資源簡介

第三講　圓的方程　直線與圓的位置關系
知 識 梳 理
知識點一　圓的定義及方程
定義 平面內到 定點　的距離等于 定長　的點的集合(軌跡)叫做圓
標準方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圓心C： (a，b)　
半徑： r　
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圓心：
半徑：r＝ 　
知識點二　點與圓的位置關系
1．圓的標準方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點M(x0，y0)，
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2 ＝　r2 點在圓上；
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2 >　r2 點在圓外；
(3)(x0－a)2＋(y0－b)2 <　r2 點在圓內．
2．圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，點M(x0，y0)．
(1)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 點在圓上；
(2)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F >　0 點在圓外；
(3)x＋y＋Dx0＋Ey0＋F <　0 點在圓內．
知識點三　直線與圓的位置關系
設直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d＝為圓心(a，b)到直線l的距離，聯立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.
方法位置關系 幾何法 代數法
相交 d_<__r Δ_>__0
相切 d_＝__r Δ_＝__0
相離 d_>__r Δ_<__0
歸 納 拓 展
1．圓心在過切點且垂直于切線的直線上．
2．圓心在任一弦的垂直平分線上．
3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑的兩端點的圓的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
4．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的條件：
5．(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(2)過圓x2＋y2＝r2外一點M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點所在的直線方程為x0x＋y0y＝r2.
(3)過圓外一點P(x0，y0)引圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0)的切線，則點P到切點的切線長為d＝(d＝)．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．( √ )
(2)圓心為(1，－1)且過原點的圓的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝2.( × )
(3)若A(2,0)，B(0，－4)，則以AB為直徑的圓的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝5.( √ )
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓．( × )
(5)已知方程x2＋y2－2mx＋4y＋5＝0表示圓，則m的取值范圍是(1，＋∞)．( × )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修1P88T4)圓C的圓心在x軸上，并且過點A(－1，1)和B(1,3)，則圓C的方程為 (x－2)2＋y2＝10　.
[解析]　設圓心坐標為C(a,0)，
∵點A(－1,1)和B(1,3)在圓C上，
∴|CA|＝|CB|，
即＝，解得a＝2，
∴圓心為C(2,0)，
半徑|CA|＝＝，
∴圓C的方程為(x－2)2＋y2＝10.
3．(選擇性必修1P98T2(1))以點(2，－1)為圓心且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為( C )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9
D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9
[解析]　因為圓心(2，－1)到直線3x－4y＋5＝0的距離d＝＝3，所以圓的半徑為3，即圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝9.故選C.
題組三　走向高考
4．(2022·全國甲卷)設點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，則⊙M的方程為_(x－1)2＋(y＋1)2＝5__.
[解析]　解法一：∵點M在直線2x＋y－1＝0上，
∴設點M為(a,1－2a)，又因為點(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，
∴＝＝R，
a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
解法二：記A(3,0)，B(0,1)，則kAB＝－.
從而可知AB中垂線的方程為3x－y－4＝0，
由可求得M(1，－1)，
又r2＝|MA|2＝5.
∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
5．(2020·高考全國Ⅱ卷)若過點(2,1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離為( B )
A. B．
C. D．
[解析]　設圓心為P(x0，y0)，半徑為r，∵圓與x軸，y軸都相切，∴|x0|＝|y0|＝r，又圓經過點(2,1)，∴x0＝y0＝r且(2－x0)2＋(1－y0)2＝r2，∴(r－2)2＋(r－1)2＝r2，解得r＝1或r＝5.①r＝1時，圓心P(1,1)，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離d＝＝；②r＝5時，圓心P(5,5)，則圓心到直線2x－y－3＝0的距離d＝＝.故選B.第四講　圓與圓的位置關系　圓的綜合應用
知 識 梳 理
知識點　圓與圓的位置關系
設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法位置關系 幾何法：圓心距d與r1，r2的關系 代數法：兩圓方程聯立組成方程組的解的情況 公切線條數
外離 d>r1＋r2　 無解　 4
外切 d＝r1＋r2　 一組實數解 3
相交 |r1－r2|內切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一組實數解　 1
內含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 無解　 0
歸 納 拓 展
1．當兩圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，相交(切)時，兩圓方程相減可得公共弦(內公切線)所在的直線方程．(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0；
兩圓相交時，兩圓連心線垂直平分公共弦；兩圓相切時，兩圓連心線必過切點．
2．(1)直線與圓相交時，弦心距d，半徑r，弦長的一半l滿足關系式r2＝d2＋2.
(2)過圓內一點的最長的弦是直徑，最短的是垂直這點與圓心連線的弦．
3．兩個圓系方程
(1)過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(2)過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，所以注意檢驗C2是否滿足題意，以防丟解)．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．( × )
(2)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件．( × )
(3)過圓O：x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則O，P，A，B四點共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( √ )
(4)圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有2條．( √ )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修1P98T3)直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點，則|AB|＝ 　.
[解析]　圓的方程可化為(x－1)2＋(y－2)2＝()2，
又圓心(1,2)到直線l的距離為，
∴|AB|＝2＝.
3．(選擇性必修1P98T8)(2024·河北保定部分信息月考)圓心在直線x－y－4＝0上，且過兩圓x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交點的圓的方程為 (x－3)2＋(y＋1)2＝16　.
[解析]　由題意設圓的方程為x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，整理得x2＋y2－x－y－6＝0，圓心坐標為，所以－－4＝0，解得λ＝－，所以圓的方程為x2＋y2－6x＋2y－6＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
題組三　走向高考
4．(2023·高考新課標Ⅱ卷)已知直線l：x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC的面積為”的m的一個值 2　.
[解析]　設點C到直線AB的距離為d，由弦長公式得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，由d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±2或m＝±.
5．(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程 y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(寫出其中一個即可)　.
[解析]　解法一：圓x2＋y2＝1的圓心為O(0,0)，半徑為1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心為O1(3,4)，半徑為4，兩圓圓心距為＝5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，當切線為l時，因為kOO1＝，所以kl＝－，設方程為y＝－x＋t(t>0)，
由原點O到l的距離d＝＝1，解得t＝，
所以l的方程為y＝－x＋；
當切線為m時，設直線方程為kx＋y＋p＝0，
其中p>0，k<0，
由題意解得
所以m的方程為y＝x－；
當切線為n時，易知切線n的方程為x＝－1.
解法二：切線l的求法同解法1；當切線為m時，設兩切點分別為A、B，作OC⊥O1B于C，則tan∠O1OC＝，
∴km＝＝，
設直線m的方程為7x－24y＋c＝0，則＝1，
解得c＝－25或25(舍去)．∴切線m的方程為
7x－24y－25＝0；又∠O1OC與∠O1Ox互余，根據圖形對稱性可知切線n的傾斜角為，顯然切線n的方程為x＝－1.第七講　拋物線
知 識 梳 理
知識點一　拋物線的定義
平面內 與一個定點F和一條定直線l(l不經過點F)的距離相等　的點的軌跡叫拋物線．點 F　叫拋物線的 焦點　，直線 l　叫拋物線的 準線　.
注：l經過F時，與定點F和定直線l距離相等的點的軌跡為過F與l垂直的一條直線．
知識點二　拋物線的標準方程與幾何性質
標準方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0)
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離
圖形
頂點 O(0,0)
對稱軸 y＝0 x＝0
焦點 F F F F
離心率 e＝ 1　
準線方程 x＝－　 x＝　 y＝－　 y＝　
范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
開口方向 向右 向左 向上 向下
焦半徑(其中P(x0，y0)) |PF|＝ x0＋　 |PF|＝ －x0＋　 |PF|＝ y0＋　 |PF|＝ －y0＋　
歸 納 拓 展
拋物線焦點弦的處理規律
如圖，直線AB過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，CA⊥l于C，BD⊥l于D，BM⊥AC于M，交OF于N(l為拋物線的準線)．
則△HBD∽△HFQ∽△HAC∽△BFN∽△BAM等，且
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.
(2)|AF|＝，|BF|＝，弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝(α為弦AB的傾斜角)；x1＋x2≥2＝p，即當x1＝x2時，弦長最短為2p.
(3)＋＝.
(4)焦點弦端點與頂點構成的三角形面積：S△AOB＝＝|AB||d|＝|OF|·|y1－y2|.
(5)以AB為直徑的圓與準線相切．
(6)焦點F對A，B在準線上射影的張角為90°.
(7)A、O、D三點共線；B、O、C三點共線．
(8)已知拋物線y2＝2px(p>0)，過點P(2p,0)作直線與拋物線交于A，B兩點，則OA⊥OB；過原點O作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于A，B兩點(即OA⊥OB)，則直線AB必過定點(2p,0)．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡一定是拋物線．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x＝－.( × )
(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．( × )
(4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長|AB|＝x1＋x2＋p.( √ )
(5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長為2a.( √ )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修1P135例4)過拋物線y2＝4x的焦點且傾斜角為的直線l交拋物線于A、B，則|AB|＝( B )
A．9 B．8
C．7 D．6
[解析]　由題意知l：y＝x－1，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－6x＋1＝0，∴x1＋x2＝6，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.故選B.
3．(多選題)(選擇性必修1P136T1)過點M(5，－4)的拋物線的標準方程為( BC )
A．x2＝－y B．x2＝－y
C．y2＝x D．y2＝x
[解析]　若拋物線的對稱軸為y軸，設其標準方程為x2＝－2py(p>0)，則25＝8p，∴p＝，拋物線方程為x2＝－y，
若拋物線的對稱軸為x軸，設其標準方程為y2＝2px(p>0)，則16＝10p，∴p＝，拋物線方程為y2＝x，故選BC.
題組三　走向高考
4．(2023·高考北京卷)已知拋物線C：y2＝8x的焦點為F，點M在C上．若M到直線x＝－3的距離為5，則|MF|＝( D )
A．7 B．6
C．5 D．4
[解析]　因為拋物線C：y2＝8x的焦點F(2,0)，準線方程為x＝－2，點M在C上，所以M到準線x＝－2的距離為|MF|，又M到直線x＝－3的距離為5，所以|MF|＋1＝5，故|MF|＝4.故選D.
5．(多選題)(2022·全國高考真題)已知O為坐標原點，點A(1,1)在拋物線C：x2＝2py(p>0)上，過點B(0，－1)的直線交C于P，Q兩點，則( BCD )
A．C的準線為y＝－1 B．直線AB與C相切
C．|OP|·|OQ|>|OA|2 D．|BP|·|BQ|>|BA|2
[解析]　將點A的坐標代入拋物線方程得1＝2p，所以拋物線方程為x2＝y，故準線方程為y＝－，A錯誤；kAB＝＝2，所以直線AB的方程為y＝2x－1，聯立，可得x2－2x＋1＝0，Δ＝4－4＝0，故B正確；
設過B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個交點，
所以直線l的斜率存在，設其方程為y＝kx－1，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
聯立得x2－kx＋1＝0，
所以所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，
又|OP|＝＝，
|OQ|＝＝，
所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|>2＝|OA|2，故C正確；
因為|BP|＝|x1|，|BQ|＝|x2|，
所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，
故D正確．故選BCD.第一講　直線的傾斜角、斜率與直線的方程
知 識 梳 理
知識點一　直線的傾斜角
1．定義：當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，把x軸 正向　與直線l 向上　方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為 0°　.
2．傾斜角的取值范圍為 [0°，180°)　.
知識點二　直線的斜率
1．定義：一條直線的傾斜角α的 正切值　叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝ tan α　，傾斜角是90°的直線斜率不存在．
2．過兩點的直線的斜率公式
經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝ 　.
3．直線的方向向量與斜率的關系
定義 經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線，其方向向量為＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1)·，因此，當直線的斜率k存在時，直線的一個方向向量為 (1，k)　
關系 當直線的一個方向向量的坐標為(x，y)(x≠0)時，直線的斜率k＝ 　
知識點三　直線方程的五種形式
名稱 方程 適用范圍
點斜式 y－y0＝k(x－x0)　 不含直線x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x軸的直線
兩點式 ＝ 不含垂直于坐標軸的直線
截距式 ＋＝1 不含垂直于x軸、平行于x軸和 過原點的　直線
一般式 Ax＋By＋C＝0其中要求 A2＋B2≠0　 適用于平面直角坐標系內的所有直線
歸 納 拓 展
1．直線的傾斜角α和斜率k之間的對應關系：
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0且α越大，k就越大 不存在 k<0且α越大，k就越大
口訣：斜率變化分兩段，直角便是分界線；
小正大負皆遞增，分類討論記心中．
2．特殊直線的方程
(1)過點P1(x1，y1)垂直于x軸的直線方程為x＝x1；
(2)過點P1(x1，y1)垂直于y軸的直線方程為y＝y1；
(3)過原點的直線的方程為x＝my.
3．謹記以下幾點
(1)“截距”是直線與坐標軸交點的坐標值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數．求與截距有關的直線方程時應注意過原點的特殊情況是否滿足題意．
(2)當直線與x軸不垂直時，可設直線的方程為y＝kx＋b；當不確定直線的斜率是否存在時，可設直線的方程為x＝my＋b.
(3)A，B，C三點共線 kAB＝kAC(或kAB＝kBC，或kAC＝kBC)．
(4)直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個方向向量a＝(－B，A)．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角與斜率．( × )
(2)直線的傾斜角越大，其斜率就越大．( × )
(3)斜率相等的兩直線的傾斜角一定相等．( √ )
(4)經過定點A(0，b)的直線都可以用方程y＝kx＋b表示．( × )
(5)不經過原點的直線都可以用＋＝1表示．( × )
(6)經過任意兩個不同的點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．( √ )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修1P58T7)經過兩點A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直線的傾斜角為，則y＝( B )
A．－1 B．－3
C．0 D．2
[解析]　由＝＝y＋2，
得y＋2＝tan＝－1，∴y＝－3.
3．(選擇性必修1P67T7)過點P(2,3)且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為 3x－2y＝0或x＋y－5＝0　.
[解析]　當截距為0時，直線方程為3x－2y＝0；
當截距不為0時，設直線方程為＋＝1，
則＋＝1，解得a＝5.所以直線方程為x＋y－5＝0.
題組三　走向高考
4．(2022·北京高考真題)若直線2x＋y－1＝0是圓(x－a)2＋y2＝1的一條對稱軸，則a＝( A )
A. B．－
C．1 D．－1
[解析]　由題意知圓心坐標為(a,0)，又直線2x＋y－1＝0是圓(x－a)2＋y2＝1的一條對稱軸，所以圓心在直線上，即2a＋0－1＝0，解得a＝.故選A.
5. (2021·山東高考真題)如右圖，直線l的方程是( D )
A.x－y－＝0
B.x－2y－＝0
C.x－3y－1＝0
D．x－y－1＝0
[解析]　由圖可得直線的傾斜角為30°，所以斜率k＝tan 30°＝，又直線l與x軸的交點為(1,0)，所以直線的點斜式方程可得l：y－0＝(x－1)，即x－y－1＝0.故選D.第六講　雙曲線
知 識 梳 理
知識點一　雙曲線的定義
平面內與兩個定點F1、F2的 距離的差的絕對值等于常數(小于|F1F2|)　的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的 焦點　，兩焦點間的距離叫做雙曲線的 焦距　.
注：設集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數，且a＞0，c＞0；
(1)當a＜c時，P點的軌跡是 雙曲線　；
(2)當a＝c時，P點的軌跡是 兩條射線　；
(3)當a＞c時，集合P是 空集　.
知識點二　雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
圖形
性質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：坐標軸　　　對稱中心：原點
頂點 頂點坐標：A1 (－a,0)　，A2 (a,0)　 頂點坐標：A1 (0，－a)　，A2 (0，a)　
漸近線 y＝ ±x　 y＝ ±x　
離心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的 實軸　，它的長|A1A2|＝ 2a　；線段B1B2叫做雙曲線的 虛軸　，它的長|B1B2|＝ 2b　； a　叫做雙曲線的 實半軸長　，b叫做雙曲線的 虛半軸長　
a、b、c的關系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
歸 納 拓 展
雙曲線中的幾個常用結論
(1)焦點到漸近線的距離為b.
(2)實軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．
雙曲線為等軸雙曲線 雙曲線的離心率e＝ 雙曲線的兩條漸近線互相垂直(位置關系)．
(3)過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為(通徑)．
過雙曲線的焦點與雙曲線一支相交所得弦長的最小值為；與兩支相交所得弦長的最小值為2a.
(4)若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.過雙曲線焦點F1的弦AB與雙曲線交在同支上，則AB與另一個焦點F2構成的△ABF2的周長為4a＋2|AB|.
(5)雙曲線的離心率公式可表示為e＝.
(6)雙曲線的形狀與e的關系：|k|＝＝＝，e越大，即漸近線斜率的絕對值就越大，雙曲線開口就越開闊．
(7)若M、N為雙曲線－＝1(a>0，b>0)實軸端點，P為雙曲線上不與M、N重合的點，則kPM·kPN＝.
(8)－＝1(a>0，b>0)與－＝1(a>0，b>0)互為共軛雙曲線，其離心率倒數的平方和為1.
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內到點F1(0,4)，F2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．( × )
(3)雙曲線方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是－＝0，即±＝0.( √ )
(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.( √ )
(5)若雙曲線－＝1(a>0，b>0)與－＝1(a>0，b>0)的離心率分別是e1，e2，則＋＝1(此條件中兩條雙曲線稱為共軛雙曲線)．( √ )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修1P127T8)與橢圓＋＝1有公共焦點，且離心率e＝的雙曲線的漸近線方程為 3x±4y＝0　.
[解析]　由題意知c＝＝5，又e＝＝，∴a＝4，從而b＝＝3.∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x，即3x±4y＝0.
3．(多選題)(選擇性必修1P146T11)已知常數a>0，點A(－a,0)，B(a,0)，動點M(不與A，B重合)滿足：直線AM與直線BM的斜率之積為m(m≠0)，動點M的軌跡與點A，B共同構成曲線C，則關于曲線C的下列說法正確的是( BCD )
A．當m<0時，曲線C表示橢圓
B．當m<－1時，曲線C表示焦點在y軸上的橢圓
C．當m>0時，曲線C表示雙曲線，其漸近線方程為y＝±x
D．當m>－1且m≠0時，曲線C的離心率是
[解析]　設M(x，y)，則·＝m，所以y2＝m(x2－a2)，即曲線C的方程為－＝1，當m<0且m≠－1時，曲線C表示橢圓，A錯誤；當m<－1時，－ma2>a2，曲線C表示焦點在y軸上的橢圓，B正確；當m>0時，曲線C表示雙曲線，其漸近線方程為y＝±x，C正確；當m>0時，曲線C表示雙曲線，其離心率為＝，當－1題組三　走向高考
4．(2021·全國新高考Ⅱ)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為 y＝±x　.
[解析]　因為雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為2，
所以e＝＝＝2，所以＝3，
所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x.
故答案為y＝±x.
5．(2023·新課標全國Ⅰ卷)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2.點A在C上，點B在y軸上，⊥，＝－，則C的離心率為 　.
[解析]　解法一：依題意，設|AF2|＝2m，則|BF2|＝3m＝|BF1|，|AF1|＝2a＋2m，
在Rt△ABF1中，9m2＋(2a＋2m)2＝25m2，則(a＋3m)(a－m)＝0，
故a＝m或a＝－3m(舍去)，
所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，|BF2|＝|BF1|＝3a，則|AB|＝5a，
故cos∠F1AF2＝＝＝，
所以在△AF1F2中，cos∠F1AF2＝＝，整理得5c2＝9a2，故e＝＝.
解法二：依題意，得F1(－c,0)，F2(c,0)，
令A(x0，y0)，B(0，t)，因為＝－，
所以(x0－c，y0)＝－(－c，t)，則x0＝c，y0＝－t，
又⊥，所以·＝(c，t)＝c2－t2＝0，
則t2＝4c2，又點A在C上，則－＝1，
整理得－＝1，則－＝1，
所以25c2b2－16c2a2＝9a2b2，
即25c2(c2－a2)－16a2c2＝9a2(c2－a2)，
整理得25c4－50a2c2＋9a4＝0，則(5c2－9a2)(5c2－a2)＝0，解得5c2＝9a2或5c2＝a2，
又e>1，所以e＝或e＝(舍去)，故e＝.第二講　兩條直線的位置關系
知 識 梳 理
知識點一　兩條直線的位置關系
平面內兩條直線的位置關系包括 平行、相交、重合　三種情況．
1．兩條直線平行
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2 k1＝k2，且b1≠b2.
對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．
2．兩條直線垂直
對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2 k1·k2＝－1.
對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0　.
知識點二　兩條直線的交點
對于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0當A1B2－A2B1≠0時，l1與l2相交．
直線l1和l2的交點坐標即為兩直線方程組成的方程組的解．
相交 方程組有 唯一解　；
平行 方程組 無解　；
重合 方程組有 無數個解　.
知識點三　三種距離公式
1．平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝.
特別地，原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝.
2．點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝.
特別的，點P(x0，y0)到直線l1：x＝a的距離為|x0－a|；到直線l2：y＝b的距離為|y0－b|.
3．兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝.
歸 納 拓 展
1．與對稱問題相關的常用結論
(1)點(x，y)關于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)；
(2)點(x，y)關于直線x＋y＝k的對稱點為(k－y，k－x)，關于直線x－y＝k的對稱點為(k＋y，x－k)．
特別的：點(x，y)關于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．
2．謹防四個易錯點
(1)兩條直線平行時，不要忘記它們的斜率有可能不存在的情況．
(2)兩條直線垂直時，不要忘記一條直線的斜率不存在、另一條直線的斜率為零的情況．
(3)求點到直線的距離時，應先化直線方程為一般式．
(4)用公式法求兩平行線之間的距離時，應先將方程化為一般式且x，y的系數對應相等．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若兩直線的斜率相等，則兩直線平行，反之，亦然．( × )
(2)若直線l：mx＋ny＋3＝0平分圓C：x2－2x＋y2－1＝0，則2m－3n＝6.( × )
(3)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數)，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.( √ )
(4)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.( × )
(5)若點A，B關于直線l：y＝kx＋b(k≠0)對稱，則直線AB的斜率等于－，且線段AB的中點在直線l上．( √ )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修1P67T8(1))過點(1,0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是( A )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
3．(選擇性必修1P77T3)已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于( C )
A. B．2－
C．－1 D．＋1
[解析]　由題意得＝1.
解得a＝－1＋或a＝－1－.
∵a>0，∴a＝－1＋.
題組三　走向高考
4．(2021·全國甲卷)點(3,0)到雙曲線－＝1的一條漸近線的距離為( A )
A. B．
C． D．
[解析]　由題意知，雙曲線的漸近線方程為：－＝0，即3x±4y＝0，結合對稱性，不妨考慮點(3,0)到直線3x＋4y＝0的距離：d＝＝.故選A.
5．坐標原點關于直線x－y－6＝0的對稱點的坐標為 (6，－6)　.
[解析]　解法一：設坐標原點關于直線x－y－6＝0的對稱點的坐標為(a，b)，則解得a＝6，b＝－6，∴坐標原點關于直線x－y－6＝0的對稱點的坐標為(6，－6)．
解法二：過原點與直線x－y－6＝0垂直的直線方程為x＋y＝0，由得垂足坐標為(3，－3)，故所求對稱點的坐標為(6，－6).第五講　橢圓
知 識 梳 理
知識點一　橢圓的定義
平面內與兩個定點F1、F2的 距離的和等于常數(大于|F1F2|)　的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的 焦點　，兩焦點間的距離叫做橢圓的 焦距　.
注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c為常數，則有如下結論：
(1)若a＞c，則集合P為 橢圓　；
(2)若a＝c，則集合P為 線段F1F2　；
(3)若a＜c，則集合P為 空集　.
知識點二　橢圓的標準方程和幾何性質
標準方程 ＋＝1(a＞b＞0) ＋＝1(a＞b＞0)
圖形
性質 范圍 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a
對稱性 對稱軸：坐標軸　　　　對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)
軸 長軸A1A2的長為 2a　；短軸B1B2的長為 2b　
焦距 |F1F2|＝ 2c　
離心率 e＝ 　∈(0,1)
a、b、c的關系 c2＝a2－b2　
歸 納 拓 展
1．a＋c與a－c分別為橢圓上的點到焦點距離的最大值和最小值；a與b分別為橢圓上的點到原點距離的最大值和最小值．
2．過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦|AB|＝，稱為通徑．
3．若過焦點F1的弦為AB，則△ABF2的周長為4a.
4．e＝.離心率e越大，橢圓越扁；離心率e越小，橢圓越圓．
5．橢圓的焦點在x軸上 標準方程中x2項的分母較大，橢圓的焦點在y軸上 標準方程中y2項的分母較大．
6．AB為橢圓＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點M(x0，y0)，則
(1)弦長|AB|＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
(2)直線AB的斜率kAB＝－.
7．若M、N為橢圓＋＝1(a>b>0)長軸端點，P是橢圓上不與M、N重合的點，則kPM·kPN＝－.
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．( × )
(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．( × )
(3)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．( √ )
(4)＋＝1(a>b>0)與＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( √ )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修1P115T6)如圖所示，A是圓O內一定點，B是圓周上一個動點，AB的中垂線CD與OB交于點E，則點E的軌跡是( B )
A．圓 B．橢圓
C．雙曲線 D．拋物線
[解析]　由題意知，|EA|＋|EO|＝|EB|＋|EO|＝r(r為圓的半徑)且r>|OA|，故E的軌跡為以O，A為焦點的橢圓，故選B.
3．(多選題)(選擇性必修1P115T4)長軸長是短軸長的3倍；且經過點P(3,0)的橢圓的標準方程為( AD )
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C．x2＋＝1 D．＋＝1
[解析]　若P為長軸的端點，則a＝3，b＝1，
橢圓的標準方程為＋y2＝1；
若P為短軸的端點，則b＝3，a＝9，
橢圓的標準方程為＋＝1.
題組三　走向高考
4．(2022·全國甲卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為( A )
A. B．
C． D．
[解析]　A(－a,0)，設P(x1，y1)，則Q(－x1，y1)，
則kAP＝，kAQ＝，
故kAP·kAQ＝·＝＝，
又＋＝1，則y＝，
所以＝，即＝，
所以橢圓C的離心率e＝＝＝.故選A.
5．(2023·高考新課標Ⅱ卷)已知橢圓C：＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F2，直線y＝x＋m與C交于A，B兩點，若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，則m＝( C )
A. B．
C．－ D．－
[解析]　將直線y＝x＋m與橢圓聯立消去y可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，因為直線與橢圓相交于A，B點，則Δ＝36m2－4×4(3m2－3)>0，解得－2

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