資源簡介

一元二次不等式與其他常見不等式解法
考點要求 考題統計 考情分析
（1）會從實際情景中抽象出一元二次不等式． （2）結合二次函數圖象，會判斷一元二次方程的根的個數，以及解一元二次不等式． （3）了解簡單的分式、絕對值不等式的解法． 2020年I卷第1題，5分 從近幾年高考命題來看，三個 “二次” 的關系是必考內容，單獨考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現在其他考點的題目中．
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且
（1）當時，二次函數圖象開口向上．
（2）①若，解集為．
②若，解集為．
③若，解集為．
（2） 當時，二次函數圖象開口向下．
①若，解集為
②若，解集為
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、絕對值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解
【解題方法總結】
1、已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為，即關于的不等式的解集為．
已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為．
2、已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為．
3、已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為，以此類推．
4、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
5、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
6、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
7、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．
【典例例題】
題型一：不含參數一元二次不等式的解法
【解題總結】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應方程根，將根標在軸上，結合圖象，寫出其解集
例1．（2023·上海金山·統考二模）若實數滿足不等式，則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】不等式，即，解得，則的取值范圍是.
故答案為：.
例2．（2023·高三課時練習）不等式的解集為______．
【答案】
【解析】解:由題知不等式為,
即,
即,
解得,
所以解集為.
故答案為:
例3．（2023·高三課時練習）函數的定義域為______．
【答案】
【解析】要使函數有意義，則 ，解得.
所以函數的定義域為.
故答案為：.
例4．（2023·高三課時練習）不等式的解集為______．
【答案】
【解析】不等式即，
的根為，
故的解集為，
即不等式的解集為，
故答案為：
題型二：含參數一元二次不等式的解法
【解題總結】
1、數形結合處理．
2、含參時注意分類討論．
例5．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，，解得：，；
由得：；
“”是“”的充分不必要條件， ，
當時，，不滿足 ；當時，，不滿足 ；
當時，，若 ，則需；
綜上所述：實數的取值范圍為.
故選：A.
例6．（2023·全國·高三專題練習）若關于x的不等式的解集中恰有4個整數，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不等式即 ，
當時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數，
這四個整數只能是3,4,5,6，故，
當時，不等式解集為 ，此時不符合題意；
當 時，不等式解集為，此時要使解集中恰有4個整數，
這四個整數只能是 ，故，，
故實數m的取值范圍為，
故選：C
例7．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式．
【解析】方程： 且
解得方程兩根：；
當時，原不等式的解集為：
當時，原不等式的解集為：
綜上所述, 當時，原不等式的解集為：
當時，原不等式的解集為：
例8．（2023·全國·高三專題練習）不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以轉化為：，
當時，可知，對應的方程的兩根為1，，
根據一元二次不等式的解集的特點，可知不等式的解集為：.
故選：A.
題型三：一元二次不等式與韋達定理及判別式
【解題總結】
1、一定要牢記二次函數的基本性質．
2、含參的注意利用根與系數的關系找關系進行代換．
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A． B．不等式的解集為
C． D．不等式的解集為
【答案】B
【解析】因為關于的不等式的解集為或，所以，所以選項A錯誤；
由題得，所以為.所以選項B正確；
設，則，所以選項C錯誤；
不等式為，所以選項D錯誤.
故選：B
例10．（2023·全國·高三專題練習）已知實數，關于的不等式的解集為，則實數a、b、、從小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題可得：，.由，，設，則.所以，所以，.又，所以，所以.故，.又，故.
故選：A.
例11．（2023·全國·高三專題練習）關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的解集是，，得，
則不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
故選：D
例12．（2023·北京海淀·101中學校考模擬預測）已知關于x的不等式的解集是，則下列四個結論中錯誤的是（ ）
A．
B．
C．若關于x的不等式的解集為，則
D．若關于x的不等式的解集為，且，則
【答案】C
【解析】由題意，所以正確;
對于:，當且僅當，即時成立,
所以正確;
對于,由韋達定理，可知，所以錯誤;
對于,由韋達定理，可知，
則，解得，
所以正確,
故選：.
例13．（2023·全國·高三專題練習）已知關于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．8
【答案】C
【解析】由題意可知，方程的兩個根為m，，則，解得：，故，，
所以，當且僅當，即時取等號，則，
所以，當且僅當，即時取等號，
故的最小值為2.
故選：C.
題型四：其他不等式解法
【解題總結】
1、分式不等式化為二次或高次不等式處理．
2、根式不等式絕對值不等式平方處理．
例14．（2023·北京海淀·統考一模）不等式的解集為_________．
【答案】或
【解析】根據分式不等式解法可知等價于，
由一元二次不等式解法可得或；
所以不等式的解集為或.
故答案為：或
例15．（2023·全國·高三專題練習）不等式的 的解集是______
【答案】：
【解析】則或
【考點定位】本題考查將分式不等式等價轉化為高次不等式、考查高次不等式的解法
例16．（2023·上海·高三專題練習）若不等式，則x的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】∵，則，解得，
∴x的取值范圍是.
故答案為：.
例17．（2023·上海浦東新·統考三模）不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】當時，，解得，此時解集為空集，
當時，，即，符合要求，此時解集為，
當時，，解得，此時解集為空集，
綜上：不等式的解集為.
故答案為：
例18．（2023·上海楊浦·高三復旦附中校考階段練習）已知集合，則___________．
【答案】
【解析】，
.
故.
故答案為：
題型五：二次函數根的分布問題
【解題總結】
解決一元二次方程的根的分布時，常常需考慮：判別式，對稱軸，特殊點的函數值的正負，所對應的二次函數圖象的開口方向．
例19．（2023·全國·高三專題練習）方程在區間內有兩個不同的根，的取值范圍為__．
【答案】
【解析】令，圖象恒過點，
方程0在區間內有兩個不同的根，
，解得.
故答案為：
例20．（2023·全國·高三專題練習）已知方程的兩根分別在區間，之內，則實數的取值范圍為______．
【答案】.
【解析】方程
方程兩根為，
若要滿足題意，則，解得，
故答案為：.
例21．（2023·全國·高三專題練習）若方程有兩個不相等的實根，則可取的最大整數值是______.
【答案】1
【解析】方程化為，
由，解得，
所以最大整數值是.
故答案為：1.
例22．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的取值范圍為________.
【答案】
【解析】，故，
，，
將看成方程的兩根，則，
即，故，解得.
故答案為：
題型六：一元二次不等式恒成立問題
【解題總結】
恒成立問題求參數的范圍的解題策略
（1）弄清楚自變量、參數．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式，一元二次不等式在給定區間上恒成立，不能用判別式，一般分離參數求最值或分類討論．
例23．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是________．
【答案】
【解析】原不等式可化為對恒成立．
（1）當時，若不等式對恒成立，
只需，解得；
（2）當時，若該二次不等式恒成立，
只需，解得，
所以；
綜上：.
故答案為：
例24．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】由不等式對恒成立，
可轉化為對恒成立，即，
而，
當時，有最大值，所以，
故答案為：．
例25．（2023·全國·高三專題練習）若關于x的不等式在區間上有解，則實數a的取值范圍是______.
【答案】
【解析】因為，所以由得，
因為關于的不等式在區間上有解，
所以只需小于等于的最大值，
當時，，
當時，，當且僅當時，等號成立，
故的最大值為1，
所以，
即實數的取值范圍是.
故答案為：.
例26．（2023·全國·高三專題練習）若使關于的不等式成立，則實數的取值范圍是______．
【答案】
【解析】，使關于的不等式成立，
則，即，，
令，，則對勾函數在上單調遞增，
所以，
故
故答案為：
例27．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對任意恒成立，實數x的取值范圍是_____.
【答案】
【解析】可轉化為.
設，則是關于m的一次型函數.
要使恒成立，只需，
解得.
故答案為：
1．（2020·山東·統考高考真題）已知二次函數的圖像如圖所示，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】結合圖像易知，
不等式的解集，
故選：A.
2．（2020·全國·統考高考真題）已知集合則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由解得，
所以，
又因為，所以，
故選：D.
3．（2018·全國·高考真題）已知集合，則
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解不等式得，
所以，
所以可以求得，故選B.一元二次不等式與其他常見不等式解法
考點要求 考題統計 考情分析
（1）會從實際情景中抽象出一元二次不等式． （2）結合二次函數圖象，會判斷一元二次方程的根的個數，以及解一元二次不等式． （3）了解簡單的分式、絕對值不等式的解法． 2020年I卷第1題，5分 從近幾年高考命題來看，三個 “二次” 的關系是必考內容，單獨考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現在其他考點的題目中．
1、一元二次不等式
一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且
（1）當時，二次函數圖象開口向上．
（2）①若，解集為．
②若，解集為．
③若，解集為．
（2） 當時，二次函數圖象開口向下．
①若，解集為
②若，解集為
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
3、絕對值不等式
（1）
（2）；
；
（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解
【解題方法總結】
1、已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為，即關于的不等式的解集為．
已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為．
2、已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為．
3、已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．
由的解集為，得：的解集為即關于的不等式的解集為，以此類推．
4、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
5、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
6、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；
7、已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．
【典例例題】
題型一：不含參數一元二次不等式的解法
【解題總結】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相應方程根，將根標在軸上，結合圖象，寫出其解集
例1．（2023·上海金山·統考二模）若實數滿足不等式，則的取值范圍是__________.
例2．（2023·高三課時練習）不等式的解集為______．
例3．（2023·高三課時練習）函數的定義域為______．
例4．（2023·高三課時練習）不等式的解集為______．
題型二：含參數一元二次不等式的解法
【解題總結】
1、數形結合處理．
2、含參時注意分類討論．
例5．（2023·全國·高三專題練習）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍（ ）
A． B． C． D．
例6．（2023·全國·高三專題練習）若關于x的不等式的解集中恰有4個整數，則實數m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2023·全國·高三專題練習）解下列關于的不等式．
例8．（2023·全國·高三專題練習）不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
題型三：一元二次不等式與韋達定理及判別式
【解題總結】
1、一定要牢記二次函數的基本性質．
2、含參的注意利用根與系數的關系找關系進行代換．
例9．（2023·全國·高三專題練習）已知關于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（ ）
A． B．不等式的解集為
C． D．不等式的解集為
例10．（2023·全國·高三專題練習）已知實數，關于的不等式的解集為，則實數a、b、、從小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
例11．（2023·全國·高三專題練習）關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
例12．（2023·北京海淀·101中學校考模擬預測）已知關于x的不等式的解集是，則下列四個結論中錯誤的是（ ）
A．
B．
C．若關于x的不等式的解集為，則
D．若關于x的不等式的解集為，且，則
例13．（2023·全國·高三專題練習）已知關于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．8
題型四：其他不等式解法
【解題總結】
1、分式不等式化為二次或高次不等式處理．
2、根式不等式絕對值不等式平方處理．
例14．（2023·北京海淀·統考一模）不等式的解集為_________．
例15．（2023·全國·高三專題練習）不等式的 的解集是______
例16．（2023·上海·高三專題練習）若不等式，則x的取值范圍是____________．
例17．（2023·上海浦東新·統考三模）不等式的解集是__________．
例18．（2023·上海楊浦·高三復旦附中校考階段練習）已知集合，則___________．
題型五：二次函數根的分布問題
【解題總結】
解決一元二次方程的根的分布時，常常需考慮：判別式，對稱軸，特殊點的函數值的正負，所對應的二次函數圖象的開口方向．
例19．（2023·全國·高三專題練習）方程在區間內有兩個不同的根，的取值范圍為__．
例20．（2023·全國·高三專題練習）已知方程的兩根分別在區間，之內，則實數的取值范圍為______．
例21．（2023·全國·高三專題練習）若方程有兩個不相等的實根，則可取的最大整數值是______.
例22．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的取值范圍為________.
題型六：一元二次不等式恒成立問題
【解題總結】
恒成立問題求參數的范圍的解題策略
（1）弄清楚自變量、參數．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式，一元二次不等式在給定區間上恒成立，不能用判別式，一般分離參數求最值或分類討論．
例23．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是________．
例24．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是____________．
例25．（2023·全國·高三專題練習）若關于x的不等式在區間上有解，則實數a的取值范圍是______.
例26．（2023·全國·高三專題練習）若使關于的不等式成立，則實數的取值范圍是______．
例27．（2023·全國·高三專題練習）若不等式對任意恒成立，實數x的取值范圍是_____.
1．（2020·山東·統考高考真題）已知二次函數的圖像如圖所示，則不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全國·統考高考真題）已知集合則（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018·全國·高考真題）已知集合，則
A． B．
C． D．

展開更多......

收起↑