資源簡介

6．2.2　向量的減法運算
1. 掌握相反向量的概念及其在向量減法中的作用．
2. 掌握向量的減法，會作兩個向量的差向量，并理解其幾何意義．
活動一 了解向量減法的概念
1. 復習回顧：
向量的加法運算法則是什么？
2. 相反向量：
與數x的相反數是－x類似，我們規定，與向量a長度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，記作－a.由于方向反轉兩次仍回到原來的方向，因此a和－a互為相反向量，于是－(－a)＝a.
我們規定，零向量的相反向量仍是零向量．
練習　(1) －(－a)＝________；
(2) a＋(－a)＝ ________；(－a)＋a＝________；
(3)設a與b互為相反向量，那么a＝________，b＝________，a＋b＝________．
思考1
在數的運算中，減法是加法的逆運算，其運算法則是“減去一個數等于加上這個數的相反數”．類比數的減法，向量的減法與加法有什么關系？如何定義向量的減法法則？
3. 向量減法的概念：
利用數的減法運算和向量加法運算的定義得到向量減法定義：
活動二 掌握向量的減法運算
例1　如圖，已知向量a，b不共線，試作出向量a－b.　
思考2
如果a∥b，那么怎樣作出a－b呢？
思考3
向量減法的幾何意義是怎樣的？
例2　已知O是平行四邊形ABCD的對角線的交點，若＝a，＝b，＝c.求證：b＋c－a＝.
在平面幾何中解決向量問題，一定要將兩個向量之間的運算放在同一個三角形中，可以通過平移其中的一個向量來達到此目的，同時要注意向量的加減法滿足交換律和結合律．
已知△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M為斜邊AB的中點，＝a，＝b.求證：
(1) |a－b|＝|a|；
(2) |a＋(a－b)|＝|b|.
例3　已知|a|＝6，|b|＝8，且|a＋b|＝|a－b|，求|a－b|.
根據向量加減法的幾何意義，可以由條件聯想到用圖形來解決問題．
已知O為四邊形ABCD所在的平面內的一點，且向量，，，滿足等式＋＝＋，若E為AC的中點，則等于(　　)　　　　　　　　　　
A. B. 　 C. D.
例4　已知兩個向量a，b不共線，求證：
(1) ||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|；
(2) ||a|－|b||＜|a－b|＜|a|＋|b|.
根據平面向量的加減法的三角形法則與三角形的特征(兩邊之和大于第三邊)，易得到向量的加減法中模的性質．
已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范圍．
1. 如圖，向量＝a，＝b，＝c，則向量可以表示為(　　)
A. a＋b－c
B. a－b＋c
C. b－a＋c
D. b－a－c
2. 已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－.其中結果為零向量的個數為(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. (多選)如圖，在平行四邊形ABCD中，下列結論中正確的是(　　)
A. ＝
B. ＋＝
C. －＝
D. ＋＝0
4. (2023紅河一中階段練習)若||＝2，||＝6，則||的取值范圍是________．
5. (2023南陽高一統考)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB和BC的中點，G為 AC與BD的交點．
(1) 若||＝|＋＋|，則四邊形ABCD是什么特殊的平行四邊形？并說明理由．
(2) 化簡－－，并在圖中作出表示該化簡結果的向量．
【答案解析】
6．2.2　向量的減法運算
【活動方案】
1. 三角形法則和平行四邊形法則．
練習：(1) a　(2) 0　0　(3) －b　－a　0
思考1：向量的減法可轉化為向量的加法來進行：減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．
3. 向量a加上b的相反向量，叫作a與b的差，即a－b＝a＋(－b)，求兩個向量差的運算叫作向量的減法．
例1　
思考2：設＝a，＝b.
①若a與b同向，
②若a與b反向，
思考3：如圖，已知向量a，b，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，則＝a－b，即a－b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義．
例2　b＋c－a＝＋－＝＋－＝－＝＝.
跟蹤訓練　如圖，在等腰直角三角形ABC中，由M是斜邊AB的中點，得||＝||，||＝||.
(1) 在△ACM中，＝－＝a－b.
由||＝||，得|a－b|＝|a|.
(2) 因為＝＝a－b，
所以＝－＝a－b＋a＝a＋(a－b).
由||＝||，得|a＋(a－b)|＝|b|.
例3　因為|a＋b|＝|a－b|，
所以根據平行四邊形法則，
得|a|，|b|為一個矩形的兩條鄰邊的長，
所以|a－b|＝＝10.
跟蹤訓練　B　解析：因為向量，，，滿足等式＋＝＋，所以－＝－，即＝，則四邊形ABCD為平行四邊形．因為E為AC的中點，所以E為對角線AC與BD的交點，則S△EAB＝S△ECD＝S△ADE＝S△BCE，所以＝.
例4　如圖，設a＝，b＝，以OA，OB為鄰邊作一個平行四邊形OACB，則＝a＋b，＝a－b.
(1) 在△AOC中，|AO－AC|所以||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.
(2) 在△AOB中，|OA－OB|所以||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.
跟蹤訓練　|||－|||≤|－|，當且僅當與共線且同向時取等號；
|－|≤||＋||，當且僅當與共線且反向時取等號，
即|||－|||≤|－|≤||＋||，
所以|－|的取值范圍為[3，15].
【檢測反饋】
1. C　解析：依題意，得＝－＝＋－＝b－a＋c.
2. B　解析：①＋＋＝＋＝0；②＋＋＋＝＋(＋＋)＝＋0＝；③＋＋＋＝＋＝；④－＋－＝＋＋＋＝＋＝0.故結果為零向量的個數為2.
3. ABD　解析：在平行四邊形ABCD中，根據向量的加減法法則知A，B，D正確；－＝，故C錯誤．故選ABD.
4. [4，8]　解析：因為＝－，||＝2，||＝6，所以|||－|||≤||≤||＋||，即4≤||≤8.
5. (1) 因為||＝|＋＋|＝||，
即AB＝AD，
又四邊形ABCD是平行四邊形，
所以四邊形ABCD是菱形．
(2) 由平行四邊形及三角形中位線的性質可知＝，
所以－－＝－－＝－(＋)＝－＝.
作出向量如圖所示．

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