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2024年高考前一周學生復(fù)習材料整理
高中數(shù)學材料使用說明
親愛的同學們, 為了奪取高考的勝利,高考前復(fù)習的重要輔助工具, 特給同學們以下幾點建議, 幫助同 學們系統(tǒng)、深入理解和掌握數(shù)學概念、公式、定理和解題技巧回歸教材。此份材料分為四個環(huán)節(jié): 課標要求、思維導圖、易錯點提醒、典型考點。
一. 課標要求
課程標準是高考命題的基礎(chǔ)。同學們高考前通過閱讀本部分內(nèi)容, 可以更清楚地了解高考每個模塊的命題方向和考試重點, 明確高考對 每部分內(nèi)容考查要求, 確保自己的復(fù)習方向正確、內(nèi)容全面, 不留漏 點和盲點。
二. 思維導圖
本部分思維導圖內(nèi)容將復(fù)雜的知識點進行了梳理和歸納, 使知識 系統(tǒng)化、條理化。高中數(shù)學知識點瑣碎繁多, 邏輯性強, 思維導圖能 夠幫助大家將這些知識點按照邏輯關(guān)系進行組織, 形成清晰的知識框 架。快速定位到需要復(fù)習的知識點, 避免在復(fù)習時遺漏重要內(nèi)容。同 時, 由于思維導圖的直觀性和簡潔性, 大家可以在較短的時間內(nèi)掌握 大量的信息, 提高復(fù)習效率。
三. 易錯點提醒
易錯點是我們對某個知識點理解不夠深入或存在誤解的地方。通 過復(fù)習易錯點, 我們可以更深入地理解這些知識點, 確保真正掌握, 避免重復(fù)犯錯。本部分內(nèi)容能幫助我們能提前識別并熟悉易錯點, 在 考試時遇到相關(guān)問題時, 我們就能更快地找到解題思路和答案, 從而 提高答題速度。
四. 典型考點
本部分內(nèi)容是材料的核心部分, 是歷年高考中考查的熱點、 高中必須掌握的重點和難點知識, 它反映了高考命題的規(guī)律和趨勢, 是我們備考的重要參考。通過有針對性地復(fù)習這些考點, 我們可以更 加明確復(fù)習方向, 避免盲目性, 從而大大提高備考效率。而且這些考 點不僅涵蓋了學科知識, 還涉及到邏輯思維、問題解決能力等方面。 通過復(fù)習這些考點, 我們可以培養(yǎng)自己的綜合素質(zhì), 以確保在高考中 取得優(yōu)異的成績。同學們要合理安排好靜悟材料的使用時間, 結(jié)合自身的具體情況 制定好復(fù)習計劃, 有的放矢的進行材料的充分使用。追風趕月莫停留, 平蕪盡處是春山。希望同學們合理安排時間, 做好計劃, 結(jié)合自身情況, 科學進行復(fù)習反思、融會貫通, 以達到最佳效果。加油, 未來的你一定會感謝現(xiàn)在努力的自己!祝同學們筆尖流淌自信的墨水, 書寫屬于你的精彩人生!
目錄
材料一: 集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù) . 1
材料二: 平面向量 .10
材料三: 不等式 19
材料四: 計數(shù)原理與二項式定理 . 32
材料五: 三角函數(shù)與解三角形 . 42
材料六: 數(shù)列 55
材料七: 立體幾何 .70
材料八: 概率與統(tǒng)計 .89
材料九: 解析幾何 .100
材料十: 函數(shù)與導數(shù) .123
材料十一: 單選題解答策略 141
材料十二: 多選題解答策略 .153
材料十三: 填空題的答題技巧 163
材料十四：新定義題解答策略 . 174
靜悟材料一: 集合、常用邏輯用語、復(fù)數(shù)
主編單位: 城陽第二中學
【課標要求】
1. 集合的概念與表示
(1) 通過實例, 了解集合的含義, 理解元素與集合的屬于關(guān)系. (2) 針對具體問題, 能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上, 用符號語言刻畫集合. (3) 在具體情境中, 了解全集與空集的含義.
2.集合的基本關(guān)系
理解集合之間包含與相等的含義, 能識別給定集合的子集.
3. 集合的基本運算
(1) 理解兩個集合的并集與交集的含義, 能求兩個集合的并集與交集. (2) 理解在給定集合中一個子集的補集的含義, 能求給定子集的補集. (3) 能使用 Venn 圖表達集合的基本關(guān)系與基本運算, 體會圖形對理解抽象概念的作用.
4. 必要條件、充分條件、充要條件
(1) 通過對典型數(shù)學命題的梳理, 理解必要條件的意義, 理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系. (2) 通過對典型數(shù)學命題的梳理, 理解充分條件的意義, 理解判定定理與充分條件的關(guān)系. (3) 通過對典型數(shù)學命題的梳理, 理解充要條件的意義, 理解數(shù)學定義與充要條件的關(guān)系.
5. 全稱量詞與存在量詞
通過已知的數(shù)學實例, 理解全稱量詞與存在量詞的意義。
6. 全稱量詞命題與存在量詞命題的否定
(1) 能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定.
(2) 能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定.
7. 復(fù)數(shù)的概念
(1) 通過方程的解, 認識復(fù)數(shù)。(2) 理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義, 理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義.
8. 復(fù)數(shù)的運算
掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運算, 了解復(fù)數(shù)加、減運算的幾何意義.
【思維導圖】
【易錯點提醒】
1. 已知集合 ,則
A. B. C. D.
【錯解】忽略 的定義域限制,漏掉 ,錯選 A 項.
【正解】由 ,得 ,故 ,
由 得 ,得 ,故 ,所以 ,故選 C.
2. 若集合 ,則
A. B. C. D.
【錯解】集合 未看到整數(shù)的要求,錯選 C 項.
【正解】由題意,得 ,
因為 ,即 ,解得 或
則 ,所以 ,故選 D.
3. 設(shè)集合 ,則
A. B. C. D.
【錯解】看錯交、并符號, 誤選 C 項.
【正解】由 ,可知, ,故選 D.
4. 設(shè)集合 . 若 ,則實數(shù) 的取值范圍是
A. B. C. D.
【錯解】端點的取舍易出現(xiàn)錯誤, 導致錯選 C 項.
【正解】因為 且 ,
所以 ,即實數(shù) 的取值范圍是 ,故選: D.5. 已知集合 ,則
C. D.
【錯解】集合 中誤將 當成元素,錯選 C 項.
【正解】集合 或 ,
,所以 ,故選: D.
6. 命題 “ ” 的否定是 ( )
A. B. C. D.
【錯解】誤將前后都否定,錯選 D. .
【正解】命題 “ ” 的否定是 “ ”. 故選: C.
7. 復(fù)數(shù) (i 為虛數(shù)單位),則 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【錯解】誤將 看成 ,錯選 A 項.
【正解】由 得: ,
,所以復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為 ,位于第四象限,故選: D.
8. 歐拉公式 把自然對數(shù)的底數(shù) ,虛數(shù)單位 三角函數(shù) 和 聯(lián)系
在一起,被譽為 “數(shù)學的天橋”. 若復(fù)數(shù) 滿足 ,則
A. B. C. D.
【錯解】讀不懂新概念或看不懂新情境, 導致無從下手.
【正解】由歐拉公式得 ,因此 化為 ,
則 ,即 ,
所以 ,故選:
【典型考點】
1.集合間的基本關(guān)系
(1)【&2023 新高考 II 卷】設(shè)集合 ,若 ,則
A. 2 B. 1 C. D. -1
【答案】
解: 若 ,此時 ,不滿足題意;
若 ,此時 ,滿足題意.
若 ,此時 ,不滿足題意.
若 ,此時 ,不滿足題意.
(2)【&2021 全國乙卷】已知集合 ,則
A. B. C. D.
【答案】
解: 因為當 時,集合 中任意元素
所以 ,于是 .
2.集合的基本運算
(1) 【&2023 新高考 I 卷】已知集合 ,則
A. B. C. D.
【答案】
解: ,所以 .(2) 【&2022 新高考 I 卷】若集合 ,則
A. B. C. D.
【答案】
解: 因為 ,故 .
3.常用邏輯用語
甲: 為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列 的首項 ,公差為 . 即 ,乙: 為等差數(shù)列. 則 ( )
A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件
B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件
C. 甲是乙的充要條件
D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【答案】
解: 方法 1:
為等差數(shù)列,設(shè)其首項為 ,公差為 ,則 故 為等差數(shù)列,則甲是乙的充分條件,，
反之, 為等差數(shù)列,即 為常數(shù),設(shè)為
即 ,故 故
兩式相減有: ,對 也成立,故 為 等差數(shù)列,
則甲是乙的必要條件,
故甲是乙的充要條件,故選 .
方法 2:
因為甲: 為等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列 的首項 ,公差為 . 即 ,
則 ,故 為等差數(shù)列,即甲是乙的充分條件.
反之,乙: 為等差數(shù)列. 即 .
即 .
當 時, .
上兩式相減得: ,
所以 . 當 時,上式成立.
又 為常數(shù). 所以 為等差數(shù)列.
則甲是乙的必要條件, 故甲是乙的充要條件.
(2)【2023 全國甲卷】“ ” 是 “ ” 的
A. 充分條件但不是必要條件 B. 必要條件但不是充分條件
C. 充要條件 D. 既不是充分條件也不是必要條件
【答案】
解: 當 時,例如 ,但 ,
即 推不出 ;
當 時, ,
綜上可知, 是 成立的必要不充分條件.
(3)【2023 天津】“ ” 是 “ ” 的 ( 2 )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分又不必要條件
【答案】
解: ,即 ,解得 或 ,
,即 ,解得 ,
故 “ ” 不能推出 “ ”,充分性不成立,
“ ” 能推出 “ ” ,必要性成立,
故 “ ” 是 “ ” 的必要不充分條件.
4. 復(fù)數(shù)的概念及幾何意義
(1)【2023 新高考 II 卷】在復(fù)平面內(nèi), 對應(yīng)的點位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】
解: ,對應(yīng)點的坐標為 ,位于第一象限.
(2)【2023 全國甲卷】若復(fù)數(shù) ,則實數(shù)
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】
解: 由題知 ,
,則 .
(3) 【2022 全國乙卷】已知 ,且 ,其中 為實數(shù),則 )
A. B.
C. D.
【答案】
解: 由題設(shè), ,代入有 ,
故 .
5. 復(fù)數(shù)的四則運算
(1)【2023 新高考【卷】已知 ,則
A. B. C. 0 D. 1
【答案】
解: ,所以 .
(2)【2023 全國乙卷】設(shè) ,則
A. B. C. D.
【答案】
解: 因為 ,所以 .
(3)【2022 新高考II卷】
A. B. C. D.
【答案】
【分析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算, 為基礎(chǔ)題.
【解答】
解: .
材料二: 平面向量
【課標要求】
1.內(nèi)容要求:
(1) 了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義
(2) 理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義, 會計算平面向量的數(shù)量積, 會用數(shù)量積判斷兩 個平面向量的垂直關(guān)系
(3) 能用坐標表示平面向量的數(shù)量積, 會表示兩個平面向量的夾角
(4) 通過幾何直觀, 了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義
(5) 會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題, 體會向量在解決 數(shù)學和實際問題中的作用
2. 學業(yè)要求:
(1) 能夠從多種角度理解向量概念和運算法則, 掌握向量基本定理
(2) 能夠運用向量運算解決簡單的幾何和物理問題, 知道數(shù)學運算與邏輯 推理的關(guān)系
【思維導圖】
【易錯點提醒】
1. 向量夾角定義不明致誤
例 1 已知等邊 的邊長為 1,則
錯解 為等邊三角形, ,向量 間的夾角均為 . .
錯因分析 數(shù)量積的定義 ,這里 是 與 的夾角,本題中 與 夾角不 是 . 兩向量的夾角應(yīng)為平面上同一起點表示向量的兩條有向線段間的夾角,如圖 與 的夾角應(yīng)是 .
正解 如圖 與 的夾角應(yīng)是 的補角 ,
即 . 又 ,
所以 .
同理得 .
故 .
2. 忽視向量共線致誤
例 2 已知 與 的夾角為 . 若 為銳角,則 的取值范圍是
錯解: . 因 為銳角,有 ,
,得 的取值范圍是 .
錯因分析: 當向量 同向時, 滿足 ,但不是銳角.
正解 為銳角, .
又 且 ,
,解得
的取值范圍是 且 .
3. 錯誤使用向量 的等價條件
例&3. 已知 ,則實數(shù)
錯解: ,若 ,則
.
錯因分析: 錯誤的運用向量平行的等價條件,對于
,而本題錯誤的運用 ,此時容易忽略 0 這個解.
正解: ,則 ,若 ,則
,所以 或 .
4.混淆向量點乘運算和實數(shù)乘法運算
例&4. 已知 ,且向量 與向量 的夾角為 ,則
錯解:
錯因分析: 混淆了 和實數(shù) 相乘的運算法則.
正解: ,
【典型考點】
1. 向量線性運算
例 1. 如圖所示,在 中, 是 上的一點,若 ,則實數(shù) 的值為
解析: 設(shè) ,則 .
與 共線, .
方法總結(jié): 向量線性運算的基本原則和求解策略
(1) 基本原則: 向量的加法、減法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算. 向量的線性運算的結(jié) 果仍是一個向量. 因此, 對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意向量的大小和方向 兩個方面.
(2) 求解策略:
(1)向量是一個有 “形” 的幾何量, 因此在進行向量線性運算時, 一定要結(jié)合圖形, 這是 研究平面向量的重要方法與技巧.
(2)字符表示下線性運算的常用技巧:
首尾相接用加法的三角形法則,如 共起點兩個向量作差用減法的幾何意 義,如 .
2. 平面向量數(shù)量積的運算
例 2 (1) 已知點 ,則向量 在 方向上的投影為
A. B. C. D.
(2) 如圖,在梯形 中, . 若 3,則
(1) A (2)
解析: (1) ,向量 在 上的投影為 .
(2) 因為 ,所以 .
方法總結(jié): 向量數(shù)量積的求解策略
(1) 利用數(shù)量積的定義、運算律求解., 在數(shù)量積運算律中, 有兩個形似實數(shù)的完全平方 公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛,即 ,上述 兩公式以及 這一類似于實數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接 應(yīng)用.(2) 借助零向量.
即借助 “圍成一個封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”, 再合理地進行向量的 移項以及平方等變形, 求解數(shù)量積.
(3) 借助平行向量與垂直向量., 即借助向量的拆分, 將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直向量 關(guān)系或平行向量關(guān)系的向量數(shù)量積,借助 ,則 等解決問題.
(4) 建立坐標系, 利用坐標運算求解數(shù)量積.
3.平面向量的坐標運算
例 3 (1) (2018 - 北京高考) 設(shè)向量 ,若 ,則
(2) 設(shè) .
(1)若 ,求 的值;
(2)若 ,且 ,求 的值.
思路分析: (1) 用坐標表示出 ,再利用垂直關(guān)系列出方程求解. (2) 將向量坐標表示后 列方程或方程組求解.
解析: (1) -1
由 得: ,即 .
(2) (1)因為 ,所以 .
又 ,所以 ,即 ,
所以 . 所以 .
(2)因為 .
因為 ,
所以 ,
即 解得 或 ,
所以 或 .
方法總結(jié): 向量的坐標運算:
若 ,
則: (1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) ;(5) ,或 ;
(6) ;
(7)
(8)若 為 與 的夾角,則
4.平面向量的平行與垂直問題
例 4 (1) 已知向量 ,若 ,則
A. -4 B. C. D.
(2) 設(shè) 為平面內(nèi)的四點,且 .
(1)若 ,求 點的坐標.
(2)設(shè)向量 ,若 與 平行,求實數(shù) 的值.
解析: (1) 因為 ,且 ,
所以 ,
解得 .
(2) [解] (1,1)設(shè) . 因為 ,所以 , 化為 ,
所以 解得 所以 .
(2)因為 ,
所以 .
因為 與 平行,所以 ,解得 . 方法總結(jié):
1. 證明共線問題常用的方法
(1) 向量 共線 存在唯一實數(shù) ,使 .
(2) 向量 共線 .
(3) 向量 與 共線 .
(4) 向量 與 共線 存在不全為零的實數(shù) ,使 .
2. 證明平面向量垂直問題的常用方法
,其中 .
5.平面向量的模、夾角問題
例 5 已知向量 ,且 與 的夾角為 .
(1) 求證 ;
(2) 若 ,求 的值;
(3) 若 ,求 的值;
(4) 若 與 的夾角為 ,求 的值.
思路分析: 利用兩向量垂直則數(shù)量積為零, 關(guān)于向量模的問題, 先對其平方, 以及合理使用 夾角公式.
[解析]: (1) 證明: 因為 與 的夾角為 ,
所以 ,所以 .
(2) 由 得 ,即 .
因為 ,所以 ,
所以 ,即 . 所以 或 .
(3) 由 知 ,即 ,即 .
因為 ,所以 ,
所以 . 所以 .
(4) 由前面解答知 .
而 ,
所以 .
.
因為 ,由 得 ,
化簡得 ,所以 或 .
經(jīng)檢驗知 不成立,故 .
方法總結(jié):
1. 解決向量模的問題常用的策略
(1) 應(yīng)用公式: (其中 ).
(2) 應(yīng)用三角形或平行四邊形法則.(3) 應(yīng)用向量不等式 .
(4) 研究模的平方 .
2. 求向量的夾角
設(shè)非零向量 ,兩向量夾角 的余弦
6.平面向量在平面幾何和物理中的應(yīng)用
例 6 (1) 用兩條成 角的等長的繩子懸掛一個物體,如圖所示,已知物體的重力大小為 ,則每根繩子的拉力大小是
(2) 如圖所示,在正方形 中, 為對角線 上任一點, ,垂足分 別為 ,連接 ,求證: .
解析: (1) 因繩子等長,所以每根繩子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于 , 故每根繩子的拉力大小都是 .
(2) 證明: 法一: (基向量法) 設(shè)正方形 的邊長為 ,則
,即 .
法二: (坐標法) 設(shè)正方形邊長為 1,建立如圖所示的平面直角坐標系,設(shè) ,則 , ,所以 ,
由 ,所以 ,即 .
方法總結(jié): 平面向量兩個方面的應(yīng)用
(1) 平面幾何應(yīng)用
向量 幾何問題
共線向量 點共線問題、直線與直線平行
數(shù)乘向量 求線段長度之比
數(shù)量積 線段的長度、直線與直線的夾角
(2) 物理應(yīng)用: 速度、位移、力、功.
材料三: 不等式
【課標要求】
1. 相等關(guān)系與不等關(guān)系
相等關(guān)系與不等關(guān)系是數(shù)學中最基本的數(shù)量關(guān)系, 是構(gòu)建方程、不等式的基礎(chǔ). 內(nèi)容包括: 等式與不等式的性質(zhì)、基本不等式.
(1) 等式與不等式的性質(zhì): 梳理等式的性質(zhì), 理解不等式的概念, 掌握不等式的性質(zhì).
(2) 基本不等式: 掌握基本不等式 . 結(jié)合具體實例,能用基本不等 式解決簡單的最大值或最小值問題.
2. 從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式
用函數(shù)理解方程和不等式是數(shù)學的基本思想方法. 內(nèi)容包括: 從函數(shù)觀點看一元二次方程、從 函數(shù)觀點看一元二次不等式.
(1) 從函數(shù)觀點看一元二次方程: 會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象, 判斷一元二次方程實根的存 在性及實根的個數(shù), 了解函數(shù)的零點與方程與方程根的關(guān)系.
(2) 從函數(shù)觀點看一元二次不等式: 經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程, 了解 一元二次不等式的現(xiàn)實意義. 能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式, 并能用集合表示一 元二次不等式的解集. 借助一元二次函數(shù)的圖象, 了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的 聯(lián)系.
學業(yè)要求: 能夠從函數(shù)觀點認識方程和不等式, 感悟數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián), 認識函數(shù)的重要 性. 掌握等式與不等式的性質(zhì).
【思維導圖】
叫做幾何平均數(shù) (等比中項) : 叫做算術(shù)平均數(shù) (等差中項) 內(nèi)容 成立條件 騰 當且僅當a=b時，等號成立 (當且僅當 時，等號成立) 基本不等式 積定和最小若 ( 是定值),則 (當且僅當 時等號成立) 求最值若 ，則 (當且僅當 時等號成立) 和定積最大 應(yīng)用合理拆湊 子主題 證明不等式 多次應(yīng)用 子主題
【易錯點提醒】
1. 誤用不等式性質(zhì)
已知 為實數(shù),則 是 的 ()
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【錯解】
【錯因分析】誤用 的不等式性質(zhì),沒有弄清誰是條件,誰是結(jié)論.
【正解】
【糾錯筆記】 是 的充分條件 的充分條件是 .
2. 忽略限制條件
若 ,則 的取值范圍是
【錯解】因為 ,兩邊取倒數(shù)得 ,所以 .
【錯因分析】忽略 的情況
【正解】當 時 ,當 時 兩邊取倒數(shù)得 ,所以
,所以 的取值范圍是
【糾錯筆記】若 ,則 時才能得到 .
3. 同向相乘出錯
若 ,求 的取值范圍.
【錯解】
【錯因分析】利用不等式同向相乘, 忽略不等式兩邊為正.的前提條件
【正解】當 時得 ,當 時 ,當 時 ,所以 ,綜上可得 的取值范圍是 .
【糾錯筆記】若 ,則 充分條件包含充要條件與充分不必要條件.
4. 利用同向相加求范圍出錯
設(shè) ,若 ,則 的取值范圍是
【錯解】由已知得 (1), (2),(1) + (2)得 ,又由(1)可得 ,(3)
(2) + (3)得 ,又 ,
的取值范圍是 .
【錯因分析】范圍擴大.
【正解】由 得
又 ,故 .
【糾錯筆記】在求式子的范圍時, 如果多次使用不等式的可加性, 式子中的等號不能同時取到, 會導致范圍擴大.
5. 解分式不等式忽略分母不為零
解不等式 .
【錯解】 或 .
【錯因分析】忽略 .
【正解】
且 或 ,
所以 的解集為
【糾錯筆記】
6. 連續(xù)使用基本不等式忽略等號能否同時成立
已知 且 ,則 的最小值是
【錯解】
,
的最小值為 .【錯因分析】 取等號的條件是 ，
即 取等號的條件是 與 矛盾.
【正解】 ,當且僅當 時取等號 當 時, .
【糾錯筆記】多次使用基本不等式要驗證等號成立的條件.
7. 使用基本不等式求和的最值忽略各項為正
函數(shù) 的值域為
【錯解】
所以 的值域為 .
【錯因分析】忽略 時
【正解】
當 時 ,當 時 ,所以 的值域為 . 【糾錯筆記】利用基本不等式求最值時要注意條件: 一正二定三相等.
8. 解含有參數(shù)的不等式分類不當致誤
解關(guān)于 的不等式 .
【錯解】原不等式化為 .
當 時,不等式的解集為
當 時,不等式的解集為 .
【錯因分析】解本題容易出現(xiàn)的錯誤是: (1)認定這個不等式就是一元二次不等式, 忽視了對 時的討論; (2)在不等式兩端約掉系數(shù) 時,若 ,忘記改變不等號的方向; (3)忽視 了對根的大小的討論, 特別是等根的討論; (4)分類討論后, 最后對結(jié)論不進行整合.
【正解】當 時,不等式的解集為 .當 時,不等式化為
當 時,原不等式等價于 ,不等式的解集為 ;
當 時, ,不等式的解集為 ;
當 時, ,不等式的解集為 ;
當 時,不等式的解集為 .
綜上所述,當 時,不等式的解集為 ;
當 時,不等式的解集為 ;
當 時,不等式的解集為 ;
當 時,不等式的解集為 ; 當 時,不等式的解集為 .
【糾錯筆記】解形如 的不等式,應(yīng)對系數(shù) 分 進行討論, 還要討論各根的大小, 最后根據(jù)不同情況分別寫出不等式的解集.
【典型考點】
1. 比較大小
(2022 年全國甲,第 12 題) 已知 ,則
A. B. C. D.
思路分析: (1) 求 ,借助指對互化,解方程求得 ,并明確取值范圍
(2) 比較 與 的大小,觀察 與 的結(jié)構(gòu)特點,借助換底公式將兩
者的結(jié)構(gòu)統(tǒng)一, 借助基本不等式進行放縮
思路探求
(3) 比較 與 的大小,同上面的思路
(4) 構(gòu)造函數(shù), 研究其單調(diào)性詳細答案: A
方法一: 由 可得 ,
而 ,
所以 ,即 ,所以 .
又 ,
所以 ,即 ,所以 .
綜上, ,故選 A.
方法二: 由 可得 ,由于 ,構(gòu)造函 數(shù) ,則 ,所 以 在 內(nèi)單調(diào)遞增,即 ,所以 .
又 ,所以 ,故選 A.
方法總結(jié): 比較大小的常用方法有單調(diào)性法、中間量法、作差作商法、構(gòu)造函數(shù)法、圖象法. 本題的關(guān)鍵是指對互化后, 利用放縮法比較大小, 或構(gòu)造函數(shù)后用其單調(diào)性比較大小. 本題 在解決過程中借助指對互化、基本不等式等知識進行條件分析, 應(yīng)用指對運算技能完成數(shù)式 的化簡, 應(yīng)用演繹推理的技能完成基本不等式的放縮, 運算放縮法、構(gòu)造函數(shù)法將問題進行 有效轉(zhuǎn)化.
2. 不等式性質(zhì)
(多選) (2020 年新高考 I 卷,第 11 題) 已知 且 ,則 ( )
A. B. C. D.
思路分析:
思路探求
2. 減少變量的個數(shù), 轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進行范圍的求解詳細答案: ABD
對于 ,
當且僅當 時,等號成立,故 A 正確;
對于 ,所以 ,故 正確;
對于 ,當且僅當 時,
等號成立, 故 C 不正確;
對于 ,因為 ,所以 ,當且僅當
時,等號成立,故 D 正確; 故選: ABD
方法總結(jié): 本題主要考查不等式的性質(zhì), 綜合了基本不等式、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性, 根據(jù) ,結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.
3. 基本不等式
(多選) (2022 年新高考 II 卷,12 題) 對任意 ,則 ( )
A. B. C. D.
思路分析: 1. 等式放縮: ,求范圍可以借 助不等式, 利用基本不等式對已知等式放縮
思路探求 2. 三角換元: ,借助平方關(guān)系進 行三角換元 詳細答案:
方法一: 因為 ,由
可得 ,令 解得 ,當且僅當 時, ,當且僅當 時, ,所以 錯誤, 正確.
由 可變形為 ,解得 ,當且僅當 時,等號成立,所以 成立.
由 ,解得 ,當且僅當
或 時,取等號,故 D 錯誤. 故選 BC.
方法二: 因為 變形可得 ,
可設(shè) ,
因此 ,
當且僅當 時, ,當且僅當 時, ,所以 B 正確,A 錯誤. 所以 正確, 錯誤. 故選 . 方法總結(jié): 基本不等式求最值常用方法有直接法、換元法、 “ 1 ” 的代換、配湊法、分離常數(shù) 法等. 本題在解決過程中利用基本不等式和三角恒等變換等知識進行條件分析, 運用放縮法 等將等式問題轉(zhuǎn)化為不等式問題,運用三角換元法將目標表示成關(guān)于 的三角函數(shù),應(yīng)用推 理的技能將目標進行分析和求解.
4. 不等式中的恒成立問題
(2020 年浙江高考,第 9 題) 已知 且 ,若 在 上恒成立, 則 ( )
A. B. C. D. 直線 的距離的最小值為 4 .
方法二: 當直線 平移到與曲線 相切的位置時,切點 到直線 的 距離即為點 到直線 的距離的最小值,此時,直線 與曲線 在 點 處的切線平行.
設(shè)點 ,又 ,所以當 時, ,又直線 與 曲線 在點 處的切線平行,所以 ,解得 ,所以 ,因此切點 ,則切點 到直線 的距離
,故點 到直線 的距離的最小值是 4 .
方法總結(jié): 在最值問題的求解中, 基本不等式是常用方法之一. 在使用基本不等式時, 要注 意 “一正、二定、三相等” 的使用條件.
【易錯點梳理】
易錯點 1 、混淆二項式系數(shù)與項的系數(shù)致錯
1. 的展開式中 的系數(shù)為 ( )
A. B. C. D. 80
【錯解】A,由題可得
令 ,則 ,所以 的展開式中 的系數(shù)為 ,故選 A.
【錯因】錯把二項式系數(shù)當成項的系數(shù).
【正解】 ,由題可得
令 ,則 ,所以 ,故選 C.
易錯點 2 、忽略二項展開式的通項是第 項不是第 項致錯
2、二項式 的展開式的第二項是 ( )
A. B. C. D.
【錯解】展開式的通項為 ,令 可得展開式的第二項為 故選 A. 【錯因】誤認為第二項是 而錯誤.
【正解】展開式的通項為 ,令 ,可得展開式的第二項為 . 故選 D.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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