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6．2.3　向量的數乘運算(2)
理解兩個平面向量共線(平行)的條件及含義．
活動一 掌握向量共線的充要條件
例1　已知D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點，求證：與共線，并將用線性表示．
思考1
向量a(a≠0)與b共線的充要條件是什么？
思考2
已知b＝λa，若兩個向量中有零向量，求λ的值．
活動二 掌握向量共線的充要條件的應用
例2　(1) 已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1和e2不共線．求證：向量a＋b與向量6e1－2e2共線；
(2) 設非零向量a，b不共線，向量c＝ka＋b，d＝a＋kb(k∈R)，若c∥d，求k的值．
兩個非零向量共線的充要條件是存在唯一一個實數λ，使b＝λa.若a，b中的一個是零向量，則a與b必共線．
已知向量a，b，滿足(a＋3b)－(a－b)＝(3a＋2b)，求證：向量a與b共線．
例3　如圖，已知任意兩個非零向量a，b，試作＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b.猜想A，B，C三點之間的位置關系，并證明你的猜想．
　
利用向量共線得三點共線時，務必要說明有個公共點．
設e1，e2是兩個不共線的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求證：A，B，D三點共線．
1. 設D為△ABC所在平面內的一點，若＝3，則下列關系中正確的是(　　)
A. ＝－＋ B. ＝－
C. ＝＋ D. ＝－
2. (2023高一單元測試)已知O為正三角形ABC所在平面內一點，且滿足＋λ＋(1＋λ)＝0.若△OAC的面積與△OAB的面積之比為1∶4，則λ的值為(　　)
A. 　 B. 　 C. 2　 D. 3
3. (多選)已知向量a，b是兩個非零向量，則下列條件中一定能使a，b共線的是(　　)
A. 2a－3b＝4e，且a＋2b＝－2e
B. 存在相異實數λ，μ，使λa－μb＝0
C. xa＋yb＝0(實數x，y滿足x＋y＝0)
D. 已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
4. (2023惠州高一期中)如圖，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________．
5. 已知非零向量e1，e2不共線．
(1) 若a＝e1－e2，b＝3e1－2e2，判斷向量a，b是否共線；
(2) 若＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求證：A，B，D三點共線．
【答案解析】
6．2.3　向量的數乘運算(2)
【活動方案】
例1　因為D，E分別是AB，AC的中點，
所以DE∥BC，所以與共線．
又DE＝BC，且與同向，
所以＝.
思考1：存在唯一一個實數λ，使b＝λa.
思考2：當a＝0，b＝0時，λ為任意實數；當a≠0，b＝0時，λ＝0；當a＝0，b≠0時，λ不存在．
例2　(1) 因為a＋b＝3e1－e2＝(6e1－2e2)，
所以a＋b與6e1－2e2共線．
(2) 因為c∥d，所以c與d共線，
所以存在實數λ，使得c＝λd，
即ka＋b＝λ(a＋kb).
又a，b不共線，故k＝±1.
跟蹤訓練　由題意，得2(a＋3b)－5(a－b)＝2(3a＋2b)，即2a＋6b－5a＋5b＝6a＋4b，即－9a＝－7b，
所以a＝b，所以向量a與b共線．
例3　分別作向量，，，過點A，C作直線AC(如圖).觀察發現，不論向量a，b怎樣變化，點B始終在直線AC上，猜想A，B，C三點共線．
因為＝－＝a＋2b－(a＋b)＝b，
＝－＝a＋3b－(a＋b)＝2b，
所以＝2，
所以與共線．
又存在公共點A，
故A，B，C三點共線．
跟蹤訓練　因為＝2e1－8e2，＝－＝e1－4e2，
所以＝2，所以與共線．
又存在公共點B，所以A，B，D三點共線．
【檢測反饋】
1. A　解析：因為＝3，所以－＝3(－)，所以＝－＋.
2. B　解析：因為＋λ＋(1＋λ)＝0, 所以＋＋λ(＋)＝0.如圖，D，E分別是對應邊的中點，由平行四邊形法則知＋＝2，λ(＋)＝2λ，故＝－λ.在正三角形ABC中，因為S△COA＝S△AOB＝×S△ABC＝S△ABC，S△COB＝S△ABC－S△ABC－S△ABC＝S△ABC，且△AOC與△COB的底邊相等，面積之比為，所以＝，得λ＝.
3. AB　解析：對于A，因為向量a，b是兩個非零向量，2a－3b＝4e，且a＋2b＝－2e，解得a＝e，b＝－e，所以a＝－b，所以a，b共線，故A正確；對于B，存在相異實數λ，μ，使λa－μb＝0，則b＝a，故B正確；對于C，若x＝y＝0，則不能使a，b共線，故C錯誤；對于D，若AB，CD是梯形的上、下底，則正確，否則錯誤．故選AB.
4. 　解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋×＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，故λ＋μ＝＋＝.
5. (1) 因為b＝6a，所以a與b共線．
(2) 因為＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
所以，共線，
又存在公共點B，
所以A，B，D三點共線．

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