資源簡介

6．1　平面向量的概念
1. 通過對力、速度、位移等物理量的分析，了解平面向量的實際背景，理解平面向量的意義．
2. 理解平面向量的幾何表示和基本要素．
3. 理解零向量、單位向量、平行向量、相等向量和共線向量的含義．
活動一 了解平面向量的概念及表示
小船位移的大小是A，B兩地之間的距離15 n mile，位移的方向是東南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是東南方向．又如，物體受到的重力是豎直向下的(如圖1所示)，物體的質量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的(如圖2所示)，物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大．
思考1
在所學的知識中，哪些量具備“既有大小，又有方向”這一共同屬性？
1. 向量的概念：
2. 向量的表示：
幾何表示：
字母表示：
3. 向量的模：
4. 特殊向量：
思考2
在平面直角坐標系內，起點在原點的單位向量，它們終點的軌跡是什么圖形？
活動二 理解相等向量與共線向量
5. 向量間的關系：
觀察正六邊形ABCDEF，給圖中的部分線段加上箭頭，并寫出你所標注的向量，說說向量之間有哪些關系？
平行向量(共線向量)：
規定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0∥a.
相等向量：
活動三 理解向量的有關概念
例1　下列命題中，正確的個數為(　　)
①若非零向量與共線，則A，B，C，D四點共線；
②若非零向量a與b共線，則a＝b；
③若四邊形ABCD是平行四邊形，則||＝||；
④若a∥b，則a，b方向相同或相反．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
零向量的方向是任意的；平行向量的概念指的是方向相同或相反的向量，通過平移可以移到同一條直線上，不是平面幾何上的平行．
下列說法中，正確的個數是(　　)
①若向量a與向量b不平行，則a與b的方向一定不相同；
②任意兩個相等的非零向量的起點與終點是一個平行四邊形的四個頂點；
③若向量a與b不共線，則a與b都是非零向量．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
例2　已知O為正六邊形ABCDEF的中心，如圖，在所標出的向量中：
(1) 試找出與共線的向量；
(2) 確定與相等的向量；
(3) 與相等嗎？
根據平面向量的有關概念，共線向量只要它們的方向相同或相反，而相等向量要求方向與模都要相同，所以理解向量的有關問題都要從向量的方向與模兩個方面入手．
如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別是CD，AB的中點．
(1) 寫出與向量共線的向量；
(2) 求證：＝.
1. 如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則下列選項中與 相等的向量為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2. (2023全國高一專題練習)下列說法中，錯誤的是(　　)
A. 向量與向量長度相等　 B. 單位向量都相等
C. 向量的模可以比較大小　 D. 任一非零向量都可以平行移動
3. (多選)如圖，梯形ABCD為等腰梯形，則下列關系中正確的是(　　)
A. ＝　　 B. ||＝||
C. >　　 D. ∥
4. (2023全國高一專題練習)給出下列命題：①共線向量一定在同一條直線上；②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確的是________．(填序號)
5. 如圖，在4×5的方格紙中有向量，分別以圖中的格點為起點和終點作向量，其中與相等的向量有多少個？與長度相等的共線向量有多少個(除外)
【答案解析】
第六章　平面向量及其應用
6．1　平面向量的概念
【活動方案】
思考1：力、位移、速度等．
1. 既有大小又有方向的量．
2. 向量的表示：可以用帶箭頭的線段來表示向量，線段按一定比例(標度)畫出，它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向．
幾何表示：　
字母表示：或a，b，c.
3. 向量的大小稱為向量的長度(或稱模)，記作||.
4. 零向量：長度為0的向量；單位向量：長度等于1個單位長度的向量．
思考2：單位圓
5. 圖略，平行，相等，共線．
平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量．
相等向量：長度相等且方向相同的向量．
例1　B　解析：①若非零向量與共線，則直線AB與CD平行或A，B，C，D四點共線，所以①錯誤；②若非零向量a與b共線，可能是方向相同，也可能是方向相反，模不一定相等，所以②錯誤；③若四邊形ABCD是平行四邊形，則＝，由相等向量的定義可知||＝||，所以③正確；④若a為非零向量，b＝0，則a，b方向無法確定，所以④錯誤．
跟蹤訓練　C　解析：由向量平行的定義知，方向相同或相反的兩個向量平行，故①正確；兩個相等的非零向量可以在同一直線上，故②不正確；不妨設a為零向量，則a與b共線，與a與b不共線矛盾，故③正確．
例2　(1) ，　(2) 　(3) 不相等
跟蹤訓練　(1) ，，.
(2) 因為四邊形ABCD是平行四邊形，
所以AB∥CD，AB＝CD.
因為E，F分別為邊CD，AB的中點，
所以BF＝ED.
又BF∥ED，
所以四邊形BFDE是平行四邊形，
所以BE＝FD，且BE∥FD，
所以＝.
【檢測反饋】
1. D　解析：A，B選項均與方向不同，C選項與長度不相等，D選項與方向相同，長度相等．
2. B　解析：和長度相等，方向相反，故A正確；單位向量長度都為1，但方向不確定，故B錯誤；向量的長度可以比較大小，即模長可以比較大小，故C正確；向量只與長度和方向有關，與位置無關，故任一非零向量都可以平行移動，故D正確．
3. BD　解析：與方向顯然不相同，故不是相等向量，故A錯誤；||與||表示等腰梯形兩腰的長度，所以||＝||，故B正確；向量無法比較大小，只能比較向量模的大小，故C錯誤；等腰梯形的上底BC與下底AD平行，所以∥，故D正確．故選BD.
4. ②　解析：共線向量不一定在同一條直線上，也可能在兩條平行直線上，故①錯誤；因為＝，所以||＝||且∥，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，所以＝，故②正確；當a∥b且方向相反時，|a|＝|b|，但不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，故③錯誤．
5. 與相等的向量有7個，與長度相等的共線向量有15個．

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