資源簡介

第四講　空間直線、平面垂直的判定與性質
知 識 梳 理
知識點一　直線與平面垂直
1．直線與平面垂直
(1)定義：若直線l與平面α內的 任意　一條直線都垂直，則直線l與平面α垂直．
(2)判定與性質
判定定理 性質定理
文字語言 如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直(線線垂直 線面垂直) 垂直于同一平面的兩直線平行
圖形語言
符號語言 l⊥α a∥b　
過一點垂直于已知平面的直線 有且只有一條　.
過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段， 垂線段的長度　叫做這個點到該平面的距離．
一條直線與一個平面平行時，這條直線上 任意一點到這個平面的距離　，叫做這條直線到這個平面的距離．
如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．
2．直線與平面所成的角
(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的 銳角　，叫做這條斜線和這個平面所成的角．
若直線與平面平行或直線在平面內，直線與平面所成角為 0　，若直線與平面垂直，直線與平面所成角為 　.
(2)線面角θ的范圍：θ∈.
知識點二　平面與平面垂直
1．二面角的有關概念
(1)二面角：從一條直線出發的 兩個半平面　所組成的圖形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內分別作與棱 垂直　的射線，則兩射線所成的角叫做二面角的平面角．
(3)二面角θ的范圍：θ∈[0，π]．
2．平面與平面垂直
(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是 直二面角　，就說這兩個平面互相垂直．
(2)判定與性質
判定定理 性質定理
文字語言 如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．(線面垂直 面面垂直) 兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直. (面面垂直 線面垂直)
圖形語言
符號語言 α⊥β　 a⊥β　
歸 納 拓 展
1．若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．
2．若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．
3．垂直于同一條直線的兩個平面平行．
4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這條直線與另一個平面也垂直．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則l⊥α.( × )
(2)垂直于同一個平面的兩平面平行．( × )
(3)若直線a⊥α，b⊥α，則a∥b.( √ )
(4)若α⊥β，a⊥β，則a∥α.( × )
(5)若直線a⊥平面α，直線b∥α，則直線a與b垂直．( √ )
(6)若平面α內的一條直線垂直于平面β內的無數條直線，則α⊥β.( × )
題組二　走進教材
2．(必修2P164T15)(2022·廣州中學教學研究會調研)如圖1，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，如圖2，沿SE、SF、EF將正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點記為G，則在四面體S－EGF中( A )
A．SG⊥平面EFG B．SD⊥平面EFG
C．GF⊥平面SEF D．GD⊥平面SEF
[解析]　由題意知SG⊥GF，SG⊥GE，GF∩GE＝G.∴SG⊥平面GEF，故選A.
3．(必修2P152例4)(2022·河南許昌質檢)在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M，N分別為AB，BC的中點，則直線MN與平面DCA1所成角的大小為( A )
A. B．
C． D．
[解析]　連接AC、AD1，設AD1∩A1D＝H，連HC，易知AH⊥平面A1DC，MN∥AC，
∴∠HCA即為MN與平面DCA1所成的角，
且sin∠HCA＝＝.
∴MN與平面DCA1所成角為.故選A.
題組三　走向高考
4．(2022·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為AB，BC的中點，則( A )
A．平面B1EF⊥平面BDD1
B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC
D．平面B1EF∥平面A1C1D
[解析]　正方體中DD1⊥EF，
又AC⊥BD，EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∴EF⊥平面BDD1，EF 平面B1EF，
從而平面B1EF⊥平面BDD1，
∴A正確；
若平面B1EF⊥平面A1BD，
則BD⊥平面B1EF，∴BD⊥B1E，又BB1⊥BD，
∴BD⊥平面BB1E，又AD⊥平面BB1E，
∴AD∥BD這與AD、BD相交矛盾，∴B錯誤；
取A1B1的中點H，則AH∥B1E，
由于AH與平面A1AC相交，故平面B1EF∥平面A1AC不成立，C錯誤；
取AD的中點M，很明顯四邊形A1B1FM為平行四邊形，則A1M∥B1F，
由于A1M與平面A1C1D相交，故平面B1EF∥平面A1C1D不成立，D錯誤．故選A.
5. (2023·新課標全國Ⅱ卷)如圖，三棱錐A－BCD中，DA＝DB＝DC，BD⊥CD，∠ADB＝∠ADC＝60°，E為BC的中點．
(1)證明：BC⊥DA；
(2)點F滿足＝，求二面角D－AB－F的正弦值．
[解析]　(1)證明：連接AE，DE，因為E為BC的中點，DB＝DC，所以DE⊥BC①，
因為DA＝DB＝DC，∠ADB＝∠ADC＝60°，
所以△ACD與△ABD均為等邊三角形，
∴AC＝AB，從而AE⊥BC②，由①②，AE∩DE＝E，AE，DE 平面ADE，
所以BC⊥平面ADE，而AD 平面ADE，
所以BC⊥DA.
(2)不妨設DA＝DB＝DC＝2，∵BD⊥CD，∴BC＝2，DE＝AE＝.
∴AE2＋DE2＝4＝AD2，∴AE⊥DE，又∵AE⊥BC，DE∩BC＝E，DE，BC 平面BCD，∴AE⊥平面BCD.
以點E為原點，ED，EB，EA所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：
設D(，0,0)，A(0,0，)，B(0，，0)，E(0,0,0)，
設平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
二面角D－AB－F平面角為θ，而＝(0，，－)，
因為＝＝(－，0，)，所以F(－，0，)，即有＝(－，0,0)，
∴取x1＝1，所以n1＝(1,1,1)；
取y2＝1，所以n2＝(0,1,1)，
所以|cos θ|＝＝＝，
從而sin θ＝＝.
所以二面角D－AB－F的正弦值為.第三講　空間直線、平面平行的判定與性質
知 識 梳 理
知識點一　直線與平面平行的判定與性質
判定定理 性質定理
文字語言 如果平面外的一條直線與 此平面內的　一條直線平行，那么該直線與此平面平行 一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與 交線　平行
圖形語言
符號語言 b∥α a∥b　
作用 證明或判斷線、面平行 證明或判斷線、線平行
知識點二　面面平行的判定與性質
判定定理 性質定理
文字語言 如果一個平面內的 兩條相交　直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行 兩個平面平行，如果一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線 平行　
圖形語言
符號語言 α∥β a∥b　
作用 證明或判斷面、面平行 證明或判斷線、線平行
歸 納 拓 展
1．若α∥β，a α，則a∥β.　
2．垂直于同一條直線的兩個平面平行，即“若a⊥α，a⊥β，則α∥β”．　
3．垂直于同一個平面的兩條直線平行，即“若a⊥α，b⊥α，則a∥b”．　
4．平行于同一個平面的兩個平面平行，即“若α∥β，β∥γ，則α∥γ”．　
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若一條直線平行于一個平面內的一條直線，則這條直線平行于這個平面．( × )
(2)平行于同一條直線的兩個平面平行．( × )
(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．( × )
(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面．( √ )
(5)若直線a與平面α內無數條直線平行，則a∥α.( × )
(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.( × )
題組二　走進教材
2．(必修2P142T2)設a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則α∥β的一個充分條件是( D )
A．α內有無數條直線都與β平行
B．存在一條直線a，a α，a∥β
C．存在兩條平行直線a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
D．存在兩條異面直線a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
[解析]　對于選項A，若α存在無數條直線與β平行，則α∥β或α與β相交，若α∥β，則α內有無數條直線都與β平行，所以選項A是α∥β的一個必要條件；同理，選項B，C的也是α∥β的一個必要條件而不是充分條件；對于選項D，可以通過平移把兩條異面直線平移到—個平面中，成為相交直線，則有α∥β，所以選項D的是α∥β的一個充分條件．故選D.
題組三　走向高考
3．(2023·全國Ⅰ卷(節選))如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3.
證明：B2C2∥A2D2.
[證明]　證法一：分別取D1D2、AA1的中點M、N，連接MC2，NB2，
由題意知D1M綉C1C2，
∴MC2綉C1D1綉A1B1，
同理B2N綉A1B1，
∴MC2綉NB2，
即MNB2C2為平行四邊形，
∴C2B2∥MN，
又MD2綉A2N，
∴D2A2NM為平行四邊形，
∴D2A2∥MN，
∴B2C2∥D2A2.
證法二：以C為坐標原點，CD，CB，CC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，
則C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2,2,1)，
∴＝(0，－2,1)，＝(0，－2,1)，
∴∥，
又B2C2，A2D2不在同一條直線上，
∴B2C2∥A2D2.
4.(2021·天津卷(節選))如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BC的中點，F為棱CD的中點．
求證：D1F∥平面A1EC1.
[證明]　證法一：連接B1D1交A1C1于M，
連BD、EF、ME，
∵E、F分別為BC、CD的中點，
∴EF綉BD綉B1D1綉MD1，
∴四邊形EFD1M為平行四邊形，
∴D1F∥ME，
又ME 平面A1EC1，D1F 平面A1EC1，
∴D1F∥平面A1EC1.
證法二：取AD的中點H，
連接D1H，HE，HF，AC，
∴E為BC的中點，
∴EH綉CD綉C1D1，
∴四邊形C1D1HE為平行四邊形，
∴D1H∥C1E，又D1H 平面A1EC1，C1E 平面A1EC1，
∴D1H∥平面A1EC1，
又F為CD的中點，∴HF∥AC∥A1C1
又HF 平面A1EC1，A1C1 平面A1EC1，
∴HF∥平面A1EC1，又D1H∩HF＝H，
∴平面HFD1∥平面A1EC1，
∴D1F∥平面A1EC1.
證法三：以A為原點，AB，AD，AA1分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖空間直角坐標系，則
A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，C1(2,2,2)，D1(0,2,2)，
因為E為棱BC的中點，F為棱CD的中點，
所以E(2,1,0)，F(1,2,0)，
所以＝(1,0，－2)，
＝(2,2,0)，
＝(2,1，－2)，
設平面A1EC1的一個法向量為m＝(x，y，z)，
則
令x＝2，則m＝(2，－2,1)，
因為·m＝2－2＝0，所以⊥m，
因為D1F 平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC1.第二講　空間點、直線、平面之間的位置關系
知 識 梳 理
知識點一　平面的基本性質
基本事實1. 不共線　的三點確定一個平面．
基本事實2.如果一條直線上的 兩個點　在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．
基本事實3.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且 只有一條過該點　的公共直線．
推論1.經過一條直線和 這條直線外一點　，有且只有一個平面．
推論2.經過兩條 相交　直線，有且只有一個平面．
推論3.經過兩條 平行　直線，有且只有一個平面．
注：1.基本事實1、基本事實2和三個推論是判斷點、線共面的依據；
2．基本事實3是判斷兩個平面相交及三點共線及三線共點的依據。
知識點二　空間點、直線、平面之間的位置關系
直線與直線 直線與平面 平面與平面
平行關系 圖形語言
符號語言 a∥b a∥α α∥β
特征 共面，無公共點 無公共點 無公共點
相交關系 圖形語言
符號語言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l
特征 共面，有唯一公共點 有唯一公共點 有無數個共線公共點
獨有關系 圖形語言
符號語言 a，b是異面直線 a α
知識點三　異面直線所成角、基本事實4及等角定理
1．異面直線
(1)定義：異面直線——不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線．
兩直線既不平行也不相交的直線是異面直線．
(2)異面直線的畫法
畫異面直線時，為了體現它們不共面的特點，常借助一個或兩個平面來襯托．
(3)異面直線所成的角
①定義：設a，b是兩條異面直線，經過空間中任一點O作直線a′∥a，b′∥b，把a′與b′所成的 銳角或直角　叫做異面直線a與b所成的角．
②范圍：.
2．基本事實4.(平行公理)
平行于同一條直線的兩條直線 平行　.
3．等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角 相等或互補　.
歸 納 拓 展
異面直線的判定定理
過平面內一點與平面外一點的直線和這個平面內不經過該點的直線是異面直線．
用符號可表示為：
若l α，A α，B∈α，B l，則直線AB與l是異面直線(如圖)．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)如果兩個不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說平面α，β相交，并記作α∩β＝a.( √ )
(2)兩個平面α，β有一個公共點A，就說α，β相交于過A點的任意一條直線．( × )
(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合．( × )
(4)經過兩條相交直線，有且只有一個平面．( √ )
(5)兩兩相交的三條直線共面．( × )
(6)若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a α，b β，則a，b是異面直線．( × )
題組二　走進教材
2．(必修2P147例1)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為( C )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
[解析]　連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C即為所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C為等邊三角形，∴∠D1B1C＝60°.故選C.
3．(必修2P134例1)如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA上的點．
(1)若＝且＝，則E、F、G、H是否共面？ 共面　.
(2)若E、F、G、H分別為棱AB、BC、CD、DA的中點，①當AC，BD滿足條件 AC＝BD　時，四邊形EFGH為菱形；②當AC，BD滿足條件 AC＝BD且AC⊥BD　時，四邊形EFGH為正方形．
題組三　走向高考
4．(2019·新課標Ⅲ)如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則( B )
A.BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
[解析]　連接BD、BE，則BD過點N，∵點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，
M是線段ED的中點，
∴BM 平面BDE，EN 平面BDE，
∵BM是△BDE中DE邊上的中線，EN是△BDE中BD邊上的中線，
∴直線BM，EN是相交直線，
設DE ＝a，則BD＝a，
∵平面ECD⊥平面ABCD，
∴BE＝＝a，
∴BM＝a，EN＝＝a，
∴BM≠EN，故選B.
5．(2021·全國高考)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為( D )
A. B．
C． D．
[解析]　解法一：如圖，連接BC1，PC1，因為AD1∥BC1，
所以∠PBC1或其補角為直線PB與AD1所成的角，
因為BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1，又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，
所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，
設正方體棱長為2，則BC1＝2，PC1＝D1B1＝，
sin∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.故選D.
解法二：如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則＝(－2,0,2)，＝(－1，－1,2)，記PB與AD1所成角θ，則
cos θ＝＝＝.
∴θ＝，故選D.第一講　空間幾何體的結構及其表面積和體積
知 識 梳 理
知識點一　多面體的結構特征
名稱 棱柱 棱錐 棱臺
圖形
結構特征 ①有兩個面互相 平行且全等，其余各面都是 平行四邊形　.②每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相 平行　 有一個面是 多邊形　，其余各面都是有一個公共頂點的 三角形　的多面體 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐， 截面　和 底面　之間的部分
側棱 平行且相等　 相交于 一點　但不一定相等 延長線交于 一點　
側面形狀 平行四邊形　 三角形　 梯形　
知識點二　旋轉體的結構特征
名稱 圓柱 圓錐 圓臺 球
圖形
母線 互相平行且相等，垂直于底面 相交于 一點　 延長線交于 一點　
軸截面 全等的 矩形　 全等的 等腰三角形　 全等的 等腰梯形　 圓　
側面展開圖 矩形　 扇形　 扇環　
知識點三　圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式
圓柱 圓錐 圓臺
側面展開圖
側面積公式 S圓柱側＝ 2πrl　 S圓錐側＝ πrl　 S圓臺側＝ π(r1＋r2)l　
知識點四　柱體、錐體、臺體和球體的表面積和體積
　　　名稱幾何體　　　 表面積 體積
柱體(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝ S底h　
錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝ S底·h　
臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝ 4πR2　 V＝πR3
知識點五　直觀圖
直觀圖 斜二測畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為 45°或135°　，z′軸與x′軸和y′軸所在平面 垂直　.(2)原圖形中平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍_平行于坐標軸__，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度 不變　，平行于y軸的線段在直觀圖中長度為 原來的一半　.
歸 納 拓 展
1．一個平面圖形在斜二測畫法下的直觀圖與原圖形相比，有“三變、三不變”．
三變：坐標軸的夾角改變，與y軸平行線段的長度改變(減半)，圖形改變．
三不變：平行性不變，與x軸平行的線段長度不變，相對位置不變．
2．柱體、錐體、臺體體積間的關系：
臺體的體積常化為兩錐體體積之差求解．
3．多面體的外接球與內切球常用的結論：
(1)設正方體的棱長為a，則它的內切球半徑r＝，外接球半徑R＝a.
(2)設長方體的長、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R＝.
(3)設正四面體的棱長為a，則它的高為h＝a，內切球半徑r＝h＝a，外接球半徑R＝h＝a.
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．( × )
(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．( × )
(3)用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺．( × )
(4)有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺．( × )
(5)已知球O的半徑為R，其內接正方體的棱長為a，則R＝a.( √ )
(6)圓柱的一個底面積為S，側面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側面積是2πS.( × )
題組二　走進教材
2．(必修2P119T1)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為( B )
A．1 cm B．2 cm
C．3 cm D． cm
[解析]　由條件得：
∴3r2＝12，∴r＝2.
3．(多選題)(必修2P116T3改編)“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學的對稱美．如圖，將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共截去八個三棱錐，得到的半正多面體的表面積為12＋4，則關于該半正多面體的下列說法中正確的是( ACD )
A．AB＝
B．該半正多面體的外接球的表面積為6π
C．AB與平面BCD所成的角為
D．與AB所成的角是的棱共有16條
[解析]　設正方體的棱長為2a，則6×(a)2＋8××(a)2＝12＋4，∴a＝1，∴AB＝a＝，A正確；
顯然該半正多面體外接球的球心為對應正方體的中心，∴外接球半徑R＝，∴S球＝8π，B錯誤；
顯然AB與平面BCD所成角為∠HBA＝，C正確；
與AB成角是的有BC、AC、EN、FD、FM、EM、AN、BD、CT、CP、DP、DR、MS、MR、NT、SN共16條，D正確．故選ACD.
題組三　走向高考
4．(2023·全國新高考Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，則該棱臺的體積為 　.
[解析]　解法一：如圖，過A1作A1M⊥AC，垂足為M，易知A1M為四棱臺ABCD－A1B1C1D1的高，
因為AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，則A1O1＝A1C1＝×A1B1＝，AO＝AC＝×AB＝，故AM＝(AC－A1C1)＝，則A1M＝＝＝，所以所求體積為V＝×(4＋1＋)×＝.
解法二：同解法一棱臺高h＝，∴VA1－ABD＝S△ABD×＝，又＝，＝.∴VD－A1BB1＝VA1－ABD＝，VD－A1B1D1＝VA1－ABD＝，∴VA1B1D1－ABD＝VA1－ABD＋VD－A1BB1＋VD－A1B1D1＝，∴VA1B1C1D1－ABCD＝2VA1B1D1－ABD＝.
5．(2022·全國新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為3和4，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為( A )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
[解析]　設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑r1，r2，所以2r1＝，2r2＝，即r1＝3，r2＝4，設球心到上下底面的距離分別為d1，d2，球的半徑為R，所以d1＝，d2＝，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即|－|＝1或＋＝1，解得R2＝25符合題意，所以球的表面積為S＝4πR2＝100π.故選A.第六講　空間的角與距離
知 識 梳 理
知識點一　兩條異面直線所成角的求法
設兩條異面直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為θ，則cos φ＝|cos θ|＝ 　(其中φ為異面直線a，b所成的角)．
知識點二　直線和平面所成角的求法
如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面α的法向量為n，直線l與平面α所成的角為φ，向量e與n的夾角為θ，則有sin φ＝|cos θ|＝ 　.
知識點三　求二面角的大小
1．如圖①，AB，CD分別是二面角α－l－β的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小θ＝ 〈，〉　.
2．如圖②③，n1，n2分別是二面角α－l－β的兩個半平面α，β的法向量，則二面角的大小θ滿足|cos θ|＝，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)．
知識點四　利用空間向量求距離
1．點到直線的距離
設過點P的直線l的單位方向向量為n，A為直線l外一點，點A到直線l的距離d＝.
若能求出點在直線上的射影坐標，可以直接利用兩點間距離公式求距離．
2．點到平面的距離
如圖所示，已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為d＝.
3.線面距、面面距均可轉化為點面距進行求解．
注意體積法在求點到平面距離時的應用．
歸 納 拓 展
1．直線的方向向量的確定：l是空間一直線，A，B是l上任意兩點，則及與平行的非零向量均為直線l的方向向量．
2．平面的法向量的確定：設a，b是平面α內兩不共線向量，n為平面α的法向量，則求法向量的方程組為
3．若二面角A－BC－D的大小為α，平面ABC內的直線l與平面BCD所成角為β，則α≥β，當l⊥BC時，取等號．
4．注意線面角、二面角與點到平面間距離的聯系．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．( × )
(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．( × )
(3)兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角．( × )
(4)若空間向量a平行于平面α，則a所在直線與平面α平行．( × )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修1P20例2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點，N是A1B1的中點，則直線ON，AM所成的角是 　.
[解析]　以A為原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．
設正方體的棱長為1，則A(0,0,0)，M，
O，N，
·＝·＝0，
∴ON與AM垂直．即直線ON、AM所成角是.
3．(選擇性必修1P44T13)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E為CD的中點，則點D1到平面AEC1的距離為 　，AD1與平面AEC1所成角的余弦值為 　.
[解析]　如圖建立空間直角坐標系，則由題意知＝(－2,1,0)，＝(0,1,2)，設平面AEC1的法向量為n＝(x，y，z)，則，令y＝2得x＝1，z＝－1，
∴n＝(1,2，－1)，又＝(－2,0,2)
∴點D1到平面AEC1的距離d＝＝＝，
AD1與平面AEC1所成角的正弦值為sin θ＝＝，
∴cos θ＝.
另解：可用VD1－AEC1＝VA－D1EC1求得d＝.
進而可知sin θ＝＝＝.
題組三　走向高考
4．(2022·全國乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點．
(1)證明：平面BED⊥平面ACD；
(2)設AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．
[解析]　(1)證明：因為AD＝CD，E為AC的中點，
所以AC⊥DE；
在△ABD和△CBD中，
因為AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，DB＝DB，
所以△ABD≌△CBD，所以AB＝CB，
又因為E為AC的中點，所以AC⊥BE；
又因為DE，BE 平面BED，DE∩BE＝E，
所以AC⊥平面BED，
因為AC 平面ACD，
所以平面BED⊥平面ACD.
(2)連接EF，由(1)知，AC⊥平面BED，因為EF 平面BED，
所以AC⊥EF，所以S△AFC＝AC·EF，
當EF⊥BD時，EF最小，
即△AFC的面積最小．
因為△ABD≌△CBD，所以CB＝AB＝2，
又因為∠ACB＝60°，所以△ABC是等邊三角形，
因為E為AC的中點，
所以AE＝EC＝1，BE＝，
因為AD⊥CD，所以DE＝AC＝1，
在△DEB中，DE2＋BE2＝BD2，
所以BE⊥DE.
以E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系E－xyz，
則A(1,0,0)，B(0，，0)，D(0,0,1)，
所以＝(－1,0,1)，＝(－1，，0)，
設平面ABD的一個法向量為n＝(x，y，z)，
則取y＝，
則n＝(3，，3)，
又因為C(－1,0,0)，F，
所以＝，
所以cos?n，?＝＝＝，
設CF與平面ABD所成的角為θ，
所以sin θ＝|cos?n，?|＝，
所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為.第五講　空間向量及其運算
知 識 梳 理
知識點一　空間向量的有關概念
1．空間向量的有關概念
(1)空間向量：在空間中，具有 大小　和 方向　的量叫做空間向量，其大小叫做向量的 長度　或 模　.
(2)零向量：長度為 0　的向量，記作0；
零向量與任意向量共線，0∥a；
單位向量：模為 1　的向量；
相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a；
相等向量：方向 相同　且模 相等　的向量．
(3)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線 平行　或 重合　，則這些向量叫做 共線向量　或 平行向量　.
(4)共面向量：平行于同一 平面　的向量叫做共面向量．
2．空間向量中的有關定理
(1)共線向量定理：對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b 存在唯一確定的λ∈R，使a＝λb.
(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面 存在唯一的有序實數對(x，y)，使p＝xa＋yb.
(3)空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在唯一的有序實數組{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底．
3．空間向量的數量積及運算律
(1)已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作 〈a，b〉　，其范圍是 0≤〈a，b〉≤π　，若〈a，b〉＝，則稱a與b 互相垂直　，記作a⊥b.
向量a，b的數量積a·b＝ |a||b|cos〈a，b〉　.
(2)空間向量數量積的運算律
結合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
交換律：a·b＝b·a；
分配律：a·(b＋c)＝ a·b＋a·c　.
知識點二　空間向量的坐標表示及其應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．則
向量表示 坐標表示
數量積 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3　
共線 a＝λb(b≠0) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3　
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0　
模 |a| 　
夾角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 　
空間兩點P1(x1，y1，z1)、P2(x2，y2，z2)之間的距離為|P1P2|＝.
知識點三　兩個重要的向量
1．直線的方向向量
直線的方向向量是指和這條直線平行(或重合)的非零向量，一條直線的方向向量有 無數　個．
2．平面的法向量
直線l⊥平面α，取直線l的方向向量，則這個向量叫做平面α的法向量．顯然一個平面的法向量有 無數　個，它們是共線向量．
知識點四　空間位置關系的向量表示
位置關系 向量表示
直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2 l1∥l2 n1∥n2 n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2 n1·n2＝0
直線l的方向向量為n，平面α的法向量為m l∥α n⊥m m·n＝0
l⊥α n∥m n＝λm
平面α、β的法向量分別為n、m α∥β n∥m n＝λm
α⊥β n⊥m n·m＝0
歸 納 拓 展
1．向量三點共線定理
在平面中A，B，C三點共線的充要條件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O為平面內任意一點．
2．向量四點共面定理
在空間中P，A，B，C四點共面的充要條件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O為空間中任意一點．
3．|a|2＝a·a；|a·b|≤|a|·|b|.
4．a·b>0 a、b的夾角為銳角或0角．即“a·b>0”是“a、b的夾角為銳角”的必要不充分條件．
5．向量法證明空間的線面平行或垂直
①a，b為平面α的基向量，若＝λa＋μb(λ，μ∈R)，AB α，則AB∥α.
②若n為平面α的法向量，·n＝0.AB α，則AB∥α.
③a，b為平面α的基向量，若則AB⊥α.
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)空間中任意兩個非零向量a，b共面．( √ )
(2)在向量的數量積運算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( × )
(3)對于非零向量b，由a·b＝b·c，則a＝c.( × )
(4)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同．( × )
(5)平面的單位法向量是唯一確定的．( × )
(6)若兩平面的法向量垂直，則兩平面垂直．( √ )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修1P10T5)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M為A1C1的中點，若＝a，＝b，＝c，則下列向量與相等的是( D )
A．－a－b＋c B．a＋b－c
C．－a＋b＋c D．a＋b＋c
[解析]　∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，M為A1C1的中點，
∴＝＋＋
＝a＋c＋
＝a＋c＋(－)
＝a＋c＋(b－a)
＝a＋b＋c.故選D.
3．(選擇性必修1P14T2)(2023·河南駐馬店模擬)在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長和側棱長都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( A )
A. B．
C． D．
[解析]　解法一：記＝a，＝b，＝c，
由題意知a、b、c兩兩夾角均為，設AB＝1，則＝a＋c，＝－a＋b＋c，
∴||＝＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
解法二：將三棱柱補成平行六面體(如圖)，連AD1，B1D1，則AD1∥BC1，
∴∠B1AD1或其補角即為AB1與BC1所成的角，設AB＝1，則AB1＝，
AD1＝BC1＝，B1D1＝，
∴cos∠B1AD1＝＝＝.
題組三　走向高考
4．(多選題)(2021·全國新高考Ⅱ)如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是( BC )
[解析]　不妨設正方體棱長為2，
對于A，
＝(－2,2,0)，＝(－1,1,1)，
∴·＝4≠0，
∴MN不垂直OP.
對于B，
＝(－2,0,2)，＝(1，－1,1)，
∴·＝0，∴MN⊥OP.
對于C，
＝(－2,0，－2)，＝(－1，－1,1)，
∴·＝0，
∴MN⊥OP.
對于D，
＝(0，－2,2)，＝(1,0,2)，
∴·＝4≠0，
∴MN不垂直OP.故選BC.
5．(多選題)(2021·全國新課標Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝1，點P滿足＝λ＋μ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，則( BD )
A．當λ＝1時，△AB1P的周長為定值
B．當μ＝1時，三棱錐P－A1BC的體積為定值
C．當λ＝時，有且僅有一個點P，使得A1P⊥BP
D．當μ＝時，有且僅有一個點P，使得A1B⊥平面AB1P
[解析]　易知，點P在矩形BCC1B1內部(含邊界)．對于A，當λ＝1時，＝＋μ＝＋μ，即此時P∈線段CC1，△AB1P周長不是定值，故A錯誤；對于B，當μ＝1時，＝λ＋＝＋λ，故此時P點軌跡為線段B1C1，而B1C1∥BC，B1C1∥平面A1BC，則有P到平面A1BC的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確；對于C，當λ＝時，＝＋μ，取BC，B1C1中點分別為Q，H，則＝＋μ，所以P點軌跡為線段QH，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，A1，P(0,0，μ)，B，則＝，＝，·＝μ(μ－1)＝0，所以μ＝0或μ＝1.故H，Q均滿足，故C錯誤；對于D，當μ＝時，＝λ＋，取BB1，CC1中點為M，N.＝＋λ，所以P點軌跡為線段MN.設P，因為A，所以＝，＝，所以＋y0－＝0 y0＝－，此時P與N重合，故D正確．故選BD.

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