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6．3.2　平面向量的正交分解及加、減運算的坐標表示
1. 掌握平面向量的正交分解及坐標表示．
2. 會用坐標表示平面向量的加、減運算．
活動一 理解平面向量的正交分解及坐標表示
1. 正交分解的定義：
思考1
我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都可用一對有序實數(即它的坐標)表示．那么，如何表示直角坐標平面內的一個向量呢？
問題：如圖：
(1) i，j為互相垂直的單位向量，請用i，j表示圖中的向量，，，這三個向量是否相等？如何用坐標表示一個向量？
(2) 寫出各個向量的起點和終點的坐標；
(3) 探究各個向量的起點坐標、終點坐標，與向量坐標之間的關系．
例1　如圖，已知O是坐標原點，點A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°，求向量的坐標．
從原點引出的向量的坐標(x，y)就是點M的坐標．　　
如圖，取與x軸，y軸相同方向的兩個單位向量i，j作為基底，分別用i，j表示，，，并求出它們的坐標．
活動二　平面向量加、減運算的坐標表示　
2. 平面向量的坐標運算．
根據平面向量坐標表示的幾何意義及向量的運算性質思考下列問題：
思考2
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，求a＋b，a－b.
兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和(差).
3. 平面向量的坐標運算的應用．
例2　在平面直角坐標系中，已知點A(－1，3)，B(1，－3)，C(4，1)，D(3，4)，求向量，，，的坐標．
思考3
例2中的四邊形OCDA是平行四邊形嗎？為什么？
一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標．
已知a＝(3，4)，b＝(－1，4)，求a＋b，a－b的坐標．
已知a＝(10，－4)，b＝(3，1)，c＝(－2，3)，試用b，c表示a.
1. 下列可作為正交分解的基底的是(　　)
A. 等邊三角形ABC中的和
B. 銳角三角形ABC中的和
C. 以角A為直角的直角三角形ABC中的和
D. 鈍角三角形ABC中的和
2. (2023全國高一專題練習)在四邊形ABCD中，A(－2，0)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，3)，E，F分別為AB，CD的中點，則等于(　　)
A. (4，2) B. (－4，－2) C. (8，4) D. (－8，－4)
3. (多選)已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，對平面內的任一向量a，下列結論中錯誤的是(　　)
A. 存在唯一的一對實數x，y，使得a＝(x，y)
B. 若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，則x1≠x2，且y1≠y2
C. 若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，則a的起點是原點O
D. 若x，y∈R，a≠0，且a的終點坐標是(x，y)，則a＝(x，y)
4. 已知平行四邊形ABCD的三個頂點A，B，C的坐標分別是A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，則頂點D的坐標為________.
5. (2023全國高一專題練習)如圖，已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角，求和的坐標．
【答案解析】
6．3.2　平面向量的正交分解及
加、減運算的坐標表示
【活動方案】
1. 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫作把向量作正交分解．
思考1：如圖，在平面直角坐標系中，設與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量分別為i，j，取{i，j}作為基底．對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj.這樣，平面內的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數對(x，y)叫作向量a的坐標，記作a＝(x，y)①.其中，x叫作a在x軸上的坐標，y叫作a在y軸上的坐標，①叫作向量a的坐標表示．
問題：(1) ＝＝＝4i＋2j.
存在有序數對x，y使a＝xi＋yj，把有序數對(x，y)稱為向量a的坐標．
(2) ：A(－5，－4)，B(－1，－2)；
：O(0，0)，C(4，2)；
：D(2，4)，E(6，6).
(3) 向量坐標＝終點坐標－起點坐標．
例1　設點A(x，y)，所以x＝OA·cos 60°＝2，
y＝OA·sin 60°＝6，所以點A(2，6)，
所以＝(2－0，6－0)＝(2，6).
跟蹤訓練　＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－＝－4i＋2j.　
它們的坐標表示為＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2).
思考2：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2).
例2　＝(－1，3)，＝(1，－3)，＝(1，－3)，＝(－1，3).
思考3：是，因為與為相等向量且不重合，所以OA∥CD，OA＝CD，所以四邊形OCDA是平行四邊形．
跟蹤訓練1　a＋b＝(2，8)，a－b＝(4，0).
跟蹤訓練2　設a＝mb＋nc，則a＝(3m－2n，m＋3n)，即解得所以a＝2b－2c.
【檢測反饋】
1. C　解析：A中，與的夾角為60°；B中，與的夾角為銳角；D中，與的夾角為銳角或鈍角，故A，B，D都不符合題意；C中，與的夾角為90°，故C符合題意．
2. A　解析：因為A(－2，0)，B(－1，3)，C(3，4)，D(2，3)，E，F分別為AB，CD的中點，所以E，F，所以＝－＝(4，2).
3. BCD　解析：由平面向量基本定理，可知A中結論正確；若a＝(1，0)≠(1，3)，1＝1，0≠3，故B錯誤；因為向量可以平移，所以a＝(x，y)與a的起點是不是原點無關，故C錯誤；當a的終點坐標是(x，y)時，a＝(x，y)是以a的起點是原點為前提的，故D錯誤．故選BCD.
4. (2，2)　解析：設點D(x，y).在平行四邊形ABCD中，＝，即(3－x，4－y)＝(1，2)，所以點D的坐標為(2，2).
5. 由題意，得B，D分別是30°，120°角的終邊與單位圓的交點．
設B(x1，y1)，D(x2，y2).由三角函數的定義，
得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，
所以B.
x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝，
所以D.
因為A(0，0)，
所以＝，＝，
所以＝＋＝，＝－＝.

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