資源簡介

第八章 立體幾何初步
——高一數學人教A版（2019）必修第二冊期末復習知識大盤點
學習目標整合
1.空間幾何體 （1）認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結構特征，能運用這些特征描述現實生活中簡單物體的結構. （2）掌握球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.
2.空間點、直線、平面之間的位置關系 在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義，了解基本事實和定理.
3.直線、平面平行或垂直的判定及性質 （1）了解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行和垂直關系，歸納出性質定理和判定定理，并加以證明. （2）會解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡單夾角問題. （3）能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題.
教材習題變式
【課后習題】
1.從多面體角度去考察棱柱、棱錐、棱臺，填寫下列表格：
多面體 頂點數V 棱數E 面數F
n棱柱
n棱錐
n棱臺
2.在直四棱柱中，，，，，，.
（1）畫出四棱柱的直觀圖；
（2）將四棱柱補成一個長方體，并說出補上的幾何體的名稱.
3.填空題
（1）正方體的棱長擴大到原來的n倍，則其表面積擴大到原來的______倍，體積擴大到原來的______倍；
（2）球的半徑擴大到原來的n倍，則其表面積擴大到原來的______倍，體積擴大到原來的______倍.
4.如圖，一塊邊長為10cm的正方形鐵片上有四塊陰影部分.將這些陰影部分裁下來，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，把容器的容積V（單位：cm）表示為x（單位：cm）的函數.
5.三個平面可將空間分成幾部分 請分情況說明.
6.已知是三個平面，且，，.
（1）若，求證：a，b，c三線共點.
（2），則a與c，b與c有什么關系 為什么
7.如圖，四邊形是在平面上的投影（），求證：四邊形是平行四邊形.
8.如圖，一塊正方體形木料的上底面有一點E.若經過點E在上底面上畫一條直線與CE垂直，則應該怎樣畫？
9.如圖，在三棱錐中，底面ABC，，D，E分別是AB，PB的中點.求證：
（1）平面PAC；
（2）.
10.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將，，分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點.
（1）求證；
（2）求三棱錐的體積.
11.如圖，在四面體中，平面BCD，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且.
求證：平面BCD.
12.如圖，在正方體中，求證：
（1）平面；
（2）與平面的交點H是的重心.
13.如圖，在三棱錐中，，PA上底面ABC.
（1）求證：平面平面PBC；
（2），M是PB的中點，求AM與平面PBC所成角的正切值.
14.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為正方形，側面PAD是正三角形，側面底面ABCD，M是PD的中點.
（1）求證：平面PCD；
（2）求側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.
15.從直線a，b和平面這三個空間元素中任取兩個，若已知它們與第三個元素有平行或垂直關系，則所取的兩個元素是否也有平行或垂直關系 你能得到哪些結論 寫出一些你認為重要的.如果三個元素分別是直線m、平面和，你能得到哪些結論
16.已知m，n為異面直線，平面，平面.若直線l滿足，，，，則( ).
A.， B.與相交，且交線平行于l
C.， D.與相交，且交線垂直于l
【變式訓練】
17.在正方體中，E是的中點.若，則點B到平面ACE的距離等于( )
A. B. C. D.3
18.如圖，在四棱錐中，側面底面，側面為等邊三角形，底面為正方形，E為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
19.已知a，b為兩條不同直線，為兩個不同的平面，給出以下四個命題：
①若，則；
②，則；
③若a，b是異面直線，，則；
④若，則或a，b是異面直線.
其中假命題的個數是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
20.如圖，在長方體中，，，E，F，M分別為，，的中點，過點M的平面與平面DEF平行，且與長方體的面相交，則交線圍成的平面圖形的面積為( )
A. B. C.12 D.24
21.已知圓錐的底面半徑為2，高為1，經過圓錐頂點的平面α截此圓錐所得的截面面積為，則平面α與底面所成的銳二面角的正切值為( )
A. B.1 C.或 D.或1
22.如圖，在正方體中，E，F，G分別是棱AB，BC，的中點，過E，F，G三點作該正方體的截面，則下列說法錯誤的是( )
A.在平面內存在直線與平面EFG平行
B.在平面內存在直線與平面EFG垂直
C.平面平面EFG
D.直線與EF所成角為45°
23.已知四棱錐SABCD的底面是邊長為2的正方形，平面平面ABCD，，，則四棱錐的外接球的表面積為( ).
A. B. C. D.
24.如圖，在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，.記異面直線與BD所成的角為，則的值為________.
25.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側棱長均為.若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_____________.
26.如圖，在正方形ABCD中，E，F分別為BC，CD的中點，H為EF的中點，沿AE，EF，FA將正方形折起，使B，C，D重合于點O，構成四面體，則在四面體中，下列說法不正確的序號是______________.
①平面EOF；②平面EOF；③；④；⑤平面平面AOF.
27.如圖，三棱錐的所有頂點都在球O的表面上，平面平面BCD，，，，則球O的表面積為_______________.
28.如圖，在正三棱柱中，各棱長均為4，M，N分別是BC，的中點.
（1）求證：平面；
（2）求直線AB與平面所成角的余弦值.
29.如圖，長方體的底面ABCD是正方形，點E在棱上，.
（1）證明：平面；
（2）若，，求四棱錐的體積.
30.如圖，在四棱錐中，底面ABCD為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，
(1)設G，H分別為PB，AC的中點，求證：平面PAD.
(2)求證：平面PCD.
(3)求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：
多面體 頂點數V 棱數E 面數F
n棱柱 2n 3n 2
n棱錐 2n 2
n棱臺 2n 3n 2
解析：
2.答案：（1）四棱柱的直觀圖如圖（1）.
（2）補成的長方體如圖（2），補上的幾何體是三棱柱.
解析：
3.答案：（1）；
（2）；
解析：
4.答案：
解析：由題意，得，，且四邊形ABCD為正方形，
，
.
.
5.答案：三個平面可將空間分成4或6或7或8部分，它們的直觀圖如圖：
解析：
6.答案：（1）見解析
（2），.原因見解析
解析：（1），，，，.
又，，O為與的公共點.
又，，a，b，c三線共點.
（2）解：，，原因如下：
，，，.
，，，.同理可證.
7.答案：見解析
解析：，
與確定平面，與確定平面.
且平面.
又在中，，平面，
平面.
又，平面，平面，
平面平面.
易知平面，平面，.
同理，四邊形是平行四邊形.
8.答案：見解析
解析：如圖，連接.在上底面過點E 直線即可.
因為面，所以，
根據作法知.又因為，
所以平面，所以.
9.答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）D，E分別是AB，PB的中點，.
又平面PAC，平面PAC，平面PAC
（2）底面ABC，底面ABC，.
又，.平面PBC.
平面PBC..
10.答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）折疊前，，，折疊后，，，又，平面，.
（2）由（1）可知，平面，棱錐的高.又折前為，E，F分別為AB，BC的中點，
.
.
11.答案：見解析
解析：在CD上取點E，使，連接QE，
，，
且.
取BD的中點F，連接PF，EF，
P為BM的中點，.
M是AD的中點，..
四邊形PQEF是平行四邊形..
又平面BCD，平面BCD.
平面BCD.
12.答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）如圖所示，連接BD，，則.
平面，
.
又，
平面.
平面，
，同理.
，
平面.
（2）連接，CH，，由，得，因此點H為的外心.
又為正三角形，
點H是的重心.
13.答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）底面ABC，
底面ABC，
.又，即.
，平面PAC.
平面PBC，平面平面PBC.
（2）取PC的中點D，連接AD，DM.
..由（1）知，平面PAC，
又平面PAC，.而，平面PBC.
DM是斜線AM在平面PBC上的射影.
就是AM與平面PBC所成的角，目.
設，則由M是PB中點得，
..
即AM與平面PBC所成角的正切值為.
14.答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）在正方形ABCD中，，
又側面底面ABCD，側面底面.
平面PAD.平面PAD，.
是正三角形，M是PD的中點，.
又，平面PCD.
（2）解：取AD，BC的中點分別為E，F，連接EF，PE，PF.
則，.
又在正中，.
，平面PEF.
正方形ABCD中，，平面PEF.
是側面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角.
由平面PAD，，平面PAD.平面PAD，
.設正方形ABCD的邊長，則，.
，，
即側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值為.
15.答案：見解析
解析：對直線a，b和平面：
①，；
②，；
對直線m、平面和：①，；
②，.
16.答案：B
解析：若，則由平面，平面，可得，
這與m，n是異面直線矛盾，故與相交.
設，過空間內一點P，作，，與相交，與確定的平面為.
因為，所以，，
因為，，所以，，
所以，，所以，
又因為，，所以l與a不重合所.以.
17.答案：B
解析：在正方體中，，E是的中點，則，，，.設點B到平面ACE的距離為h，由，得，解得.故選B.
18.答案：D
解析：如圖，連接，相交于點O.∵四邊形為正方形，為的中點.連接為的中點，，且(或其補角)為異面直線與所成角.由題易知.∵平面平面，平面平面平面.又平面.設，則，∴在中，由余弦定理的推論得，故選D.
19.答案：B
解析：若，則，故①正確；
若，當時，無法得到，故②錯誤；
若a，b是異面直線，，則，故③正確；
若，則或a，b是異面直線，故④正確，故選B.
20.答案：A
解析：如圖，取的中點N，連接MN，AN，AC，CM，，則四邊形MNAC為所求圖形.因為，所以四邊形為平行四邊形，所以.又M，N分別為，的中點，所以，故，且，所以四邊形MNAC為梯形，.過點M作交AC于點P.因為，所以.在中，，所以梯形MNAC的面積為.故選A.
21.答案：D
解析：如圖，設圓錐的頂點為P，底面圓的圓心為O，平面α與圓O的交點分別為，過點P作于點H，連接.由題意可知，平面α截此圓錐所得的截面為等腰三角形，且點H為的中點.設，則在中，，在中，，所以的面積.整理，得，解得或(負值已舍去).因為平面α與底面所成的銳二面角即為，所以或.故選D.
22.答案：D
解析：設BD交AC于點O，EF交BD于點P，連接，PG.因為，，所以.因為平面EFG，平面EFG，所以平面EFG.又平面，故A正確.連接，.因為平面，所以.又，所以.因為平面，所以.又，，所以平面，所以.又，所以.因為，所以平面EFG.又平面，故B正確.因為，，EG，平面EFG，，平面EFG，所以平面EFG，平面EFG.又因為平面，平面，，所以平面平面EFG，故C正確.因為，為等邊三角形，故直線與AC所成角為60°，即直線與EF所成角為60°，故D不正確.故選D.
23.答案：C
解析：如圖所示，連接AC，BD交于點O，取AD的中點E，連接SE，OE，
因為且，所以，又由平面平面ABCD，可得平面ABCD，所以，則，又，可得外接球的球心為O，半徑，所以四棱雉的外接球的表面積.故選C.
24.答案：
解析：連接，因為在直四棱柱中，底面ABCD是正方形，
所以，
所以是異面直線與BD所成的角(或所成的角的補角)，
設，
所以，
記異面直線與BD所成的角為，
則.
25.答案：
解析：如圖，正四棱錐的底面邊長為，側棱長為，點E，F，G，H分別為線段PA，PB，PC，PD的中點，O為底面中心，，，，故圓柱的高為1.
設EG與OP交于點I，則I為正方形EFGH外接圓的圓心，
，以點O，I為上下底面圓心的圓柱的體積.
26.答案：②
解析：依題意，得，，，平面EOF，故①正確，②錯誤.由①知，平面EOF，又平面EOF，，故③正確.由①可得.又，，平面AOF.又平面AOF，，故④正確.由④及平面AOE，得平面平面AOF，故⑤正確.故答案為②.
27.答案：
解析：如圖，取AB中點O，連接OD.在中，由，，，得，則.又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，則.在中，，，，則.，平面ACD，得.則O為三棱錐的外接球的球心，則外接球的半徑，球O的表面積為.故答案為.
28.答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）因為，且M為BC的中點，所以.在正三棱柱中，平面平面ABC，平面ABC，且平面平面，所以平面.
因為平面，所以.
因為M，N分別為BC，的中點，所以.
又因為，，所以，所以，，
所以，所以.
又因為平面，平面，，
所以平面.
（2）設，連接AO.由（1）可知平面，所以為AB與平面所成的角.連接AN，由題可知，
所以為等腰三角形，作于E，則E為AB的中點，所以，所以.在中，，所以，
所以直線AB與平面所成角的余弦值為.
29.答案：（1）見解析
（2）四棱錐的體積為18
解析：（1）由已知得平面，平面，故.
又，所以平面.
（2）由（1）知.由題設知，所以，故，.
作，垂足為F，則平面，且.
所以，四棱錐的體積.
30.答案：(1)見解析.
(2)見解析.
(3)正弦值為.
解析：(1)連接BD，易知，
又由，故，
又因為平面平面PAD，
所以平面PAD.
(2)取棱PC的中點N，連接DN，依題意，得，
又因為平面平面PCD，平面平面，
所以平面PAC，
又平面PAC，故，
又因為，
所以平面PCD.
(3)連接AN，由(2)中平面PAC，可知為直線AD與平面PAC所成的角.
因為為等邊三角形，且N為PC的中點，
所以，又，
在中，，
所以直線AD與平面PAC所成角的正弦值為.
重難知識易混易錯
【重難知識】
1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.一般地，表面積=側面積+底面積.
多面體 側面展開圖 面積公式
棱柱 （如三棱柱）
棱錐 （如三棱錐）
棱臺 （如三棱臺）
2.圓柱、圓錐、圓臺的表面積
旋轉體 側面展開圖 面積公式
圓柱 底面積： 側面積： 表面積：
圓錐 底面積： 側面積： 表面積：
圓臺 上底面面積： 下底面面積： 側面積： 表面積：
3.柱體、錐體、臺體的體積
幾何體 體積公式
柱體 （為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）
錐體 （為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）
臺體 （分別為上、下底面面積，為高）， （分別為上、下底面半徑，為高）
4.球的表面積和體積
（1）球的表面積：設球的半徑為，則球的表面積為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍.
（2）球的體積：設球的半徑為，則球的體積為.
5.直線與直線平行：
基本事實4 平行于同一條直線的兩條直線平行.這一性質叫做空間平行線的傳遞性.
6.等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
7.直線與平面平行的判定定理
自然語言 圖形語言 符號語言
如果平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，那么該直線與此平面平行. ，，且.
該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.
8.直線與平面平行的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行. ，，.
該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.
9.平面與平面平行的判定定理
自然語言 圖形語言 符號語言
如果一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行. ，，，，
該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.
10.平面與平面平行的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行. ，，.
該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.
11.異面直線所成的角：
（1）定義：已知兩條異面直線，經過空間任一點分別作直線，我們把與所成的角叫做異面直線與所成的角（或夾角）.
（2）異面直線所成的角的取值范圍：.
（3）兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即時，與互相垂直，記作.
12.直線與平面垂直的概念
定義 如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作， 直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.它們唯一的公共點叫做垂足.
畫法圖示 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示
點到面的距離 線到面的距離 兩面間的距離 過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條. 過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離. 一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離. 如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的任意一點到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離.
13.直線與平面垂直的判定定理
自然語言 圖形語言 符號語言
如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直. ，，，， .
該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.
14.直線和平面所成的角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，圖中直線.
斜足 斜線和平面的交點，圖中點.
射影 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影.
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角； 規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角； 一條直線和平面平行或在平面內，它們所成的角是的角.
取值范圍
15.直線與平面垂直的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
垂直于同一個平面的兩條直線平行. ，
16.二面角的概念
概念 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.
圖示
記法 棱為，面分別為的二面角記為. 也可在內（棱以外的半平面部分）分別取點，記作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線和，則這兩條射線構成的角叫做這個二面角的平面角.
圖示
符號 ，，，，，，是二面角的平面角.
范圍
規定 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
17.平面與平面垂直
（1）定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面與平面垂直，記作.如圖
（2）判定定理：
自然語言 圖形語言 符號語言
如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直. ，.
該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.
18.平面與平面垂直的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直. ，，，.
該定理可簡記為“若面面垂直，則線面垂直”.
【典型例題】
1.如圖所示，觀察下面四個幾何體，其中判斷正確的是( )
A.（1）是圓臺 B.（2）是圓臺 C.（3）是圓錐 D.（4）是圓臺
2.如圖，的斜二側直觀圖為等腰直角三角形，其中，則的面積為( )
A.2 B.4 C. D.
3.如圖所示的糧倉可近似為一個圓錐和圓臺的組合體，且圓錐的底面圓與圓臺的較大底面圓重合.已知圓臺的較小底面圓的半徑為1，圓錐與圓臺的高分別為和3，則此組合體的外接球的表面積是( )
A. B. C. D.
4.（多選）將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，下列四個結論中正確的是( )
A.
B.是等邊二角形
C.直線AB與平面BCD所成的角是60°
D.AB與CD所成的角為60°
5.如圖，在正方體中，M，N分別為棱，的中點，有以下四個結論：
①直線AM與是相交直線；
②直線AM與BN是平行直線；
③直線BN與是異面直線；
④直線AM與是異面直線.
其中正確的結論為_______________.
6.如圖，E是棱長為1的正方體的棱上的一點，且平面，則線段CE的長度為________________.
答案以及解析
1.答案：C
解析：圖（1）不是由圓錐截得的，所以（1）不是圓臺；圖（2）上、下兩個面不平行，所以（2）不是圓臺；圖（4）不是由圓錐截得的，所以（4）不是圓臺；很明顯（3）是圓錐.故選C.
2.答案：D
解析：是一平面圖形的直觀圖，直角邊長為2，的面積是.因為平面圖形與直觀圖的面積的比為，原平面圖形的面積是.故選D.
3.答案：B
解析：設外接球半徑為R，球心為O，圓臺較小底面圓的圓心為，則，而，故，解得，所以外接球的表面積.故選B.
4.答案：ABD
解析：設正方形的邊長為1，取BD的中點O，連接OA，CO，可得，，，平面AOC.平面AOC，，A正確.正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，即平面平面BCD.，平面平面，平面ABD，同理平面BCD，.在中，，，故為等邊三角形，故B正確.平面BCD，為直線AB與平面BCD所成的角，而，故C錯誤.過點D作且，連接CE，OE，則或其補角為AB與CD所成的角.在中，，，，由余弦定理得.易知平面ABD，平面ABD，.在中，.又，由余弦定理得，，即AB與CD所成的角為60°，故D正確.故選ABD.
5.答案：③④
解析：因為A，M，三點共面，且在平面內，但，平面，所以直線AM與是異面直線，同理，AM與BN也是異面直線，AM與也是異面直線，①②錯，④正確；M，B，三點共面，且在平面內，，平面，因此直線BN與是異面直線，③正確.
6.答案：
解析：如圖，連接交于點O，連接EO，則O為的中點.因為平面，平面，平面平面，所以，故E為的中點，所以.在中，.故答案為.
核心素養對接高考
【核心素養】
空間幾何體在高考中的命題重點包括空間幾何體的體積和表面積的計算以及與球有關的切、接問題，題型以選擇題和填空題為主.在習備考的過程中，既要訓練常規題型，還要明晰高考命題新導向，如數學應用題、數學文化題以及多選題和雙空題，做到復習全面高效.
空間點、直線、平面之間的位置關系是立體幾何的基礎，主要以選擇題、填空題的形式出現，命題熱點：（1）平面的基本性質及應用；（2）空間線線、線面位置關系的判斷；（3）求異面直線所成的角.要注意對新題型多選題的訓練.
直線、平面平行或垂直的判定及性質是高考命題的熱點，主要考查直線與平面以及平面與平面平行或垂直的判定定理和性質定理，題型既有選擇題，也有解答題，在解答題中常在第（1）問設置線、面平行、垂直關系的證明或用線、面垂直的性質定理證明線線垂直等，要特別注意應用判定定理與性質定理時條件的完整，這是對解答題的解題規范的基本要求.
【真題對接】
1.【2022年新高考Ⅰ卷】南水北調工程緩解了北方一些地區水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時，相應水面的面積為；水位為海拔時，相應水面的面積為，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時，增加的水量約為( )
A. B. C. D.
2.【2022年新高考Ⅰ卷】已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上，若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.【2022年新高考Ⅱ卷】已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為( )
A. B. C. D.
4.【2021年新高考Ⅰ卷】已知圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為( )
A.2 B. C.4 D.
5.【2021年新高考Ⅱ卷】正四棱臺的上 下底面的邊長分別為2，4，側棱長為2，則其體積為( )
A. B. C. D.
6.【2023年新課標Ⅰ卷】（多選）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內的有( )
A.直徑為的球體
B.所有棱長均為的四面體
C.底面直徑為，高為的圓柱體
D.底面直徑為，高為的圓柱體
7.【2023年新課標Ⅱ卷】（多選）已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為，則( )
A.該圓錐的體積為 B.該圓錐的側面積為
C. D.的面積為
8.【2022年新高考Ⅰ卷】（多選）已知正方體，則( )
A.直線與所成的角為
B.直線與所成的角為
C.直線與平面所成的角為
D.直線與平面ABCD所成的角為
9.【2022年新高考Ⅱ卷】（多選）如圖，四邊形ABCD為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則( )
A. B. C. D.
10.【2021年新高考Ⅰ卷】（多選）在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則( )
A.當時，的周長為定值.
B.當時，三棱錐的體積為定值
C.當時，有且僅有一個點P，使得
D.當時，有且僅有一個點P，使得平面
11.【2023年新課標Ⅱ卷】底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為____________.
12.【2023年新課標Ⅰ卷】在正四棱臺中，，，，則該棱臺的體積為___________.
13.【2023年新課標Ⅰ卷】如圖，在正四棱柱中，，.點，，，分別在棱，，，上，，，.
(1)證明：；
(2)點P在棱上，當二面角為時，求.
14.【2023年新課標Ⅱ卷】如圖，三棱錐中，，，，E為BC中點.
(1)證明：；
(2)點F滿足，求二面角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：如圖，依題意可知棱臺的高，所以增加的水量即為棱臺的體積V.棱臺上底面積，下底面積，.故選C.
2.答案：C
解析：通解：如圖，設該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長為a，高為h，
依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，所以正四棱錐的體積，所以，令，得，所以當時，；當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，又當時，；當時，；當時，；所以該正四棱錐的體積的取值范圍是.故選C.
光速解：如圖，設該球的球心為O，半徑為R，正四棱錐的底邊長為a，高為h，
依題意，得，解得.由題意及圖可得，解得，又，所以該正四棱錐的體積（當且僅當，即時取等號），所以正四棱錐的體積的最大值為，排除A，B，D，故選C.
優美解：如圖，設該球的半徑為R，球心為O，正四棱錐的底邊長為a，高為h，正四棱錐的側棱與高所成的角為，
依題意，得，解得，所以正四棱錐的底邊長，高.在中，作，垂足為E，則可得，所以，（另解：也可以利用余弦定理，得）所以正四棱錐的體積，設，易得，則，則，令，得，所以當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減.又當時，；當時，；當時，；所以，所以.所以該正四棱錐的體積的取值范圍是，故選C.
3.答案：A
解析：由題意，得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為，.設該正三棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為，，外接球的球心為O，則球心O在直線上，由于球心位置不能確定，需分球心在線段上和不在線段上兩種情況討論.當球心在線段上時，，解得，不符合題意；當球心不在線段上，即球心在線段的延長線.上時，，解得，所以.綜上，球O的表面積為，故選A.
4.答案：B
解析：設圓錐的底面半徑為r，母線長為l.由題意可得，所以.
5.答案：D
解析：作出圖形，連接該正四棱臺上下底面的中心，如圖，
因為該四棱臺上下底面邊長分別為2，4，側棱長為2，
所以該棱臺的高，
下底面面積，上底面面積，
所以該棱臺的體積.
故選：D.
6.答案：ABD
解析：對于A選項，正方體內切球的直徑為，故A符合題意；
對于B選項，如圖①，正方體內部最大的正四面體棱長為，，故B符合題意；
對于C選項，圓柱底面直徑為，可忽略不計，高為，圓柱可看作長度為的線段.如圖②，正方體的體對角線為，故C不符合題意；對于D選項，圓柱高為，可忽略不計，底面直徑為，圓柱可看作直徑為的圓.如圖③，E，F，G，H，I，J為各棱的中點，六邊形EFGHIJ為正六邊形，其邊長為，其內切圓直徑，，故D符合題意.
7.答案：AC
解析：對于A，依題意，圓錐母線長，，，所以底面圓的半徑，圓錐的體積為，故A正確；對于B，該圓錐的側面積為；故B錯誤；
對于C，如圖，取AC的中點M，連接PM，OM，則，又因為，所以，故為二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正確；
對于D，由選項C可知，，，，所以的面積為，故D錯誤.故選AC.
8.答案：ABD
解析：如圖，連接，在正方體中，，，又，所以平面.因此，，故選項A和B都正確.
連接，設O為與的交點，連接OB，因為平面，所以直線與平面所成的角為.在中，，即，故選項C錯誤.
易知直線與平面ABCD所成的角為，且，故選項D正確.故選ABD.
9.答案：CD
解析：如圖，設，因為平面ABCD，，
則，，連接BD交AC于點M，連接EM，FM，易得，又平面，平面ABCD，.又，，平面，平面BDEF，又，過F作于G，易得四邊形BDGF為矩形，，，，，，，.，，則，則，，，故A，B錯誤，C，D正確.故選CD.
10.答案：BD
解析：（，）.對于A，當時，點P在棱上運動，如圖1所示，此時的周長為，不是定值，故A錯誤；
對于B，當時，點P在棱上運動，如圖2所示，則，為定值，故B正確；
對于C，取BC的中點D，的中點，連接，，則當時，點P在線段上運動，假設，則，即，解得或，所以點P與點D或重合時，，故C錯誤；
方法一：由多選題特征，排除A，C，故選BD.
方法二：對于選項D，四邊形為正方形，所以，設與交于點K，連接PK，要使平面，需，所以點P只能是棱的中點，故D正確.綜上，選BD.
方法三：對于D，分別取，的中點E，F，連接EF，則當時，點P在線段EF上運動，以點為原點，以，的方向分別為y，z軸的正方向，建立如圖3所示的空間直角坐標系，則，，，，所以，.若平面，則，所以，解得，所以只存在一個點P，使得平面，此時點P與F重合，故D正確.綜上，選BD.
11.答案：28
解析：方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以原正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.
方法二：由方法一可知，棱臺的體積為.故答案為28.
12.答案：
解析：如圖，連接AC，BD交于點O，連接，交于點，連接，過點作于點H，則為正四棱臺的高.
在等腰梯形中，，，則，，所以.又，所以，所以，所以正四棱臺的體積為.
13.解析：(1)法一：依題意，得，
所以.
法二：以點C為坐標原點，，，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
所以，，
所以，所以.
(2)建立空間直角坐標系，建系方法同(1)中解法二，設，則，
所以，，
設平面的法向量為，
所以，則，令，得.
設平面的法向量為，
由(1)解法二知，，，
所以，則，令，得.
所以，
整理得，解得或，
所以或，
所以.
14.解析：(1)如圖，連接DE，AE，
因為，且E為BC的中點，所以.
因為，，，
所以.
可得，故.
因為，，平面ADE，所以平面ADE.
又平面ADE，所以.
(2)由(1)知，，.
不妨設，因為，所以.
由題可知為等腰直角三角形，故.
因為，所以.
在中，，所以.
以E為坐標原點，ED所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EA所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，.
設，因為，所以，可得.
所以.
設平面DAB的法向量為，則，即，
取，則，.
設平面ABF的法向量為，則，即，
得，取，則，.
所以.
記二面角的大小為，則，
故二面角的正弦值為.

展開更多......

收起↑