資源簡介

6．2.4　向量的數量積(2)
進一步掌握平面向量數量積的概念及幾何性質，掌握平面向量數量積的運算律，綜合運用數量積的相關知識解決向量的模、夾角、向量垂直等問題．
活動一 向量數量積的運算律
思考1
類比數的乘法運算律，結合向量的線性運算的運算律，你能得到數量積運算的哪些運算律？
例1　我們知道，對任意a，b∈R，恒有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)(a－b)＝a2－b2.對任意向量a，b，是否也有下面類似的結論？
(1) (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(2) (a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
思考2
設a，b，c是向量，(a·b)c＝a(b·c)一定成立嗎？為什么？
活動二 掌握向量的模
例2　(1) 已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b的夾角為150°，求|a＋b|；
(2) 已知|a|＝2，|b|＝1，a與b之間的夾角為，求|a－4b|.
因為|a|2＝|a|·|a|cos 0°＝a·a，所以要求向量的模，先求模的平方．
求證：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和．
活動三 掌握向量的夾角
例3　已知|a|＝1，|b|＝，且a－b與a垂直，求a與b的夾角．
因為向量的數量積中涉及向量的夾角，所以解決向量的夾角時，聯想到數量積的定義．但要注意夾角為銳角時，要同時滿足a·b>0且a與b不同向，夾角為鈍角時，要同時滿足a·b<0且a與b不反向．
設兩個向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1與e2的夾角為，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實數t的取值范圍．
活動四　掌握兩個向量垂直的判斷與應用
例4　設|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb與a－λb垂直，則λ＝________．
兩個向量垂直的充要條件是a·b＝0.
已知a，b都是非零向量，且a＋3b與7a－5b垂直，a－4b與7a－2b垂直，求a與b的夾角θ的大小．
1. 已知平面向量a，b滿足|a|＝，|b|＝1，a⊥(a＋2b)，則向量a，b的夾角為(　　)
A. B. C. D.
2. (2023菏澤東明一中高一階段練習)下列關系中，正確的個數是(　　)
①a－a＝0·a；②|a|＋|b|>|a＋b|；③|λa|＝|λ||a|；④|a·b|≤|a||b|；⑤(a±b)2＝a2±b2.
A. 0　 B. 1　 C. 2　 D. 3
3. (多選)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結論中正確的是(　　)
A. a為單位向量 B. b為單位向量
C. a⊥b D. (4a＋b)⊥
4. 如圖，已知圓O為△ABC的外接圓，AB＝6，BC＝7，CA＝8，則·＋·＋·＝________．
5. (2023西安高一期中)已知|a|＝2，|b|＝3.
(1) 若a∥b，求(a＋2b)·(a－b)的值；
(2) 若a與b的夾角為120°，求b在a－b方向上的投影向量的模．
【答案解析】
6．2.4　向量的數量積(2)
【活動方案】
思考1：對于向量a，b，c和實數λ，有
①a·b＝b·a；
②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
例1　(1) (a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.
(2) (a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2.
因此，上述結論是成立的．
思考2：因為a·b為實數，b·c為實數，所以(a·b)·c與c共線，(b·c)a與a共線．又a，c不一定共線，所以等式不一定成立．
例2　(1) |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 150°＝9＋16＋2×3×4×＝25－12，
所以|a＋b|＝.
(2) |a－4b|2＝|a|2＋16|b|2－8|a||b|cos ＝4＋16－8×2×1×＝12，
所以|a－4b|＝2.
跟蹤訓練　||2＋||2＝(＋)2＋(＋)2＝||2＋||2＋||2＋||2－2||·||·cos ∠ABC－2||·||·cos ∠BCD＝||2＋||2＋||2＋||2.
例3　設a與b的夾角為θ.
因為(a－b)⊥a，
所以a－b與a的夾角為90°，
所以(a－b)·a＝a2－a·b＝1－cos θ＝0，
所以cos θ＝.
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
跟蹤訓練　由題意，得(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te＋7te＋(2t2＋7)·e1·e2＝8t＋7t＋(2t2＋7)×2×1×＝2t2＋15t＋7<0，解得－7若2te1＋7e2與e1＋te2反向平行，則t2＝，
所以t≠－，
所以實數t的取值范圍為(－7，－)∪(－，－).
例4　±　解析：由題意，得(a＋λb)·(a－λb)＝|a|2－λ2|b|2＝0，所以9－25λ2＝0，則λ＝±.
跟蹤訓練　由題意，得(a＋3b)·(7a－5b)＝7a2－15b2＋16a·b＝0，①
(a－4b)·(7a－2b)＝7a2＋8b2－30a·b＝0.②
由①②，得b2＝2a·b，
代入①，得a2＝2a·b，所以|a|＝|b|，
所以cos θ＝＝，
所以a與b的夾角為.
【檢測反饋】
1. D　解析：因為a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝0，即a2＋2a·b＝0，所以a·b＝－1.設a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝＝－.因為θ∈[0，π]，所以θ＝.
2. D　解析：對于①，a－a＝0，0·a＝0，故①正確；對于②，設向量a與b的夾角為θ∈[0，π]，則cos θ∈[－1，1]，|a＋b|＝＝＝≤＝|a|＋|b|，當且僅當θ＝0時，取得等號，故②錯誤；對于③，根據數乘的性質可直接判斷，|λa|＝|λ||a|，故③正確；對于④，設向量a與b的夾角為θ∈[0，π]，則cos θ∈[－1，1]，|a·b|＝|a|·|b|·|cos θ|≤|a|·|b|，故④正確；對于⑤，(a±b)2＝|a|2±2|a||b|cos θ＋|b|2，故⑤錯誤．綜上，正確的個數為3.
3. AD　解析：因為等邊三角形ABC的邊長為2，＝2a，所以||＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故A正確；因為＝＋＝2a＋，所以＝b，所以|b|＝2，故B錯誤；因為＝2a，＝b，所以a與b的夾角為120°，故C錯誤；因為(4a＋b)·＝4a·b＋|b|2＝4×1×2×＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，故D正確．故選AD.
4. －　解析：由題意，得·＝||||·cos (π－∠OAB)＝－||||·cos ∠OAB＝－||2.同理，·＝－||2，·＝－||2，所以·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－.
5. (1) (a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝22－2×32＋a·b＝a·b－14.
因為a∥b，所以a，b的方向相同或相反．
①若a，b的方向相同，則a·b＝|a|·|b|＝2×3＝6，
則(a＋2b)·(a－b)＝a·b－14＝6－14＝－8；
②若a，b的方向相反，則a·b＝－|a|·|b|＝－2×3＝－6，
則(a＋2b)·(a－b)＝a·b－14＝－6－14＝－20.
綜上，(a＋2b)·(a－b)的值為－8或－20.
(2) 因為a與b的夾角為120°，且|a|＝2，|b|＝3，
所以a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×(－)＝－3，
所以b·(a－b)＝a·b－b2＝－3－32＝－12，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝4－2×(－3)＋9＝19，
所以b在a－b方向上的投影向量的模為||b|cos 〈b，a－b〉|＝|b|·＝＝＝.

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