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6．3　平面向量基本定理及坐標表示
6.3.1　平面向量基本定理
理解平面向量基本定理及其意義，會用平面內兩個不共線的向量表示平面內任一向量．
活動一 平面向量基本定理
火箭在升空的某一時刻，速度可以分解成豎直向上和水平向前的兩個分速度．
　　
探究1：平面內任一向量都可以用這一平面內給定的兩個不共線向量表示嗎？如圖，已知平面中兩個不共線向量e1，e2，a是平面內的任一向量，則向量a如何用e1與e2表示？其作法體現了向量的什么運算？試試自己畫出另一個向量，也用e1與e2表示．
探究2：平面內的任一向量a都可以用任意兩個向量表示嗎？
1. 平面向量基本定理：
2. 基底：
對于一個平面內兩個不共線的向量e1，e2有如下結論：①任何一個向量a都可以表示成e1與e2的一個線性組合，即a＝λ1e1＋λ2e2(存在性)；②這個線性組合的表達式是唯一的，即實數λ1，λ2唯一確定(唯一性).
活動二 掌握平面向量基本定理的簡單應用
例1　如圖，，不共線，且＝t(t∈R)，用，表示.
思考
觀察＝(1－t)＋t，你有什么發現？
平面上三點共線的向量表示的一般結論：平面上三點A，B，C共線的等價條件是存在實數λ，μ，使得＝λ＋μ，其中λ＋μ＝1，O為平面內任意一點．
在△OAB所在平面內，若點C滿足＝m＋n，且A，B，C三點共線，求證：m＋n＝1.
例2　設e1，e2是兩個不共線的非零向量，已知a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1) 求證：a，b可作為一個基底；
(2) 以a，b為基底，將向量c＝3e1－e2用a，b表示．
兩個向量能作為基底的條件是不共線，平面向量基本定理的本質是通過一個基底的線性運算，得到一個新的向量，也可以認為是一個向量在一個基底向量的兩個方向上的分解．
在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，用a，b表示.
活動三　掌握平面向量基本定理的綜合應用　
例3　已知在△OAB中，點C和點B關于點A對稱，D是OB上靠近點B的三等分點，設＝a，＝b，用a，b表示，.
將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量，基本方法有兩種：一種是運用向量的線性運算對所求向量不斷地進行轉化，直至用基底表示為止；另一種是通過列向量方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．
在△OAB中，＝a，＝b，M，N分別是邊OA，OB上的點，且＝a，＝b，設AN與BM相交于點P，試用a，b表示.
1. (2023天津濱海新區高一期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BC的中點，F是線段AE上靠近點A的三等分點，則等于(　　)
A. －＋　 B. －
C. －　 D. －
2. 如圖，已知在△ABC中，D為AB的中點，＝，若＝λ＋μ，則λ＋μ等于(　　)
A. － B. －
C. D.
3. (多選)已知非零向量e1，e2，a，b滿足a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2(k∈R)，則下列結論中正確的是(　　)
A. 若e1與e2不共線，a與b共線，則k＝－2
B. 若e1與e2不共線，a與b共線，則k＝2
C. 存在k，使得a與b不共線，e1與e2共線
D. 不存在k，使得a與b不共線，e1與e2共線
4. 設e1，e2是兩個不共線的向量，實數λ，μ滿足3λe1＋(10－μ)e2＝(2μ＋1)e1＋2λe2，則λ＝________，μ＝________．
5. 已知在平行四邊形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，用e1，e2表示.
【答案解析】
6．3　平面向量基本定理及坐標表示
6.3.1　平面向量基本定理
【活動方案】
探究1：可以，作法略，向量的加法．畫圖略．
探究2：不可以，需要用兩個不共線向量．
1. 如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2. 若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫作表示這一平面內所有向量的一個基底．
例1　因為＝t，
所以＝＋＝＋t＝＋t(－)＝＋t－t＝(1－t)＋t.
思考：1－t＋t＝1.
跟蹤訓練　＝－＝(m－1)＋n.
因為A，B，C三點共線，
所以存在λ，使＝λ，
即(m－1)＋n＝λ＝－λ＋λ，
所以所以m＋n＝1.
例2　(1) 設a＝λb，則λ無解，所以a，b不共線，
所以a，b可作為一個基底．
(2) 設c＝ma＋nb＝(m＋n)e1＋(3n－2m)e2＝3e1－e2，
所以解得
所以c＝2a＋b.
跟蹤訓練　＝＋＝＋(＋)＝－＝b－a.
例3　＝＋＝＋＝＋＋＝2－＝2a－b；
＝＋＝－＋＝－b＋2a－b＝2a－b.
跟蹤訓練　設＝λ，＝μ，
則＝＋＝a＋λ＝a＋λb，
＝＋＝b＋μ＝μa＋b，
所以解得
所以＝a＋b.
【檢測反饋】
1. C　解析：＝－＝－＝(＋)－＝(＋)－＝－.
2. C　解析：因為＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝－＋，所以λ＝－，μ＝，則λ＋μ＝.
3. AD　解析：若e1與e2不共線，a與b共線，可得λa＝b(λ∈R)，即2λ＝k，－λ＝1，解得k＝－2，故A正確，B錯誤；若e1與e2共線，可得e1＝me2(m∈R)，a＝2e1－e2＝(2m－1)e2，b＝ke1＋e2＝(km＋1)e2，可得a與b共線，故C錯誤，D正確．故選AD.
4. 3　4　解析：由題意，得解得
5. 如圖，由題意，得＝－＝＋＝－＋(－)＝－e2＋(e2－e1)＝－e1＋e2.

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