資源簡介

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專題18 不等式恒(能)成立問題（新高考專用）
【真題自測】 2
【考點突破】 13
【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍 13
【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍 19
【考點3】雙變量的恒(能)成立問題 24
【分層檢測】 33
【基礎(chǔ)篇】 33
【能力篇】 40
【培優(yōu)篇】 45
一、解答題
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍．
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，．
4．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
6．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
參考答案：
1．(1)在上單調(diào)遞減
(2)
【分析】（1）代入后，再對求導(dǎo)，同時利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負情況，從而得解；
（2）法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；
法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點存在定理與隱零點的知識判斷得時不滿足題意，從而得解.
【詳解】（1）因為，所以，
則
，
令，由于，所以，
所以，
因為，，，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減.
（2）法一：
構(gòu)建，
則，
若，且，
則，解得，
當(dāng)時，因為，
又，所以，，則，
所以，滿足題意；
當(dāng)時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
綜上所述：若，等價于，
所以的取值范圍為.
法二：
因為，
因為，所以，，
故在上恒成立，
所以當(dāng)時，，滿足題意；
當(dāng)時，由于，顯然，
所以，滿足題意；
當(dāng)時，因為，
令，則，
注意到，
若，，則在上單調(diào)遞增，
注意到，所以，即，不滿足題意；
若，，則，
所以在上最靠近處必存在零點，使得，
此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，
則在上有，即，不滿足題意；
綜上：.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題方法二第2小問討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負情況，得到總存在靠近處的一個區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.
2．(1)答案見解析.
(2)
【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號即可;
（2）構(gòu)造,計算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點,再對討論即可.
【詳解】（1）
令,則
則
當(dāng)
當(dāng),即.
當(dāng),即.
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
（2）設(shè)
設(shè)
所以.
若,
即在上單調(diào)遞減,所以.
所以當(dāng),符合題意.
若
當(dāng),所以.
.
所以,使得,即,使得.
當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.
所以當(dāng),不合題意.
綜上,的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題采取了換元,注意復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性在定義域內(nèi)是減函數(shù),若,當(dāng),對應(yīng)當(dāng).
3．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；
（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.
方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進而將問題轉(zhuǎn)化為的恒成立問題，由此得證.
【詳解】（1）因為，定義域為，所以，
當(dāng)時，由于，則，故恒成立，
所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，令，解得，
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增；
綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要證，即證，即證恒成立，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
方法二：
令，則，
由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，
又，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以要證，即證，即證，
令，則，
令，則；令，則；
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，則恒成立，
所以當(dāng)時，恒成立，證畢.
4．（1）證明見詳解（2）
【分析】（1）分別構(gòu)建，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得結(jié)果；
（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類討論和，結(jié)合（1）中的結(jié)論放縮，根據(jù)極大值的定義分析求解.
【詳解】（1）構(gòu)建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
構(gòu)建，
則，
構(gòu)建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
即對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，
若，則，
因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點，不合題意，所以.
當(dāng)時，令
因為，
且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當(dāng)時，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點，不合題意；
（ⅱ）當(dāng)時，取，則，
由（1）可得，
構(gòu)建，
則，
且，則對恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點，
當(dāng)時，則，且，
則，
即當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
【點睛】關(guān)鍵點睛：
1.當(dāng)時，利用，換元放縮；
2.當(dāng)時，利用，換元放縮.
5．(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
(2)
(3)見解析
【分析】（1）求出，討論其符號后可得的單調(diào)性.
（2）設(shè)，求出，先討論時題設(shè)中的不等式不成立，再就結(jié)合放縮法討論符號，最后就結(jié)合放縮法討論的范圍后可得參數(shù)的取值范圍.
（3）由（2）可得對任意的恒成立，從而可得對任意的恒成立，結(jié)合裂項相消法可證題設(shè)中的不等式.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
【點睛】思路點睛：函數(shù)參數(shù)的不等式的恒成立問題，應(yīng)該利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，注意結(jié)合端點處導(dǎo)數(shù)的符號合理分類討論，導(dǎo)數(shù)背景下數(shù)列不等式的證明，應(yīng)根據(jù)已有的函數(shù)不等式合理構(gòu)建數(shù)列不等式.
6．（I）；（II）證明見解析；（III）
【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；
（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；
（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.
【詳解】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，，當(dāng)時，，畫出大致圖像如下：
所以當(dāng)時，與僅有一個交點，令，則，且，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點，故存在唯一的極值點；
（III）由（II）知，此時，
所以，
令，
若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，
，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實數(shù)b的取值范圍.
【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.
【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）若函數(shù)有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知函數(shù)，，則實數(shù)a的值可能是（ ）
A．-1 B． C．3 D．e
三、填空題
4．（23-24高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值為 .
四、解答題
5．（23-24高二下·江蘇·期中）設(shè)函數(shù)，．
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值：
(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．
參考答案：
1．C
【分析】先將函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程有兩個解，然后構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)并分類討論即可求解.
【詳解】條件等價于關(guān)于的方程有兩個解.
設(shè)，則原方程即為，而，故當(dāng)時，當(dāng)時.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，對都有，所以方程至多一個零點，從而不滿足條件；
當(dāng)時，對有，而由知在上單調(diào)遞增，所以方程至多有一個零點，且該零點屬于，從而不滿足條件；
當(dāng)時，由于，且，，，故方程在和上各有一個零點，所以一定有兩個零點，從而滿足條件.
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點在于使用分離參數(shù)法，然后用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于常規(guī)題.
2．D
【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上有解，得到在上有解，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.
【詳解】因為函數(shù)，可得，
因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，
可得在上有解，
即在上有解，
令，則，且，
當(dāng)時，，所以；
當(dāng)時，，所以，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以.
故選：D．
【點睛】結(jié)論點睛：“恒成立問題”與“有解問題”在等價轉(zhuǎn)化上的區(qū)別：
恒成立問題 有解問題
①恒成立；恒成立． ②恒成立； 恒成立． ③恒成立 ； 恒成立 ． ④ ． ①有解； 有解． ②有解； 有解． ③有解； 有解． ④，使得 ．
3．ABD
【分析】分和兩種情況討論可得實數(shù),即可求解.
【詳解】函數(shù)，,
當(dāng)時，
當(dāng)時，恒成立,滿足題意;
當(dāng)時，則有,即有,
當(dāng)時，則有,即有,
令,,
當(dāng)時，則有即有單調(diào)遞減,
當(dāng)時，則有即有單調(diào)遞增,
所以,所以可得,
所以；
當(dāng)時，,
所以a的范圍為，
故選:ABD.
4．
【分析】由函數(shù)單調(diào)性得恒成立，分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)求最值即得.
【詳解】因為函數(shù)是上的增函數(shù)，
所以，即：.
令，則，令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
所以，
要使恒成立，則，故的最小值為.
故答案為：.
5．(1)
(2)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，極小值為2
(3)
【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性以及極值的關(guān)系即可求解；
（3）將在上存在增區(qū)間轉(zhuǎn)化為有解，分離參數(shù)，即可求出的取值范圍.
【詳解】（1）由題可得，
因為曲線在點處的切線與直線垂直，
所以，解得；
（2）由（1）知，令，解得
由，解得，由，解得，
所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時，取得極小值；
（3）由在上存在增區(qū)間，
即在上有解，
即在上有解，所以，
令，易知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，
所以
即的取值范圍為.
6．(1)
(2)2
【分析】（1）先求出導(dǎo)數(shù)，再求斜率結(jié)合點斜式寫出切線方程；
（2）先把恒成立問題通過參數(shù)分離轉(zhuǎn)化為求最小值求出的最大值.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
因為 ，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
（2）由題意，知對任意恒成立，
可知對任意恒成立．
設(shè)函數(shù)，只需．
對函數(shù)求導(dǎo)，得．
設(shè)函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
又，
所以存在，使，即，
所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
所以．又，所以，
所以整數(shù)的最大值為2．
反思提升：
分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略
(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
(2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（23-24高二下·河北張家口·期中）若函數(shù)在時取得極大值，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
二、多選題
3．（23-24高二下·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則a的值可以為（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空題
4．（21-22高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是
四、解答題
5．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求在點處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性，并求出的極小值．
6．（2024·山東泰安·二模）已知函數(shù).
(1)若的極大值為，求的值；
(2)當(dāng)時，若使得，求的取值范圍.
參考答案：
1．C
【分析】求導(dǎo)，分、和三種情況，討論的單調(diào)性，進而可得極值點，結(jié)合題意分析判斷.
【詳解】因為的定義域為，且，
令，可得或，
若，即，當(dāng)或時，；當(dāng)時，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則在處取到極小值，不合題意；
若，即，則在定義域內(nèi)恒成立，
可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，不合題意；
若，即，當(dāng)或時，；當(dāng)時，；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，
則在處取到極大值，符合題意；
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是.
故選：C.
2．C
【分析】求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的正負得到原函數(shù)的單調(diào)性，再由已知建立關(guān)于的不等式組，解出即可．
【詳解】由題意，，
令，解得，令，解得或，
所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，
若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，
則或或，解得或或，
即或.
故選：C.
3．BCD
【分析】對求導(dǎo)，然后對分情況討論函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性確定函數(shù)的最值.
【詳解】由題意可知：，
若，可得在上單調(diào)遞增，無最小值，不合題意；
若時，令，解得；令，解得；
在內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)，
所以在處取得極小值，也是最小值，符合題意；
若，可得在上單調(diào)遞減，無最小值，不合題意；
綜上所述：，故A錯誤，BCD正確.
故選：BCD.
4．
【分析】將存在唯一的正整數(shù)，使得轉(zhuǎn)化為存在唯一的正整數(shù)，使得，然后構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，進而數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)果.
【詳解】因為存在唯一的正整數(shù)，使得，則因為存在唯一的正整數(shù)，使得，
令，所以存在唯一的正整數(shù)，使得，，
所以，，所以單調(diào)遞減；，，所以單調(diào)遞增，
所以，恒過定點，
所以當(dāng)時，有無窮多個整數(shù)，使得，
當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，作出函數(shù)圖象：

記上，所以，所以
實數(shù)a的取值范圍是，
故答案為：.
5．(1)
(2)在單調(diào)遞減，在和單調(diào)遞增；0.
【分析】（1）欲求曲線在點處的切線方程，只需求出斜率和的值，利用直線的點斜式方程求解切線的方程；
（2）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
則，
所以，
又知，
所以在點處的切線方程為．
（2）因為，
令，
則或，
所以當(dāng)時，，
當(dāng)或時，．
綜上，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
所以．
6．(1)2
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，令，解得或，分類討論，求得函數(shù)單調(diào)性和極大值，即可求解；
（2）當(dāng)時，由（1）得到的單調(diào)性，分別求得和，結(jié)合題意，分類討論，列出不等式，即可求解.
【詳解】（1）解：因為函數(shù)，可得，
因為，令，解得或，
當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
所以的極大值為，不符合題意；
當(dāng)時，即時，，在上單調(diào)遞增，無極大值；
當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以極大值為，解得.
（2）解：當(dāng)時，
由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，
當(dāng)時，即時，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，
又因為當(dāng)時，，
因為，所以，當(dāng)時，使得，
當(dāng)時，即時，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，
若滿足題意，只需，即，
當(dāng)時，即時，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增
所以函數(shù)的最小值為，
所以，
又因為時，，
若滿足題意，只需，即，
因為，所以，
所以，當(dāng)時，不存在使得，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；
2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
反思提升：
根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.
【考點3】雙變量的恒(能)成立問題
一、單選題
1．（23-24高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2023·湖北武漢·二模）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點，設(shè)滿足條件的所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·廣東廣州·一模）已知直線與曲線相交于不同兩點，，曲線在點處的切線與在點處的切線相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
4．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函數(shù)，，若，，則的最大值為 ．
四、解答題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)若存在零點，求a的取值范圍；
(2)若，為的零點，且，證明：．
6．（2024·四川德陽·二模）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，求的最小值.
參考答案：
1．A
【分析】不等式可化為，分別構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大、最小值，由不等式左邊最小值等于右邊的最大值，建立方程即可得解.
【詳解】由，
設(shè)，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
則，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；
設(shè)，則，
當(dāng)時，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
又，則，
此時，則.
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：不等式中含有不相關(guān)的雙變量，據(jù)此分別構(gòu)造不同的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值是關(guān)鍵之一，其次根據(jù)不等式左邊的最小值與不等式右邊的最大值相等，由不等式成立得出方程是關(guān)鍵點之二，據(jù)此建立方程求解即可.
2．B
【分析】根據(jù)結(jié)論恒成立可只考慮的情況，假設(shè)切點坐標，則只需考慮，，其中的情況，可將表示為；構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而對進行放縮即可求得所求范圍.
【詳解】對于任意，，，的范圍恒定，
只需考慮的情況，
設(shè)對應(yīng)的切點為，，，
設(shè)對應(yīng)的切點為，，，
，，，
只需考慮，，其中的情況，
則，
，其中，
；
又，，
，；
令，則，
在上單調(diào)遞增，，
設(shè)，
，又，，
；
令，則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
，
即，在上單調(diào)遞減，，
，；
綜上所述：.
故選：B.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠采用特殊值的方式，考慮不含變量的函數(shù)的情況，采用構(gòu)造函數(shù)的方式對所求式子進行放縮，從而求得的范圍.
3．ACD
【分析】對于A，構(gòu)造函數(shù)，計算即可判斷；對于B，寫出點處的切線程聯(lián)立并化簡得，而，計算即可判斷；對于C，根據(jù)斜率相等可得，為兩切線的交點代入化簡得，再計算可得；對于D，根據(jù)，計算即可判斷.
【詳解】令，則，
故時，遞增；時，遞減，
所以的極大值，且，，
因為直線與曲線相交于 兩點，
所以與圖像有2個交點，
所以，故A正確；
設(shè)，且，可得，
在點處的切線程為
，得，即，
因為，所以，即，故B錯誤；
因為，所以，
因為為兩切線的交點，
所以，
即，所以，
所以，故C正確；
因為，所以，所以，
同理得，得，即，
因為，所以，故D正確.
故選：ACD.

【點睛】方法點睛：判斷B，關(guān)鍵在于根據(jù)切線方程聯(lián)立求得，而兩點得斜率即為直線得斜率得，化簡可得；判斷C，根據(jù)斜率相等得，根據(jù)在切線上，代入化簡計算可得，計算得后即可判斷，判斷D，關(guān)鍵在于利用不等式進行計算化簡即可判斷.
4．
【分析】對已知等式進行同構(gòu)可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)遞增，由此可得，從而將所求式子化為；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即為所求最大值.
【詳解】由得：；
由得：，；
，
令，，
，在上單調(diào)遞增，
；
令，則，
則當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，即的最大值為.
故答案為：.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解多變量的式子最值的問題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)τ谝阎仁竭M行同構(gòu)變形，將問題轉(zhuǎn)化為某一單調(diào)函數(shù)的兩個函數(shù)值相等的問題，從而確定兩個變量之間的關(guān)系，將所求式子化為單變量的式子來進行求解.
5．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，解不等式即可求解；
（2）由零點的定義可得，只需證，令，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式即可.
【詳解】（1）的定義域為，
令，即，等價于，
設(shè)，則（），
令，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
則的最小值為，，
要使得存在零點，則，
即，得．
（2）由為的零點，得，
即，即
兩式相減得，即.
要證當(dāng)時，，
只需證，只需證，，
，．
令，，只需證，
，則在上單調(diào)遞增，
∴，即可得證.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的求解策略
形如的求解策略：
1、構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；
2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值即可；
3，數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)的圖象在的圖象的上方（或下方），進而得到不等式恒成立.
6．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論與兩種情況即可得解；
（2）利用（1）中結(jié)論，利用韋達定理得到，，，利用消元法將表示成關(guān)于的函數(shù)，再利用換元法和導(dǎo)數(shù)求得所得函數(shù)的最小值，從而得解.
【詳解】（1）因為，
所以,
令，則，
因為，
當(dāng)時，，則，即，
此時在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，由，得，且，
當(dāng)或時，，即；
當(dāng)時，，即，
所以在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在,上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
其中.
（2）由（1）可知，為的兩個極值點，且，
所以，且是方程的兩不等正根，
此時，，，
所以，，且有，，
則
令，則，令，
則，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，
所以，
所以的最小值為.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解決的關(guān)鍵是，利用韋達定理將雙變量的轉(zhuǎn)化為關(guān)于單變量的函數(shù)，從而得解.
反思提升：
含參不等式能成立問題(有解問題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決，常見的轉(zhuǎn)化有：
(1) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)min.
(2) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max.
(3) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)min.
(4) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)max.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·河南駐馬店·期中）已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高二下·福建寧德·期末）已知，，若存在，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（21-22高三上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，滿足對任意的，恒成立，則實數(shù)a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（22-23高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記若在上恒成立，則函數(shù)在上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（22-23高三下·全國·階段練習(xí)）已知不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是 ．
9．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)的最大值是 .
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍 ．
四、解答題
11．（23-24高三上·貴州安順·期末）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)方程在有解，求實數(shù)m的范圍.
12．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
參考答案：
1．B
【分析】由題意可得在上恒成立，即在上恒成立．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出在上的最大值即可得答案.
【詳解】解：的定義域為，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
在上恒成立，
即在上恒成立．
令，
，
，
即實數(shù)的取值范圍為．
故選：B
2．B
【分析】先得到的定義域，由題意得到在上有解，參變分離后得到在上有解，利用配方求出，得到實數(shù)的取值范圍.
【詳解】的定義域為，
由題意得在上有解，
即在上有解，
其中，
故，故實數(shù)的取值范圍是.
故選：B
3．A
【分析】由的幾何意義，得函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，可得在內(nèi)恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求.
【詳解】因為的幾何意義，表示點與點連線斜率，
∵實數(shù)，在區(qū)間內(nèi)，不等式恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點連線的斜率大于1，
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，∴在內(nèi)恒成立，
由函數(shù)的定義域知，，所以在內(nèi)恒成立，
由于二次函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù)，
故，∴，
∴．
故選：A.
4．B
【分析】原命題等價于，再求和解不等式即得解.
【詳解】，使得成立，則，
由題得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在（-∞，0）單調(diào)遞增，在（0，+∞）單調(diào)遞減，
所以，
由題得，
∴
故選：B.
5．ABC
【分析】當(dāng)?shù)玫胶愠闪ⅲ纯傻玫剑?dāng)時，恒成立，當(dāng)?shù)玫胶愠闪ⅲ纯傻玫剑瑥亩玫剑俳Y(jié)合選項求解即可.
【詳解】因為函數(shù)，滿足對任意的，恒成立，
當(dāng)時，恒成立，即恒成立，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以.
當(dāng)時，恒成立.
當(dāng)時，恒成立，即恒成立，
設(shè)，，
，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，
所以，所以，
綜上所述：.
故選：ABC
6．ABC
【分析】求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)法求得函數(shù)的最小值，根據(jù)恒成立，由求解.
【詳解】，令，得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以時，函數(shù)取得最小值，
因為恒成立，
所以恒成立，且，
可得實數(shù)的所有可能取值1，2，3，
故選：ABC.
7．ABC
【分析】根據(jù)凸函數(shù)的定義，求出函數(shù)的二階導(dǎo)函數(shù)，分別判斷即可．
【詳解】對于對于，，，
當(dāng)時，恒成立，故A為凸函數(shù)；
對于B.對于，，，
當(dāng)時，恒成立，故B為凸函數(shù)；
對于C.對于，，
，
當(dāng)時，，，恒成立，故C為凸函數(shù)；
對于D.對于，，，
當(dāng)時，恒成立，故D不是凸函數(shù)．
故選：．
8．
【分析】由題意將不等式變形為，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可求解.
【詳解】因為，不等式可變形為．
設(shè)，則．
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．
則，所以．故正實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
9．
【分析】依題意，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最小值.
【詳解】不等式對任意恒成立，即對任意恒成立，
設(shè)，，
時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，無最小值，
函數(shù)和函數(shù)在上都單調(diào)遞增，，，不恒成立.
時，恒成立，此時，
時，解得，解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，有最小值，
故，，，
綜上可知，實數(shù)的最大值為.
故答案為：.
10．
【分析】由題意，即，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可.
【詳解】存在，使得可得，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
則，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
11．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，；
(2).
【分析】（1）求導(dǎo)，解不等式求出單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先求出在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，從而得到答案.
【詳解】（1）的定義域為R，
，
當(dāng)時，；時，；
故單調(diào)增區(qū)間為，；
（2）由（1）知，函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∵，，，，
∴，，
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為4，最小值為1，
∴，
∴.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)、直線的點斜式方程進行求解即可；
（2）對不等式進行常變量分離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可.
【詳解】（1） ，
因此，而，
故所求切線方程為，即；
（2）依題意，，故對任意恒成立.
令，則，
令，解得.
故當(dāng)時，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
則當(dāng)時，取到極大值，也是最大值2.
故實數(shù)的取值范圍為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）若，恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
二、多選題
2．（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)為實數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，則與有相同的極值點和極值
B．存在，使與的零點同時為2個
C．當(dāng)時，對恒成立
D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為
三、填空題
3．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
四、解答題
4．（2024·海南海口·二模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍.
參考答案：
1．D
【分析】先確定時的情況，在時，參變分離可得，進而構(gòu)造函數(shù)，求得的最小值即可.
【詳解】當(dāng)，，不等式成立，
當(dāng)時，恒成立，即，
令，則，
令，則，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，所以.
所以實數(shù)的最大值為.
故選：D.
2．AC
【分析】對于A，分別各自求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可判斷；對于B，分別求出與的零點為2個時的范圍，看它們的交集是否為空集即可判斷；對于C，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，對分類討論，只需判斷是否成立即可；對于D，原問題等價于對恒成立，從而即可進一步求解.
【詳解】對于A，當(dāng)時，
，
當(dāng)時，有，此時均單調(diào)遞減，
當(dāng)時，有，此時均單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，均各自取到相應(yīng)的極值，且，
所以當(dāng)時，則與有相同的極值點和極值，故A正確；
，
令，
，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，當(dāng)，，
當(dāng)時，有極大值，，
在同一平面直角坐標系中，畫出直線的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示，
所以方程有兩個根當(dāng)且僅當(dāng)，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)從1的左邊趨于1時，趨于正無窮，當(dāng)從1的右邊趨于1時，趨于負無窮，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
令，則，，當(dāng)時，，
當(dāng)時，有極小值，，
在同一平面直角坐標系中，畫出直線的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示，
方程有兩個根當(dāng)且僅當(dāng)，
綜上所述，不存在，使與的零點同時為2個，故B錯誤；
設(shè)，
，
，
當(dāng)時，顯然，
若，即，在此情況下：
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
，
即在的情況下，對恒成立，
若，即，在此情況下：
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，
所以在的情況下，對恒成立，
綜上所述，當(dāng)時，對恒成立，故C正確；
對于D，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，
這意味著對恒成立，
也就是說對恒成立，即對恒成立，
注意到在上單調(diào)遞減，
所以，也就是說的取值范圍為，故D錯誤.
故選：AC.
3．
【分析】根據(jù)題意得，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值，代入即可得解.
【詳解】由題意，可得，
當(dāng)時，，
由，可得，由，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，
因為，所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
4．(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）求導(dǎo)，分和判斷導(dǎo)數(shù)的正負求得的單調(diào)區(qū)間；
（2）由，轉(zhuǎn)化得恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最大值得解.
【詳解】（1）的定義域為，，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由，得.
設(shè)，則.
令，得，令，得，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取最大值.
所以.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù).
(1)討論的最值；
(2)若，且，求的取值范圍.
2．（23-24高二下·河南鄭州·期中）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，時，求證恒成立；
(2)當(dāng)時，，求整數(shù)的最大值．
3．（廣東省名校教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期5月模擬預(yù)測考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，．
(1)曲線與在處的切線分別是：，，且，求的方程；
(2)已知．
（i）求的取值范圍；
（ii）設(shè)函數(shù)的最大值為，比較與（1）中的的大小．
參考答案：
1．(1)最小值為，無最大值.
(2).
【分析】（1）求得，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求得其最值；
（2）把不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，進而求得的取值范圍.
【詳解】（1）.解：因為的定義域為，可得.
當(dāng)時，令，可得；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時，取得極小值，也是最小值，且最小值為，無最大值.
（2）解：當(dāng)時，由，可得，
整理得，即，
令，
則，
由（1）知，當(dāng)時，的最小值為，即恒成立，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減.
故當(dāng)時，取得最大值，即，
故的取值范圍為.
【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：
1、合理轉(zhuǎn)化，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較，列出不等式關(guān)系式求解；
2、構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；
3、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．
2．(1)證明見解析
(2)1
【分析】（1）將，代入函數(shù)，求導(dǎo)求最小值即可；
（2）分離參變量，構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性及最值，最終確定的取值范圍，進而得到整數(shù)的最大值.
【詳解】（1）當(dāng)，時，記，則，
因為在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
所以，所以恒成立.
（2）當(dāng)時，，即，
因為，所以只需，
令，，
令，，
在上是增函數(shù)，
，，
根據(jù)零點存在定理，，使得，
即，即，
當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增，
所以，故；
又在上單調(diào)遞增，，所以，
又，所以．所以整數(shù)的最大值是.
【點睛】方法點睛：分離參變量，構(gòu)造函數(shù)，用進行代換，進而簡化函數(shù)求得參數(shù)取值范圍.
3．(1)
(2)（i），（ii）
【分析】（1）分別求導(dǎo)，由已知可得，求解可得，進而可求切線的方程；
（2）設(shè)，求導(dǎo)后令，求得，分類討論可得若，可得程有兩個不相等實根，進而可得的單調(diào)性，可求得的取值范圍；
（3），求導(dǎo)后令，可得，使得，，可得，設(shè)，可得，進而可得，得到，通過構(gòu)造函數(shù)設(shè)，判斷單調(diào)性可得結(jié)論.
【詳解】（1），，，
∵兩切線平行，∴，，即，
∵，，∴．
∴直線與曲線相切于點，斜率為0．
∴的方程為．
（2）（i）設(shè)，則，．
求導(dǎo)可得，
設(shè)，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減．因，所以．
若，則當(dāng)時，，又，∴，不合題意．
若，則，不合題意．
若，則關(guān)于的方程有兩個不相等實根，
設(shè)為，所以，且．
當(dāng)變化時，，變化情況如下表：
1
+ 0 - 0 + 0 -
極大值 極小值 極大值
設(shè)，則，同上可證．
所以，，
所以．
綜上所述，的取值范圍為．
（ii），∴．
設(shè)，則，在單調(diào)遞減．
因為，所以．
若，則，，，所以存在，使得，．
當(dāng)時，，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，，單調(diào)遞減．
是的極大值點，且．
設(shè)，則，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，
即當(dāng)時，，①．
所以，所以，即．
由，得，∴．
設(shè)，則，單調(diào)遞增，
所以．
所以．
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專題18 不等式恒(能)成立問題（新高考專用）
【真題自測】 2
【考點突破】 2
【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍 2
【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍 4
【考點3】雙變量的恒(能)成立問題 5
【分層檢測】 6
【基礎(chǔ)篇】 6
【能力篇】 7
【培優(yōu)篇】 8
一、解答題
1．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍．
2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若恒成立，求a的取值范圍．
3．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當(dāng)時，．
4．（2023·全國·高考真題）（1）證明：當(dāng)時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
6．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
【考點1】分離參數(shù)法求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）若函數(shù)有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
3．（22-23高二下·江蘇南京·期中）已知函數(shù)，，則實數(shù)a的值可能是（ ）
A．-1 B． C．3 D．e
三、填空題
4．（23-24高二上·陜西榆林·期末）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值為 .
四、解答題
5．（23-24高二下·江蘇·期中）設(shè)函數(shù)，．
(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；
(2)在（1）的條件下求的單調(diào)區(qū)間和極小值：
(3)若在上存在增區(qū)間，求的取值范圍．
6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．
反思提升：
分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略
(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
(2)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立 a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
【考點2】分類討論法求參數(shù)范圍
一、單選題
1．（23-24高二下·河北張家口·期中）若函數(shù)在時取得極大值，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C．或 D．
二、多選題
3．（23-24高二下·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則a的值可以為（ ）
A．0 B． C． D．
三、填空題
4．（21-22高二下·遼寧大連·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若存在唯一的正整數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是
四、解答題
5．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求在點處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性，并求出的極小值．
6．（2024·山東泰安·二模）已知函數(shù).
(1)若的極大值為，求的值；
(2)當(dāng)時，若使得，求的取值范圍.
反思提升：
根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.
【考點3】雙變量的恒(能)成立問題
一、單選題
1．（23-24高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2023·湖北武漢·二模）已知直線與函數(shù)的圖象恰有兩個切點，設(shè)滿足條件的所有可能取值中最大的兩個值分別為和，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·廣東廣州·一模）已知直線與曲線相交于不同兩點，，曲線在點處的切線與在點處的切線相交于點，則（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
4．（22-23高三上·安徽六安·期末）已知函數(shù)，，若，，則的最大值為 ．
四、解答題
5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．
(1)若存在零點，求a的取值范圍；
(2)若，為的零點，且，證明：．
6．（2024·四川德陽·二模）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)有兩個極值點，求的最小值.
反思提升：
含參不等式能成立問題(有解問題)可轉(zhuǎn)化為恒成立問題解決，常見的轉(zhuǎn)化有：
(1) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)min.
(2) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)min>g(x)max.
(3) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)min.
(4) x1∈M， x2∈N，f(x1)>g(x2) f(x)max>g(x)max.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高二下·山東棗莊·階段練習(xí)）已知函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·河南駐馬店·期中）已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，，且，若不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
4．（21-22高二下·福建寧德·期末）已知，，若存在，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
5．（21-22高三上·江蘇無錫·期中）已知函數(shù)，滿足對任意的，恒成立，則實數(shù)a的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的可能取值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（22-23高三上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記若在上恒成立，則函數(shù)在上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
8．（22-23高三下·全國·階段練習(xí)）已知不等式對任意恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是 ．
9．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）已知不等式對任意恒成立，則實數(shù)的最大值是 .
10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍 ．
四、解答題
11．（23-24高三上·貴州安順·期末）已知函數(shù)
(1)求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)方程在有解，求實數(shù)m的范圍.
12．（2024·吉林白山·二模）已知函數(shù).
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)若，求實數(shù)的取值范圍.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·四川成都·三模）若，恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．
二、多選題
2．（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)為實數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．當(dāng)時，則與有相同的極值點和極值
B．存在，使與的零點同時為2個
C．當(dāng)時，對恒成立
D．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為
三、填空題
3．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
四、解答題
4．（2024·海南海口·二模）已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若，求的取值范圍.
【培優(yōu)篇】
一、解答題
1．（2024·山東泰安·三模）已知函數(shù).
(1)討論的最值；
(2)若，且，求的取值范圍.
2．（23-24高二下·河南鄭州·期中）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，時，求證恒成立；
(2)當(dāng)時，，求整數(shù)的最大值．
3．（廣東省名校教研聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期5月模擬預(yù)測考試數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，．
(1)曲線與在處的切線分別是：，，且，求的方程；
(2)已知．
（i）求的取值范圍；
（ii）設(shè)函數(shù)的最大值為，比較與（1）中的的大小．
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