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DISHIZHANG
第十章
學(xué)案10　專題:帶電粒子在交變電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.學(xué)會(huì)分析帶電粒子在交變電場(chǎng)中的直線運(yùn)動(dòng)(重點(diǎn))。
2.學(xué)會(huì)分析帶電粒子在交變電場(chǎng)中的曲線運(yùn)動(dòng)(重難點(diǎn))。
1.交變電場(chǎng)
電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向隨時(shí)間做周期性變化的電場(chǎng)叫作交變電場(chǎng)(常見(jiàn)的產(chǎn)生交變電場(chǎng)的電壓波形有方形波、鋸齒波、正弦波等)。
2.此類問(wèn)題中,帶電粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)初速度為零,或初速度方向與電場(chǎng)方向平行,帶電粒子在交變電場(chǎng)靜電力的作用下,做加速、減速交替的直線運(yùn)動(dòng)。
一、帶電粒子在交變電場(chǎng)中的直線運(yùn)動(dòng)
如圖甲所示,A、B是一對(duì)平行的金屬板,一電子靜止在兩極板中間,t=0時(shí)刻在兩極板間加上如圖乙所示周期為T(mén)的交變電壓UBA,已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e,兩板間的距離為d,電子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不與極板發(fā)生碰撞,設(shè)電子向B板運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颉?br/>例1
(1)試在圖丙中作出電子的加速度隨時(shí)間變化的圖像。
答案　見(jiàn)解析圖a
(2)試在圖丁中作出電子的速度隨時(shí)間變化的圖像(不用計(jì)算最大速度)。
答案　見(jiàn)解析圖b
(3)下列關(guān)于電子運(yùn)動(dòng)情況的說(shuō)法正確的是　　。
A.電子一直向A板運(yùn)動(dòng)
B.電子一直向B板運(yùn)動(dòng)
C.電子先向A板運(yùn)動(dòng),然后向B板運(yùn)動(dòng),
再返回出發(fā)點(diǎn)做周期性來(lái)回運(yùn)動(dòng)
D.電子先向B板運(yùn)動(dòng),然后向A板運(yùn)動(dòng),再返回出發(fā)點(diǎn)做周期性來(lái)回運(yùn)動(dòng)
B
開(kāi)始時(shí)B板的電勢(shì)比A板高,電子受到向左的靜電力,向B板做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),時(shí)刻電場(chǎng)方向改變,靜電力方向與電子運(yùn)動(dòng)方向相反,電子做勻減速直線運(yùn)動(dòng),T時(shí)刻,速度減為零,之后電子重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程,由運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)規(guī)律畫(huà)出如圖b所示的v-t圖像;
由電子的v-t圖像可知,電子一直向B板運(yùn)動(dòng)。
拓展1　若兩金屬板間加上如圖戊所示的交變電壓,電子的運(yùn)動(dòng)情況為
A.電子一直向A板運(yùn)動(dòng)
B.電子一直向B板運(yùn)動(dòng)
C.電子先向A板運(yùn)動(dòng),然后向B板運(yùn)動(dòng),再返回出發(fā)點(diǎn)
做周期性來(lái)回運(yùn)動(dòng)
D.電子先向B板運(yùn)動(dòng),然后向A板運(yùn)動(dòng),返回出發(fā)點(diǎn)后做周期性來(lái)回運(yùn)動(dòng)
√
根據(jù)a=,作出電子a-t圖像,如圖c所示,在0~內(nèi)電子做勻加速直線運(yùn)動(dòng),T時(shí)速度最大,T~T做勻減速直線運(yùn)動(dòng),T時(shí)速度減為零,T~T反向做勻加速直線運(yùn)動(dòng),T時(shí)速度最大,T~T做勻減速直線運(yùn)動(dòng),T時(shí)速度減為零,回到出發(fā)點(diǎn),然后重復(fù)往返運(yùn)動(dòng),其v-t圖像如圖d所示,故選D。
拓展2　若兩極板間加上如圖己所示的交變電壓,電子的運(yùn)動(dòng)情況可能為
A.電子一直向A板運(yùn)動(dòng)
B.電子一直向B板運(yùn)動(dòng)
C.電子時(shí)而向A板運(yùn)動(dòng),時(shí)而向B板運(yùn)動(dòng),最后打在A板上
D.電子時(shí)而向A板運(yùn)動(dòng),時(shí)而向B板運(yùn)動(dòng),最后打在B板上
√
總結(jié)提升
解決帶電粒子在交變電場(chǎng)中直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的思路
(1)通常將U-t圖像、E-t圖像、φ-t圖像等轉(zhuǎn)化為a-t圖像,進(jìn)一步繪制出v-t圖像,可將復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(guò)程直觀地描述出來(lái)。
(2)判斷粒子一直向某一方向運(yùn)動(dòng),還是做往復(fù)運(yùn)動(dòng),關(guān)鍵是判斷粒子的速度為零后加速度的方向,若加速度的方向與原來(lái)速度方向相同,粒子將繼續(xù)向同一方向運(yùn)動(dòng),若粒子加速度方向與原來(lái)運(yùn)動(dòng)方向相反,粒子將向反方向運(yùn)動(dòng)。
二、帶電粒子在交變電場(chǎng)中的曲線運(yùn)動(dòng)
如圖甲所示,兩平行金屬板MN、PQ的板長(zhǎng)和板間距離相等,板間存在如圖乙所示的隨時(shí)間周期性變化的電場(chǎng),周期為T(mén),電場(chǎng)方向與兩板垂直,不計(jì)重力的帶電粒子沿板間中線OO'垂直電場(chǎng)方向源源不斷地射入電場(chǎng),粒子射入電場(chǎng)時(shí)的初速度大小均為v0,已知t=0時(shí)刻射入電場(chǎng)的粒子剛好經(jīng)過(guò)時(shí)間T沿上板右邊緣垂直電場(chǎng)方向射出電場(chǎng)。不計(jì)粒子間的相互作用,請(qǐng)分析以下情況:
例2
(1)t=0時(shí)刻射入電場(chǎng)的粒子在0~T內(nèi),沿電場(chǎng)方向的運(yùn)動(dòng)情況:
由題意得0~時(shí)間內(nèi),在沿電場(chǎng)方向上,粒子做　　　　　　運(yùn)動(dòng),t=時(shí)刻,
vy　　(填“最大”或“最小”),~T時(shí)間內(nèi),在沿電場(chǎng)方向上,粒子做_____　　
　　 　運(yùn)動(dòng),t=T時(shí)刻,vy=　　。畫(huà)出沿電場(chǎng)方向的分速度vy-t圖像。
勻加速直線
最大
勻減
速直線
0
答案　見(jiàn)解析圖
0~時(shí)間內(nèi),在沿電場(chǎng)方向上,粒子做勻加速直線運(yùn)動(dòng),
t=時(shí)刻,vy最大,~T時(shí)間內(nèi),粒子做勻減速直線運(yùn)動(dòng),
t=T時(shí)刻,vy=0。分速度vy-t圖像如圖。
(2)該粒子離開(kāi)極板時(shí)的速度v=　　;
v0
粒子在t=T時(shí)刻離開(kāi)電場(chǎng),vy=0,粒子的速度v=v0。
(3)若一個(gè)粒子從時(shí)刻射入電場(chǎng),粒子離開(kāi)極板的時(shí)刻為　　,粒子離開(kāi)極板的速度v'=　　　,離開(kāi)極板的位置為　　。
T
v0
O'
作出從時(shí)刻射入電場(chǎng)的粒子在沿電場(chǎng)方向的vy-t
圖像如圖所示。由圖像可知粒子沿電場(chǎng)方向先做
勻加速運(yùn)動(dòng),T時(shí)速度最大,T~T做勻減速運(yùn)動(dòng),
T時(shí)速度減為零,T~T反向做勻加速運(yùn)動(dòng),T時(shí)反向速度最大,T~T做勻減速運(yùn)動(dòng),T時(shí)速度減為零,回到板間中線。粒子在初速度方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng),故粒子在t'=T時(shí)刻離開(kāi)電場(chǎng),vy'=0,粒子離開(kāi)極板的速度v'=v0。
拓展　(1)試分析會(huì)不會(huì)有粒子打到極板上。
答案　t=0時(shí)刻入射的粒子,偏移量最大,其他粒子不可能打到極板上。
(2)試分析是否所有粒子均沿垂直電場(chǎng)方向射出電場(chǎng)。
答案　可作出a-t圖像,如圖所示,a-t圖像的“面積”表示粒子離開(kāi)極板時(shí)沿豎直方向的速度vy,分析可知,所有粒子在極板間運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為T(mén),a-t圖像與t軸所圍“面積”之和為零,故所有粒子均沿垂直電場(chǎng)方向射出電場(chǎng)。
總結(jié)提升
若帶電粒子以一定的初速度垂直于電場(chǎng)方向進(jìn)入交變電場(chǎng),粒子將做曲線運(yùn)動(dòng),應(yīng)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性,分方向?qū)αＷ舆M(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析:
(1)在初速度方向上,粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)。
(2)在垂直于初速度方向上,粒子做勻加速、勻減速交替的運(yùn)動(dòng),可利用vy-t圖像進(jìn)行速度、位移的分析。
[隨堂演練]
1.(多選)如圖所示為勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E隨時(shí)間t變化的圖像。當(dāng)t=0時(shí),在此勻強(qiáng)電場(chǎng)中由靜止釋放一個(gè)帶電粒子,設(shè)帶電粒子只受靜電力的作用,則下列說(shuō)法中正確的是
A.帶電粒子將做往復(fù)運(yùn)動(dòng)
B.2 s末帶電粒子離出發(fā)點(diǎn)最遠(yuǎn)
C.2 s末帶電粒子的速度為零
D.0~3 s內(nèi),靜電力做的總功為零
√
√
由牛頓第二定律可知,帶電粒子在第1 s內(nèi)的加速度為a1=,第2 s內(nèi)加速度a2=,因此帶電粒子先加速1 s再減速0.5 s時(shí)速度為零,接下來(lái)的0.5 s內(nèi)將反向加速,以粒子最開(kāi)始的加速度方向?yàn)樨?fù)方向,v-t圖像如圖所示。由圖可知,帶電粒子將做往復(fù)運(yùn)動(dòng),故A正確;
根據(jù)速度—時(shí)間圖像與t軸圍成的面積表示位移可
知,在t=2 s時(shí),帶電粒子離出發(fā)點(diǎn)不是最遠(yuǎn),故B錯(cuò)誤;
由圖可知,2 s末粒子的速度不為零,故C錯(cuò)誤;
因?yàn)榈? s末粒子的速度剛好減為0,粒子只受靜電力作用,前3 s內(nèi)動(dòng)能變化為0,根據(jù)動(dòng)能定理知靜電力做的總功為零,故D正確。
2.(多選)如圖甲所示,長(zhǎng)為2d的兩水平金屬板A、B組成一間距為d的平行板電容器,電容器的B板接地,A板電勢(shì)φ與時(shí)間t的變化關(guān)系如圖乙所示,其周期T=。P為靠近A板左側(cè)的一粒子源,能夠水平向右發(fā)射初速度為v0的相同帶電粒子。已知t=0時(shí)刻發(fā)射的粒子剛好能從B板右側(cè)邊緣離開(kāi)電容器,則下列判斷正確的是
A.t=0時(shí)刻發(fā)射的粒子從B板右側(cè)離開(kāi)時(shí)的速度大小仍為v0
B.該粒子源發(fā)射的粒子的比荷為
C.t=時(shí)刻射入的粒子離開(kāi)電容器時(shí)的
電勢(shì)能小于射入時(shí)的電勢(shì)能
D.t=0時(shí)刻發(fā)射的粒子經(jīng)過(guò)的時(shí)間,其速度大小為v0
√
√
√
由于粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t==2T,所以粒子離開(kāi)電容器時(shí),剛好在電容器中運(yùn)動(dòng)了兩個(gè)周期,由對(duì)稱性可知,粒子在豎直方向上的分速度為零,故粒子離開(kāi)電容器時(shí),其速度等于水平速度v0,A正確;
在2個(gè)周期內(nèi),粒子在豎直方向上運(yùn)動(dòng)的距離為d,由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得d=4×a×()2,又因?yàn)閍=,T=,可解得=,B正確;
由對(duì)稱性可知,t=時(shí)刻從粒子源射入的粒子,剛好從靠近A板右側(cè)水平射出,與粒子源在同一直線上,所以其電勢(shì)能不變,C錯(cuò)誤;
t=0時(shí)刻發(fā)射的粒子經(jīng)過(guò)的時(shí)間,粒子在豎直方向的分速度為vy=a=
××=v0,故此時(shí)粒子的速度大小為v==v0,D正確。

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