資源簡介

6．2.3　向量的數乘運算(1)
1. 掌握實數與向量的積的定義及數乘的含義．
2. 掌握實數與向量的積的運算律，并進行有關的運算．
活動一 了解向量數乘的概念
1. 概念的引入：
已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).與非零向量a相比它們的長度和方向分別是怎樣的？
2. 向量數乘的定義：
思考1
λa與a的長度與方向分別有什么關系？
3. 向量的數乘滿足的運算律：
思考2
(1) (－λ)a與－(λa)及λ(－a)之間的關系是什么？
(2) λ(a－b)與λa－λb之間的關系又是怎樣的？你能結合所學的知識解釋嗎？
(3) 結合以上兩點，如何計算λ(μ1a±μ2b)
4. 概念的辨析：
設λ，μ∈R，下列敘述不正確的是__________．
(填序號)
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
④λa與a的方向相同(λ≠0).
活動二 掌握向量的數乘運算
例1　已知向量a和向量b，求作向量－2.5a和向量2a－3b.
平面向量的數乘運算與向量的加減法一樣，都有它的幾何意義，同時把向量的數乘與向量的加法、減法統稱為向量的線性運算，運算的結果都是向量．
點C在線段AB上，且||＝||，若＝λ，則λ的值為(　　)
A. B. －
C. D. －
例2　計算：
(1) (－3)×4a；
(2) 3(a＋b)－2(a－b)－a；
(3) (2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).
(1) 3(a－b)－2(a＋2b)；
(2) 2(2a＋6b－3c)－3(－3a＋4b－2c).
思考3
向量數乘與實數乘法有哪些相同點和不同點？
例3　如圖， ABCD的兩條對角線相交于點M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.
若題目的條件中有三角形的中點，經常聯想到向量的加法運算的平行四邊形法則，且平行四邊形的對角線互相平分，對于數乘運算，可以解決共線向量的長度關系問題．
如圖，在△ABC中，D是邊AB的中點，則向量等于(　　)
A. ＋ B. －
C. －－ D. －＋
1. 設a是非零向量，λ是非零實數，則下列結論中正確的是(　　)
A. a與λ2a的方向相同　　 B. a與－λa的方向相反
C. |λa|＝λ|a|　　 D. |－λa|＝－λ|a|
2. (2023湖口中學高一期末)如圖，在平面四邊形ABCD中，E，F分別為BD和AC的中點，則下列結論中正確的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. ＝＋
B. ＝－
C. ＝－＋
D. ＝－－
3. (多選)下列命題中，正確的是(　　)
A. 對于實數m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb
B. 對于實數m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na
C. 若ma＝mb(m∈R)，則a＝b
D. 若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，則m＝n
4. (2023全國高一專題練習)已知平面上不共線的四點O，A，B，C，若－4＋3＝0，則＝________．
5. 已知在任意四邊形ABCD中，E是AD的中點，F是BC的中點．求證：＝(＋).
【答案解析】
6．2.3　向量的數乘運算(1)
【活動方案】
1. 作圖略，a＋a＋a＝3a，3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即|3a|＝3|a|；(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a，－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍，即|－3a|＝3|a|.
2. 實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫作向量的數乘，記作λa.
思考1：①|λa|＝|λ||a|；
②當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反．
3. λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
思考2：(1) (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a).
(2) λ(a－b)＝λa－λb，理由略．
(3) λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
4. ④　解析：根據向量數乘的運算律知①②③正確；當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反，故④錯誤．
例1　略
跟蹤訓練　D　解析：因為點C在線段AB上，且||＝||，所以點A，B，C的位置關系如下圖所示．因為＝λ，＝－，所以λ＝－.
例2　(1) －12a　(2) 5b　(3) －a＋5b－2c
跟蹤訓練　(1) a－7b　(2) 13a
思考3：相同點：都是兩個量的運算；
不同點：前者結果為向量，后者結果為實數．
例3　在 ABCD中，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b.
由平行四邊形的兩條對角線互相平分，得
＝－＝－(a＋b)＝－a－b，
＝＝(a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b.
跟蹤訓練　D　解析：因為D為AB的中點，所以＝＝－，所以＝＋＝－＋.
【檢測反饋】
1. A　解析：對于A，因為λ2>0，所以a與λ2a的方向相同，故A正確；對于B，當λ<0時，－λ>0，則a與－λa的方向相同，故B錯誤；對于C，因為|λa|＝|λ||a|，當λ<0時，|λa|＝|λ||a|＝－λ|a|，故C錯誤；對于D，|－λa|＝|λ||a|，當λ>0時，|－λa|＝|λ||a|＝λ|a|，故D錯誤．
2. C　解析：因為＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋(＋)＋＝＋＋＋.又＋＋＋＝0，所以＝(－－)＋＋＝＋＝－，即＝－＋.
3. ABD　解析：根據向量的數乘運算律知A，B正確；對于C，若ma＝mb(m∈R)，當 m＝0時，無法得到a＝b，故C錯誤；對于D，若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，則m＝n成立，故D正確．故選ABD.
4. 　解析：由－4＋3＝0，得－＝3－3，即＝3，則A，B，C三點共線，且點C在BA的反向延長線上，如圖所示，則＝.
5. 因為E是AD的中點，F是BC的中點，
所以＝－，＝－，
所以 2＝＋＋＋＋＋＝＋，
所以＝(＋).

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