資源簡介

第九章 統計
——高一數學人教A版（2019）必修第二冊期末復習知識大盤點
學習目標整合
1.隨機抽樣 （1）理解簡單隨機抽樣的概念，掌握抽簽法、隨機數法的一般步驟. （2）理解分層隨機抽樣的概念，學會用分層抽樣的方法從總體中抽取樣本. （3）區分簡單隨機抽樣與分層隨機抽樣，并會選擇適當方法進行抽樣. （4）掌握分層隨機抽樣在實際生活中的應用.
2.樣本估計總體 （1）能用樣本估計總體的集中趨勢參數（平均數、中位數、眾數），理解集中趨勢參數的統計含義，能用樣本估計總體的離散程度參數（標準差、方差、極差），理解離散程度參數的統計含義. （2）能用樣本估計總體的取值規律. （3）能用樣本估計百分位數，理解百分位數的統計含義.
教材習題變式
【課后習題】
1.為了了解某地參加計算機水平測試的5000名學生的成績，從中抽取了200名學生進行調查分析.在這個問題中，被抽取的200名學生是( ).
A.總體 B.個體 C.樣本 D.樣本量
2.四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數.根據四名同學的統計結果，可以判斷出一定沒有出現點數6的是( ).
A.平均數為3，中位數為2 B.中位數為3，眾數為2
C.平均數為2，方差為2.4 D.中位數為3，方差為2.8
3.如果一組數據的中位數比平均數小很多，下面哪種敘述一定是錯誤的？為什么？
（1）數據中可能有異常值；
（2）這組數據是近似對稱的；
（3）數據中可能有極端大的值；
（4）數據中眾數可能和中位數相同.
4.（1）在已分組的若干數據中，每組的頻數是指_______，每組的頻率是指_______.
（2）一個公司共有N名員工，下設一些部門，要采用等比例分層隨機抽樣的方法從全體員工中抽取樣本量為n的樣本.如果某部門有m名員工，那么從該部門抽取的員工人數是_______.
5.一家著名的全國性連鎖服裝店進行了一項關于當年秋季服裝流行色的民意調查.調查者通過向顧客發放飲料，并讓顧客通過挑選飲料杯上印著的顏色來對自己喜歡的服裝顏色“投票”.根據這次調查結果，在某大城市A，服裝顏色的眾數是紅色，而當年全國服裝協會發布的調查結果是咖啡色.
（1）這個結果是否代表A城市的人的看法？
（2）你認為這兩種調查的差異是由什么引起的？
6.在一個文藝比賽中，12名專業人士和12名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打分.下面是兩組評委對同一名選手的打分：
小組A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45
小組B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47
（1）選擇一個可以度量每一組評委打分相似性的量，并對每組評委的打分計算度量值.
（2）你能據此判斷小組A和小組B中哪一個更像是由專業人士組成的嗎？
7.一名學生通過計步儀器，記錄了自己100天每天走的步數，數據如下：
5678 13039 8666 9521 8722 10575 2107 4165
17073 11205 5467 11736 9986 8592 6542 12386
13115 5705 8358 13234 20142 9769 10426 12802
16722 8587 9266 8635 2455 4524 8260 13165
9812 9533 2377 5132 8212 7968 9859 3961
5484 11344 8722 12944 8597 12594 15101 4751
11130 11286 8897 7192 7313 8790 7699 10892
9583 9207 16358 10182 3607 1789 9417 4566
12347 3228 7606 8689 8755 15609 8767 9226
5622 11094 8865 11246 17417 7995 7317 6878
4270 11051 5705 5442 10078 9107 8354 6483
16808 1509 1301 10843 13864 12691 8419 14267
9809 9858 8922 12682
（1）畫出這組數據的頻率分布直方圖，并分析數據的分布特點；
（2）計算這組數據的平均數、中位數和標準差，并根據這些數值描述這名學生的運動情況.
8.一家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去30天蘋果的日銷售量（單位：kg），結果如下：
83，96，107，91，70，75，94，80，80，100，
75，99，117，89，74，94，84，85，101，87，
93，85，107，99，55，97，86，84，85，104
（1）請計算該水果店過去30天蘋果日銷售量的中位數、平均數、極差和標準差.
（2）一次進貨太多，水果會變得不新鮮；進貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能80%地滿足顧客的需求（在100天中，大約有80天可以滿足顧客的需求）.請問，每天應該進多少千克蘋果？
9.一家保險公司決定對推銷員實行目標管理，即給推銷員確定一個具體的銷售目標.確定的銷售目標是否合適，直接影響到公司的經濟效益.如果目標定得過高，多數推銷員完不成任務，會使推銷員失去信心：如果目標定得太低，將不利于挖掘推銷員的工作潛力.下面一組數據是部分推銷員的月銷售額（單位：千元）：
19.58 16.11 16.45 20.45 20.24 21.66 22.45 18.22 12.34
19.35 20.55 17.45 18.78 17.96 19.91 18.12 14.65 14.78
16.78 18.78 18.29 18.51 17.86 19.58 19.21 18.55 16.34
15.54 17.55 14.89 18.94 17.43 17.14 18.02 19.98 17.88
17.32 19.35 15.45 19.58 13.45 21.34 14.00 18.42 23.00
17.52 18.51 17.16 24.56 25.14
請根據這組樣本數據提出使65%的職工能夠完成銷售指標的建議.
10.為了解某市家庭用電量的情況，該市統計局調查了200戶居民去年一年的月均用電量（單位：kW·h），數據從小到大排序如下：
8 18 22 31 42 48 49 50 51 56 57 57 60 61 61
61 62 62 63 63 65 66 67 69 70 70 71 72 72 74
76 77 77 78 78 80 80 82 82 82 83 84 84 88 88
89 90 91 93 93 94 95 96 96 96 97 98 98 98 99
100 100 100 101 101 101 105 106 106 106 107
107 107 107 108 108 109 109 110 110 110 111
112 113 113 114 115 116 118 120 120 120 121
123 124 127 127 127 130 130 130 131 131 132
132 132 133 133 134 134 134 135 135 135 135
136 137 137 138 139 139 140 141 142 144 146
146 147 148 149 151 152 154 156 159 160 162
163 163 164 165 167 169 170 170 172 174 174
177 178 178 180 182 182 187 189 191 191 192
194 194 200 201 201 202 203 203 206 208 212
213 214 216 223 224 237 247 250 250 251 253
254 258 260 265 274 274 283 288 289 304 319
320 324 339 462 498 530 542 626
為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，使75%的居民繳費在第一檔，20%的居民繳費在第二檔，其余5%的居民繳費在第三檔.請確定各檔的范圍.
【變式訓練】
11.為了調查某地區不同年齡、不同職級的教師工資情況，研究人員在A學校進行抽樣調查，則比較合適的抽樣方法為( )
A.簡單隨機抽樣 B.隨機數法
C.分層隨機抽樣 D.不能確定
12.為了大致了解某公司員工的身高情況，決定從50名員工（已編號為00~49）中選取10名進行測量.如果利用隨機數法進行抽取，得到如下4組編號，則符合要求的編號是( )
A.26，94，29，27，43，99，55，19，81，06
B.20，26，31，40，24，36，19，34，03，48
C.02，38，22，41，38，24，49，44，03，11
D.04，00，45，32，44，22，04，11，08，49
13.某地區有大型商場x個，中型商場y個，小型商場z個，且.為了掌握該地區商場的營業情況，采用分層隨機抽樣（樣本量按比例分配）的方法抽取一個容量為45的樣本，則抽取的中型商場的個數為( )
A.3 B.6 C.12 D.27
14.某工廠生產甲、乙、丙三種型號的產品，產品數量之比為，現按型號用分層隨機抽樣的方法隨機抽取容量為n的樣本.若抽到24件乙型號產品，則n等于( )
A.80 B.70 C.60 D.50
15.甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽，四人的平均成績和方差如下表所示：
甲 乙 丙 丁
平均環數 8.6 8.9 8.9 8.2
方差 3.5 3.5 2.1 5.6
從這四個人中選擇一人參加奧運會射擊項目比賽，最佳人選是( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
16.為了更好地支持“中小型企業”的發展，某市決定對部分企業的稅收進行適當的減免，某機構調查了當地的中小型企業年收入情況，并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個結論：
①樣本數據落在區間的頻率為0.45；
②如果規定年收入在500萬元以內的企業才能享受減免稅政策，估計有的當地中小型企業能享受到減免稅政策；
③估計樣本的中位數為480萬元.
其中正確結論的個數為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
17.為了了解某校九年級1600名學生的體能情況，隨機抽查了部分學生，測試1分鐘仰臥起坐的成績（次數），將數據整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.根據統計圖的數據，下列結論錯誤的是( )
A.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數的中位數為26.25次
B.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數的眾數為27.5次
C.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數超過30次的人數約為320
D.該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數少于20次的人數約為32
18.已知甲、乙兩組按順序排列的數據:
甲組:27，28，37，m，40，50;
乙組:24，n，34，43，48，52.
若這兩組數據的第30百分位數、第50百分位數分別對應相等，則等于( )
A. B. C. D.
19.10名工人某天生產同一零件，生產的件數是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，設其平均數為a，中位數為b，眾數為c，則有( )
A. B. C. D.
20.已知在一次射擊預選賽中，甲、乙兩人各射擊10次，兩人成績的條形統計圖如圖所示，則下列四個選項中判斷不正確的是( )
A.甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數 B.甲的成績的中位數小于乙的成績的中位數 C.甲的成績的方差大于乙的成績的方差 D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差
21.用分層隨機抽樣的方法對某品牌暖風機同一批次的甲、乙兩種型號的產品進行抽查.已知樣本量為80，其中有50件甲型產品.若乙型號產品的總數為2100，則該批次產品的總數為_______.
22.若，，…，平均數、方差分別是2和1，，則，，…，的平均數為_______________，方差為______________.
23.某市舉行“中學生詩詞大賽”，某校有1000名學生參加了比賽，從中抽取100名學生，統計他們的成績（單位：分），并進行適當的分組（每組為左閉右開的區間），得到的頻率分布直方圖如圖所示，則估計該校學生成績的分位數為______.
24.為了解中學生課外閱讀情況，現從某中學隨機抽取200名學生，收集了他們一年內的課外閱讀量（單位：本）等數據，以下是根據數據繪制的統計圖表的一部分.
性別 男 7 31 25 30 4
女 8 29 26 32 8
學段 初中 25 36 44 11
高中
下面有四個推斷：
①這200名學生閱讀量的平均數可能是26本；
②這200名學生閱讀量的分位數在區間內；
③這200名學生的初中生閱讀量的中位數一定在區間內；
④這200名學生中的初中生閱讀量的分位數可能在區間內.
所有合理推斷的序號是________.
25.某學校隨機抽取部分新生調查其上學所需時間（單位：min），并將所得數據繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中上學所需時間的范圍是，樣本數據分組為，，，，.
（1）求頻率分布直方圖中x的值；
（2）假設上學所需時間不少于1 h的學生可申請在學校住宿，若該學校有600名新生，請估計新生中有多少名學生可以申請住宿；
（3）由頻率分布直方圖估計該校新生上學所需時間的平均值.
26.我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了鼓勵居民節約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理的居民每戶月用水量標準x(噸)，用水量不超過x的部分按平價收費，超過x的部分按議價收費.為了了解全市居民每戶月均用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了100戶居民某年的月均用水量(單位：噸)，將數據按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)求頻率分布直方圖中a的值；
(2)已知該市有80萬戶居民，估計全市居民中每戶月均用水量不低于3噸的戶數，并說明理由；
(3)若該市改府希望使85%的居民每戶每月的用水量不超過標準x(噸)，估計x的值，并說明理由.
答案以及解析
1.答案：C
解析：
2.答案：C
解析：若平均數為2，且出現6點，則方差.
因而答案選C.
3.答案：（2）是錯誤的，原因見解析
解析：數據近似對稱時，中位數與平均數差不多大，因而（2）是錯誤的.
4.答案：（1）每組的數據個數；該組的頻數除以全體數據總數
（2）
解析：見解析
5.答案：（1）這個結果只能說明A城市中光顧這家服裝連鎖店的人比其他人較少傾向于選擇伽啡色.因為光顧連鎖店的人不能代表A城市其他人群的想法.
（2）這兩種調查的差異是由樣本的代表性所引起的.因為A城市的調查結果來自該城市光顧這家服裝連鎖店的人群，這個樣本不能很好地代表全國民眾的觀點.
解析：
6.答案：（1）樣本標準差，A組的樣本標準差3.730，B組的樣本標準差11.789
（2）A組
解析：（1）可以用樣本標準差作為度量每一組評委打分相似性的量，樣本標準差越小，相似程度越高A組的樣本標準差，B組的樣本標準差為.
（2）由于專業人士給分更符合專業規則，相似程度更高，因此A組更像是由專業人士組成的.
7.答案：（1）這組數據的頻率分布直方圖如下.
由直方圖可知數據有72%分布在內.
（2）這組數據的平均數為9170.48.中位數為8909.5.
標準差為2756.40449.
這名學生的運動狀況是每天大約走9000步.
解析：
8.答案：（1）中位數為88，平均數為89.2，極差為62，標準差約為12.58
（2）每天應該進99千克蘋果
解析：（1）將數據從小到大排列為
55 70 74 75 75 80 80 83 84 84 85
85 85 86 87 89 91 93 94 94 96 97
99 99 100 101 104 107 107 117
中位數為，平均數為89.2，極差為.
標準差約為12.58.
（2）.數據從小到大排列，第24個數據為99，
每天應該進99千克蘋果.
9.答案：頻率分布表如下：
分組 頻數 頻率 累計頻率
2 0.04 0.04
4 0.08 0.12
3 0.06 0.18
8 0.16 0.34
13 0.26 0.6
11 0.22 0.82
3 0.06 0.88
3 0.06 0.94
1 0.02 0.96
2 0.04 1
當把指標定為千元)時，約的推銷員經過努力才能完成銷售指標.
10.答案：第一檔用電范圍為，第二檔用電范圍為，第三檔用電范圍為
解析：，，本題數據中，第150個數據為178，第190個數據為289，所以第一檔用電范圍為，第二檔用電范圍為，第三檔用電范圍為.
12.要了解全校學生的體重情況，請你設計一個調查方案，并實施調查，完成一份統計調查分析報告.
答案：略
解析：
11.答案：C
解析：因為調查教師的工資情況需要分年齡和職級，所以使用分層隨機抽樣的方法能夠正確反映不同年齡、不同職級的教師工資情況.故選C.
12.答案：B
解析：觀察選項A中的編號，有不在00~49內的數字，故排除選項A；選項C，D中都有重復的編號，故排除選項C和D.故選B.
13.答案：C
解析：因為該地區有大型商場x個，中型商場y個，小型商場z個，且，所以用分層隨機抽樣進行調查，應抽取中型商場的個數為.故選C.
14.答案：A
解析：因為，所以.故選A.
15.答案：C
解析：因為丙的平均數大且方差小.故選C.
16.答案：D
解析：由，得，
所以數據在區間的頻率為，①正確；
數據在區間的頻率為，②正確；
數據在區間的頻率為0.3，數據在區間的頻率為0.55，
故估計中位數為，③正確.
17.答案：D
解析：由題圖可知，該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數的中位數是次，眾數是27.5次，1分鐘仰臥起坐的次數超過30次的頻率為0.2，所以該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數超過30次的約有320人，故A，B，C正確；1分鐘仰臥起坐的次數少于20次的頻率為0.1，所以該校九年級學生1分鐘仰臥起坐的次數少于20次的約有160人，故D錯誤.
18.答案：B
解析：因為，，
所以第30百分位數為，第50百分位數為，所以，所以，故選B.
19.答案：D
解析：由已知得，，，則.故選D.
20.答案：D
解析：甲的成績的平均數為，乙的成績的平均數為，甲的成績的平均數小于乙的成績的平均數，故A判斷正確;甲的成績的中位數為，乙的成績的中位數為，甲的成績的中位數小于乙的成績的中位數，故B判斷正確；由條形統計圖得甲的成績相對分散，乙的成績相對穩定，甲的成績的方差大于乙的成績的方差，故C判斷正確；甲的成績的極差為，乙的成績的極差為，甲的成績的極差大于乙的成績的極差，故D判斷不正確.
21.答案：5600
解析：由題知抽取的樣本中乙型號產品所占比例為，所以該批次產品的總數為.
22.答案：8；9
解析：因為，所以，，…，的平均數是，方差是.
23.答案：122
解析：根據頻率分布直方圖可知，成績在130分以下的學生所占比例為，成績在110分以下的學生所占比例為，因此分位數一定位于內，由，故可估計該校學生成績的分位數為122.
24.答案：②③④
解析：在②中，，閱讀量在的人數有人，
在的人數有62人，所以這200名學生閱讀量的分位數在區間內，故②正確；
在③中，設在區間內的初中生人數為x，則，，
當時，初中生總人數為人，，
此時區間內有25人，區間內有36人，所以中位數在內，
當時，初中生總人數為人，，
區間內有人，區間內有36人，所以中位數在內，
所以當區間內人數取最小和最大值時，中位數都在內，
所在這200名學生的初中生閱讀量的中位數一定在區間內，故③正確;
在④中，設在區間內的初中生人數為x，則，，
當時，初中生總人數為116人，，
此時區間有25人，區間有36人，所以分位數在內，
當時，初中生總人數為131人，，
區間有人，所以分位數在內，
所以這200名學生中的初中生閱讀量的分位數可能在區間內，故④正確.
25.答案：（1）0.0125（2）72（3）33.6 min
解析：（1）由頻率分布直方圖可得，解得.
（2）新生上學時間不少于1 h的頻率為，
因為，
所以600名新生中約有72名學生可以申請住宿.
（3）由題可知.
故該校新生上學所需時間的平均值約為33.6 min.
26.答案：(1)
(2)月均用水量不低于3噸的戶數為96000
(3)每戶月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每戶每月的用水量不超過標準
解析：(1)由頻率分布直方圖，可得，解得.
(2)由頻率分布直方圖可知，100戶居民每戶月均用水量不低于3噸的頻率為，
由以上樣本頻率分布，可以估計全市80萬戶居民中月均用水量不低于3噸的戶數為.
(3)前6組的頻率之和為，
而前5組的頻率之和為.
由，解得.
因此估計每戶月用水量標準為2.9噸時，85%的居民每戶每月的用水量不超過標準.
重難知識易混易錯
【重難知識】
1.簡單隨機抽樣
（1）定義：一般地，設一個總體含有N（N為正整數）個個體，從中逐個不放回地抽取n（）個個體作為樣本，如果每次抽取時各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.
（2）最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種：隨機數法和抽簽法.
2.分層抽樣
（1）定義：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.
（2）應用范圍：總體是由差異明顯的幾個部分組成的.
（3）分層抽樣的關鍵是根據樣本特征的差異進行分層，實質是等比例抽樣，抽樣比 .
3.頻率分布表與頻率分布直方圖
頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：
（1）求極差，即求一組數據中最大值與最小值的差；
（2）決定組距與組數；
（3）將數據分組；
（4）列頻率分布表，落在各小組內的數據的個數叫做頻數，每小組的頻數與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率，計算各小組的頻率，列出頻率分布表；
（5）畫頻率分布直方圖，依據頻率分布表畫出頻率分布直方圖，其中縱坐標（小長方形的高）表示頻率與組距的比值，其相應組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積，即每個小長方形的面積.
各個小長方形面積的總和等于1.
4.用樣本的數字特征估計總體的數字特征
數字特征 樣本數據 頻率分布直方圖
眾數 出現次數最多的數據 取最高的小長方形底邊中點的橫坐標
中位數 將數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數） 把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分，分界線與x軸交點的橫坐標
平均數 樣本數據的算術平均數 每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和
方差和標準差反映了數據波動程度的大小.
方差：；
標準差：.
5.百分位數
（1）把100個樣本數據按從小到大排序，得到第p個和第p+1個數據分別為.可以發現，區間內的任意一個數，都能把樣本數據分成符合要求的兩部分.一般地，我們取這兩個數的平均數，并稱此數為這組數據的第p百分位數，或p%分位數.
（2）一般地，一組數據的第p百分位數是這樣一個值，它使得這組數據中至少有p%的數據小于或等于這個值，且至少有的數據大于或等于這個值.
（3）四分位數
常用的分位數有第25百分位數，第50百分位數（即中位數），第75百分位數.這三個分位數把一組由小到大排列后的數據分成四等份，因此稱為四分位數.其中第25百分位數也稱為第一四分位數或下四分位數等，第75百分位數也稱為第三四分位數或上四分位數等.
【典型例題】
1.“幸福感指數”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度的指標，常用區間內的一個數來表示，該數越接近10表示滿意度越高.現隨機抽取10位某市居民進行街頭調查，得到他們的幸福感指數為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，則這組數據的80%分位數是( )
A.7.5 B.8 C.8.5 D.9
2.現要完成下列3項抽樣調查：
①從15種疫苗中抽取5種檢測是否合格.
②某中學共有480名教職工，其中一線教師360名，行政人員48名，后勤人員72名.為了解教職工對學校上、下班時間調整方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本.
③在中秋節前，某地食品藥品監督局從某品牌的10盒月餅中隨機抽取3盒進行食品衛生檢查.
較為合理的抽樣方法是( )
A.①③簡單隨機抽樣，②分層隨機抽樣 B.①②簡單隨機抽樣，③分層隨機抽樣
C.②③簡單隨機抽樣，①分層隨機抽樣 D.①簡單隨機抽樣，②③分層隨機抽樣
3.在中秋的促銷活動中，某商場對9月14日9時到14時的銷售額進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，已知12時到14時的銷售額為7萬元，則10時到11時的銷售額為( )
A.1萬元 B.2萬元 C.3萬元 D.4萬元
4.（多選）2019年以來，商務部會同各地區各部門全面貫徹落實穩外貿決策部署，出臺了一系列政策舉措，全力營造法治化、國際化、便利化的營商環境，不斷提高貿易便利化水平，外貿穩規模、提質量、轉動力取得階段性成效，進出口保持穩中提質的發展勢頭.下圖是某省近五年進出口情況統計圖，下列描述正確的是( )
A.這五年，2015年出口額最少
B.這五年，出口總額比進口總額多
C.這五年，出口增速前四年逐年下降
D.這五年，2019年進口增速最快
5.某市四個區共有20000名學生，且四個區的學生人數之比為.現要用分層隨機抽樣（樣本量按比例分配）的方法從所有學生中抽取一個容量為200的樣本，那么在這四個區中，抽取人數最多的與抽取人數最少的人數差是____________.
6.在一次區域統考中，為了了解各學科的成績情況，從所有考生成績中隨機抽出20位考生的成績進行統計分析，其中數學學科的頻率分布直方圖如圖所示，據此估計，在本次考試中數學成績的方差為____________.（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）
答案以及解析
1.答案：C
解析：數據3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，共10個，且，所以80%分位數是8.5.故選C.
2.答案：A
解析：①③中總體數量較少，且個體沒有明顯差別，適合用簡單隨機抽樣；②中總體是由有明顯差異的幾部分組成的，適合用分層隨機抽樣.故選A.
3.答案：C
解析：由題中頻率分布直方圖得：12時到14時的銷售額所占頻率為，10時到11時的銷售額所占頻率為，12時到14時的銷售額為7萬元，10時到11時的銷售額為(萬元).故選C.
4.答案：ABD
解析：對于選項A，觀察題中5個白色條形圖可知，這五年中2015年出口額最少，故A正確；對于選項B，觀察題中五組條形圖可得，2015年出口額比進口額稍低，但2016年至2019年出口額都高于進口額，并且2017年和2018年出口額都明顯高于進口額，故這五年，出口總額比進口總額多，故B正確；對于選項C，觀察題中虛線折線圖可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C錯誤；對于選項D，從題圖可知，實線折線圖2019年是最高的，即2019年進口增速最快，故D正確.故選ABD.
5.答案：20
解析：抽取人數最多的為，
抽取人數最少的為，
則抽取人數最多的與抽取人數最少的人數之差為.
6.答案：110
解析：根據題中頻率分布直方圖，得該組數據的平均數，
方差
.
核心素養對接高考
【核心素養】
隨機抽樣的考查主要是三種抽樣方法，尤其是分層抽樣，一般以選擇題和填空題的形式出現；對用樣本估計總體的考查主要是統計圖表的應用、樣本的數字特征估計總體，單獨命題時以小題形式出現，也常作為解答題的一問或一部分進行考查，注意以社會現實為背景，著重考查頻率分布表、頻率分布直方圖及樣本的數字特征的求解及應用的試題.
【真題對接】
1.【2023年新課標Ⅰ卷】（多選）有一組樣本數據，，…，，其中是最小值，是最大值，則( )
A.，，，的平均數等于，，…，的平均數
B. ，，，的中位數等于，，…，的中位數
C. ，，，的標準差不小于，，…，的標準差
D. ，，，的極差不大于，，…，的極差
2.【2021年新高考Ⅰ卷】（多選）有一組樣本數據，，…，，由這組數據得到新樣本數據，，…，，其中，c為非零常數，則( )
A.兩組樣本數據的樣本平均數相同
B.兩組樣本數據的樣本中位數相同
C.兩組樣本數據的樣本標準差相同
D.兩組樣本數據的樣本極差相同
3.【2021年新高考Ⅱ卷】（多選）下列統計量中，能度量樣本，，…，的離散程度的是( )
A.樣本，，…，的標準差 B.樣本，，…，的中位數
C.樣本，，…，的極差 D.樣本，，…，的平均數
4.【2020年新高考Ⅱ卷】（多選）我國新冠肺炎疫情進入常態化，各地有序推進復工復產，下面是某地連續11天復工復產指數折線圖，下列說法正確的是( )
A. 這11天復工指數和復產指數均逐日增加
B. 這11天期間，復產指數增量大于復工指數的增量
C. 第3天至第11天復工復產指數均超過80%
D. 第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量
5.【2022年新高考Ⅱ卷】在某地區進行流行病調查，隨機調查了100名某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數據頻率分布直方圖.
（1）估計該地區這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；
（2）估計該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率；
（3）已知該地區這種疾病的患病率為0.1%，該地區年齡位于區間的人口占該地區總人口的16%，從該地區中任選一人，若此人的年齡位于區間，求此人患這種疾病的概率（以樣本數據中患者的年齡位于各區間的頻率作為患者的年齡位于該區間的概率，精確到0.0001）.
答案以及解析
1.答案：BD
解析：對于選項A：設，，，的平均數為m，，，…，的平均數為n，則，因為沒有確定，的大小關系，所以無法判斷m，n的大小，例如：1，2，3，4，5，6，可得；例如1，1，1，1，1，7，可得，；
例如1，2，2，2，2，2，可得，；故A錯誤；
對于選項B：不妨設，
可知，，，的中位數等于，，…，的中位數，均為，故B正確；
對于選項C：因為是最小值，是最大值，則，，，的波動性不大于，，…，的波動性，即，，，的標準差不大于，，…，的標準差，
例如：2，4，6，8，10，12，則平均數，標準差，4，6，8，10，則平均數，
標準差，顯然，即；故C錯誤；
對于選項D：不妨設，則，當且僅當，時，等號成立，故D正確；故選BD.
2.答案：CD
解析：本題考查統計知識.因為，所以兩組樣本數據的平均數和中位數發生變化，極差和標準差不發生變化.
3.答案：AC
解析：由標準差的定義可知，標準差考查的是數據的離散程度；
由中位數的定義可知，中位數考查的是數據的集中趨勢；
由極差的定義可知，極差考查的是數據的離散程度；
由平均數的定義可知，平均數考查的是數據的集中趨勢；
故選：AC.
4.答案：CD
解析：由圖可知，第1天到第2天復工指數減少，第7天到第8天復工指數減少，第10天到第11復工指數減少，第8天到第9天復產指數減少，故A錯誤；
由圖可知，第一天的復產指標與復工指標的差大于第11天的復產指標與復工指標的差，所以這11天期間，復產指數增量小于復工指數的增量，故B錯誤；
由圖可知，第3天至第11天復工復產指數均超過80%，故C正確；
由圖可知，第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量，故D正確；
故選：CD.
5.解析：（1）根據頻率分布直方圖，該地區這種疾病患者的平均年齡為
.
故該地區這種疾病患者的平均年齡的估計值為47.9.
（2）法一：根據頻率分布直方圖，該地區這種疾病患者的年齡位于區間的頻率為.
故該地區一位這種疾病患者的年齡位于區間的概率估計值為0.89.
法二：由于患者的年齡位于區間是由患者的年齡位于區間，，，，組成的，且相互獨立，
所以所求概率.
（3）設從該地區任選一人，年齡位于區間為事件A，患這種疾病為事件B，
則，，
由頻率分布直方圖得，
故所求概率為.

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