資源簡介

第六章 計數原理
——高二數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊
期末復習知識大盤點
學習目標整合
兩個計數原理 （1）理解分類計數原理、分步計數原理及其意義. （2）會利用兩個原理分析和解決一些簡單的實際應用問題.
排列與組合 （1）理解排列、組合的概念，能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式. （2）能運用排列組合解決實際應用問題.
二項式定理 （1）能用多項式運算法則和計數原理證明二項式定理. （2）會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題. （3）掌握二項式系數的性質及其應用，掌握“賦值法”并會靈活運用.
教材習題變式
【課后習題】
1.填空題
（1）乘積展開后，共有_________項；
（2）學生可從本年級開設的7門選修課中任意選擇3門，并從6種課外活動小組中選擇2種，不同的選法種數是_________；
（3）安排6名歌手演出順序時，要求某歌手不是第一個出場，也不是最后一個出場，不同排法的種數是_________；
（4）5個人分4張無座足球票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的種數是_________；
（5）5名同學去聽同時舉行的3個課外知識講座，每名同學可自由選擇聽其中的1個講座，不同選擇的種數是_________；
（6）正十二邊形的對角線的條數是_________；
（7）的展開式中，系數最大的項是第_________項.
2.一個集合有5個元素.
（1）這個集合的含有3個元素的子集有多少個？
（2）這個集合的子集共有多少個？
3.填空題
（1）已知，那么__________；
（2）某班一天上午有4節課，下午有2節課，現要安排該班一天中語文、數學、政治、英語、體育、藝術6堂課的課程表，要求數學課排在.上午，體育課排在下午，不同排法種數是__________；
（3）某人設計的電腦開機密碼由2個英文字母后接4個數字組成，且2個英文字母不相同，該密碼可能的個數是__________；
（4）以正方體的頂點為頂點的三棱錐的個數是__________；
（5）在的展開式中，各項系數的和是__________.
4.（1）平面內有n條直線，其中沒有兩條平行，也沒有三條交于一點，共有多少個交點？
（2）空間有n個平面，其中沒有兩個互相平行，也沒有三個交于一條直線，共有多少條交線？
5.（1）求的展開式中按x的升冪排列的第3項；
（2）求的展開式的常數項；
（3）已知的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數成等差數列，求n；
（4）求的展開式中的系數；
（5）求的展開式中的系數.
6.用二項式定理證明能被8整除.
7.（1）平面內有兩組平行線，一組有m條，另一組有n條，這兩組平行線相交，可以構成多少個平行四邊形？
（2）空間有三組平行平面，第一組有m個，第二組有n個，第三組有l個，不同兩組的平面都相交，且交線不都平行，可以構成多少個平行六面體？
8.某種產品的加工需要經過5道工序.
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少種加工順序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少種加工順序？
（3）如果其中某2道工序必須相鄰，那么有多少種加工順序？
（4）如果其中某2道工序不能相鄰，那么有多少種加工順序？
9.在的展開式中，含項的系數是多少？
10.你能構造一個實際背景，對等式的意義作出解釋嗎？
【變式訓練】
11.從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數是( )
A.26 B.60 C.18 D.1080
12.若，則( )
A.7 B.6 C.5 D.4
13.為響應國家“節約糧食”的號召，某同學決定在某食堂提供的2種主食、3種素菜、2種大葷菜、4種小葷菜中選取一種主食、一種素菜、一種葷菜作為今日伙食，并在用餐時積極踐行“光盤行動”，則不同的選取方法有( )
A.48種 B.36種 C.24種 D.12種
14.永定土樓位于中國東南沿海的福建省龍巖市，是世界上獨一無二的神奇的山區民居建筑，是中國古建筑史上的一個奇跡.2008年7月，永定土樓被成功列入世界遺產名錄.它歷史悠久、風格獨特，規模宏大、結構精巧.土樓具體有圓形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊腳樓等類型.現有某大學建筑系學生要重點對這七種主要類型的土樓依次進行調查研究.要求調查順序中，圓形要排在第一個或最后一個，方形、五角形相鄰，則不同的排法種數為( )
A.480 B.240 C.384 D.1440
15.，則( )
A.16 B.27 C.43 D.70
16.4名同學每人從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有( )
A.12種 B.24種 C.30種 D.36種
17.安排4名教師去3所學校支教，每人只能去一所學校，每所學校至少分配一名教師，則不同的分派方法種數為( )
A.36 B.24 C.18 D.12
18.在的展開式中，只有第五項的二項式系數最大，則展開式中的系數是( )
A. B. C. D.7
19.（多選）下列等式中，正確的是( )
A.! B.
C. D.
20.（多選）已知的展開式中共有7項，則該二項展開式中( )
A.所有項的二項式系數和為64 B.所有項的系數和為1
C.二項式系數最大的項為第4項 D.有理項共有4項
21.已知的展開式中的系數為-160，則展開式中各項系數之和為__________.（用數字作答）
22.5名學生站成一排照相，甲不站排頭、乙不站排尾的站法種數是__________.
23.的展開式中的系數是__________.
24.杭州第19屆亞運會于2023年9月23日至10月8日舉行，競賽項目設置為40個大項，61個分項，481個小項，并增設電子競技、霹靂舞兩個競賽項目.現有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、電子競技、霹靂舞三個項目志愿服務，其中每個項目至少一名志愿者，甲必須在霹靂舞項目，則不同的志愿服務方案共有_________種（用數字作答）.
25.（1）由0，1，2，3，4，5這6個數字組成的沒有重復數字的四位偶數有多少個？
（2）把6本不同的書分給3個同學，每人至少1本書，有多少種不同的分法？
答案以及解析
1.答案：（1）
（2）525
（3）480
（4）
（5）
（6）54
（7）
解析：（2）分兩步完成，第一步從7門選修課中任意選擇3門，有種方法；
第二步從6種課外活動小組中選擇2種有種方法，
由分步乘法計數原理得不同選法的種數是.
（3）方法一：先排這名歌手有種方法，余下的5名歌手全排列為種方法，
不同排法的種數為.
方法二：先排第一場和最后一場有種方法；余下的四名歌手全排列為種方法，
不同排法的種數為.
（6）所求對角線的條數等于連接正十二邊形中任意兩個頂點的線段的條數減去其中不是對角線的線段的條數12，即.
2.答案：（1）10個
（2）32個
解析：（1）一個含有3個元素的子集對應于從5個不同元素中任取3個不同元素的一個組合，子集的個數為.
（2）（個）.
3.答案：（1）6
（2）192
（3）6500000
（4）58
（5）1或-1
解析：（1），即，解得或（負值舍去）.
（2）.
（3）.
（4）在從正方體的8個頂點中任取4個的所有種數中，排除四點共面的12種情形（正方體表面上的6種四點共面的情形以及正方體的對角面上的6種四點共面的情形），因此，三棱錐的個數為.
（5）令，這時的值就是展開式中各項系數的和，
其值是
4.答案：（1）
（2）
5.答案：（1）
（2）
（3）或
（4）135
（5）30
解析：（1）第3項是含的項，
其系數是.
展開式中按x的升冪排列的第3項為.
（2）由通項，
令，得，
；
（3）由題意得，
即，
化簡得，解得或.
（4）原式
，
的系數.
（5）原式，
通項，
令，，
.
又的展開式的通項為，
令，，
，
的展開式中的系數為.
6.答案：證明見解析
解析：證明：
.
中各項都能被8整除，
能被8整除.
7.答案：（1）（個）
（2）（個）
8.答案：（1）（種）
（2）（種）
（3）（種）
（4）（種）
9.答案：
解析：，，…，的展開式中含項的系數分別是，，…，，
因此它們的和就是所求展開式中含項的系數，
易得.
10.答案：見解析
解析：由于等式兩邊都是兩個組合數相乘，想到分步乘法計數原理，可以構造如下實際背景：
從n個人中選擇m個人參加慰問表演，其中k個人唱歌，個人跳舞，問：共有多少種不同的安排方法？
解法一：利用分步乘法計數原理，先從n個人中選出m個人，然后從選出的m個人中再選出k個人唱歌，剩余的人跳舞，這樣有種不同的安排方法；
解法二：直接從n個人中選k個人唱歌，然后在剩下的個人中選個人跳舞，這樣，由分步乘法計數原理，共有種不同的安排方法，
所以成立.
11.答案：A
解析：由分類加法計數原理知有（種）不同走法.故選A.
12.答案：D
解析：因為，所以，
且，解得或（舍去）.故選D.
13.答案：B
解析：由題意可知，分三步完成：
第一步，從2種主食中任選一種，有2種選法；
第一步，從3種素菜中任選一種，有3種選法；
第三步，從6種葷菜中任選一種，有6種選法，
根據分步乘法計數原理，共有（種）不同的選取方法.故選B.
14.答案：A
解析：當圓形排在第一個時，因為方形、五角形相鄰，所以將其捆綁在一起與其他類型的土樓全排列，且方形、五角形內部排列，有種不同的排法，同理，當圓形排在最后一個時也有種不同的排法.綜上，共有480種不同的排法.故選A.
15.答案：C
解析：令，則.
16.答案：B
解析：由題意得，其中恰有兩人選甲，共有種選法；余下的兩人每人有2種選法.共有（種）選法，所以所有的選法共有（種），故選B.
17.答案：A
解析：由題意可知，先將4名教師分成2人、1人、1人這樣的3組，有種方法，然后將這3組分配到3個學校有種方法，所以共有（種）方法，故選A.
18.答案：C
解析：依題意知第五項的二項式系數最大，所以一共是9項，所以，二項式展開項的通項公式為，令，得，所以的系數為.故選C.
19.答案：AC
解析：對于A，，故A正確；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，，故D錯誤.故選AC.
20.答案：ACD
解析：由題意知，則的展開式的通項為.
對于A，所有項的二項式系數和為，故A正確；
對于B，令，得，因此所有項的系數和為，不為1，故B錯誤；
對于C，由二項式系數的性質，可知的展開式中第4項的二項式系數最大，為，故C正確；
對于D，當，即時，對應的項為有理項，共有4項，故D正確.故選ACD.
21.答案：1
解析：的展開式的通項為，令，解得，故的展開式中的系數為，解得，故的展開式中各項系數之和為.
22.答案：78
解析：甲不站排頭，乙不站排尾站法種數可分為兩類，第一類甲站在排尾，站法有種，
第二類甲不站在排尾，先排甲，有種站法，再排乙，有種站法，剩下的三人有種站法，故有種站法.由此所有的總站法有（種）.
23.答案：-20
解析：由題意，展開式通項為，.當時，；當時，，故的展開式中項為，系數為-20.
24.答案：50
解析：（1）若霹靂舞項目只有1人，則乒乓球項目2人、電子競技項目2人或乒乓球項目1人、電子競技項目3人或乒乓球項目3人、電子競技項目1人，則不同的志愿服務方案有（種）；
（2）若霹靂舞項目有2人，則乒乓球項目2人、電子競技項目1人或乒乓球項目1人、電子競技項目2人，則不同的志愿服務方案有（種）；
（3）若霹靂舞項目有3人，則乒乓球項目1人、電子競技項目1人，則不同的志愿服務方案有（種）.
綜上所述：不同的志愿服務方案共有（種）.
25.答案：（1）156個
（2）540種
解析：（1）若個位上的數字為0，則沒有重復數字的四位偶數有（個）；
若個位上的數字不為0，則先排個位，再排首位，最后排中間兩位，沒有重復數字的四位偶數有（個）.
故由0，1，2，3，4，5這6個數字組成的沒有重復數字的四位偶數共有（個）.
（2）先把6本不同的書分成1，1，4或2，2，2或1，2，3三份，再把三份不同的書分給3個不同的同學，
則不同的分法有（種）.
重難知識易混易錯
【重難知識】
1.排列與排列數
（1）排列：從n個不同元素中取出個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
（2）排列數：從n個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數，記作.
2.組合與組合數
（1）組合：從n個不同元素中取出個元素組成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
（2）組合數：從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，記作.
3.二項式定理
公式叫做二項式定理.公式中右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數叫做二項式系數，式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項.
4.二項展開式形式上的特點
（1）項數為.
（2）各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.
（3）字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到0，字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.
（4）二項式系數為.
6.二項式系數的性質
（1）對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即.
（2）增減性與最大值：對于二項式系數，當時，二項式系數是遞增的；當時，二項式系數是遞減的.當n是偶數時，二項展開式的中間一項（第項）的二項式系數最大，即最大的二項式系數為.當n是奇數時，二項展開式的中間兩項（第項和第項）的二項式系數相等且最大，即最大的二項式系數為和.
（3）二項式系數的和：的展開式的各個二項式系數的和等于，即.二項展開式中，偶數項的二項式系數的和等于奇數項的二項式系數的和，即.
【典型例題】
1.某校高一年級有四個班，四位老師各教一個班的數學在該年級某次數學考試中，要求每位數學老師均不在本班監考，則不同的安排監考的方法種數為( )
A.8 B.9 C.12 D.24
2.若一個三位正整數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱這個數為“傘數”，現從1，2，3，4，5這5個數字中任取3個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中“傘數”共有( )個.
A.60 B. C.20 D.
3.的展開式中的系數是( )
A. -35 B. 0 C. 35 D. 70
4.2022年9月3日貴陽市新冠疫情暴發以來，某住宿制中學為做好疫情防控工作，組織6名教師組成志愿者小組，分配到高中三個年級教學樓樓門口配合醫生給學生做核酸.由于高三年級學生人數較多，要求高三教學樓志愿者人數均不少于另外兩棟教學樓志愿者人數，若每棟教學樓門至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1個樓門進行服務，則不同的分配方法種數為( )
A.240 B.150 C.690 D.180
5.在二項式的展開式中，各項的系數之和為512，則展開式中常數項的值為___________.
6.如圖，節日花壇中有5個區域，現有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，則符合條件的種植方案有_____________種.
答案以及解析
1.答案：B
解析：設四個班分別是A、B、C、D，對應的數學老師分別是a、b、c、d.
讓a老師先選，可從B、C、D班中選一個，有3種選法，
不妨假設a老師選的是B，則b老師從剩下的三個班級中任選一個，有3種選法，剩下的兩位老師都只有1種選法.
由分步乘法計數原理，知共有種不同的安排方法.故選B.
2.答案：C
解析：由題意得：十位數只能是3，4，5，
當十位數是3時，個位和百位只能是1，2，“傘數”共有個；
當十位數是4時，個位和百位只能是1，2，3，“傘數”共有個；
當十位數是5時，個位和百位只能是1，2，3，4，“傘數”共有個；
所以“傘數”共有20個，故選C.
3.答案：C
解析：的展開式的通項為，
其中項的系數為，項的系數為，
則的展開式中的系數為.故選C.
4.答案：A
解析：第一種：當高三的志愿者有3人時，其他兩個年級有1個年級1人，有1個年級2人，則有種；第二種：當高三的志愿者有2人時，其他兩個年級也分別有2人，則有種；第三種：當高三的志愿者有4人時，其他兩個年級分別有1人，則有種，所以不同的分配方法有：種，故選A.
5.答案：135
解析：因為二項式的展開式中，各項的系數之和為512，所以令，得，解得.又因為的展開式的通項公式為，令，解得，所以展開式中常數項為.故答案為135.
6.答案：72
解析：如圖，假設5個區域分別為1，2，3，4，5，
分2種情況討論：①當選用3種顏色的花卉時，2，4同色且3，5同色，共有種植方案（種），②當4種不同顏色的花卉全選時，即2，4或3，5用同一種顏色，共有種植方案（種），則不同的種植方案共有（種）.
核心素養對接高考
【核心素養】
兩個基本計數原理及排列與組合的綜合應用有時單獨考查，一般以小題的形式呈現；但更多地與概率知識相結合考查，此時，小題形式、解答題形式均有出現.題目主要以實際問題為背景，重點考查考生分析問題與解決問題的能力及邏輯推理素養.
二項式定理是高考常考內容，主要考查二項展開式的通項、二項式系數、二項展開式中項的系數等，難度為中低檔，命題形式單一.主要以選擇題、填空題的形式呈現，考查運算能力.
【真題對接】
1.【2023年新課標Ⅱ卷】某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結果共有( )
A.種 B.種
C.種 D.種
2.【2022年新高考Ⅱ卷】甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有( )
A.12種 B.24種 C.36種 D.48種
3.【2023年新課標Ⅰ卷】某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有__________種（用數字作答）.
4.【2022年新高考Ⅰ卷】的展開式中的系數為________（用數字作答）.
答案以及解析
1.答案：D
解析：根據分層隨機抽樣方法，易知從初中部和高中部分別抽取40名和20名學生，根據分步計數原理，得不同的抽樣結果共有種.故選D.
2.答案：B
解析：法一（間接法）：丙和丁相鄰共有種站法，甲站在兩端且丙和丁相鄰共有種站法，所以甲不站在兩端且丙和丁相鄰共有種站法.
法二（直接法）：因為丙和丁相鄰，所以先把丙和丁捆線，看成一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列，有種排列方式；又甲不站在兩端，所以甲只需在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙和丁兩人的順序可交換，有2種排列方式.故共有種不同的排列方式，故選B.
3.答案：64
解析：法一：由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術類選修課各選修1門，有種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術類選修課中選修2門，有種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術類選修課中選修1門，有種方案.綜上，不同的選課方案共有（種）.
法二：若學生從這8門課中選修2門課，則有（種）選課方案；若學生從這8門課中選修3門課，則有（種）選課方案.綜上，不同的選課方案共有（種）.
4.答案：-28
解析：展開式的通項，.令，得，令，得，所以的展開式中的系數為.

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