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第七章 復(fù)數(shù)
——高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)期末復(fù)習(xí)知識(shí)大盤點(diǎn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)整合
1.復(fù)數(shù)的概念 （1）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件. （2）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，掌握實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)之間的關(guān)系. （3）了解復(fù)數(shù)的幾何意義. （4）理解并掌握共軛復(fù)數(shù)的概念.
2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 （1）掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用. （2）了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義. （3）掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘法與除法運(yùn)算法則. （4）理解復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律.
3.*復(fù)數(shù)的三角表示 （1）通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示. （2）了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系. （3）了解輻角、輻角的主值等概念. （4）了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.
教材習(xí)題變式
【課后習(xí)題】
1.選擇題
（1）復(fù)數(shù)與的積是實(shí)數(shù)的充要條件是( ).
A. B. C. D.
（2）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是( ).
A. B. C. D.
（3）當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
*（4）復(fù)數(shù)的輻角主值是( ).
A.40° B.140° C.220° D.310°
2.填空題
（1）若復(fù)數(shù)z的模為5，虛部為-4，則復(fù)數(shù)________.
（2）已知復(fù)數(shù)，那么________.
（3）復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則表示向量的復(fù)數(shù)為________.
*（4）如果向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)4i，繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°后再把模變?yōu)樵瓉淼谋兜玫较蛄浚敲磁c對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是________（用代數(shù)形式表示）.
3.求證：.
4.已知復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，求z.
5.在復(fù)數(shù)集C中解下列方程：
（1）；
（2）.
6.已知，，，求z.
7.已知，求z及.
8.（1）求，，，，，，，的值；
（2）由（1）推測(cè)的值有什么變化規(guī)律，并把這個(gè)規(guī)律用式子表示出來.
9.已知復(fù)數(shù)，，并且，求的取值范圍.
10.在復(fù)平面的上半平面內(nèi)有一個(gè)菱形OABC，，點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，求另外兩個(gè)頂點(diǎn)B，C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
【變式訓(xùn)練】
11.已知i是虛數(shù)單位，為實(shí)數(shù)，且，則( )
A.2 B.1 C. D.
12.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
13.已知復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A.1 B. C. D.2
14.已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為( )
A.2 B. C.-2 D.
15.已知，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則______.
16.若復(fù)數(shù)z滿足（i是虛數(shù)單位），則__________.
17.設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是.若，，則復(fù)數(shù)_______________.
18.復(fù)數(shù)z滿足，則____________.
答案以及解析
1.答案：（1）A
（2）B
（3）D
（4）D
解析：（1）由題意得是實(shí)數(shù)，所以.
（2）因?yàn)椋云涔曹棌?fù)數(shù)為.
（3）.因?yàn)椋?br/>所以，，即對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.
（4），故輻角主值是310°.
2.答案：（1）或
（2）
（3）
（4）
解析：（1）設(shè)，，，或.
（2），，故.
（3）
（4），
所求復(fù)數(shù)為.
3.答案：見解析
解析：證明：設(shè)，則，
，，
，.
4.答案：
解析：因?yàn)閦是純虛數(shù)，可設(shè)（且），
所以.
因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以解得，所以.
5.答案：（1）
（2）
解析：（1），
方程的根為.
（2）原方程可轉(zhuǎn)化為，
，方程的根為.
即原方程的根為.
6.答案：
解析：因?yàn)椋?br/>所以
，所以.
7.答案：，
解析：設(shè)，則.
，，
即，
則必有.
.
8.答案：（1），，，，，，，.
（2）當(dāng)時(shí)推測(cè)：，，，.
解析：
9.答案：
解析：由得，
由復(fù)數(shù)相等的定義知，必有
得.
.
，
，.故.
10.答案：B，C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，
解析：如答圖，由題意可知，和均為等邊三角形.
又，其中為的輻角.
將繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，120°可得，，則
，
.
又，，，，
，，
，，
B，C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，.
11.答案：A
解析：由題意，得解得.故選A.
12.答案：A
解析：，
復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，
所以點(diǎn)Z在第一象限.
故選：A.
13.答案：B
解析：解法一：由已知得，，即，.
解法二：由已知得，，.
14.答案：C
解析：由題意得，，的虛部為-2.故選C.
15.答案：2
解析：因?yàn)闉榧兲摂?shù)，
所以，解得.
故答案為：2.
16.答案：
解析：因?yàn)椋?br/>所以.
故答案為：.
17.答案：
解析：設(shè)，因?yàn)椋?
又因?yàn)椋裕?所以，即，故.
18.答案：1
解析：，，即，.
重難知識(shí)易混易錯(cuò)
【重難知識(shí)】
1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
（1）復(fù)數(shù)相等：且.
（2）共軛復(fù)數(shù)：與共軛且.
（3）復(fù)數(shù)的模
①概念：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模叫做z的模，記作或，即.
②性質(zhì)：若為復(fù)數(shù)，則.
2.復(fù)數(shù)的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn).
（2）復(fù)數(shù)平面向量.
3. 復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則
設(shè)，則
（1）加法：；
（2）減法：；
（3）乘法：；
（4）除法：.
4.復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律
復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對(duì)任何，有，.
5.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
（1）復(fù)數(shù)加法的幾何意義
若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量不共線，則復(fù)數(shù)是以為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
（2）復(fù)數(shù)減法的幾何意義
復(fù)數(shù)是所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).
6.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律：對(duì)于任意，有交換律：；結(jié)合律：；乘法對(duì)加法的分配律：.
【典型例題】
1.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部為3，，則( )
A. B. C.4 D.
2.設(shè)復(fù)數(shù)z 的共軛復(fù)數(shù)為，， 則復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
3.已知復(fù)數(shù)z滿足，則( )
A.2 B. C. D.
4.（多選）已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則( )
A. B. C. D.
5.若復(fù)數(shù)z滿足，則______.
6.若復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則______.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由題意，設(shè)，，則，所以，又，所以.
2.答案：D
解析：依題意， 復(fù)數(shù)，則，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故選D.
3.答案：B
解析：由題意得，，所以，所以，所以.故選B.
4.答案：ACD
解析：A項(xiàng)，，故A項(xiàng)正確；B項(xiàng)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
C項(xiàng)，，故C項(xiàng)正確；
D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.
5.答案：
解析：由復(fù)數(shù)z滿足可得，
所以，故答案為：.
6.答案：
解析：由，得，
所以，則，
所以.故答案為：.
核心素養(yǎng)對(duì)接高考
【核心素養(yǎng)】
復(fù)數(shù)是高考的必考內(nèi)容，主要考查復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，一般出現(xiàn)在選擇題的前三題中，比較簡(jiǎn)單，屬于送分題，分值5分，復(fù)習(xí)中應(yīng)重視基本概念的理解，把握好基本的四則運(yùn)算.主要考查考生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
【真題對(duì)接】
1.【2023年新課標(biāo)Ⅰ卷】已知，則( )
A. B.i C.0 D.1
2.【2023年新課標(biāo)Ⅱ卷】在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.【2022年新高考Ⅰ卷】若，則( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4.【2022年新高考Ⅱ卷】( )
A. B. C. D.
5.【2021年新高考Ⅰ卷】已知，則( )
A. B. C. D.
6.【2021年新高考Ⅱ卷】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案以及解析
1.答案：A
解析：因?yàn)椋裕?故選A.
2.答案：A
解析：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限，故選A.
3.答案：D
解析：因?yàn)椋裕裕?故選D.
4.答案：D
解析：，故選D.
5.答案：C
解析：本題考查復(fù)數(shù)及共軛復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算.因?yàn)椋?
6.答案：A
解析：，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限，
故選：A.

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