資源簡介

第七章 隨機變量及其分布
——高二數學人教A版（2019）選擇性必修第三冊
期末復習知識大盤點
學習目標整合
1.條件概率與全概率公式 （1）了解條件概率，能計算簡單隨機事件的條件概率.（2）了解條件概率與獨立性的關系，會利用乘法公式計算概率.（3）會利用全概率公式計算概率.
2.離散型隨機變量及其分布列 （1）理解離散型隨機變量的含義，會用離散型隨機變量描述隨機現象.（2）掌握離散型隨機變量分布列的表示方法及性質，了解兩點分布.
3.離散型隨機變量的數字特征 （1）理解離散型隨機變量的均值、方差的概念，能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差.（2）理解離散型隨機變量的均值、方差的性質.（3）會利用離散型隨機變量的均值、方差解決簡單的實際問題.
4.二項分布與超幾何分布 （1）掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題.（2）了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題.
5.正態分布 （1）了解服從正態分布的隨機變量，了解正態分布的特征.（2）了解正態分布的均值、方差及其含義.
教材習題變式
【課后習題】
1.舉例說明與沒有確定的大小關系.
2.拋擲兩枚質地均勻的骰子，求：
（1）兩個點數都出現偶數的概率；
（2）已知第一枚骰子的點數是偶數的條件下，第二枚骰子的點數也是偶數的概率.
3.假設有兩箱零件，第一箱內裝有10件，其中有2件次品；第二箱內裝有20件，其中有3件次品.現從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機取1個零件.
（1）求取出的零件是次品的概率；
（2）已知取出的是次品，求它是從第一箱取出的概率.
4.已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示.
X 0 1 2
P 0.36
求：（1）常數q的值；
（2）和.
5.已知隨機變量X取可能的值1，2，…，n是等可能的，且，求n的值.
6.已知每門大炮擊中目標的概率都是0.3，現在n門大炮同時對某一目標各射擊一次.
（1）當時，求恰好擊中目標3次的概率（精確到0.001）；
（2）如果使目標至少被擊中一次的概率超過，至少需要多少門大炮？
7.長時間玩手機可能影響視力.據調查，某校學生大約的人近視，而該校大約有的學生每天玩手機超過，這些人的近視率約為.現從每天玩手機不超過的學生中任意調查一名學生，求他近視的概率.
8.某商場要在國慶節開展促銷活動，促銷活動可以在商場內舉行，也可以在商場外舉行.統計資料表明，每年國慶節商場內的促銷活動可獲得利潤2萬元；商場外的促銷活動，如果不遇到有雨天氣可獲得利潤8萬元，如果遇到有雨天氣則會帶來經濟損失3萬元.9月30日氣象臺預報國慶節當地的降水概率是，商場應該選擇哪種促銷方式？
9.一份某種意外傷害保險費為20元，保險金額為50萬元.某城市的一家保險公司一年能銷售10萬份保單，而每一份保單需要賠付的概率為.利用計算工具求（精確到0.0001）：
（1）這家保險公司虧本的概率；
（2）這家保險公司一年內獲利不少于100萬元的概率.
10.甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率.
11.某單位有10000名職工，想通過驗血的方法篩查乙肝病毒攜帶者.假設攜帶病毒的人占，如果對每個人的血樣逐一化驗，就需要化驗10000次.統計專家提出了一種化驗方法：隨機地按5人一組分組，然后將各組5個人的血樣混合再化驗.如果混合血樣呈陰性，說明這5個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次.
（1）按照這種化驗方法能減少化驗次數嗎？
（2）如果攜帶病毒的人只占，按照k個人一組，k取多大時化驗次數最少？
12.某城市高中數學統考，假設考試成績服從正態分布.如果按照，，，的比例將考試成績分為A，B，C，D四個等級，試確定各等級的分數線（精確到1）.
【變式訓練】
13.某道數學試題含有兩問，當第一問正確做對時，才能做第二問，為了解該題的難度，調查了100名學生的做題情況，做對第一問的學生有80人，既做對第一問又做對第二問的學生有72人，以做對試題的頻率近似作為做對試題的概率，已知某個學生已經做對第一問，則該學生做對第二問的概率為( )
A.0.72 B.0.8 C.0.9 D.0.2
14.設隨機變量，，若，則( )
A. B. C. D.
15.若隨機變量X的分布列如下：
X -3 -2 0 1 2 3
P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
則當時，m的取值范圍是( )
A. B. C. D.
16.已知隨機變量X服從正態分布，且，則( )
A. B. C. D.
17.已知袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個（）.現從袋中任取一球，X表示所取球的標號.若，，，則的值是( )
A.1或2 B.0或2 C.2或3 D.0或3
18.已知隨機變量，若，則( )
A. B. C. D.
19.設某醫院倉庫中有10盒同樣規格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲廠、乙廠、丙廠生產的.且甲、乙、丙三廠生產該種X光片的次品率依次為，，，現從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率是( )
A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2
20.記，為兩個離散型隨機變量，則下列結論不正確的是( )
A. B.
C. D.
21.（多選）下列結論正確的是( )
A.若隨機變量X服從兩點分布，，則
B.若隨機變量服從二項分布，則
C.若隨機變量服從二項分布，則
D.若隨機變量Y的方差，則
22.（多選）已知某地區有20000名學生參加某次模擬考試，其中數學考試成績X近似服從正態分布（滿分150分），則下列說法正確的是( )
（參考數據：，，）
A.根據以上數據無法計算本次數學考試成績的平均分
B.的值越大，成績不低于100分的人數越多
C.若，則這次考試成績高于120分的約有46人
D.從參加考試的學生中任選3人，至少有2人的成績超過90分的概率為
23.六一臨近，某火車站有三個安檢入口，每個安檢入口每天通過的旅客人數（單位：人）超過1100人的概率不低于0.2，假設三個安檢入口均能正常工作，則這三個安檢入口每天至少有兩個超過1100人的概率最小為__________.
24.已知隨機變量X有三個不同的取值，分別是0，1，x，其中，又，，則隨機變量X方差的最小值為__________.
25.已知隨機變量X服從正態分布，且，則__________.
26.為促進全民閱讀，建設書香校園，某校在寒假面向全體學生發出“讀書好、讀好書、好讀書”的號召，并開展閱讀活動.開學后，學校統計了高一年級共1000名學生的假期日均閱讀時間（單位：），得到了如圖的頻率分布直方圖，若前兩個小矩形的高度分別為0.0075，0.0125，后三個小矩形的高度之比為.
（1）根據頻率分布直方圖，估計高一年級1000名學生假期日均閱讀時間的平均數（同一組中的數據以該組區間的中點值為代表）.
（2）開學后，學校從高一日均閱讀時間不低于的學生中，按照分層抽樣的方式，抽取6名學生作為代表分兩周進行國旗下演講.假設第一周演講的3名學生中假期日均閱讀時間處于的人數為，求隨機變量的分布列與數學期望.
27.城南公園種植了4棵棕櫚樹，各棵棕櫚樹成活與否是相互獨立的，成活率為p，設為成活棕櫚樹的棵數，數學期望.
（1）求p的值并寫出的分布列；
（2）若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活，則需要補種，求需要補種棕櫚樹的概率.
答案以及解析
1.答案：見解析
解析：答案不唯一，如下：
設事件B：拋一枚骰子，得到1點，事件A：拋一枚硬幣，出現正面向上，
則事件A，B相互獨立，；
若事件A改為：拋一枚骰子得到奇數點，則，，
從而.
2.答案：（1）0.25
（2）0.5
解析：（1）設骰子的點數為偶數的有X枚，則，
兩個點數都是偶數的概率.
（2）設事件A：第一枚骰子的點數是偶數，
設事件B：第二枚骰子的點數是偶數.
則.
3.答案：（1）
（2）
解析：（1）設事件表示從第i箱中取一個零件，事件B表示取出的零件是次品，
則
.
（2）.
4.答案：（1）
（2），
解析：（1）由離散型隨機變量的性質得，
，
或，
又由，，.
（2）由（1）得X的分布列為：
X 0 1 2
P 0.36 0.6 0.04
，
.
5.答案：
解析：由題意知，隨機變量X的分布列如下：
X 1 2 3 … 4
P …
，.
6.答案：（1）
（2）9門
解析：（1）設擊中目標的次數為X，由題意知，
.
（2）假設要用n門大炮同時對目標射擊，才能使目標被擊中的概率超過.
可以把一門大炮的射擊看成是一次隨機試驗，將擊中目標看成是成功，則成功的概率為0.3.
用X表示這n門大炮中擊中目標的門數，即n次試驗中出現的成功次數，則.
事件“目標被擊中”可以表示為，它的對立事件是，
所以“目標被擊中”的概率為.
為使目標被擊中的概率超過，只有選擇合適的n，使，解得.
根據實際含義，至少要用9門大炮才能使目標被擊中的概率超過.
7.答案：
解析：設事件A：任意調查一名學生，玩手機超過，則，
，
設事件B：任意調查一名學生，該學生近視，
則
.
.
8.答案：應選擇第2種方案
解析：商場有兩種方案可以選擇：
第1種方案是選擇在商場內促銷，此時可獲利2萬元.
第2種方案是選擇在商場外促銷，此時可獲利X萬元，X的分布列如下：
X 8 -3
P 0.6 0.4
第2種方案的平均收入為（萬元）.
因為，所以應選擇第2種方案.
9.答案：（1）
（2）
解析：一份意外傷害保險費為20元，共銷售10萬份保單，可得保險費200萬元.
保險金額為50萬元，表示如果某人出險，需要賠付50萬元.
在一年內若有5人出險，保險公司將要賠付250萬元，在一年內若有4人出險，保險公司將要賠付200萬元，可以看出在一年內若有4人以上出險，保險公司將虧本.
每個人在一年內是否遭遇意外傷害可以看成是一次隨機試驗，把遭遇意外傷害視作事件成立，則事件成立的概率為.10萬參保人可以看成是10萬次伯努利試驗.
用X表示一年內這10萬人中遭遇意外傷害的人數，則.
（1）這家保險公司虧本的概率為
.
可以看出這家保險公司虧本的概率是很小的，幾乎不可能發生.
（2）這家保險公司一年內獲利不少于100萬元，表示一年內最多只能有2人出險，所以這家保險公司一年內獲利不少于100萬元的概率為
.
可以看出這家保險公司一年內獲利不少于100萬元的概率是很大的.
10.答案：
解析：設事件：球經過n次傳遞后，球在甲手中，.
則.
設，則，
即，設，可得.
.
又，，
是首項為，公比為的等比數列.
，
.
即經過n次傳球后球在甲手中的概率為.
11.答案：（1）能減少化驗次數
（2）時化驗次數最少
解析：（1）按照這種方法，需化驗兩輪，第1輪要化驗2000次.
按假設攜帶病毒的人占，有（人），
最多有500組需進行2輪化驗，故2輪最多化驗2500次.
故按這種方法最多共需化驗4500次，能減少化驗次數.
（2）按（1）中方法，按k個人一組，第一輪要化驗次，按攜帶病毒的人占，有（人），最多有200組需進行2輪化驗.
故2輪最多化驗200k次，
這樣，最多共需化驗（當且僅當時有最小值）.
又，時化驗次數最少.
12.答案：A，B，C，D各等級的分數線為83，75，67及67以下
解析：由題意知，考試成績，，.
.
同理，.
A，B，C，D各等級的分數線為83，75，67及67以下.
13.答案：C
解析：做對第一問的學生有80人，則做對第一問的頻率為0.8，做對第一問又做對第二問的學生有72人，則兩問都做對的頻率為0.72.設“做對第一問”為事件A，“做對第二問”為事件B，則，.某個學生已經做對第一問，則該學生做對第二問的概率.故選C.
14.答案：B
解析：因為隨機變量，所以，解得，所以，
則.故選B.
15.答案：B
解析：由題意可得，，，則.故選B.
16.答案：A
解析：因為隨機變量X服從正態分布，所以由正態密度曲線的對稱性可知，，又，所以，故.故選A.
17.答案：B
解析：由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，4，
，
，
由，得，即.
又，所以當時，由，得，此時；
當時，由，得，此時.故選B.
18.答案：B
解析：因為，故，故，因為，解得.故，故，故選B.
19.答案：A
解析：設，，分別表示取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產的，B表示取得的X光片為次品，則，，，，，.
由全概率公式知所求概率為.故選A.
20.答案：D
解析：設，設，Y也是隨機變量，因為，
所以
，故A正確.同理C正確.
根據期望的性質，，
而，所以，故B正確，，
而，不一定相等，故D錯誤.故選D.
21.答案：BC
解析：若隨機變量X服從兩點分布，，則，故A錯誤；若隨機變量服從二項分布，則，故B正確；若隨機變量服從二項分布，則，故C正確；若隨機變量Y的方差，則，故D錯誤.故選BC.
22.答案：BD
解析：對于A，由題知，數學考試成績X的平均分為90分，故A錯誤；對于B，根據中標準差的意義，的值越大，則高于90分低于100分的人數越少，所以成績不低于100分的人數越多，故B正確；對于C，當時，，對于D，由數學考試成績X近似服從正態分布知，由n次獨立重復試驗可知，從參加考試的學生中任選3人，至少有2人的分數超過90分的概率為，故D正確.故選BD.
23.答案：
解析：由題意可知旅客人數X超過1100人的概率不低于0.2，即，所以這三個安檢入口每天至少有兩個超過1100人的概率最小為.故答案為.
24.答案：
解析：由，，得，所以隨機變量X的數學期望，則方差.當時，取到最小值，故答案為.
25.答案：0.14
解析：易知，故.
26.答案：（1）
（2）分布列見解析，數學期望為1
解析：（1）由題意知，第一、二組的頻率分別為，，剩余三組的頻率之和為.
又后三個小矩形的高度之比為，
所以后三組的頻率分別為，，.
因此日均閱讀時間的平均數為
.
（2）由題意得，在，，三組應分別抽取3人、2人、1人.
的可能取值為0，1，2，
則，，.
所以的分布列為
0 1 2
P
故.
27.答案：（1），分布列見解析
（2）
解析：（1）由題意知，，又，所以，
故未成活率為，由于所有可能的取值為0，1，2，3，4，
所以，，
，，
，
則的分布列為：
0 1 2 3 4
P
（2）記“需要補種棕櫚樹”為事件A，
由（1）得，，
所以需要補種棕櫚樹的概率為.
重難知識易混易錯
【重難知識】
1.離散型隨機變量的分布列
（1）如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
（2）一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為取每一個值的概率，則下表稱為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.
X … …
P … …
2.離散型隨機變量的分布列的性質
根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：
（1）；
（2）；
（3）.
3.常見的離散型隨機變量的概率分布模型
（1）兩點分布
若隨機變量X的分布列為
X 0 1
P p
則稱X服從兩點分布.
（2）超幾何分布
一般地，在含有M件次品的N件產品中任取n件，其中恰有X件次品，則
，其中，且，稱分布列
X 0 1 … m
P …
為超幾何分布.
4.離散型隨機變量的均值與方差
若離散型隨機變量X的分布列為
X … …
P … …
（1）均值：稱為隨機變量X的均值或數學期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平.
（2）方差：稱為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值的平均偏離程度，并稱為隨機變量X的標準差，記為.
5.均值與方差的性質
（1）.
（2）.
6.兩點分布的均值、方差
若X服從兩點分布，則.
7.條件概率及其性質
（1）一般地，設A，B為兩個事件，且，稱為在事件A發生的條件下，事件B發生的概率.
（2）條件概率的性質：
（i）；
（ii）如果B和C是兩個互斥事件，則.
8.全概率公式
一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，則對任意的事件，有，稱此公式為全概率公式.
9.二項分布的均值與方差：若，則，.
10.正態曲線的定義：
函數（其中實數和為參數）的圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線.
11.正態分布的定義及表示：
如果對于任何實數，隨機變量X滿足，則稱X的分布為正態分布，記作.
【典型例題】
1.環境空氣質量監測資料表明，某地一天的空氣質量為輕度污染的概率是0.25，連續兩天為輕度污染的概率是0.1，則此地在某天的空氣質量為輕度污染的條件下，隨后一天的空氣質量也為輕度污染的概率是( )
A.0.4 B.0.25 C.0.1 D.0.05
2.通訊中常采取重復發送信號的辦法來減少在接收中可能發生的錯誤，假定接收一個信號時發生錯誤的概率是，為減少錯誤，采取每一個信號連發3次，接收時以“少數服從多數”的原則判斷，則判錯一個信號的概率為( )
A. B. C. D.
3.若隨機變量X的分布列為
X 0 1
P 0.2 m
已知隨機變量，且，則a與b的值為( )
A. B. C. D.
4.一批產品分為一，二，三3個等級，其中一級品的個數是二級品的兩倍，三級品的個數是二級品的一半，從這批產品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量，則__________.
5.已知服從正態分布的隨機變量在區間內取值的概率分別為0.683，0.954，0.997.若某種袋裝大米的質量X(單位：)服從正態分布，任意選一袋這種大米，質量在的概率為_________________.
6.為進一步激發青少年學習中華優秀傳統文化的熱情，某校舉辦了“我愛古詩詞”對抗賽，在每輪對抗賽中，高二年級勝高三年級的概率為，高一年級勝高三年級的概率為，且每輪對抗賽的成績互不影響.
（1）若高二年級與高三年級進行4輪對抗賽，求高三年級在對抗賽中至少有3輪勝出的概率；
（2）若高一年級與高三年級進行對抗，高一年級勝2輪就停止，否則開始新一輪對抗，但對抗不超過5輪，求對抗賽輪數X的分布列與數學期望.
答案以及解析
1.答案：A
解析：設事件A：一天的空氣質量為輕度污染，事件B：隨后一天的空氣質量也為輕度污染，由題知，所以.故選A.
2.答案：B
解析：得到正確信號的概率有兩種情形，一種情形是三次接收正確，概率為，另一種情形是兩次接收正確，一次接收不正確，概率為，所以判錯一個信號的概率為，故選B.
3.答案：C
解析：由隨機變量X的分布列可知，，
，，
，，
，，，故選C.
4.答案：
解析：設二級品有k個，則一級品有個，三級品有個，總數為個，則級別的分布列為
1 2 3
P
.
5.答案：0.818 5
解析：根據題意得到質量在到之間的大米概率為0.954，則小于的大米的概率為；質量在到之間的大米的概率為0.683，故質量大于的大米的概率為.故質量在的大米的概率為.
6.答案：（1）
（2）分布列見解析，
解析：（1）由題意知，高三年級勝高二年級的概率為.
設高三年級在4輪對抗賽中有x輪勝出，“至少有3輪勝出”的概率為P，
則.
（2）由題意知，對抗賽輪數X的所有可能取值為2，3，4，5，
則，，
，，
故X的分布列為
X 2 3 4 5
P
.
核心素養對接高考
【核心素養】
離散型隨機變量及其分布列、均值與方差是高考的熱點，常以實際問題為背景，與計數原理、古典概型等知識相結合，考查離散型隨機變量的分布列、均值和方差，要特別注意二項分布與超幾何分布問題及利用期望與方差決策的問題，主要以解答題的形式呈現，難度中等，近兩年難度有加大的趨勢，更加重視對考生的實際應用能力的考查，要重視對實際問題背景的分析與了解，要在審題、轉化、建模等問題上下功夫，重視與其他知識的綜合應用.
二項分布及其應用、正態分布是高考的熱點，主要考查：①條件概率、相互獨立事件的概率的求法，一般以選擇題、填空題的形式出現，有時也會滲透在解答題中；②獨立重復試驗、二項分布、正態分布的應用，結合實際問題以解答題的形式出現.解題時注意對相關概念的理解及相關公式的應用.主要考查考生的數據分析能力.
【真題對接】
1.【2021年新高考Ⅱ卷】某物理量的測量結果服從正態分布，下列結論中不正確的是( )
A.越小，該物理量在一次測量中在的概率越大
B.該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5
C.該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等
D.該物理量在一次測量中落在與落在的概率相等
2.【2023年新課標Ⅱ卷】（多選）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立.發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發送1次；三次傳輸是指每個信號重復發送3次.收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼(例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1).( )
A.采用單次傳輸方案，若依次發送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為
B.采用三次傳輸方案，若發送1，則依次收到1，0，1的概率為
C.采用三次傳輸方案，若發送1，則譯碼為1的概率為
D.當時，若發送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率
3.【2020年新高考Ⅰ卷】（多選）信息熵是信息論中的一個重要概念，設隨機變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵，( )
A.若，則
B.若，則隨著的增大而增大
C.若，則隨著的增大而增大
D.若，隨機變量所有可能的取值為，且，則
4.【2022年新高考Ⅱ卷】已知隨機變量X服從正態分布，且，則__________.
5.【2023年新課標Ⅰ卷】甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規則如下：若命中則此人繼續投籃，若未命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8，由抽簽決定第一次投籃的人選，第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.
(1)求第2次投籃的人是乙的概率.
(2)求第i次投籃的人是甲的概率.
(3)已知：若隨機變量服從兩點分布，且，，則，記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數為Y，求.
6.【2023年新課標Ⅱ卷】某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異，經過大量調查，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：
利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c，將該指標大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為.假設數據在組內均勻分布，以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.
（1）當漏診率時，求臨界值c和誤診率；
（2）設函數，當時，求的解析式，并求在區間的最小值.
7.【2022年新高考Ⅰ卷】一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：
不夠良好 良好
病例組 40 60
對照組 10 90
（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？
（2）從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，與的比值是衛生習慣不夠良好對患該疾病風險程度的一項度量指標，記該指標為R.
（?。┳C明：；
（ⅱ）利用該調查數據，給出，的估計值，并利用（ⅰ）的結果給出R的估計值.
附：，
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
8.【2021年新高考Ⅰ卷】某學校組織知識比賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，回答錯誤得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，回答錯誤得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關.
（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；
（2）為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：對于A，為數據的方差，所以越小，數據在附近越集中，所以測量結果落在內的概率越大，故A正確；
對于B，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為，故B正確；
對于C，由正態分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；
對于D，因為該物理量一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測量結果落在的概率與落在的概率不同，故D錯誤.
故選：D.
2.答案：ABD
解析：由題意，發0收1的概率為，發0收0的概率為；發1收0的概率為，發1收1的概率為.對于A，發1收1的概率為，發0收0的概率為，發1收1的概率為，所以所求概率為，故A選項正確.對于B，相當于發了1，1，1，收到1，0，1，則概率為，故B選項正確.對于C，相當于發了1，1，1，收到1，1，0或1，0，1或0，1，1或1，1，1，則概率為，故C不正確.對于D，發送0，采用三次傳輸方案譯碼為0，相當于發0，0，0，收到0，0，1或0，1，0或1，0，0或0，0，0，則此方案的概率；發送0，采用單次傳輸方案譯碼為0的概率，當時，，故D選項正確.綜上，選ABD.
3.答案：AC
解析：對于選項A，若，則，，，A正確.對于選項B，當時，，當時， ，由此可得，當與時，信息熵相等，B不正確.對于選項C，若，則，隨著的增大而增大，C正確.對于選項D，若，隨機變量的可能取值為，由知，；；；；.，，.易知，，，，，，，故D錯誤.
4.答案：0.14
解析：隨機變量X的均值為2，所以由對稱性，可得，因此.
5.解析：(1)記“第2次投籃的人是乙”為事件A，“第1次投籃的人是甲”為事件B，則，
所以
.
(2)設第i次投籃的人是甲的概率為，
由題意可知，，，即，
所以，
又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，
所以.
(3)設第i次投籃時甲投籃的次數為，則的可能取值為0或1，
當時，表示第i次投籃的人是乙，當時，表示第i次投籃的人是甲，
所以，，所以.
，
則，
由(2)知，，
所以
.
6.解析：（1）依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為，所以，所以，解得，.
（2）當時，；
當時，，
故所以在區間的最小值為0.02.
7.解析：（1）.
因為，
所以有的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異.
（2）
（?。?br/>.
（ⅱ）由調查數據得，病例組中衛生習慣不夠良好的頻率為，
對照組中衛生習慣不夠良好的頻率為，
所以的估計值為0.4，的估計值為0.1.
的估計值為0.6，的估計值為0.9，
利用（ⅰ）的結果可得R的估計值為.
8.解析：（1）由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.
；；.
所以X的分布列為：
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
（2）由（1）知，.
若小明先回答B類問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100.
；；.
所以.
因為，所以小明應選擇先回答B類問題.

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