資源簡介

第六章 平面向量及其應用
——高一數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊期末復習知識大盤點
學習目標整合
1.平面向量的概念 （1）了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義.（2）理解平面向量的幾何表示和基本要素.
2.平面向量的運算 （1）掌握平面向量加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義.（2）掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義，理解兩個平面向量共線的含義.（3）了解平面向量的線性運算性質及其幾何意義.
3.平面向量的數(shù)量積 （1）理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數(shù)量積.（2）了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義.（3）會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.
4.平面向量的基本定理及坐標運算 （1）理解平面向量的基本定理及其意義.（2）掌握平面向量的正交分解及坐標表示.（3）會用坐標表示平面向量的加、減運算與數(shù)乘運算.（4）能用坐標表示平面向量的數(shù)量積，會表示兩個平面向量的夾角.（5）能用坐標表示平面向量共線、垂直的條件.
5.解三角形 （1）掌握余弦定理、正弦定理.（2）能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題.
教材習題變式
【課后習題】
1.判斷下列命題是否正確（正確的在括號內(nèi)打“√”，錯誤的打“×”）.
（1）.( )
（2）.( )
（3）.( )
（4）.( )
2.選擇題
（1）如果a，b是兩個單位向量，那么下列四個結論中正確的是( ).
A. B. C. D.
（2）對于任意兩個向量a和b，下列命題中正確的是( ).
A.若a，b滿足，且a與b同向，則
B.
C.
D.
（3）在四邊形ABCD中，若，則( ).
A.四邊形ABCD是矩形 B.四邊形ABCD是菱形
C.四邊形ABCD是正方形 D.四邊形ABCD是平行四邊形
（4）設a是非零向量，是非零實數(shù)，下列結論中正確的是( ).
A.a與的方向相反 B.
C.a與的方向相同 D.
（5）設M是的對角線的交點，O為任意一點，則( )
A. B. C. D.
（6）在下列各組向量中，可以作為基底的是( ).
A.， B.，
C.， D.，
3.已知六邊形ABCDEF為正六邊形，且，，分別用a，b表示，，，，，，.
4.已知平面直角坐標系中，點O為原點，，.
（1）求的坐標及的值；
（2）若，，求與的坐標；
（3）求的值.
5.已知點，，.若，則點D的坐標是什么
6.已知向量，，，求滿足的和的值.
7.已知的頂點坐標分別為，，，求，，的值.
8.已知向量，.當為何值時，與a垂直
9.已知向量a與b的夾角為30°，，，求，的值.
10.如圖，支座A受，兩個力的作用，已知與水平線成角，，沿水平方向，，與的合力F的大小為100N，求以及F與的夾角的余弦值.
11.在中，分別根據(jù)下列條件解三角形（角度精確到1′，邊長精確到0.01cm）：
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，.
12.海中有一座小島，周圍3nmile內(nèi)有暗礁.一艘海輪由西向東航行，望見該島在北偏東75°；海輪航行8nmile以后，望見該島在北偏東55°.如果這艘海輪不改變航向繼續(xù)前進，有沒有觸礁的危險
13.選擇題
（1）已知a，b是不共線的向量，且，，，則( ).
A.A，B，D三點共線 B.A，B，C三點共線
C.B，C，D三點共線 D.A，C，D三點共線
（2）已知正方形ABCD的邊長為1，，，，則( ).
A.0 B.3 C. D.
（3）已知，，，，且四邊形ABCD為平行四邊形，則( ).
A. B. C. D.
（4）若，是夾角為60°的兩個單位向量，則與的夾角為( ).
A.30° B.60° C.120° D.150°
（5）已知等邊三角形ABC的邊長為1，，，，那么( ).
A.3 B.-3 C. D.
（6）若平面向量a，b，c兩兩的夾角相等，且，，，則( ).
A.2 B.5 C.2或5 D.或
14.已知a，b，c，d為非零向量，證明下列結論，并解釋其幾何意義.
（1）；
（2）若，，則.
15.已知，向量，，滿足條件，.求證：是等邊三角形.
16.如圖，已知，，任意點M關于點A的對稱點為S，點S關于點B的對稱點為N，用a，b表示向量.（本題可以運用信息技術發(fā)現(xiàn)規(guī)律）
17.一個人騎自行車由A地出發(fā)向東騎行了9km到達B地，然后由B地行了16km到達D地，求這個人由A地到D地的位移（角度精確到1°）.
【變式訓練】
18.在中，設為AC邊的中點，則( )
A. B. C. D.
19.已知向量不共線，若向量與的方向相反，則的值為( )
A.1 B.0 C.-1 D.
20.如圖所示，在四邊形ABCD中，為BC的中點，且，則( )
A. B. C.1 D.2
21.已知作用在點A的三個力，，，且，則合力的終點坐標為( )
A. B. C. D.
22.P是所在平面內(nèi)一點，滿足，則的形狀是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形
23.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，，其面積為，則( )
A. B. C. D.
24.在中，，，，則( )
A. B. C. D.
25.自古以來，人們對于崇山峻嶺都心存敬畏，同時感慨大自然的鬼斧神工，一代詩圣杜甫曾賦詩《望岳》：“岱宗夫如何？齊魯青未了造化鐘神秀，陰陽割昏曉蕩胸生層云，決毗入歸鳥會當凌絕頂，一覽眾山小”然而，隨著技術手段的發(fā)展，山高路遠便不再人們出行的阻礙，偉大領袖毛主席曾作詞：“一橋飛架南北，天塹變通途”在科技騰飛的當下，路橋建設部門仍然潛心研究如何縮短空間距離方便出行，如港珠澳跨海大橋等如圖為某工程隊將A到D修建一條隧道，測量員測得一些數(shù)據(jù)如圖所示(A，B，C，D在同一水平面內(nèi))，則A，D間的距離為( )
A.km B.km C.km D.km
26.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，且，則是( )
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.等腰（非等邊）三角形 D.等腰直角三角形
27.已知向量.若向量與共線，則實數(shù)________.
28.平面向量，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則________.
29.已知在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足，且，則____________.
30.如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得M點的仰角，C點的仰角以及；從C點測得.已知山高，則山高__________m.
31.設是不共線的兩個非零向量.
(1)若，求證：A，B，C三點共線；
(2)若與共線，求實數(shù)k的值；
(3)若，且A，C，D三點共線，求實數(shù)k的值.
32.已知，，，.
（1）當時，求實數(shù)x的值；
（2）當取最小值時，求向量a與c的夾角的余弦值.
33.的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)求B.
(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
34.如圖，在海岸A處，發(fā)現(xiàn)南偏東45°方向距A為海里的B處有一艘走私船，在A處正北方向，距A為海里的C處的緝私船立即奉命以海里/時的速度追截走私船.
(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時，求兩船的距離.
(2)若走私船正以海里/時的速度從B處向南偏東75°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的時間(精確到分鐘，參考數(shù)據(jù)：)
35.已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足.
(1)求角C大小.
(2)若，求的取值范圍.
答案以及解析
1.答案：（1）√
（2）√
（3）×
（4）×
解析：（1）與是相反向量，它們的和為零向量.故正確.
（2）當?shù)谝粋€向量的終點是第二個向量的起點時，這兩個向量的和等于第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量.故正確.
（3）當兩個向量有共同的起點時，那么這兩個向量的差等于減向量的終點指向被減向量的終點的向量.故不正確.
（4）實數(shù)0與任意向量的數(shù)乘結果是零向量，而不是實數(shù)0.故不正確.
2.答案：（1）D
（2）B
（3）D
（4）C
（5）D
（6）B
解析：（1）因為a，b是兩個單位向量，所以，因此，也即，故C項錯誤，D項正確；兩個單位向量盡管長度相等，但方向不一定相同，故A項錯誤；，只有a，b的夾角為0時，才有，故B項錯誤.
（2）A項錯誤，向量不能比較大小；B項正確；C項錯誤，；D項錯誤，.故選B.
（3）是向量加法的平行四邊形法則.
（4）當時，a與的方向相反，當時，a與的方向相同，故A項錯誤；，只有當時，才有，故B項錯誤；因為，所以a與同向，故C項正確；D項錯誤.故選C.
（5）因為，
所以.
（6）兩個不共線的向量可以作為基底.A項中，故不能作為基底；B項中，不共線，可以作為基底；C項中，所以，不能作為基底；D項中，不能作為基底，故選B.
3.答案：，，，，，，
解析：如圖，
設.
因為六邊形ABCDEF為正六邊形，
所以，
且.
又是等腰三角形，
所以，
從而可有，
則，
則，
所以，，同理有，.
所以，
，.
，，
，
，.
4.答案：（1），
（2），
（3）33
解析：（1），.
（2），
.
（3）.
5.答案：
解析：設，由，，知，，
要使，則有解得
所以點D的坐標為.
6.答案：
解析：由，得.即解得
7.答案：，，
解析：由，，可知，，所以，即，所以，，，所以，故，，.
8.答案：
解析：，，.
又與a垂直，，
，即，.
9.答案：，
解析：，
，.
10.答案：，
解析：，
，
即.
，解得.
又，
，即，
，解得.
11.答案：見解析
解析：（1）在中，根據(jù)正弦定理，得，，
（2）在中，根據(jù)正弦定理，得，因為，所以或；
當時，，；
當時，，.
（3）在中，根據(jù)余弦定理，得，根據(jù)正弦定理，得，.
（4）在中，根據(jù)余弦定理的推論，得，即，同理可得，.
12.答案：沒有
解析：設海輪在B處望見小島A在北偏東75°，在C處望見小島A在北偏東55°，從小島A向海輪的航線BC作垂線，垂足為D.設垂線段AD的長度為xnmile，CD為ynmile（如圖），則即，則，解得.所以這艘海輪不改變航向繼續(xù)前進，沒有觸礁的危險.
13.答案：（1）A
（2）D
（3）B
（4）C
（5）D
（6）C
解析：（1），A，B，D三點共線.
（2）因為，所以.
因為，所以.故選D.
（3）易知，，而在平行四邊形ABCD中，，所以，即，也即，故選B.
（4），
，
，
.
設向量a與向量b的夾角為，則.又，所以，故選C.
（5）.
（6）由向量a，b，c兩兩所成的角相等，故向量a，b，c兩兩所成的角都等于0或.當a，b，c兩兩所成的角為時，，，.則，.當a，b，c唡兩所成的角為0時，.故選C.
14.答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）先證.
，
.
因為，所以，于是.
再證.
由，兩邊平方得，
所以，于是.幾何意義是矩形的兩條對角線相等.
（2）先證.
.
又，所以，
所以.
再證，
由得，
即，
所以，
幾何意義是菱形的對角線互相垂直，如圖所示.
15.答案：見解析
解析：由已知，可得，
兩邊平方得，
令，，
，.
同理，.
故是等邊三角形.
16.答案：
解析：連接AB（圖略），由對稱性可知，AB是的中位線，.
17.答案：這個人的位移是沿北偏東約67°方向前進了
解析：以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系如圖.
由題意可得，，，.
，
.
，
，
.
這個人的位移是沿北偏東約67°方向前進了.
18.答案：D
解析：因為為AC邊的中點，所以.
由向量減法的三角形法則可得，，故選D.
19.答案：C
解析：向量與的方向相反，.
由向量共線的性質定理可知，存在一個實數(shù)m，使得，
即.
與不共線，，
可得.
當時，向量與是相等向量，其方向相同，不符合題意，故舍去..
20.答案：C
解析：由題意，得
.
.
與不共線，由平面向量基本定理得
.故選C.
21.答案：A
解析：，設合力f的終點為，O為坐標原點，則.故選A.
22.答案：B
解析：P是所在平面上一點，且，即，
兩邊平方并化簡得，即是直角三角形.故選B.
23.答案：C
解析：設的面積為S，由題意知，即，解得.由余弦定理得，即.由正弦定理可得.故選C.
24.答案：C
解析：方法一：在中，由余弦定理可得，所以，則.又因為，所以，所以.故選C.
方法二：過點B作交AC于點D，則，可得為等腰三角形，且.在中，，所以，所以.故選C.
25.答案：A
解析：本題考查兩角差的余弦公式以及余弦定理的應用.連接AC，設，，則在中，，，，所以，，，所以，所以，所以.故選A.
26.答案：B
解析：，，.根據(jù)余弦定理，得，即，.，.又，，即，化簡可得，即，是等邊三角形.故選B.
27.答案：
解析：因為，所以，故.
28.答案：2
解析：由，得，.與a的夾角等于c與b的夾角，，即，解得.
29.答案：
解析：根據(jù)正弦定理得，即，則，根據(jù)余弦定理得.
30.答案：150
解析：在中，，，，，
在中，，，，
由正弦定理可得，即，解得，
在中，.
故答案為150.
31.答案：(1)見解析
(2)值為
(3)
解析：(1)，
所以.又因為A為公共點，所以A，B，C三點共線.
(2)設，則
解得或
所以實數(shù)k的值為.
(3).
因為A，C，D三點共線，所以與共線.
從而存在實數(shù)使，即，
得解得所以.
32.答案：（1）
（2）
解析：（1），，解得.
（2）.
當時，有最小值1，即有最小值1.
此時，.，設向量a，c的夾角為，
則.
33.答案：(1)
(2)
解析：(1)由題設及正弦定理得.
因為，所以.
由，可得，
故.
因為，故，因此.
(2)由題設及(1)知的面積.
由正弦定理得.
由于為銳角三角形，故，
由(1)知，所以，故，
從而.
因此，面積的取值范圍是.
34.答案：(1)4海里.
(2)南偏東60°方向，需47分鐘才能追上走私船.
解析：(1)在中，因為海里，海里，，
由余弦定理，得(海里).
(2)根據(jù)正弦定理，可得.
所以，易知，
設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，如圖所示.
則有(海里)，(海里).
而，在中，根據(jù)正弦定理，可得，
所以，所以.
在中根據(jù)正弦定理，得，即，
解得小時≈47分鐘.
故緝私船沿南偏東60°方向，需47分鐘才能追上走私船.
35.答案：(1).
(2)取值范圍是.
解析：(1)因為，
所以由正弦定理得，
所以，
因為，所以.
(2)由正弦定理得，
所以
，因為，
所以，
所以，
所以的取值范圍是.
重難知識易混易錯
【重難知識】
1.向量加法的法則：三角形法則和平行四邊形法則.
三角形法則 如圖，已知非零向量a，b，在平面內(nèi)取任意一點A，作，，則向量叫做a與b的和，記作，即.
平行四邊形法則 已知兩個不共線向量a，b，作，，以，為鄰邊作，則對角線上的向量.
2.對于零向量與任意向量a，有.
3.向量加法的運算律：
交換律：；
結合律：.
4.向量形式的三角不等式：，當且僅當方向相同時等號成立.
5.相反向量：
①定義：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a，并且規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量.
②性質：零向量的相反向量仍是零向量；
和互為相反向量，于是；
若互為相反向量，則，，.
6.向量數(shù)乘的定義：規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作：，它的長度與方向規(guī)定如下：①；②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反.當或時，.
7.向量數(shù)乘的運算律：設為任意實數(shù)，則有：
①；
②；
③.
特別地，有；.
8.向量的線性運算：向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量線性運算的結果仍是向量.對于任意向量，以及任意實數(shù)，恒有.
9.向量共線（平行）定理：向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)，使.
10.平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使.
11.基底：若不共線，則把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.
12.平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
13.平面向量的坐標運算：
設向量，則有下表：
運算 文字描述 符號表示
加法 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
減法 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
數(shù)乘 實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標
向量坐標公式 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 已知，則
14.平面向量共線的坐標表示
（1）設，其中共線的充要條件是存在實數(shù)，使.
（2）如果用坐標表示，向量共線的充要條件是.
15.向量的夾角：已知兩個非零向量，如圖，是平面上的任意一點，作，則叫做向量與的夾角.記作.
當時，向量同向；當時，向量垂直，記作；當時，向量反向.
16.平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即.
17.投影向量：如圖，設是兩個非零向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，這種變換稱為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
18.向量數(shù)量積的性質：設是非零向量，它們的夾角是是與方向相同的單位向量，則
（1）；
（2）；
（3）當與同向時，；當與反向時，，特別地，或；
（4）由可得，；
（5）
19.向量數(shù)量積的運算律
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘結合律：；
（3）分配律：.
20.平面向量數(shù)量積的坐標表示：設向量，則.
這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.
21.向量模的坐標表示：
（1）若向量，則；
（2）若點，向量，則.
由此可知，向量的模的坐標運算的實質是平面直角坐標系中兩點間的距離的運算.
22.向量夾角的坐標表示：設都是非零向量，，是與的夾角，則.
23.向量垂直的坐標表示：設向量，則.
24.正弦定理：在中，角的對邊分別為，則.在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
25.正弦定理的常見變形：
（1）（邊角互化）.
（2）.其中，為外接圓的半徑.
（3）（邊化角）.
（4）（角化邊）.
26.余弦定理：在中，角的對邊分別為，則
，，.
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.
27.余弦定理的推論：，，.
28.三角形的面積公式
（1）（為外接圓的半徑）.
（2），其中為的一邊長，而為該邊上的高的長.
（3），其中分別為的內(nèi)切圓半徑及的周長.
（4）海倫公式：，其中.
【典型例題】
1.若非零向量與滿足，且，則為( ).
A.三邊均不相等的三角形 B.直角三角形
C.底邊和腰不相等的等腰三角形 D.等邊三角形
2.已知在中，，，，動點M位于線段BC上，則的最小值為( )
A.0 B. C. D.
3.（多選）已知向量，，則( )
A.若，則 B.若，則
C.若，則 D.若，則a與b的夾角為
4.已知向量，. 若， 則 ________.
5.在中，，.設，且，則當取最小值時，_________.
6.記的三個內(nèi)角分別為A，B，C，其對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，，，已知，.
（1）求的面積；
（2）若，求b.
答案及解析
1.答案：D
解析：由，知，
中，的平分線與邊BC垂直，.
又，.
，，為等邊三角形，故選D.
2.答案：C
解析：在中，易知，所以，且，所以，所以當時，有最小值為.故選C.
3.答案：BC
解析：A項，若，則，即，故A項錯誤；B項，若，則，即，，故B項正確；C項，若，則，所以，故C項正確；D項，，則，，，
，所以a與b的夾角不是，故D項錯誤.
4.答案：-2
解析：因為向量，，，
所以，解得.
5.答案：7
解析：由已知，得點D是AC的中點.設，則由知.以C為原點，分別以CB，CA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，如圖，
則，，，，所以直線BD的方程為.易知點P在直線BD上運動.設，則，，
，所以，所以.故當時，取得最小值，此時，則，.由，得.
6.解析：（1）由，得，
即，
又，所以.
由，得或（舍去），
所以，
則的面積.
（2）由，及正弦定理知
，
即，得.
核心素養(yǎng)對接高考
【核心素養(yǎng)】
平面向量的概念及運算、平面向量基本定理及坐標運算，在高考中的考查突出向量的基本運算與工具性，命題重點為平面向量的線性運算、共線向量定理、平面向量基本定理及平面向量共線的坐標表示，主要以選擇題和填空題的形式呈現(xiàn)，難度較低，要注重掌握向量的數(shù)與形的特征，同時要掌握用坐標法解決向量問題.
平面向量的數(shù)量積及應用是高考命題的熱點，每年必考，主要考查平面向量的數(shù)量積運算，模、夾角問題的求解，平行或垂直問題的求解，有時也會與平面幾何、三角函數(shù)、不等式、解析幾何等內(nèi)容綜合考查，主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中等偏下，要掌握運用數(shù)形結合思想和函數(shù)與方程思想解決有關最值等綜合問題.
解三角形是高考的重點和熱點，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的應用，有時也與三角恒等變換、立體幾何等進行綜合命題，加強解三角形與其他章節(jié)知識的綜合訓練以及解三角形在生活、生產(chǎn)實踐中的應用，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度屬于中低檔.
【真題對接】
1.【2023年新課標Ⅰ卷】已知向量，.若，則( )
A. B. C. D.
2.【2022年新高考Ⅰ卷】在中，點D在邊AB上，.記，，則( )
A. B. C. D.
3.【2022年新高考Ⅱ卷】已知向量，，，若，則( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
4.【2021年新高考Ⅰ卷】（多選）已知O為坐標原點，點，，，，則( )
A. B.
C. D.
5.【2023年新課標Ⅱ卷】已知向量a，b滿足，，則___________.
6.【2021年新高考Ⅱ卷】已知向量，，，則____________.
答案以及解析
1.答案：D
解析：因為，，所以，，因為，所以，所以，整理得.故選D.
2.答案：B
解析：方法一：因為，所以，所以
.
方法二：如圖，利用平行四邊形法則，合成出向量，由圖易知（即向量m）的系數(shù)為負數(shù)，排除A，C，D，故選B.
3.答案：C
解析：，，即，解得，故選C.
4.答案：AC
解析：
選項 正誤 原因
A √ 因為，，所以
B × 因為，，所以，，由于與的關系不確定，所以無法判斷
C √ 因為，，所以
D × 因為，，由于與的關系不確定，所以無法判斷
5.答案：
解析：由，得，即①.由，得，整理得，，結合①，得，整理得，，所以.
6.答案：
解析：由，得，所以，所以，解得.由，得，所以，所以，解得.同理可得，所以.

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