資源簡介

6．2.4　向量的數(shù)量積(1)
1. 通過物理中功等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的概念及物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．
2. 了解平面向量的投影向量的含義．
活動(dòng)一 掌握平面向量的數(shù)量積的定義
1. 平面向量數(shù)量積的引入：
(1) 前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算．類比數(shù)的運(yùn)算，出現(xiàn)了一個(gè)自然的問題：向量能否相乘？
(2) 如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么該力對此物體所做的功為多少？(在物理中這個(gè)問題是如何解決的？)
2. 向量夾角的概念：
3. 向量數(shù)量積(或內(nèi)積)的概念：
注意：(1) 按照向量夾角的定義，只有兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對應(yīng)的角才是兩向量的夾角．如圖，∠CAB不是向量與的夾角，∠DAB(即π－∠CAB)才是向量與的夾角；
(2) 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，正負(fù)由cos θ決定；
(3) 兩個(gè)向量的數(shù)量積與之前學(xué)過的數(shù)的乘法是有區(qū)別的，書寫時(shí)絕不能混淆，符號“·”在向量運(yùn)算中不能省略，也不能用“×”代替．
思考1
實(shí)數(shù)與向量的積和向量的數(shù)量積的區(qū)別是什么？
活動(dòng)二　掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用　
例1　設(shè)|a|＝12，|b|＝9，a·b＝－54 ，求a與b的夾角θ.
在求兩個(gè)向量的數(shù)量積時(shí)，只要知道兩個(gè)向量的模以及它們夾角的大小．注意兩個(gè)向量平行時(shí)，夾角可能為0°，也可能為180°.
已知向量a與向量b的夾角為θ，|a|＝2，|b|＝3，分別在下列條件下求a·b.
(1) θ＝135°；　　　　(2) θ＝60°；
(3) a∥b；　　　　 　(4) a⊥b.
例2　已知正三角形ABC的邊長為2，設(shè)＝a，＝b，＝c，求a·b＋b·c＋c·a.
兩個(gè)向量的夾角，應(yīng)該是把它們平移到同一個(gè)起點(diǎn)，否則容易搞錯(cuò)夾角的大小．
在△ABC中，AB＝AC，非零向量與滿足·＝，試判斷△ABC的形狀．
活動(dòng)三　了解平面向量的投影向量的意義　
4. 平面向量的投影向量的定義：
如圖1，設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，＝a，＝b，我們考慮如下的變換：過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，叫作向量a在向量b上的投影向量．
如圖2，我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，過點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量．
圖1 圖2　　　
思考2
如圖2，設(shè)與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，那么與e，a，θ之間有怎樣的關(guān)系？
例3　已知|a|＝6，e為單位向量，當(dāng)它們之間的夾角θ分別等于45°，90°，135°時(shí)，求出a在向量e上的投影向量，并畫圖說明．
1. 投影向量也是向量，相當(dāng)于一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的分解．
2. 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得到以下性質(zhì)：(1) a⊥b a·b＝0；(2) 當(dāng)a與b同向
時(shí)，a·b＝|a||b|，當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a||b|，特別地，a·a＝|a|2，|a|＝；(3) |a·b|≤|a||b|.
已知|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－6，且與向量a，向量b的同方向的單位向量分別為e1和e2.
(1) 向量a在向量e2上的投影向量為________；
(2) 向量b在向量e1上的投影向量為________．
1. 下列關(guān)系式：①0·a＝0；②a2＝|a|2；③|a·b|≤a·b；④(a·b)2＝a2·b2.其中正確的個(gè)數(shù)是(　　)
A. 1　 B. 2 C. 3 D. 4
2. (2023石家莊高一期末)已知△ABC是等邊三角形，邊長為2，則·等于(　　)
A. 2　 B. －2　 C. 　 D. －
3. (多選)已知a，b，c是三個(gè)非零向量，則下列命題中是真命題的為(　　)
A. |a·b|＝|a||b| a∥b　　 B. a，b反向 a·b＝－|a||b|
C. a⊥b |a＋b|＝|a－b|　　 D. |a|＝|b| |a·c|＝|b·c|
4. 若|a|＝5，a·b＝10，且a與b的夾角為60°，則|b|＝________．
5. (2023佛山高一階段練習(xí))設(shè)e1，e2是兩個(gè)夾角為的單位向量，且a＝2e1＋e2.
(1) 求e1·e2和|a|；
(2) 設(shè)b＝－3e1＋2e2，求向量a，b的夾角θ的大小．
【答案解析】
6．2.4　向量的數(shù)量積(1)
【活動(dòng)方案】
1. (1) 能
(2) 設(shè)力F與位移s的夾角為θ，則F所做的功W應(yīng)為W＝|F||s|cos θ.
2. 已知兩個(gè)非零向量a，b(如圖)，O是平面上的任意一點(diǎn)，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a與b的夾角．
3. 已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角是θ，我們把數(shù)量|a||b|cos θ叫作向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
思考1：實(shí)數(shù)與向量的積是向量，向量的數(shù)量積是實(shí)數(shù)．
例1　由a·b＝|a||b|cos θ，
得cos θ＝＝＝－.
因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝.
跟蹤訓(xùn)練　(1) －3　(2) 3　(3) 6或－6　(4) 0
例2　a·b＋b·c＋c·a＝|a||b|cos 120°＋|b||c|·cos 120°＋|c||a|cos 120°＝3×＝－2×3＝－6.
跟蹤訓(xùn)練　因?yàn)椤ぃ剑?br/>所以·＝||||，
所以cos A＝，所以A＝.
又AB＝AC，所以△ABC為等邊三角形．
思考2：顯然與e共線，則有＝λe.
當(dāng)θ為銳角時(shí)，與e方向相同，λ＝||＝|a|cos θ，所以＝||e＝|a|cos θ e；
當(dāng)θ為直角時(shí)，λ＝0，所以＝0＝|a|cos e；
當(dāng)θ為鈍角時(shí)，與e方向相反，所以λ＝－||＝－|a|cos ∠MOM1＝－|a|cos (π－θ)＝|a|cos θ，＝|a|cos θ e，
當(dāng)θ＝0時(shí)，λ＝|a|，所以||＝|a|e＝|a|cos 0 e；
當(dāng)θ＝π時(shí)，λ＝－|a|，所以＝－|a|e＝|a|cos π e.
綜上，對于任意的θ∈[0，π]，都有＝|a|cos θ e.
例3　如圖，a在向量e上的投影向量分別為3e，0，－3e.
圖1 圖2 圖3
跟蹤訓(xùn)練　(1) －e2　解析：設(shè)向量a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－.因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝，所以向量a在向量e2上的投影向量為|a|cos θe2＝－e2.
(2) －2e1　解析：由(1)得，向量a與b的夾角為 θ＝，則向量b在向量e1上的投影向量為|b|cos θe1＝－2e1.
【檢測反饋】
1. A　解析：對于①，0·a＝0，向量數(shù)乘的結(jié)果還是向量，故①錯(cuò)誤；對于②，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算可判斷得出②正確；對于③，|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|，a·b＝|a|·|b|·cos θ，故|a·b|≥a·b，故③錯(cuò)誤；對于④，(a·b)2＝(|a|·|b|cos θ)2＝a2·b2cos 2θ≠a2·b2，故④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為1.
2. B　解析：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，邊長為2，所以·＝－·＝－||·||cos 60°＝－2×2×＝－2.
3. ABC　解析：對于A，因?yàn)閍·b＝|a||b|cos θ(θ為a與b的夾角)，所以由|a·b|＝|a|·|b|及a，b為非零向量可得|cos θ|＝1，所以θ＝0或θ＝π，所以a∥b，且以上各步均可逆，故A是真命題；對于B，若a，b反向，則a，b的夾角為π，所以a·b＝|a||b|cos π＝－|a||b|，且以上各步均可逆，故B是真命題；對于C，當(dāng)a⊥b時(shí)，將向量a，b的起點(diǎn)移至同一點(diǎn)，以向量a，b為鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對角線長相等，即有|a＋b|＝|a－b|.反過來，若|a＋b|＝|a－b|，則以a，b為鄰邊的四邊形為矩形，所以a⊥b，故C是真命題；對于D，當(dāng)|a|＝|b|，但a與c的夾角和b與c的夾角不等時(shí)，就有|a·c|≠|(zhì)b·c|，反過來，由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故D是假命題．故選ABC.
4. 4　解析：因?yàn)閍·b＝10，|a|＝5，a與b的夾角為60°，所以|a|·|b|cos 60°＝10，所以|b|＝4.
5. (1) 因?yàn)閑1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，
所以|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝.
因?yàn)閍＝2e1＋e2，
所以|a|＝＝＝.
(2) 由(1)知e1·e2＝，
由b＝－3e1＋2e2，得|b|＝＝＝，
則a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－，
所以cos θ＝＝－.
因?yàn)棣取蔥0，π]，所以θ＝，
所以向量a，b的夾角θ的大小為.

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