資源簡介

6．2　平面向量的運算
6.2.1　向量的加法運算
1. 借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加法運算及其幾何意義．
2. 掌握平面向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，會作兩個已知平面向量的和向量．
3. 理解平面向量的加法交換律和結合律，并能熟練地運用其進行平面向量計算．
活動一 了解向量加法的概念及運算
1. 問題引入：
(1) 如圖，一個人先從景點O到景點A，再從景點A到景點B和這個人直接由景點O到景點B的結果是相同的，即都從景點O到達景點B.
利用向量表示就是：從景點O到景點A的位移為，從景點A到景點B的位移為，由景點O到景點B的位移為，那么向量，，三者之間有何關系？
(2) 如圖，在光滑的平面上，一個物體同時受到兩個外力F1與F2的作用，你能作出這個物體所受的合力F嗎？
2. 向量的加法：
練習　如圖，已知向量a，b，試作出向量a＋b.
思考1
若向量a與b共線，則向量a＋b與向量a是否共線？
3. 向量加法的法則：
(1) 三角形法則：根據向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．
表示：＋＝________；
(2) 平行四邊形法則：如圖，以同一點O為起點的兩個已知向量a，b，以OA，OB為鄰邊作 OACB，則以O為起點的向量(OC是 OACB的對角線)就是向量a與b的和．這種作兩個向量和的方法叫作向量加法的平行四邊形法則．
思考2
已知向量a，b，則向量a＋b與向量b＋a關系如何？
思考3
向量(a＋b)＋c與向量a＋(b＋c)關系如何？
思考4
根據向量的加法法則，|a＋b|與|a|和|b|之間存在什么關系？
4. 向量加法的運算律：
思考5
如果平面內有n個向量依次首尾連接組成一條封閉折線，那么這n個向量的和是什么向量？
活動二　掌握向量加法的簡單應用　
例1　如圖，已知O為正六邊形ABCDEF的中心，作出下列向量：
(1) ＋；
(2) ＋；
(3) ＋.
向量求和的三角形法則與平行四邊形法則的區別與聯系：當兩個向量不共線時，它們是一致的，但當兩個向量共線時，三角形法則仍然適用，而平行四邊形法則就不適用了．
設a，b都是單位向量，則|a＋b|的取值范圍是________．
例2　長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸．如圖，一艘船從長江南岸A地出發，垂直于對岸航行，航行速度的大小為15 km/h，同時江水的速度為向東6 km/h.
(1) 用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；
(2) 求船實際航行的速度的大小(結果保留小數點后一位)與方向(用與江水速度間的夾角表示，精確到1°).
對于實際生活中的矢量問題，應該先在平面上畫出圖形，再根據平面向量的加法法則去運算，最后回歸到實際中去．
已知a表示“向東走了2 km”， b表示“向南走了2 km”， c表示“向西走了2 km”， d表示“向北走了2 km”．
(1) a＋d 表示向________走了________km；
(2) b＋c 表示向________走了________km；
(3) a＋c＋d表示向________走了________km；
(4) b＋c＋d表示向________走了________km.
1. 向量＋＋＋＋ 等于(　　)
A. B. 　 C. D.
2. 設a，b是非零向量，則“a，b共線”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的(　　)
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
3. (多選)已知D，E，F分別是△ABC各邊的中點，則下列等式中正確的是(　　)
A. ＋＝
B. ＋＋＝0
C. ＋＝
D. ＋＝
4. 已知a，b，c是非零向量，則向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋b＋a中與向量a＋b＋c相等的有________個．
5. (2023高一課時練習)如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC的中點．求證：＋＝2.
【答案解析】
6．2　平面向量的運算
6.2.1　向量的加法運算
【活動方案】
1. (1) ＋＝
(2) 合力F在以OA，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線上，并且大小等于這條對角線的長．
2. 求兩個向量和的運算，叫作向量的加法．
練習：
思考1：共線
3. (1)
思考2：a＋b＝b＋a
思考3：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
思考4：|a＋b|≤|a|＋|b|，當且僅當a，b方向相同時等號成立．
4. 向量的加法滿足交換律和結合律．
思考5：零向量
例1　作圖略．
(1) ＋＝
(2) ＋＝
(3) ＋＝0
跟蹤訓練　[0，2]　解析：當a，b同向時，|a＋b|取最大值2；當a，b反向時，|a＋b|取最小值0；當a，b不共線時，|a＋b|在(0，2)之間，所以|a＋b|的取值范圍是[0，2].
例2　(1) 如圖． 表示船速，表示江水速度，以AD，AB為鄰邊作 ABCD，則表示船實際航行的速度．
(2) 在Rt△ABC中，||＝6，||＝15，所以||＝＝＝≈16.2.
因為tan ∠CAB＝＝，所以利用計算工具可得∠CAB≈68°.
故船實際航行速度的大小約為16.2 km/h，方向與江水速度間的夾角約為68°.
跟蹤訓練　(1) 東北　2　(2) 西南　2 (3) 北　2　(4) 西　2
解析：(1) 根據向量加法，得a＋d表示向東北走了2 km；(2) b＋c表示向西南走了2 km；(3) a＋c＋d＝d，表示向北走了2 km；(4) b＋c＋d＝c，表示向西走了2 km.
【檢測反饋】
1. A　解析：＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝.
2. B　解析：已知a，b是非零向量，若a，b共線，且a，b方向相反，則|a＋b|≠|a|＋|b|；反之，若|a＋b|＝|a|＋|b|，則a，b共線，且方向相同，即“|a＋b|＝|a|＋|b|”可推出“a，b共線”，故“a，b共線”是“|a＋b|＝|a|＋|b|”的必要不充分條件．
3. ABC　解析：＋＝，故A正確；＋＋＝＋＝0，故B正確；＋＝＋＝＝≠，故C正確，D錯誤．故選ABC.
4. 5
5. 因為E，F分別是AD，BC的中點，
所以＝，＝.
因為＝＋＋，＝＋＋，
所以＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋2＝2.

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