資源簡介

第六講　二項分布與超幾何分布
知 識 梳 理
知識點一　二項分布
1．n重伯努利試驗
只包含 兩個　可能結果的試驗叫做伯努利試驗．將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗．
特征：①同一個伯努利試驗重復做n次；②各次試驗的結果 相互獨立　.
2．二項分布：在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發生的次數，設每次試驗中事件A發生的概率為p，則P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機變量X服從二項分布，記為X～B(n，p)．
若X～B(n，p)，則E(X)＝ np　，D(X)＝ np(1－p)　.
知識點二　超幾何分布
1．超幾何分布：在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，稱隨機變量X服從超幾何分布．可記為h(N，M，n)．
X 0 1 … m
P …
E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，其中p＝.
2．二項分布與超幾何分布的比較
摸球方式 X的分布列 E(X) D(X)
放回摸球 二項分布B(n，p) np np(1－p)
不放回摸球 超幾何分布H(N，M，n) np np(1－p)
歸 納 拓 展
1．二項分布的適用范圍及本質
(1)適用范圍：
①各次試驗中的事件是相互獨立的；
②每次試驗只有兩種結果：事件要么發生，要么不發生；
③隨機變量是這n次獨立重復試驗中事件發生的次數．
(2)本質：二項分布是放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發生的概率是相同的．
2．超幾何分布的適用范圍及本質
(1)適用范圍：
①考察對象分兩類；
②已知各類對象的個數；
③從中抽取若干個個體，考察某類個體個數Y的概率分布．
(2)本質：超幾何分布是不放回抽樣問題，在每次試驗中某一事件發生的概率是不相同的．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論正誤(在括號內打“√”或“×”)
(1)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數X服從超幾何分布．( √ )
(2)二項分布是一個概率分布列，是一個用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復試驗中事件A發生的次數的概率分布．( √ )
(3)二項分布是一個概率分布，其公式相當于(a＋b)n二項展開式的通項公式，其中a＝p，b＝1－p.( × )
(4)小王通過英語聽力測試的概率是，他連續測試3次，那么其中恰好第3次測試獲得通過的概率是P＝C·1·3－1＝.( × )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修3P76T1改編)將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲4次，X表示“正面向上”出現的次數，則P(X＝2)＝ 　，E(X)＝ 2　.
[解析]　P(X＝2)＝C4＝，X～B，∴E(X)＝2.
3．(選擇性必修3P79T6改編)某小組有5名男生、3名女生，從中任選3名同學參加活動，若X表示選出女生的人數，則P(X≥2)( C )
A. B．
C． D．
[解析]　P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝.故選C.
題組三　走向高考
4．(2018·課標Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨立．設X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數，D(X)＝2.4，P(X＝4)A．0.7 B．0.6
C．0.4 D．0.3
[解析]　由題知X～B(10，p)，則D(X)＝10×p×(1－p)＝2.4，解得p＝0.4或0.6.又∵P(X＝4)0.5，
∴p＝0.6，故選B.
5．(2021·天津高考)甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，每次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為 ??；3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為 　.
[解析]　由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為×＝；則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為C×2×＋3＝.第三講　隨機事件的概率　古典概型
知 識 梳 理
知識點一　隨機事件的有關概念
1．隨機試驗——對隨機現象的實現和對它的觀察．常用E表示．
樣本點——隨機試驗的每個可能的 基本結果　.常用w表示．
樣本空間——全體樣本點的集合，常用Ω表示．
2．隨機事件——樣本空間Ω的子集，簡稱事件，常用A，B，…表示．
基本事件—— 只包含一個樣本點　的事件．
在每次試驗中，當且僅當A中某個樣本點出現時稱為事件A發生，Ω 總會　發生，稱Ω為必然事件， 在每次試驗中都 不會　發生，稱 為不可能事件．
知識點二　事件的關系與運算
定義 符號表示
包含關系 若事件A 發生　，則事件B 一定發生　，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B A　 (或A B)　
相等關系 若B A，且 A B　，則稱事件A與事件B相等 A＝B　
并事件(和事件) 若某事件發生 當且僅當事件A與事件B至少有一個發生　，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B　 (或A＋B)　
交事件(積事件) 若某事件發生 當且僅當事件A與事件B同時發生　，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B　 (或AB)　
互斥事件 若A∩B為 不可能　事件，則稱事件A與事件B互斥 A∩B＝ 　
對立事件 若A∩B為 不可能　事件，A∪B為 必然事件　，則稱事件A與事件B互為對立事件 A∩B＝ ，　 且A∪B＝Ω　
　　知識點三　古典概型
1．概率——對隨機事件發生可能性大小的度量(數值)．
2．具有以下兩個特征的試驗稱為古典試驗，其數學模型稱為古典概型．
(1)有限性：樣本空間的樣本點 只有有限個　.
(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性 相等　.
設試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則事件A的概率P(A)＝.
3．概率的幾個基本性質
(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.
(2)P(Ω)＝ 1　，P( )＝ 0　.
(3)如果事件A與事件B互斥，那么P(A＋B)＝ P(A)＋P(B)　.P(AB)＝ 0　.
(4)如果事件A與事件B互為對立事件，則P(A)＝ 1－P(B)　.
(5)如果A B，那么P(A) ≤　P(B)．
(6)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
知識點四　頻率與概率
在任何確定次數的隨機試驗中，隨機事件A發生的頻率具有隨機性．隨著試驗次數n的增大，事件A發生的頻率fn(A)會逐漸穩定于事件A發生的概率P(A)．稱頻率的這個性質為頻率的穩定性，因此，可用頻率fn(A)估計概率P(A)．
歸 納 拓 展
1．頻率隨著試驗次數的改變而改變，概率是一個常數．
2．對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．
3．求試驗的基本事件數及事件A包含的基本事件數常用兩個計數原理及排列、組合知識，另外還有列舉法、列表法、樹狀圖法等．
4．當一個事件包含多個結果且各個結果彼此互斥時，要用到概率加法公式的推廣，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)甲、乙二人比賽，甲勝的概率為，則比賽5場，甲勝3場．( × )
(2)擲一枚硬幣兩次，出現“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結果是等可能事件．( × )
(3)從市場上出售的標準為500±5 g的袋裝食鹽中任取一袋，測其重量，屬于古典概型．( × )
(4)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為.( √ )
(5)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數，其和為5的概率是0.2.( √ )
題組二　走進教材
2．(必修2P235例8)同時擲兩個骰子，向上點數不相同的概率為 　.
[解析]　擲兩個骰子一次，向上的點數共6×6＝36(種)可能的結果，其中點數相同的結果共有6種，所以點數不相同的概率P＝1－＝.
題組三　走向高考
3．(2022·全國高考甲卷)從分別寫有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為( C )
A. B．
C． D．
[解析]　從6張卡片中無放回抽取2張，共有C＝15種情況，其中數字之積為4的倍數的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)6種情況，故概率為＝.故選C.
4．(2021·全國高考)將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為( C )
A．0.3 B．0.5
C．0.6 D．0.8
[解析]　所求概率P＝＝0.6.故選C.
5．(2022·新高考Ⅰ卷)從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為( D )
A. B．
C． D．
[解析]　所求概率P＝＝.故選D.第七講　正態分布
知 識 梳 理
知識點一　正態曲線及其性質
1．正態曲線：函數f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中實數μ和σ(σ＞0)為參數．我們稱函數f(x)為正態密度函數，稱它的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．期望為μ、標準差為σ的正態分布通常記作 X～N(μ，σ2)　.
2．正態曲線的性質：(1)曲線位于x軸 上方　，與x軸不相交；(2)曲線是單峰的，它關于直線 x＝μ　對稱；(3)曲線在 x＝μ　處達到峰值；(4)曲線與x軸之間的面積為 1??；(5)當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿著x軸平移；(6)當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越 集中??；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越 分散　.
知識點二　正態分布
1．正態分布的定義及表示．
若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x)＝e－，x∈R，則稱隨機變量X服從正態分布，記為X～N(μ，σ2)．
特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態分布，即X～N(0,1)．
2．正態總體在三個特殊區間內取值的概率值(3σ原則)：
①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈ 0.682 7??；
②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈ 0.954 5??；
③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈ 0.997 3　.
σ原則：主要用于判定產品質量是否合格，機器運行是否正常等，也就是說3σ之外的概率是小概率事件，如果發生了說明產品不合格、機器運行不正常等．
歸 納 拓 展
對于正態分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正態曲線的對稱軸知
(1)P(X≥μ)＝P(X≤μ)＝0.5；
(2)對任意的a有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
(3)P(X(4)P(a注：在X服從正態分布，即X～N(μ，σ2)時，要充分利用正態曲線的關于直線x＝μ對稱和曲線與x軸之間的面積為1.
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)隨機變量的均值是常數，樣本的平均數是隨機變量，它不確定．( √ )
(2)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小．( √ )
(3)正態分布中的參數μ和σ完全確定了正態分布，參數μ是正態分布的均值，σ是正態分布的標準差．( √ )
(4)若X～N(0,1)，則P題組二　走進教材
2．(選擇性必修3P87T2)某市高二年級男生的身高X(單位：cm)近似服從正態分布N(170,52)，則P(165[解析]　P(165題組三　走向高考
3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知隨機變量X服從正態分布N(2，σ2)，且P(22.5)＝ 0.14　.
[解析]　因為X～N(2，σ2)，所以P(X<2)＝P(X>2)＝0.5，因此P(X>2.5)＝P(X>2)－P(24．(2015·湖北)設X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，這兩個正態分布密度曲線如圖所示，下列結論中正確的是( C )
A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C．對任意正數t，P(X≤t)≥P(Y≤t)
D．對任意正數t，P(X≥t)≥P(Y≥t)
[解析]　由正態分布密度曲線的性質可知，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)的密度曲線分別關于直線x＝μ1，x＝μ2對稱，因此結合題中所給圖象可得，μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)P(X≤σ1)，B錯誤；對任意正數t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，C正確，D錯誤．
5．(2021·全國新高考Ⅱ)某物理量的測量結果服從正態分布N(10，σ2)，下列結論中不正確的是( D )
A．σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9,10.1)的概率越大
B．σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C．σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D．σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9,10.2)與落在(10,10.3)的概率相等
[解析]　對于A，σ2為數據的方差，所以σ越小，數據在μ＝10附近越集中，所以測量結果落在(9.9,10.1)內的概率越大，故A正確；
對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，故B正確；
對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，故C正確；
對于D，因為該物理量一次測量結果落在(9.9,10.0)的概率與落在(10.2,10.3)的概率不同，所以一次測量結果落在(9.9,10.2)的概率與落在(10,10.3)的概率不同，故D錯誤．故選D.第五講　離散型隨機變量的分布列、均值與方差
知 識 梳 理
知識點一　離散型隨機變量
對隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點w，都有唯一的實數X(w)與之對應，稱為 隨機變量　，通常用大寫英文字母X，Y，…表示隨機變量．所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為 離散型　隨機變量．
知識點二　離散型隨機變量的分布列及性質
1．一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，稱X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi為X的分布列，可用表格表示為：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
2.離散型隨機變量的分布列的性質
(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；
(2)pi＝ p1＋p2＋…＋pn　＝1.
3．兩點分布或0－1分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為
X 0 1
P 1－p p
其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．
若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
知識點三　離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n.
1．均值：稱E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi　為隨機變量X的均值或數學期望．
2．方差：稱D(X)＝ (xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，其算術平方根為隨機變量X的 標準差　.
3．均值與方差的性質
(1)E(aX＋b)＝ aE(X)＋b　.
(2)D(aX＋b)＝ a2D(X)　.
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
歸 納 拓 展
1．若X是隨機變量，則Y＝aX＋b(a，b是常數)也是隨機變量．
2．隨機變量X所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的．
3．隨機變量的均值是常數，樣本的平均數是隨機變量，它不確定．
4．隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越?。?br/>雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)拋擲均勻硬幣一次，出現正面的次數是隨機變量．( √ )
(2)在離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.( × )
(3)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
(4)由下列給出的隨機變量X的分布列服從兩點分布．( × )
X 2 5
P 0.3 0.7
題組二　走進教材
2．(選擇性必修3P90T4改編)設隨機變量X的概率分布列為
X 1 2 3 4
P m
則P(|X－3|＝1)＝ 　.
[解析]　由＋m＋＋＝1，解得m＝，
P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.
3．(選擇性必修3P69例6)A、B兩種股票，每股收益分布列如表
股票A收益分布列
收益X/元 －1 0 2
概率 a 0.3 0.6
股票B收益分布列
收益Y/元 0 1 2
概率 0.3 0.4 b
則投資 A　股票期望大，投資 A　股票風險高．
[解析]　由分布列的性質易知a＝0.1，b＝0.3，
從而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6，
∴E(X)>E(Y)，投資A股票期望大，
D(X)>D(Y)投資A股票風險高．
題組三　走向高考
4．(2022·浙江)現有7張卡片，分別寫上數字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數字的最小值為ξ，則P(ξ＝2)＝ 　，E(ξ)＝ 　.
[解析]　從寫有數字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有C種取法，其中所抽取的卡片上的數字的最小值為2的取法有C＋CC種，所以P(ξ＝2)＝＝，由已知可得ξ的取值有1,2,3,4，
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
5．(2020·課標Ⅲ)在一組樣本數據中，1,2,3,4出現的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且i＝1，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是( B )
A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4
B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1
C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3
D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.2
[解析]　根據均值E(X)＝ipi，方差D(X)＝xi－E(X)]2·pi，標準差最大即方差最大，由各選項對應的方差如下表
選項 均值E(X) 方差D(X)
A 2.5 0.65
B 2.5 1.85
C 2.5 1.05
D 2.5 1.45
由此可知選項B對應樣本的標準差最大，故選B.第一講　兩個計數原理、排列、組合
知 識 梳 理
知識點一　兩個計數原理
1．分類加法計數原理
完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn　種不同的方法．
2．分步乘法計數原理
完成一件事需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，……，完成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝ m1×m2×…×mn　種不同的方法．
知識點二　排列與排列數
1．排列的定義：從n個 不同　元素中取出m(m≤n)個元素，并按照一定的 順序　排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．
2．排列數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的 所有不同排列　的個數叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，用符號 A　表示．
3．排列數公式：A＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，且m≤n)　.
4．全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝ n！　.排列數公式寫成階乘的形式為A＝，這里規定0?。?1　.
知識點三　組合與組合數
1．組合的定義：一般地，從n個 不同　元素中取出m(m≤n)個元素 作為一組　，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．
2．組合數的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的 所有不同組合　的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號 C　表示．
3．組合數的計算公式：C＝＝＝，這里規定C＝ 1　.
4．組合數的性質：①C＝ C??；②C＝ C?。?C　.
注：應用公式化簡、求值、解方程、解不等式時，注意A、C中的隱含條件m≤n，且m，n∈N*.
歸 納 拓 展
1．分類加法計數原理和分步乘法計數原理的區別
分類加法計數原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數原理針對“分步”問題，各個步驟相互聯系、相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事．
2．對于有附加條件的排列、組合應用題，通常從三個途徑考慮
(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素．
(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置．
(3)先不考慮附加條件，計算出排列數或組合數，再減去不合要求的排列數或組合數．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)在分類加法計數原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．( √ )
(2)若組合式C＝C，則x＝m成立．( × )
(3)4名同學分別報名參加學校的3個社團，每人限報一個，則不同的報法種數為43.( × )
(4)正十二邊形共有54條對角線．( √ )
(5)用0,1,2,3,4這5個數字可以組成30個三位偶數．( × )
(6)kC＝nC.( √ )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修3P38T3(2)改編)某班一天上午有4節課，下午有2節課，安排語文、數學、政治、英語、體育、藝術每科一節，要求數學排在上午，體育不排上午第一節和下午第二節，則不同的安排種數是 312　.
[解析]　上午第一節排數學有4A＝96種排法；
上午第一節不排數學有3×3A＝216種排法，
∴不同的排法共有96＋216＝312種排法．
3．(選擇性必修3P27T17改編)在如圖所示的五個區域中涂色，現有四種顏色可供選擇，要求每一個區域只涂一種顏色，相鄰區域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數為( C )
A．24 B．48
C．72 D．96
[解析]　
區域 A B E C D
涂法 4 3 2 (與A同色)1 2
與A不同色1 1
∴不同的涂色方法共有4×3×2×1×(2＋1)＝72(種)，故選C.
題組三　走向高考
4．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有( B )
A．12種 B．24種
C．36種 D．48種
[解析]　先將丙和丁捆在一起有A種排列方式，然后將其與乙、戊排列，有A種排列方式，最后將甲插入中間兩空，有C種排列方式，所以不同的排列方式共有AAC＝24種，故選B.
5．(2023·高考全國甲卷)有五名志愿者參加社區服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則恰有1人連續參加兩天服務的選擇種數為( B )
A．120 B．60
C．40 D．30
[解析]　不妨記五名志愿者為a，b，c，d，e，假設a連續參加了兩天社區服務，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區服務，共有A＝12種方法，同理：b，c，d，e連續參加了兩天社區服務，也各有12種方法，所以恰有1人連續參加了兩天社區服務的選擇種數有5×12＝60種．故選B.第二講　二項式定理
知 識 梳 理
知識點一　二項式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N＋)．
這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數C(k＝0,1,2，…，n)叫做 二項式系數　，式中的 Can－kbk　叫做二項展開式的 通項　，用Tk＋1表示，即通項為展開式的第 k＋1　項：Tk＋1＝ Can－kbk　.
知識點二　二項展開式形式上的特點
1．項數為 n＋1　.
2．各項的次數和都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為 n　.
3．字母a按 降冪　排列，從第一項開始，次數由n逐項減小1直到零；字母b按 升冪　排列，從第一項起，次數由零逐項增加1直到n.
知識點三　二項式系數的性質
歸 納 拓 展
1．二項式定理中，通項公式Tk＋1＝Can－kbk是展開式的第k＋1項，不是第k項．
2．二項式系數與項的系數的區別
二項式系數是指C，C，…，C，它只與各項的項數有關，而與a、b的值無關；而項的系數是指該項中除變量外的常數部分，它不僅與各項的項數有關，而且也與a、b的值有關．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二項展開式的第k項．( × )
(2)二項展開式中，系數最大的項為中間一項或中間兩項．( × )
(3)(a＋b)n的展開式中某一項的二項式系數與a，b無關．( √ )
(4)(a－b)n的展開式第k＋1項的系數為Can－kbk.( × )
(5)(x－1)n的展開式二項式系數和為－2n.( × )
(6)在(1－x)9的展開式中系數最大的項是第5項和第6項．( × )
題組二　走進教材
2．(選擇性必修3P38T5(2))18的展開式的常數項為 18 564　.
[解析]　18的展開式的通項為Tr＋1＝C(9x)18－r·r＝
.
由題意得18－＝0，r＝12，
∴常數項為T13＝C＝C＝18 564.
3．(選擇性必修3P38T5(1))(1－2x)5(1＋3x)4的展開式中按x的升冪排列的第3項為 －26x2　.
[解析]　(1－2x)5、(1＋3x)4的展開式的通項分別為Tr＋1＝C(－2x)r，Tk＋1＝C(3x)k，
又(1－2x)5(1＋3x)4的展開式中按x升冪排列的第3項即展開式中x2項，
C(－2x)0·C(3x)2＋C(－2x)·C(3x)＋C(－2x)2·C(3x)0＝－26x2.
題組三　走向高考
4．(2023·新高考天津卷)在6的展開式中，x2項的系數為 60　.
[解析]　展開式的通項公式Tk＋1＝C(2x3)6－k·k＝(－1)k×26－k×C×x18－4k，令18－4k＝2可得，k＝4，則x2項的系數為(－1)4×26－4×C＝4×15＝60.
5．(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展開式中x2y6的系數為 －28　(用數字作答)．
[解析]　因為(x＋y)8＝(x＋y)8－(x＋y)8，所以(x＋y)8的展開式中含x2y6的項為Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6，故(x＋y)8的展開式中x2y6的系數為－28.第四講　事件的獨立性、條件概率與全概率公式
知 識 梳 理
知識點一　事件的相互獨立性
設A、B為兩個事件，如果P(AB)＝ P(A)P(B)　，則稱事件A與事件B相互獨立．
若事件A、B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)；事件A與，與B，與都相互獨立．
注：“相互獨立”與“事件互斥”的區別．兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發生，兩事件相互獨立是指一個事件發生與否對另一事件發生的概率沒有影響．兩事件相互獨立不一定互斥．
知識點二　條件概率
1．定義：設A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝為在事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率．
2．求法：P(B|A)＝＝.
3．乘法公式：由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)P(B|A)．
4．性質：
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)若B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
知識點三　全概率公式
一般地，設A1，A2，A3，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪A3∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2,3，…，n，則對任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，我們稱此公式為全概率公式．
*貝葉斯公式：
設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝＝，i＝1,2，…，n.
歸 納 拓 展
1．事件的表示
(1)A、B中至少有一個發生的事件為A∪B.
(2)A、B都發生的事件為AB.
(3)A、B都不發生的事件為.
(4)A、B恰有一個發生的事件為(A)∪(B)．
(5)A、B至多有一個發生的事件為(B)∪(A)∪()．
2．一般結論
(1)若事件A，B，C兩兩相互獨立，則P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)；
(2)P(|A)＝1－P(B|A)；
(3)若P(A)>0，則P(AB)＝P(A)·P(B|A)；
(4)若A、B相互獨立，則①A、B至少有一個發生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)．
P(A＋B)＝1－P()P()．
②A、B恰有一個發生的概率P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)·P(B)．
雙 基 自 測
題組一　走出誤區
1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．( √ )
(2)P(B|A)表示在事件A發生的條件下，事件B發生的概率；P(BA)表示事件A，B同時發生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．( × )
(3)袋中有5個小球(3白2黑)，現從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是0.5.( √ )
(4)拋擲兩枚質地均勻的骰子，記事件A＝“第一枚骰子奇數面朝上”，事件B＝“兩枚骰子向上點數之和為7”．則A與B獨立．( √ )
題組二　走進教材
2．(多選題)(選擇性必修3P48T3)一個袋子中裝有除顏色外完全相同的5個球，其中有3個紅球，2個白球，每次從中隨機摸出1個球，則下列結論中正確的是( BCD )
A．若不放回的摸球2次，則第一次摸到紅球的概率為
B．若不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率為
C．若有放回的摸球3次，則僅有前2次摸到紅球的概率為
D．若有放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率為
[解析]　第一次摸到紅球的概率為，故A錯誤；不放回的摸球2次，則在第一次摸到紅球的條件下第二次摸到紅球的概率P＝＝，故B正確；有放回的摸球3次，則僅有前2次摸到紅球的概率××＝，故C正確；有放回的摸球3次，則恰有2次摸到紅球的概率C2×＝，故D正確．故選BCD.
3．(必修2P250T4改編)(2022·云南曲靖一中質檢)甲、乙、丙三人獨立破譯一份密碼，分別譯出的概率為，，，則密碼能被譯出的概率為( C )
A. B．
C． D．
[解析]　P＝1－××＝.
題組三　走向高考
4．(2021·新高考Ⅰ卷)有6個相同的球，分別標有數字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則( B )
A．甲與丙相互獨立 B．甲與丁相互獨立
C．乙與丙相互獨立 D．丙與丁相互獨立
[解析]　P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝， P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故選B.
5．(2023·高考全國甲卷)有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為( A )
A．0.8 B．0.4
C．0.2 D．0.1
[解析]　報名兩個俱樂部的人數為50＋60－70＝40，記“某人報足球俱樂部”為事件A，記“某人報乒乓球俱樂部”為事件B，則P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝0.8.故選A.

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