
(4)改變鉤碼質量，重復上述步驟；
(5)實驗測得數據如下表所示，分析數據可知，彈簧振子振動周期的平方與質量的關系是________(填“線性的”或“非線性的”)；
m/kg 10T/s T/s T2/s2
0.015 2.43 0.243 0.059
0.025 3.14 0.314 0.099
0.035 3.72 0.372 0.138
0.045 4.22 0.422 0.178
0.055 4.66 0.466 0.217
(7)除偶然誤差外，寫出一條本實驗中可能產生誤差的原因：______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
(5)分析圖表數據可以看出，在誤差允許的范圍內，T2∝m，即彈簧振子振動周期的平方與質量的關系是線性的。
(7)彈簧不是輕彈簧；手機內部有磁體，與鉤碼下的小磁鐵會產生相互作用；空氣阻力的影響等(寫出一條即可)。
本節內容結束
THANKS實驗九　用單擺測量重力加速度的大小
原理裝置圖 實驗步驟 注意事項
測擺長l和周期T，由 T＝2π得g＝ 1.做單擺 將細線穿過帶中心孔的小鋼球，并打一個比小孔大一些的結，然后把線的另一端用鐵夾固定在鐵架臺上，讓擺球自然下垂。 2.測擺長 用米尺量出擺線長l′(精確到毫米)，用游標卡尺測出小球直徑D，則單擺的擺長l＝l′＋。 3.測周期 將單擺從平衡位置拉開一個角度(小于5°)，然后釋放小球，記下單擺擺動30次～50次的總時間，算出一次全振動的時間，即為單擺的振動周期。 4.改變擺長，重做幾次實驗。 1.擺線要選1 m左右，柔軟不易伸長的絲線，不要過長或過短。 2.懸線長要待懸掛好球后再測，計算擺長時要將懸線長加上擺球半徑。 3.單擺要在豎直平面內擺動，不要形成圓錐擺。 4.要從平衡位置開始計時，并數準全振動的次數
數據處理 1.公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。 2.圖像法：根據測出的一系列擺長l對應的周期T，作l－T2的圖像，由單擺周期公式得l＝T2，圖像應是一條通過原點的直線，如圖所示，求出圖線的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。
考點一　教材原型實驗
例1 (2023·新課標卷，23)一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。
(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑，首先，調節螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發現固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖1(a)所示，該示數為________mm，螺旋測微器在夾有擺球時示數如圖(b)所示，該示數為________mm，則擺球的直徑為________mm。
圖1
(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖(c)所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角______________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50 cm，則擺長為________cm。實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為54.60 s，則此單擺周期為________s，該小組測得的重力加速度大小為________m/s2。(結果均保留3位有效數字，π2取9.870)
答案　(1)0.006　20.035　20.029 (2)大于　(3)82.5　1.82　9.83
解析　(1)題圖(a)中，螺旋測微器固定刻度讀數為0，可動刻度部分讀數為0.6×0.01 mm＝0.006 mm，所以示數為0.006 mm；題圖(b)中，螺旋測微器固定刻度讀數為20.0 mm，可動刻度部分讀數為3.5×0.01 mm＝0.035 mm，所以示數為20.035 mm，擺球的直徑d＝20.035 mm－0.006 mm＝20.029 mm。
(2)角度盤固定在O點時，擺線在角度盤上所指角度為擺角大小，若將角度盤固定在O點上方，即角度盤到懸點的距離變短，同樣的角度，擺線在刻度盤上掃過的弧長變短，故擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角大于5°。
(3)單擺的擺長L等于擺線長l與擺球半徑之和，即L＝l＋＝82.5 cm；從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點，單擺完成30次全振動，故單擺的周期T＝ s＝1.82 s；由單擺的周期公式T＝2π可得g＝，代入相關數據解得g＝9.83 m/s2。
1.(2024·廣東珠海高三期末)小明學習“用單擺測量重力加速度”實驗后，利用圖2甲裝置做了該實驗。
(1)測量擺長時，先用毫米刻度尺測得擺球懸掛后的擺線長(從懸點到擺球的最上端)為L，再用游標卡尺測得擺球的直徑，讀數如乙圖所示，則d＝__________cm，若再測得單擺周期為T，則當地的重力加速度g＝__________(用L、d、T表示)。
圖2
(2)在安裝裝置時，擺線上端有三種系掛方式，下列方式哪種是正確的________(填對應序號)。
(3)在測量周期時，若從擺球運動到最低點開始計時且記數為1，到第n次經過最低點所用的時間為t，則單擺周期為T＝________(用n、t表示)。
(4)假如把該裝置搬到月球上進行實驗，改變單擺的擺長l，多次測量單擺在不同擺長下所對應的周期T，并描繪出T2－l圖像如圖3所示，則可得知月球重力加速度大小為________ m/s2。
圖3
答案　(1)2.150　　(2)C　(3)　(4)1.6
解析　(1)游標卡尺的讀數為主尺的讀數與游標尺讀數之和，所以d＝21 mm＋10×0.05 mm＝2.150 cm，根據周期公式T＝2π，可得g＝＝。
(2)為防止擺球搖擺及實驗過程擺長變化，應該用夾子固定擺線懸點，故C正確。
(3)從擺球運動到最低點開始計時且記數為1，到第n次經過最低點所用的時間為t，單擺全振動的次數為N＝，則單擺的周期為T＝＝。
(4)根據單擺周期公式T＝2π，由圖像可知
T2＝2π2 s2，l＝0.8 m，可得g月＝1.6 m/s2。
考點二　創新拓展實驗
例2 (2023·重慶卷，11)某實驗小組用單擺測量重力加速度。所用實驗器材有擺球、長度可調的輕質擺線、刻度尺、50分度的游標卡尺、攝像裝置等。
圖4
(1)用游標卡尺測量擺球直徑d。當量爪并攏時，游標尺和主尺的零刻度線對齊。放置擺球后游標卡尺示數如圖4甲所示，則擺球的直徑d為________mm。
(2)用擺線和擺球組成單擺，如圖乙所示。當擺線長度l＝990.1 mm時，記錄并分析單擺的振動視頻，得到單擺的振動周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g為________m/s2(保留3位有效數字)。
(3)改變擺線長度l，記錄并分析單擺的振動視頻，得到相應的振動周期。他們發現，分別用l和l＋作為擺長，這兩種計算方法得到的重力加速度數值的差異大小Δg隨擺線長度l的變化曲線如圖5所示。由圖可知，該實驗中，隨著擺線長度l的增加，Δg的變化特點是______________________________________________________________________
______________________________________________________________________，
原因是________________________________________________________________
______________________________________________________________________。
圖5
答案　(1)19.20　(2)9.86　(3)隨著擺線長度l的增加，Δg逐漸減小　隨著擺線長度l的增加，則l＋越接近于l，此時計算得到的g的差值越小
解析　(1)用游標卡尺測量擺球直徑d＝19 mm＋10×0.02 mm＝19.20 mm。
(2)單擺的擺長為L＝990.1 mm＋×19.20 mm＝999.7 mm，根據T＝2π，可得g＝，代入數據得g＝ m/s2＝9.86 m/s2。
(3)由圖可知，隨著擺線長度l的增加，Δg逐漸減小，原因是隨著擺線長度l的增加，則l＋逐漸趨近于l，兩種計算方法計算得到的g的差值越小。
2.(2024·遼寧大連高三質檢)現代智能手機自帶了許多傳感器，利用智能手機Phyphox軟件能夠采集傳感器記錄的數據。某同學在家根據Phyphox界面提示的原始傳感器，給出了2種測量重力加速度的方案：
方案1.使用“含(g)的加速度”模塊，令手機靜置在桌面上20 s，直接讀出重力加速度(圖一)；
方案2.使用“擺”功能，該同學找到一把量程為30 cm的刻度尺，長度為100 cm左右的細線和一把鐵鎖，制成一個單擺，于小角度釋放。輸入擺長后，利用手機讀取周期，手機將計算出重力加速度(圖二)。
回答下列相關問題：
(1)根據方案2，可知手機計算重力加速度g的表達式為________(用g、π、T、L表示)。
(2)與方案1測得的重力加速度g相比，方案2測得的重力加速度g結果有一定的誤差，產生誤差的主要原因為________。
A.鐵鎖的重心不方便確定，所以擺長不準
B.測量擺長的刻度尺量程太小，測擺長時多次移動產生了一定的誤差
C.鐵鎖質量過大，導致g測量誤差較大
(3)方案2重力加速度g計算結果誤差較大，該同學想到一個修正方案：實驗時，可以在細線上的A點做一個標記，使得懸點O到A點間的細線長度小于刻度尺量程；保持該標記以下的細線長度不變，通過改變OA間細線長度以改變擺長，當OA間細線長度分別為L1、L2時，測得相應單擺的周期為T1、T2，由此可測得重力加速度g的數值，此方案計算g的表達式為________(其中L2>L1)。
A.g＝ B.g＝
C.g＝ D.g＝
答案　(1)g＝　(2)AB　(3)A
解析　(1)根據單擺周期公式T＝2π，得重力加速度g的表達式為g＝。
(2)方案2測得的重力加速度g結果有一定的誤差，產生誤差的主要原因有鐵鎖的重心不方便確定，所以擺長不準；方案2是用長度為100厘米左右的細線和一把鐵鎖，制成一個單擺，而該同學找到一把量程為30 cm的刻度尺，所以測量擺長的刻度尺量程太小，會導致測擺長時多次移動產生了一定的誤差，故A、B正確，C、D錯誤。
(3)當OA間細線長度分別為L1、L2時，測得相應單擺的周期為T1、T2，設A點到鐵鎖重心的距離為l，根據公式T＝2π，可得T1＝2π，T2＝2π，可解得g＝，故A正確。
1.(2024·四川成都高三月考)在“用單擺測量重力加速度”實驗中，某同學進行如下步驟：
　
甲　　　　　　　　　　乙
圖1
(1)用游標為10分度(測量值可準確到0.1 mm)的卡尺測量小球的直徑。某次測量的示數如圖1甲所示，讀出小球直徑d的值為________mm。
(2)把擺球從平衡位置拉開一個小角度由靜止釋放，使單擺在豎直平面內擺動，用秒表測出單擺做n次全振動所用的時間t，秒表讀數如圖乙所示，讀數為________s。
(3)如果測得的g值偏大，可能的原因是________。
A.先將單擺放在水平桌面上測出擺長l，后把單擺懸掛起來
B.擺線上端未牢固地系于懸點，振動中出現松動，使擺線長度增加了
C.擺球不在同一豎直平面內運動，成為圓錐擺運動
D.測周期時，當擺球通過最低點時啟動秒表并數“1”，數到擺球第40次通過平衡位置時按下秒表，讀出時間t，得周期T＝
答案　(1)15.2　(2)100.0　(3)CD
解析　(1)游標卡尺的主尺讀數為15 mm，游標讀數為2×0.1 mm＝0.2 mm，則小球的直徑為d＝15 mm＋0.2 mm＝15.2 mm。
(2)秒表的讀數等于大盤讀數加上小盤讀數，則讀數為90 s＋10.0 s＝100.0 s。
(3)根據單擺的周期公式T＝2π，變形可得g＝，先將單擺放在水平桌面上測出擺長l，后把單擺懸掛起來，測得的擺長偏小，則最終測得重力加速度偏小，故A錯誤；擺線上端未牢固地系于懸點，振動中出現松動，使擺線長度增加了，則測量的擺長偏小，則最終測得的重力加速度偏小，故B錯誤；擺球不在同一豎直平面內運動，成為圓錐擺運動，實際擺長lcos θ變短，而測量擺長偏大，所測重力加速度偏大，故C正確；測周期時，當擺球通過最低點時啟動秒表并數“1”，數到擺球第40次通過平衡位置時按下秒表，讀出時間t，實際周期T＝＝，則測量周期偏小，重力加速度偏大，故D正確。
2.(2024·山東臨沂模擬)某同學在學習完單擺的相關知識后，想要在家利用手邊的物品測量本地的重力加速度。用不規則的鑰匙扣代替小球做成簡易單擺裝置，手機上的計時功能代替秒表，實驗過程如下：
圖2
(1)用家中軟尺測得懸掛點O到鑰匙扣連接處M的長度為L。
(2)拉開較小角度后將鑰匙扣由靜止釋放，并在鑰匙扣第1次通過最低點按下計時“開始”按鈕，第N次通過最低點停止計時，記錄手機上的時間為t，則單擺的周期T為____________。
(3)若該同學改變細線長度后只做兩次實驗，得到兩組長度和周期的數據：L1、T1；L2、T2，利用數據測得重力加速度為____________。
(4)若該同學多次改變細線長度得到多組數據，描點作出T2－L圖像，得到的圖像可能是________。
(5)鑰匙扣的形狀不規則，對上述實驗測得的重力加速度________(填“有”或者“無”)影響。
答案　(2)　(3)g＝　(4)B　(5)無
解析　(2)鑰匙扣第1次通過最低點按下計時“開始”按鈕，第N次通過最低點停止計時，記錄手機上的時間為t，則單擺的周期為T＝。
(3)設擺線末端與鑰匙扣重心間的距離為r，根據單擺周期公式T＝2π
可得T1＝2π，T2＝2π，聯立可得重力加速度為g＝。
(4)根據T＝2π，可得T2＝L＋，故T2與L為一次函數關系，且與縱軸正半軸有截距，故B正確。
(5)由(3)(4)數據處理分析可知，鑰匙扣的形狀不規則雖導致重心位置無法測量，但對重力加速度的測量無影響。
3.(1)在“探究單擺周期與擺長的關系”的實驗中，兩位同學用游標卡尺測量小球的直徑的操作如圖3甲、乙所示。測量方法正確的是________(選填“甲”或“乙”)。
(2)實驗時，若擺球在垂直紙面的平面內擺動，為了將人工記錄振動次數改為自動記錄振動次數，在擺球運動的最低點的左、右兩側分別放置一激光光源與光敏電阻，如圖丙所示。光敏電阻與某一自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖像如圖丁所示，則該單擺的振動周期為________。若保持懸點到擺球頂點的繩長不變，改用直徑是原擺球直徑2倍的另一擺球進行實驗，則該單擺的周期將________(選填“變大”“不變”或“變小”)，圖丁中的Δt將________(選填“變大”“不變”或“變小”)。
圖3
答案　(1)乙　(2)2t0　變大　變大
解析　(1)游標卡尺應該用兩外測量爪對齊的地方測量，正確的是題圖乙。
(2)一個周期內小球應該兩次經過最低點，使光敏電阻的阻值發生變化，故周期為T＝t1＋2t0－t1＝2t0；擺球的直徑變大后，擺長變長，根據T＝2π可知，周期變大；每次經過最低點時小球的擋光的時間變長，即Δt變大。
4.(2024·安徽池州高三質檢)實驗小組的同學們在讀到惠更斯用單擺測出巴黎的重力加速度后，設計用圖示的裝置(如圖4甲)測量當地的重力加速度。
圖4
(1)若測得：單擺的擺線長度為L，擺球直徑為D，單擺的周期為T，則重力加速度g＝________(用L、T、D表示)。
(2)某次實驗中，力傳感器記錄了繩子上的拉力大小F隨時間t的變化如圖乙所示，則單擺運動的周期為T＝________s。
(3)在完成圖乙的實驗數據測量后，用天平測得小球質量m＝98.8 g，則當地的重力加速度g＝________ m/s2(保留3位有效數字)。
答案　(1)　(2)2　(3)9.79
解析　(1)周期公式為T＝2π，整理有g＝，由題意可知l＝L＋，解得g＝。
(2)擺球運動到最低點時，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，所以擺球運動到最低點時，繩子拉力最大，而一個周期內擺球有兩次經過最低點，則此單擺的周期為T＝2 s。
(3)小球速度為零，沿繩子方向合力為零，在最高點有F1＝mgcos θ，小球在最低點有F2－mg＝m
設繩子與豎直方向的最大夾角為θ，有mgl(1－cos θ)＝mv2，整理有F2＝mg(3－2cos θ)
聯立F1和F2解得g＝＝ m/s2＝9.79 m/s2。
5.(2023·湖南卷，11)某同學探究彈簧振子振動周期與質量的關系，實驗裝置如圖5所示，輕質彈簧上端懸掛在鐵架臺上，下端掛有鉤碼，鉤碼下表面吸附一個小磁鐵，其正下方放置智能手機，手機中的磁傳感器可以采集磁感應強度實時變化的數據并輸出圖像，實驗步驟如下：
圖5
(1)測出鉤碼和小磁鐵的總質量m；
(2)在彈簧下端掛上該鉤碼和小磁鐵，使彈簧振子在豎直方向做簡諧運動，打開手機的磁傳感器軟件，此時磁傳感器記錄的磁感應強度變化周期等于彈簧振子振動周期；
(3)某次采集到的磁感應強度B的大小隨時間t變化的圖像如圖6所示，從圖中可以算出彈簧振子振動周期T＝________(用“t0”表示)；
圖6
(4)改變鉤碼質量，重復上述步驟；
(5)實驗測得數據如下表所示，分析數據可知，彈簧振子振動周期的平方與質量的關系是________(填“線性的”或“非線性的”)；
m/kg 10T/s T/s T2/s2
0.015 2.43 0.243 0.059
0.025 3.14 0.314 0.099
0.035 3.72 0.372 0.138
0.045 4.22 0.422 0.178
0.055 4.66 0.466 0.217
(6)設彈簧的勁度系數為k，根據實驗結果并結合物理量的單位關系，彈簧振子振動周期的表達式可能是________(填正確答案標號)；
A.2π B.2π
C.2π D.2πk
(7)除偶然誤差外，寫出一條本實驗中可能產生誤差的原因：______________________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
答案　(3)　(5)線性的　(6)A　(7)見解析
解析　(3)0～t0內恰有10個完整周期的振動圖像，故t0＝10T，解得T＝。
(5)分析圖表數據可以看出，在誤差允許的范圍內，T2∝m，即彈簧振子振動周期的平方與質量的關系是線性的。
(6)質量的單位是kg，勁度系數的單位是N/m，故的單位為＝＝s，A正確；同理分析可知，B、C、D項的量綱都不對。
(7)彈簧不是輕彈簧；手機內部有磁體，與鉤碼下的小磁鐵會產生相互作用；空氣阻力的影響等(寫出一條即可)。實驗九　用單擺測量重力加速度的大小
原理裝置圖 實驗步驟 注意事項
測擺長l和周期T，由 T＝2π得g＝ 1.做單擺 將細線穿過帶中心孔的小鋼球，并打一個比小孔大一些的結，然后把線的另一端用鐵夾固定在鐵架臺上，讓擺球自然下垂。 2.測擺長 用米尺量出擺線長l′(精確到毫米)，用游標卡尺測出小球直徑D，則單擺的擺長l＝l′＋。 3.測周期 將單擺從平衡位置拉開一個角度(小于5°)，然后釋放小球，記下單擺擺動30次～50次的總時間，算出一次全振動的時間，即為單擺的振動周期。 4.改變擺長，重做幾次實驗。 1.擺線要選1 m左右，柔軟不易伸長的絲線，不要過長或過短。 2.懸線長要待懸掛好球后再測，計算擺長時要將懸線長加上擺球半徑。 3.單擺要在豎直平面內擺動，不要形成圓錐擺。 4.要從平衡位置開始計時，并數準全振動的次數
數據處理 1.公式法：g＝，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。 2.圖像法：根據測出的一系列擺長l對應的周期T，作l－T2的圖像，由單擺周期公式得l＝T2，圖像應是一條通過原點的直線，如圖所示，求出圖線的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。
考點一　教材原型實驗
例1 (2023·新課標卷，23)一學生小組做“用單擺測量重力加速度的大小”實驗。
(1)用實驗室提供的螺旋測微器測量擺球直徑，首先，調節螺旋測微器，擰動微調旋鈕使測微螺桿和測砧相觸時，發現固定刻度的橫線與可動刻度上的零刻度線未對齊，如圖1(a)所示，該示數為________mm，螺旋測微器在夾有擺球時示數如圖(b)所示，該示數為________mm，則擺球的直徑為________mm。
圖1
(2)單擺實驗的裝置示意圖如圖(c)所示，其中角度盤需要固定在桿上的確定點O處，擺線在角度盤上所指的示數為擺角的大小。若將角度盤固定在O點上方，則擺線在角度盤上所指的示數為5°時，實際擺角________5°(填“大于”或“小于”)。
(3)某次實驗所用單擺的擺線長度為81.50 cm，則擺長為________cm。實驗中觀測到從擺球第1次經過最低點到第61次經過最低點的時間間隔為54.60 s，則此單擺周期為________s，該小組測得的重力加速度大小為________m/s2。(結果均保留3位有效數字，π2取9.870)
1.(2024·廣東珠海高三期末)小明學習“用單擺測量重力加速度”實驗后，利用圖2甲裝置做了該實驗。
(1)測量擺長時，先用毫米刻度尺測得擺球懸掛后的擺線長(從懸點到擺球的最上端)為L，再用游標卡尺測得擺球的直徑，讀數如乙圖所示，則d＝________cm，若再測得單擺周期為T，則當地的重力加速度g＝________(用L、d、T表示)。
圖2
(2)在安裝裝置時，擺線上端有三種系掛方式，下列方式哪種是正確的________(填對應序號)。
(3)在測量周期時，若從擺球運動到最低點開始計時且記數為1，到第n次經過最低點所用的時間為t，則單擺周期為T＝________(用n、t表示)。
圖3
(4)假如把該裝置搬到月球上進行實驗，改變單擺的擺長l，多次測量單擺在不同擺長下所對應的周期T，并描繪出T2－l圖像如圖3所示，則可得知月球重力加速度大小為________ m/s2。
考點二　創新拓展實驗
例2 (2023·重慶卷，11)某實驗小組用單擺測量重力加速度。所用實驗器材有擺球、長度可調的輕質擺線、刻度尺、50分度的游標卡尺、攝像裝置等。
圖4
(1)用游標卡尺測量擺球直徑d。當量爪并攏時，游標尺和主尺的零刻度線對齊。放置擺球后游標卡尺示數如圖4甲所示，則擺球的直徑d為________mm。
(2)用擺線和擺球組成單擺，如圖乙所示。當擺線長度l＝990.1 mm時，記錄并分析單擺的振動視頻，得到單擺的振動周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g為________m/s2(保留3位有效數字)。
(3)改變擺線長度l，記錄并分析單擺的振動視頻，得到相應的振動周期。他們發現，分別用l和l＋作為擺長，這兩種計算方法得到的重力加速度數值的差異大小Δg隨擺線長度l的變化曲線如圖5所示。由圖可知，該實驗中，隨著擺線長度l的增加，Δg的變化特點是____________________________________________
_____________________________________________________________________，
原因是_______________________________________________________________
_____________________________________________________________________。
圖5
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.(2024·遼寧大連高三質檢)現代智能手機自帶了許多傳感器，利用智能手機Phyphox軟件能夠采集傳感器記錄的數據。某同學在家根據Phyphox界面提示的原始傳感器，給出了2種測量重力加速度的方案：
方案1.使用“含(g)的加速度”模塊，令手機靜置在桌面上20 s，直接讀出重力加速度(圖一)；
方案2.使用“擺”功能，該同學找到一把量程為30 cm的刻度尺，長度為100 cm左右的細線和一把鐵鎖，制成一個單擺，于小角度釋放。輸入擺長后，利用手機讀取周期，手機將計算出重力加速度(圖二)。
回答下列相關問題：
(1)根據方案2，可知手機計算重力加速度g的表達式為________(用g、π、T、L表示)。
(2)與方案1測得的重力加速度g相比，方案2測得的重力加速度g結果有一定的誤差，產生誤差的主要原因為________。
A.鐵鎖的重心不方便確定，所以擺長不準
B.測量擺長的刻度尺量程太小，測擺長時多次移動產生了一定的誤差
C.鐵鎖質量過大，導致g測量誤差較大
(3)方案2重力加速度g計算結果誤差較大，該同學想到一個修正方案：實驗時，可以在細線上的A點做一個標記，使得懸點O到A點間的細線長度小于刻度尺量程；保持該標記以下的細線長度不變，通過改變OA間細線長度以改變擺長，當OA間細線長度分別為L1、L2時，測得相應單擺的周期為T1、T2，由此可測得重力加速度g的數值，此方案計算g的表達式為______________(其中L2>L1)。
A.g＝ B.g＝
C.g＝ D.g＝
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

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