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第七章 萬有引力與宇宙航行——高一物理人教版（2019）必修第二冊期末復習知識大盤點
第一部分：學習目標整合
重點 ①開普勒三定律
②萬有引力定律及其應用
③第一宇宙速度
難點 ①天體運行時各物理量與運動半徑的關系
②對三個宇宙速度的理解
③人造衛星的變軌
④雙星問題
第二部分：經典習題變式
1.某科學衛星在赤道平面內自西向東繞地球做勻速圓周運動，對該衛星監測發現，該衛星離我國北斗三號系統中的某顆地球同步衛星的最遠距離是最近距離的3倍。已知地球同步衛星繞地球運動一周的時間是24 h。則下列判斷正確的是( )
A.發射該科學衛星的速度大于發射地球同步衛星的速度
B.科學衛星在軌運行周期為8 h
C.科學衛星在軌運行線速度是地球同步衛星在軌運行線速度的倍
D.科學衛星和地球同步衛星與地心連線在相同時間內掃過的面積相等
2.地球的公轉軌道接近圓，天文學中計量天體之間距離時常將地球和太陽的平均距離記為一天文單位，以1AU表示，彗星的運動軌道是一個非常扁的橢圓。天文學家哈雷曾經跟蹤過一顆彗星，并預言這顆彗星將每隔一定時間就會再次出現。1948年觀察到它離地球最遠，1986年離地球最近，則彗星近日點和遠日點之間的距離最接近于( )
A.10AU B.20AU C.40AU D.80AU
3.如圖，甲、乙兩顆衛星以相同的軌道半徑分別繞質量為M和2M的行星做勻速圓周運動，下列說法正確的是( )
A.甲、乙的向心加速度大小相等
B.甲乙的運行周期相同
C.甲乙的軌道半徑的三次方與運行周期的平方之比相等
D.甲的線速度比乙的小
4.火星繞太陽運轉可看成是勻速圓周運動，設火星運動軌道的半徑為r，火星繞太陽一周的時間為T，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是( )
A.火星的質量 B.火星的向心加速度
C.太陽的平均密度 D.太陽的質量
5.中國在西昌衛星發射中心成功發射“亞太九號”通信衛星，該衛星運行軌道示意圖如圖所示，衛星先沿橢圓軌道1運行，近地點為Q，遠地點為P。當衛星經過P點時點火加速，使衛星由橢圓軌道1轉移到地球同步軌道2上運行，下列說法正確的是( )
A.衛星在軌道1和軌道2上運動時的機械能相等
B.衛星在軌道1上運行經過P點的速度大于經過Q點的速度
C.衛星在軌道2上時處于超重狀態
D.衛星在軌道1上運行經過P點的加速度等于在軌道2上運行經過P點的加速度
6.甲、乙、丙是三個完全相同的時鐘，甲放在地球上，乙、丙分別放在兩個高速運動的火箭上，分別以速度和朝同一方向遠離地球飛行，且.在地面上的觀察者看來( )
A.甲時鐘走得最慢 B.乙時鐘走得最慢
C.丙時鐘走得最慢 D.甲、乙、丙時鐘快慢一樣
7.500米口徑的中國天眼（FAST）是世界上已建成的最大的射電望遠鏡，可監測脈沖星，探測引力波的存在.而引力波是實驗驗證愛因斯坦相對論的最后一塊“拼圖”.關于牛頓力學、相對論和量子力學，下列說法正確的是( )
A.牛頓力學適用于研究宏觀物體的低速運動
B.由于相對論的提出，牛頓力學已經失去了它的應用價值
C.高速運動的μ子壽命變長這一現象，既能用相對論時空觀解釋，又能用經典理論解釋
D.不論是宏觀物體，還是微觀粒子，牛頓力學和量子力學都是適用的
答案以及解析
1.答案：C
解析：A.衛星運行軌道越高，需要的發射速度越大，錯誤。
B.設科學衛星的軌道半徑為，地球同步衛星的軌道半徑為，根據題意有，解得，根據開普勒第三定律有，又，則，錯誤。
C.由得到，又，因此科學衛星在軌運行線速度是地球同步衛星在軌運行線速倍，正確。
D.衛星與地心連線單位時間內掃過的面積，由于兩衛星軌道半徑不同，因此與地心連線在相同時間內掃過的面積不等，錯誤。
2.答案：C
解析：1948年觀察到它離地球最遠，1986年離地球最近，所以它的周期為
根據開普勒第三定律
解得
故選C。
3.答案：D
解析：A、根據牛頓第二定律可得加速度大小為，所以甲的向心加速度大小小于乙，故A錯誤;
B、根據，可知，則甲運行的周期大于乙運行的周期，故B錯誤;
C、根據開普勒第三定律可知，開普勒第三定律適用于繞同一天體運動的衛星，不同的中心天體K值不同，所以甲、乙的軌道半徑的三次方與運行周期的平方之比不相等，故C錯誤;
D、根據可知，甲的線速度比乙的小，故D正確。
故選:D。
4.答案：B
解析：ACD.由題知火星繞太陽做勻速圓周運動則有
解得
其中，
聯立解得，故ACD錯誤；
B.火星繞太陽做勻速圓周運動，則火星的向心加速度故B正確。故選B。
5.答案：D
解析：A.衛星在軌道1上運行經過P點需點火加速進入軌道2，所以衛星在軌道2上的機械能大于軌道1上運動時的機械能，A錯誤；
B.P點是遠地點，Q點是近地點，根據開普勒第二定律可知衛星在軌道1上運行經過P點的速度小于經過Q點的速度，B錯誤；
C.衛星在軌道2上時處于失重狀態，C錯誤；
D.根據牛頓第二定律和萬有引力定律得
所以衛星在軌道2上經過P點的加速度等于在軌道1上經過P點的加速度，D正確。
故選D。
6.答案：C
解析：甲時鐘放在地面上，在地面上的人看來，甲時鐘沒有變化；乙、丙兩時鐘放在兩個火箭上，根據愛因斯坦相對論可知，乙、丙時鐘變慢，由于，丙時鐘比乙時鐘走得更慢，所以甲時鐘走得最快，丙時鐘走得最慢，C正確.
7.答案：A
解析：牛頓力學適用于研究宏觀物體的低速運動，A正確；在微觀高速領域，要用量子力學和相對論來解釋，但是并不會因為相對論和量子力學的出現，就否定了牛頓力學，牛頓力學作為某些條件下的特殊情形，被包括在新的科學成就之中，不會過時，也不會失去價值，B錯誤；高速運動的μ子壽命變長這一現象，屬于微觀高速運動，只能用相對論時空觀解釋，不能用經典理論解釋，C錯誤；宏觀低速物體，牛頓力學適用，微觀粒子，量子力學適用，D錯誤.
第三部分：重難知識易混易錯
重難點：
一、開普勒第三定律
（1）表達式，其中a是橢圓軌道的半長軸，T為公轉周期，k是與太陽質量有關而與行星無關的常量。
（2）行星的橢圓軌道都很接近圓。在近似的計算中，可以認為行星以太陽為圓心做勻速圓周運動。若用r代表軌道半徑，T代表周期，開普勒第三定律可以寫成。
（3）知道了行星到太陽的距離，就可以由開普勒第三定律計算或比較行星繞太陽運行的周期；反之，知道了行星的周期，也可以計算或比較其到太陽的距離。
二、萬有引力定律的性質理解
三、天體質量和密度的計算
人造衛星問題的分析思路
衛星的動力學規律
由萬有引力提供向心力
易錯題：
一、不會分析衛星軌道變化的問題
例1小行星繞恒星運動，恒星均勻地向四周輻射能量，質量緩慢減小，可認為小行星在繞恒星運動一周的過程中近似做圓周運動。則經過足夠長的時間后，小行星運動的( )
A.半徑變大 B.速率變大 C.角速度變大 D.加速度變大
答案：A
解析：恒星均勻地向四周輻射能量，質量緩慢減小，二者之間萬有引力減小，小行星要做離心運動，小行星運動的半徑增大，萬有引力做負功，小行星到達新的圓周軌道后速率減小，角速度減小，由于小行星距離恒星的距離增大，而恒星的質量減小，根據可知加速度減小，A項正確，B、C、D三項錯誤。
二、混淆赤道上的物體與近地衛星
例2已知地球赤道上的物體隨地球自轉的線速度大小為、向心加速度大小為，近地衛星線速度大小為、向心加速度大小為，地球同步衛星線速度大小為、向心加速度大小為。設近地衛星距地面高度不計，同步衛星距地面高度約為地球半徑的6倍。則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：本題易錯之處是不能正確建立近地衛星、同步衛星與赤道上隨地球自轉的物體間的關系進行列式計算。近地衛星和同步衛星都是繞地球做勻速圓周運動的，根據萬有引力提供向心力得，解得，兩衛星的軌道半徑之比為1:7，所以，故AB錯誤；同步衛星與隨地球自轉的物體具有相同的角速度，地球的半徑與同步衛星的軌道半徑之比為1:7，根據得，，故C正確，D錯誤。
三、不能準確把握同步衛星特點而出錯
例3氣象衛星是用來拍攝云層照片,觀測氣象資料和測量氣象數據的。我國先后自行成功研制和發射了“風云一號”和“風云二號”兩顆氣象衛星。“風云一號”衛星軌道與赤道平面垂直,通過兩極,每12小時巡視地球一周,稱為“極地圓軌道”?！帮L云二號”氣象衛星軌道平面在赤道平面內稱為“地球同步軌道”,則“風云一號”衛星比“風云二號”衛星( )
A.運行角速度小 B.運行線速度小
C.覆蓋范圍廣 D.向心加速度小
答案：C
解析：因為它們的周期不相等,一號的周期小,根據,故它的角速度大,選項A錯誤;在半徑相同的情況下,一號的線速度v=ωR , 故它的線速度大,選項B不正確;一號衛星的覆蓋范圍比二號要大,故選項C正確;因為一號的角速度大,故它的向心加速度也大,選項D錯誤,所以該題選C。
四、遷移能力欠缺導致錯誤
例4大多行星不適宜人類居住,繞恒星“GlieSe581”運行的行星“581c”卻很值得我們期待。恒星“Gliese581”的質量是太陽質量的0.31倍,行星“581c”的質量是地球的6倍,直徑是地球的1.5倍,公轉周期為13個地球日。若該行星與地球均可視為質量分布均勻的球體,繞其中心天體做勻速圓周運動,忽略它們的自轉,則( )
A.該行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的4倍
B.如果人到了該行星,其重力是地球上的倍
C.該行星與“GlieSe581”間的距離是日地距離的倍
D.該行星繞“Gliese581”公轉的線速度比地球繞太陽公轉的線速度小
答案：B
解析：衛星繞行星表曲做勻速圓周運動時,,第一宇宙速度,故該行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2倍,A錯誤;在行星表面總有,根據該行星和地球的質量比、直徑比,得,B正確;環繞天體繞中心天體做勻速圓周運動時,有,設該行星與“Gliese581”間的距離為,地球和太陽之間的距離為,該行星繞“Gliese581”的周期為,地球的公轉周期為,“Gliese581”的質量為,太陽的質量為,那么,C錯誤;由,得,代入數據得,D錯誤。
五、不會從題目中挖掘隱含條件
例5均勻分布在地球赤道平面上空的三顆同步通信衛星能夠實現除地球南北極等少數地區外的“全球通信”.已知地球半徑為,地球表面的向心加速度為,同步衛星所在軌道處的向心加速度為,地球自轉周期為,下面列出的是關于三顆衛星中任意兩顆衛星間距離的表達式,其中正確的是( )
A.
B.
C.
D.
答案：BC
解析：地球表面附近重力等于萬有引力,有:,得,同步軌道上有代入的值得:同步軌道的半徑,另外由開普勒第三定律也可求出同步軌道的半徑,地球表面附近有:,,由開普勒第三定律有:,代入數據得:,三顆衛星在同步軌道上應均勻分布,由幾何關系得,可見 B、C兩項正確.
例6用m表示地球的通信衛星(同步衛星)的質量,h表示離地面的高度,用R表示地球的半徑,g表示地球表面的重力加速度,ω表示地球自轉的角速度,則通信衛星所受地球對它的萬有引力的大小為( )
A. B. C. D.
答案：BCD
解析：地球同步衛星的角速度與地球自轉的角速度ω相同,軌道半徑為r=R+h,則根據向心力公式得地球對衛星的引力大小為。
該衛星所受地球的萬有引力為,
在地球表面有,得到,聯立得。由,解得,
所以可得,由于地球的質量M未知,故B、C、D正確,A錯誤。
第四部分：核心素養對接高考
單元核心素養
①物理觀念:能了解萬有引力定律的內涵，會計算人造衛星的環繞速度，知道第二宇宙速度和第三宇宙速度;能用萬有引力定律解釋一些天體運動問題。具有與萬有引力定律相關的運動與相互作用的觀念。
②科學思維:能將一些熟悉天體的運動抽象成勻速圓周運動模型;能分析一些簡單的天體運動問題，通過推理獲得結論;能用與萬有引力定律相關的證據解釋一些天體運動現象;同時知道牛頓力學的局限性，初步了解相對論時空觀。
③科學探究:能了解卡文迪什實驗的重要性，并能提出問題;能體會卡文迪什扭秤實驗方案設計的巧妙之處，能感受到科學定律的預測作用;能認識到測定物理常量在科學研究中的重要性;能撰寫與萬有引力定律相關的調研報告，與同學交流。
④科學態度與責任:能認識發現萬有引力定律的過程及重要意義，認識科學定律對人類探索未知世界的作用;知道科學包含大膽的想象和創新;有探索太空、了解太空的興趣，能為牛頓力學對航天技術發展的重大貢獻而振奮。
對接高考
1.“羲和號”是我國首顆太陽探測科學技術試驗衛星。如圖所示，該衛星圍繞地球的運動視為勻速圓周運動，軌道平面與赤道平面接近垂直。衛星每天在相同時刻，沿相同方向經過地球表面A點正上方，恰好繞地球運行n圈。己知地球半徑為地軸R，自轉周期為T，地球表面重力加速度為g，則“羲和號”衛星軌道距地面高度為( )
A. B. C. D.
2.“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設火星和地球的冬季是各自公轉周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍?；鹦呛偷厍蚶@太陽的公轉均可視為勻速圓周運動。下列關于火星、地球公轉的說法正確的是( )
A.火星公轉的線速度比地球的大 B.火星公轉的角速度比地球的大
C.火星公轉的半徑比地球的小 D.火星公轉的加速度比地球的小
3.如圖，火星與地球近似在同一平面內。繞太陽沿同一方向做勻速圓周運動，火星的軌道半徑大約是地球的1.5倍。地球上的觀測者在大多數的時間內觀測到火星相對于恒星背景由西向東運動，稱為順行；有時觀測到火星由東向西運動，稱為逆行。當火星、地球、太陽三者在同一直線上，且太陽和火星位于地球兩側時，稱為火星沖日。忽略地球自轉，只考慮太陽對行星的引力，下列說法正確的是( )
A.火星的公轉周期大約是地球的倍
B.在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為順行
C.在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星的運動為逆行
D.在沖日處，火星相對于地球的速度最小
4.“祝融號”火星車登陸火星之前，“天問一號”探測器沿橢圓形的停泊軌道繞火星飛行，其周期為2個火星日，假設某飛船沿圓軌道繞火星飛行，其周期也為2個火星日，已知一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的，則該飛船的軌道半徑與地球同步衛星的軌道半徑的比值約為( )
A. B. C. D.
5.2021年5月，天問一號探測器軟著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步。火星與地球公轉軌道近似為圓，兩軌道平面近似重合，且火星與地球公轉方向相同。火星與地球每隔約26個月相距最近，地球公轉周期為12個月。由以上條件可以近似得出( )
A.地球與火星的動能之比
B.地球與火星的自轉周期之比
C.地球表面與火星表面重力加速度大小之比
D.地球與火星繞太陽運動的向心加速度大小之比
6.我國航天人發揚“兩彈一星”精神砥礪前行，從“東方紅一號”到“北斗”不斷創造奇跡?！氨倍贰钡?9顆衛星的發射邁出組網的關鍵一步。該衛星繞地球做圓周運動，運動周期與地球自轉周期相同，軌道平面與地球赤道平面成一定夾角。該衛星( )
A.運動速度大于第一宇宙速度
B.運動速度小于第一宇宙速度
C.軌道半徑大于“靜止”在赤道上空的同步衛星
D.軌道半徑小于“靜止”在赤道上空的同步衛星
答案以及解析
1.答案：C
解析：本題考查萬有引力定律及其應用。衛星每天在相同時刻，沿相同方向經過地球表面A點正上方，恰好繞地球運行n圈，說明衛星的運行周期為，則衛星的運行速度，衛星運行時由萬有引力提供向心力，即，衛星在地球表面時，根據黃金代換式，得，聯立解得,C項正確。
2.答案：D
解析：本題考查萬有引力定律的應用?；鹦呛偷厍蚶@太陽的公轉均可視為勻速圓周運動，太陽對兩顆行星的引力提供向心力。根據題意可知，火星的公轉周期大于地球的公轉周期，根據可知，火星公轉的半徑比地球的大，C項錯誤；又，所以火星公轉的角速度比地球的小，B項錯誤；根據萬有引力提供向心力可知，，則，，火星公轉的半徑比地球的大，所以火星公轉的線速度比地球的小，火星公轉的加速度比地球的小，A項錯誤，D項正確。
3.答案：CD
解析：本題考查開普勒第三定律及萬有引力定律。火星的軌道半徑是地球的1.5倍，根據可知，，故火星的公轉周期大約是地球公轉周期的倍，A項錯誤；在沖日處，根據可得，，因此地球的公轉速度大于火星的公轉速度，因此在沖日處，地球上的觀測者觀測到火星相對于地球由東向西運動，為逆行，B項錯誤，C項正確；在沖日處，火星和地球的公轉速度方向相同，相對速度為，此時火星相對于地球的速度最小，D項正確。
4.答案：D
解析：繞中心天體做圓周運動，根據萬有引力提供向心力，可得，則軌道半徑，由于一個火星日的時長約為一個地球日，火星質量約為地球質量的0.1倍，則飛船的軌道半徑與地球同步衛星的軌道半徑的比值，故選項D正確。
5.答案：D
解析：A.設地球和火星的公轉周期分別為，軌道半徑分別為，由開普勒第三定律可得可求得地球與火星的軌道半徑之比，由太陽的引力提供向心力，則有得即地球與火星的線速度之比可以求得，但由于地球與火星的質量關系未知，因此不能求得地球與火星的動能之比，A錯誤；
B.則有地球和火星的角速度分別為，由題意知火星和地球每隔約26個月相距最近一次，又火星的軌道半徑大于地球的軌道半徑則由以上可解得月，則地球與火星繞太陽的公轉周期之比但不能求出兩星球自轉周期之比，B錯誤；
C.由物體在地球和火星表面的重力等于各自對物體的引力，則有得由于地球和火星的質量關系以及半徑關系均未知，則兩星球表面重力加速度的關系不可求，C錯誤；
D.地球與火星繞太陽運動的向心加速度由太陽對地球和火星的引力產生，所以向心加速度大小則有得由于兩星球的軌道半徑之比已知，則地球與火星繞太陽運動的向心加速度之比可以求得，D正確。
故選D。
6.答案：B
解析：AB.第一宇宙速度是指繞地球表面做圓周運動的速度，是環繞地球做圓周運動的所有衛星的最大環繞速度，該衛星的運轉半徑遠大于地球的半徑，可知運行線速度小于第一宇宙速度，選項A錯誤B正確；
CD.根據，可知，因為該衛星的運動周期與地球自轉周期相同，等于“靜止”在赤道上空的同步衛星的周期，可知該衛星的軌道半徑等于“靜止”在赤道上空的同步衛星的軌道半徑，選項CD錯誤。
故選B。

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