資源簡介

第十章 概率
——高一數學人教A版（2019）必修第二冊期末復習知識大盤點
學習目標整合
1.隨機事件與概率 （1）理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關系，了解隨機事件的并、交與互斥的含義，能結合實例進行隨機事件的并、交運算. （2）理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率. （3）理解概率的性質，掌握隨機事件概率的運算法則.
2.事件的相互獨立性 （1）理解兩個事件相互獨立的概念. （2）能進行一些與事件獨立有關的概率的計算.
3.頻率與概率 （1）會用頻率估計概率. （2）會用隨機模擬方法估計概率
教材習題變式
【課后習題】
1.在一個盒子中有3個球，藍球、紅球、綠球各1個，從中隨機地取出一個球，觀察其顏色后放回，然后再隨機取出1個球.
（1）用適當的符號表示試驗的可能結果，寫出試驗的樣本空間；
（2）用集合表示“第一次取出的是紅球”的事件；
（3）用集合表示“兩次取出的球顏色相同”的事件.
2.如圖是一個古典概型的樣本空間和事件A和B，其中，，，，那么
（1）________，________，________，________.
（2）事件A與B互斥嗎 事件A與B相互獨立嗎？
3.某個制藥廠正在測試一種減肥藥的療效，有500名志愿者服用此藥，結果如下：
體重變化 體重減輕 體重不變 體重增加
人數 276 144 80
如果另有一人服用此藥，估計下列事件發生的概率：
（1）這個人的體重減輕了；
（2）這個人的體重不變；
（3）這個人的體重增加了.
4.某中學有教職工130人，對他們進行年齡狀況和受教育程度的調查，其結果如下：
本科 研究生 合計
35歲以下 50 35 85
35~50歲 20 13 33
50歲以上 10 2 12
從這130名教職工中隨機地抽取一人，求下列事件的概率：
（1）具有本科學歷；
（2）35歲及以上；
（3）35歲以下且具有研究生學歷.
5.一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機地取出2個球.
（1）求第二次取到紅球的概率；
（2）求兩次取到的球顏色相同的概率；
（3）如果是4個紅球，n個綠球，已知取出的2個球都是紅球的概率為，那么n是多少
6.有2個人在一座7層大樓的底層進入電梯，假設每一個人自第二層開始在每一層離開電梯是等可能的.
（1）求這兩個人在不同層離開電梯的概率；
（2）求這兩個人在同一層離開電梯的概率.
7.柜子里有3雙不同的鞋，分別用，，，，，表示6只鞋.如果從中隨機地取出2只，那么
（1）寫出試驗的樣本空間.
（2）求下列事件的概率，并說明它們的關系：
①“取出的鞋不成雙”；
②“取出的鞋都是左腳的”；
③“取出的鞋都是一只腳的”；
④“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”.
8.某高校的入學面試中有3道難度相當的題目，李明答對每道題目的概率都是0.6.若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止.用Y表示答對題目，用N表示沒有答對題目，假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的，那么
（1）在上面的樹狀圖中填寫樣本點，并寫出樣本空間；
（2）求李明第二次答題通過面試的概率；
（3）求李明最終通過面試的概率.
9.有兩個盒子，其中1號盒子中有95個紅球，5個白球；2號盒子中有95個白球，5個紅球.現在從兩個盒子中任意選擇一個，再從中任意摸出一個球.如果摸到的是紅球，你認為選擇的是哪個盒子
做出你的推斷，并說說你的想法.你認為能否做出完全正確的判斷
【變式訓練】
10.袋中裝有標號分別為1，3，5，7的四個相同的小球，從中取出兩個，下列事件不是樣本點的是( )
A.取出的兩球標號為3和7 B.取出的兩球標號的和為4
C.取出的兩球標號都大于3 D.取出的兩球標號的和為8
11.某個地區從某年起幾年內的新生嬰兒數及其中的男嬰數如下表：
時間范圍 1年內 2年內 3年內 4年內
新生嬰兒數 5544 9013 13520 17191
男嬰數 2716 4899 6812 8590
這一地區男嬰出生的概率約是( )。
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
12.某地有A，B，C，D四人先后感染了傳染性肺炎，其中只有A到過疫區，B確定是受A感染的.對于C因為難以判定是受A還是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是.同樣假定D受A，B和C感染的概率都是.在這種假定下，B，C，D中恰有兩人直接受A感染的概率是( )
A. B. C. D.
13.經統計，某儲蓄所一個營業窗口等候的人數及相應的概率如表：
排隊人數 0 1 2 3 4 5人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
則至少3人排隊等候的概率是( )
A.0.44 B.0.56 C.0.86 D.0.14
14.在一次隨機試驗中，三個事件，，的概率分別為0.2，0.3，0.5，則下列說法正確的個數是( )
①與是互斥事件，也是對立事件；
②是必然事件；
③；
④.
A.0 B.1 C.2 D.3
15.從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為( )
A. B. C. D.
16.一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機排成一行.若卡片按從左到右的順序排成“1314”，則孩子會得到父母的獎勵，那么孩子受到獎勵的概率為( )
A. B. C. D.
17.元旦放假，甲去北京旅游的概率為，乙、丙去北京旅游的概率分別是、，假定3人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內至少有1人去北京旅游的概率為( )
A. B. C. D.
18.一場五局三勝制的乒乓球對抗賽，當甲運動員先勝兩局時，比賽因故中斷.已知甲、乙水平相當，每局甲、乙勝的概率都為，則這場此賽的獎金分配（甲：乙）應為( )
A.6:1 B.7:1 C.3:1 D.4:1
19.從分別寫有1，2，3，4，5的五張卡片中任取兩張，則這兩張卡片上的數字和為偶數的概率為____________.
20.某商店月收入（單位：元）在下列范圍內的概率如下表所示：
月收入/元
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在內的概率為0.67，則月收入在內的概率為_________。
21.甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結束）.根據前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結果相互獨立，則甲隊以4:1獲勝的概率是____________.
22.在數學考試中，小王的成績在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80~89分的概率是0.51，在70~79分的概率是0.15，在60~69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求：
(1)小王在數學考試中取得80分以上(含80分)成績的概率.
(2)小王數學考試及格的概率.
23.判斷下列各對事件哪些是互斥事件，哪些是相互獨立事件.
(1)擲一枚骰子一次，事件M：“出現的點數為奇數”；事件N：“出現的點數為偶數”
(2)擲一枚骰子一次，事件A：“出現偶數點”；事件B：“出現3點或6點”.
24.某汽車美容公司為吸引顧客，推出優惠活動：對首次消費的顧客，按200元/次收費，并注冊成為會員，對會員逐次消費給予相應優惠，標準如下表：
消費次數 第1次 第2次 第3次 第4次 消費5次及以上
收費比例 1 0.95 0.90 0.85 0.80
該公司從注冊的會員中，隨機抽取了100位進行統計，得到統計數據如下表：
消費次數 第1次 第2次 第3次 第4次 消費5次及
頻數 60 20 10 5 5
假設汽車美容一次，公司成本為150元，根據所給數據，解答下列問題：
(1)估計該公司一位會員至少消費兩次的概率.
(2)某會員僅消費兩次，求這兩次消費中，公司獲得的平均利潤.
(3)該公司要從這100位里至少消費兩次的顧客中按消費次數用分層隨機抽樣方法抽出8人，再從這8人中抽出2人發放紀念品，求抽出的2人中恰有1人消費兩次的概率.
答案以及解析
1.答案：（1）見解析
（2）
（3）
解析：（1）分別用1，2，3表示取出的球的顏色為藍色，紅色，綠色，
用有序數對，m，表示試驗的可能結果，則試驗的樣本空間可表宗為，.
（2）事件“第一次取出的是紅球”.
（3）事件“兩次取出的球顏色相同”.
2.答案：（1）4；；；
（2）事件A與B相互獨立
解析：（1），
.
，，
，，
.
（2），，A與B不互斥.
，，
，事件A與B相互獨立.
3.答案：（1）0.552
（2）0.288
（3）0.16
解析：（1）概率估計值為；
（2）概率估計值為；
（3）概率估計值為.
4.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）具有本科學歷的共有（人），故所求概率為.
（2）35歲及以上的共有（人），故所求概率為.
（3）35歲以下且具有研究生學歷的有35人，故所求概率為.
5.答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）從10個球中不放回地隨機取出2個共有（種）可能，即.
設事件“兩次取出的都是紅球”，則.
設事件“第一次取出紅球，第二次取出綠球”，
則.
設事件“第一次取出綠球，第二次取出紅球”，
則.
設事件“兩次取出的都是淥球”，則.事件A，B，C，D兩兩互斥.
P（第二次取到紅球）.
（2）P兩次取到的球顏色相同.
（3），.
又，，解得.
6.答案：（1）
（2）
解析：（1）每個人離開的樓層都有6種等可能的結果，兩個人離開共有（種）等可能的結果.
兩人在不同層離開有（種）等可能結果，故所求概率為.
（2）兩人在同一層離開有6種等可能結果，故所求概率為.
7.答案：（1）
（2）①；②；③；④；
，，B與D互斥，C與D互斥，
解析：（1）該試驗的樣本空間可表示為.
（2）由（1）得.
①，，
，.
②，，
.
③，
，.
④，
，.
A，B，C，D之間有如下關系：
，，B與D互斥，C與D互斥，.
8.答案：（1），樹狀圖見解析
（2）0.24
（3）0.936
解析：（1）樣本空間.
（2），，
.
（3）李明末通過面試的概率為，
李明通過面試的概率為.
9.答案：見解析
解析：如果摸到紅球，選擇的是1號盒子，原因如下：在1號盒子中摸到紅球的概率為，在2號盒子中摸到紅球的概率為，在1號盒子摸到紅球的概率遠遠大于2號盒子的，故選擇的應是1號盒子.但是這種判斷并不能保證完全正確，也存在選擇2號盒子的可能性.
10.答案：D
解析：由樣本點的定義知，選項A，B，C都是樣本點，選項D中包含取出標號為1和7，3和5兩個樣本點，所以選項 D不是樣本點.
11.答案：B
解析：由表格可知，男嬰出生的頻率依次為0.49，0.54，0.50，0.50，故這一地區男嬰出生的概率約為0.5。故選B。
12.答案：C
解析：由題意得B，C，D中恰有兩人直接受A感染包含的情況有以下3種：
①B，C兩人直接受A感染，D受B感染；
②B，D兩人直接受A感染，C受B感染；
③B，C兩人直接受A感染，D受C感染.
所以B，C，D中恰有兩人直接受A感染的概率.故選C.
13.答案：A
解析：設“至少3人排隊等候”為事件H，
則，故選A.
14.答案：B
解析：三個事件，，不一定是互斥事件，
故，，；
與不一定是互斥事件，也不一定是對立事件.
④正確.故選B.
15.答案：A
解析：2名男生記為，，2名女生記為，，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有，，，，，，，，，，，這12種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有，，，這4種情況，則所求概率.故選A.
16.答案：A
解析：由題意，樣本點空間為.所以共有12種不同排法，而卡片排成“1314”只有1種情況，故所求事件的概率.
17.答案：B
解析：因甲、乙、丙去北京旅游的概率分別為，，.
他們不去北京旅游的概率分別為，，，至少有1人去北京旅游的對立事件是沒有人取北京旅游，
至少有1人去北京旅游的概率為.
所以B選項是正確的.
18.答案：B
解析：由題意可知，獎金分配比即為甲、乙獲勝的概率比，甲前兩局已勝，甲勝有3種情況：①甲第三局勝為，；②甲第三局負，第四局勝為，；③甲第三局、第四局負，第五局勝為，，所以甲勝的概率，乙勝的概率則為，故選B.
19.答案：
解析：從五張卡片中任取兩張的所有樣本點有，，，，，，，，，，共10種情況，
其中，兩張卡片上的數字和為偶數的樣本點有，，，，共4種情況，
故兩張卡片上的數字和為偶數的概率.
20.答案：0.55
解析：記這個商店月收入在，，，范圍內的事件分別為A，B，C，D。因為事件A，B，C，D兩兩互斥，且，所以。
21.答案：0.18
解析：甲隊以4:1獲勝，第五場甲勝，而前四場甲需要勝三場輸一場.又前五場的主客場安排為“主主客客主”，甲獲勝情況可分為“勝勝勝負勝”“勝勝負勝勝”“勝負勝勝勝”“負勝勝勝勝”這4種.設事件A為甲以4:1獲勝，表示第i場甲獲勝.
22.答案：(1)概率為0.69.
(2)概率為0.93.
解析：(1)設小王的成績在90分以上(含90分)、在80~89分、在60分以下(不含60分)分別為事件A，B，C，且A，B，C兩兩互斥.
設小王的成績在80分以上(含80分)為事件D，則，
所以.
(2)設小王數學考試及格為事件E，由于事件E與事件C為對立事件，所以.
23.答案：(1)互相獨立.
(2)不是互斥事件.
解析：(1)因為二者不可能同時發生，所以M與N是互斥事件.
(2)樣本空間為，事件，事件，事件，
所以，
即.
故事件A與B相互獨立.
當“出現6點”時，事件A，B可以同時發生，因此，A，B不是互斥事件.
24.答案：(1)概率為0.4.
(2)平均利潤為45元.
(3)概率為.
解析：(1)100位會員中，至少消費兩次的會員有40位所以估計一位會員至少消費兩次的概率為.
(2)該會員第1次消費時，公司獲得的利潤為(元)，
第2次消費時，公司獲得的利潤為(元)，
所以，公司獲得的平均利潤為(元).
(3)因為，所以用分層隨機抽樣方法抽出的8人中，消費2次的有4人，分別設為，消費3次的有2人，分別設為，
消費4次和5次及以上的各有1人，分別設為C，D，從中抽出2人，抽到的有，共7種；
去掉后，抽到的有，共6種；…
去掉后，抽到C的有：CD，共1種，
總的抽取方法有(種)，
其中恰有1人消費兩次的抽取方法有(種)，
所以抽出的2人中恰有1人消費兩次的概率為.
重難知識易混易錯
【重難知識】
1.
名稱 定義 符號表示
包含關系 若事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） （或）
相等關系 如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即且，則稱事件A與事件B相等 A=B
并事件 （和事件） 事件A與事件B至少有一個發生，這樣的一個事件中的樣本點或者在事件A中，或者在事件B中，則稱這個事件為事件A與事件B的并事件（或和事件） （或）
交事件 （積事件） 事件A與事件B同時發生，這樣的一個事件中的樣本點既在事件A中，也在事件B中，則稱這樣的一個事件為事件A與事件B的交事件（或積事件） （或）
互斥事件 若為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥
對立事件 若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 且（U為全集）
2.古典概率模型：我們將具有以下兩個特征的試驗稱為古典概型試驗，其數學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概率：
（1）有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；
（2）等可能性：每個樣本點發生的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
（1）在基本事件總數為n的古典概型中，每個基本事件發生的概率都是相等的，即每個基本事件發生的概率都是.
（2）對于古典概型，任何事件的概率為.
4.相互獨立事件
（1）對于事件A、B，若A的發生與B的發生互不影響，則稱A、B是相互獨立事件.
（2）若A與B相互獨立，則，.
（3）若A與B相互獨立，則A與，與B，與也都相互獨立.
（4）若，則A與B相互獨立.
【典型例題】
1.一盒子里有黑色、紅色、綠色的球各一個，現從中隨機取出一個球.事件“取出的球是紅色”，事件“取出的球是綠色”，則事件A與事件B( )
A.是互斥事件，不是對立事件
B.是對立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是對立事件
D.既不是互斥事件，也不是對立事件
2.從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為( )
A. B. C. D.
3.袋子中有四個小球，分別寫有“春、夏、秋、冬”四個字，從中任取一個小球，取到“冬”就停止.用隨機模擬的方法估計“取球直到第二次停止”的概率，先由計算器產生1到4之間取整數值的隨機數，且用1，2，3，4表示取出的小球上分別寫有“春、夏、秋、冬”四個字，每兩個隨機數為一組，代表兩次的結果，經隨機模擬產生了20組隨機數：
13 24 12 32 43 14 24 32 31 34
21 23 13 32 21 24 42 13 32 21
據此估計，“取球直到第二次停止”的概率為( )
A. B. C. D.
4.下列說法錯誤的個數為( )
①對立事件一定是互斥事件；
②若A，B為兩個事件，則；
③若事件A，B，C兩兩互斥，則.
A.0 B.1 C.2 D.3
5.一家保險公司想了解汽車的擋風玻璃破碎的概率，公司收集了20000輛汽車的數據，時間是從某年的5月1日到下一年的4月30日，共發現有600輛汽車的擋風玻璃破碎，則一輛汽車在一年內擋風玻璃破碎的概率近似是_________________.
6.設某批電子手表的正品率為，次品率為，現對該批電子手表進行檢測，每次抽取一個電子手表，假設每次檢測相互獨立，則第3次首次檢測到次品的概率為___________.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由題意可知，事件A與B為互斥事件，但事件不是必然事件，所以事件A與事件B是互斥事件，不是對立事件.故選A.
2.答案：A
解析：2名男生記為，，2名女生記為，，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有，，，，，，，，，，，這12種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有，，，這4種情況，則所求概率.故選A.
3.答案：B
解析：20組隨機數中，第一次不是4且第二次是4的數共有5組，故估計“取球直到第二次停止”的概率為.故選B.
4.答案：C
解析：互斥不一定對立，但對立必互斥，①正確；只有A與B是互斥事件時，才有，②錯誤；若事件A，B，C兩兩互斥，則，但不一定是必然事件，例如，設樣本點空間是由兩兩互斥的事件A，B，C，D組成且事件D與為對立事件，當時，，③錯誤.
5.答案：0.03
解析：在一年內擋風玻璃破碎的頻率為，用頻率來估計擋風玻璃破碎的概率.
6.答案：
解析：因為第3次首次檢測到次品，所以第1次和第2次檢測到的都是正品，第3次檢測到的是次品，所以第3次首次檢測到次品的概率為.
核心素養對接高考
【核心素養】
隨機事件的概率單獨考查的概率較小，一般與其他知識綜合考查，其中互斥事件和對立事件的概率是高考的重點考查內容，在與對立事件有關的題目中常利用“正難則反”的解題思想.以小題和解答題形式呈現，當以解答題形式呈現時，多與排列組合、分布列、期望與方差、統計等知識綜合命題.
古典概型是高考的熱點，常以選擇題、填空題的形式呈現，主要考查古典概型，在高考中常與平面向量、集合、函數、數列、解析幾何、統計等知識交匯命題，命題角度及背景新穎，考查知識全面，能力要求較高.在備考中要注意古典概型與數學文化、實際生活密切聯系的問題，要加強實際應用問題的訓練.
【真題對接】
1.【2022年新高考Ⅰ卷】從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為( )
A. B. C. D.
2.【2021年新高考Ⅰ卷】有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”，則( )
A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立
C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立
答案以及解析
1.答案：D
解析：從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，取法總數為.其中2個數互質的情況為，，，，，，，，，，，，，，取法總數是14.因此，從2至8的7個整數字隨機取2個不同的數，這2個數互質的概率為.故正確選項為D.
2.答案：B
解析：本題考查獨立事件的概念.由于有放回的取球，則，，，，，，，，其中，故甲與丁相互獨立.

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