資源簡介

6．3.3　平面向量數乘運算的坐標表示
1. 會用坐標表示平面向量的數乘運算．
2. 理解用坐標表示的平面向量共線的條件．
活動一 平面向量的數乘運算
思考1
已知a＝(x，y)，你能得出λa的坐標嗎？
例1　已知a＝(2，1)，b＝(－3，4)，求3a＋4b的坐標．
活動二 掌握向量共線的坐標表示
思考2
在平面直角坐標系中作出向量a＝(1，－4)與b＝(－2，8).
(1) 觀察它們是否共線？
(2) 觀察它們的坐標間滿足什么關系？
(3) 由此可以得到什么結論？能再舉一些例子嗎？
思考3
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，x1，y1不同時為零，如果a∥b，那么相應向量的坐標有什么關系？如果它們的坐標滿足上述關系，那么向量a，b共線嗎？
　　
活動三 掌握向量共線的坐標表示的應用
例2　已知a＝(1，0)，b＝(2，1)，當實數k為何值時，向量ka－b與a＋3b共線？并確定此時它們是同向還是反向．
根據兩個向量共線的充要條件x1y2－x2y1＝0去解決問題，其中(x1，y1)，(x2，y2)分別表示兩個向量的坐標．
已知a＝(1，2)，b＝(x，1)，若a＋2b與2a－b共線，則x的值為________．
例3　已知點O，A，B，C的坐標分別為(0，0)，(3，4)，(－1，2)，(1，1)，是否存在常數t，使得＋t＝成立？解釋你所得結論的幾何意義．
向量a＝(x1，y1)(a≠0)與b＝(x2，y2)共線，可以表示為x1y2－x2y1＝0，也可以表示為b＝λa.
已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(3，－1)，t∈R.若a－tb＝kc，求t的值．
例4　已知點A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x).
(1) 求實數x的值，使向量與共線；
(2) 當向量與共線時，點A，B，C，D是否在同一條直線上？
已知點A(0，－2)，B(2，2)，C(3，4)，求證：A，B，C三點共線．
例5　設P是線段P1P2上的一點，點P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).當P是線段P1P2的中點時，求點P的坐標．
如圖，線段P1P2的端點P1，P2的坐標分別是(x1，y1)，(x2，y2).當P是線段P1P2上的一點，且＝λ時，求點P的坐標．
1. (2023南昌高一聯考)已知平面向量a＝(－2，3)，b＝(x，－3)，若(b－a)∥b，則x的值為(　　)
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
2. (2023綦江高一期中)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若(ka＋b)∥(a－3b)，則k的值是(　　)
A. 1 B. C. － D. －1
3. (多選)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，則b的坐標可能是(　　)
A. (4，8) B. (4，－8) C. (－4，－8) D. (－4，8)
4. 已知平行四邊形ABCD四個頂點的坐標為A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，則x＝________.
5. 平面內給定三個向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).
(1) 若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數k的值；
(2) 若d＝(x，y)滿足(d－c)∥(a＋b)，且(d＋c)∥(a－b)，求d的坐標．
【答案解析】
6．3.3　平面向量數乘運算的坐標表示
【活動方案】
思考1：λa＝(λx，λy).
例1　3a＋4b＝3(2，1)＋4(－3，4)＝(6，3)＋(－12，16)＝(－6，19).
思考2：作圖略．
(1) a，b共線．　(2) 1×8－(－4)×(－2)＝0.
(3) 設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，若x1y2－x2y1＝0，則a∥b.舉例略．
思考3：x1y2－x2y1＝0，共線．　
例2　由題意，得ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7，3)，
所以3k－6＝－7，解得k＝－，
此時ka－b＝－(a＋3b)，它們是反向的．
跟蹤訓練　　解析：由題意，得a＋2b＝(1＋2x，4)，2a－b＝(2－x，3)，則3(1＋2x)－4(2－x)＝0，解得x＝.
例3　t＝(－t，2t)＝－＝(－2，－3)，t無解，所以不存在常數t，使得＋t＝成立．
幾何意義：與不共線．
跟蹤訓練　a－tb＝(－3－2t，2－t)，c＝(3，－1).
因為a－tb＝kc，所以a－tb與c共線，
所以(－3－2t)×(－1)＝3(2－t)，
解得t＝.
例4　(1) 因為＝(x，1)，＝(4，x)，
所以x2－4＝0，解得x＝±2.
(2) ＝(2－2x，x－1).
①當x＝2時，＝(2，1)，＝(－2，1)，
所以A，B，C三點不共線，則點A，B，C，D不在同一條直線上；
②當x＝－2時，＝(－2，1)，＝(6，－3)，
所以＝－，且有公共點B，
所以A，B，C三點共線．
又向量和共線，
所以點A，B，C，D在同一條直線上．
跟蹤訓練　由題意，得＝(2，4)，＝(3，6)，
所以＝，且有公共點A，
所以A，B，C三點共線．
例5　如圖，由向量的線性運算可知＝(＋)＝，
所以點P的坐標是.
跟蹤訓練　因為＝＋＝＋·＝＋(－)＝＋＝，
所以點P的坐標為.
【檢測反饋】
1. C　解析：因為a＝(－2，3)，b＝(x，－3)，所以b－a＝(x＋2，－6).因為(b－a)∥b，所以－6x－(x＋2)×(－3)＝0，解得x＝2.
2. C　解析：由a＝(1，2)，b＝(－3，2)，得ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4).因為(ka＋b)∥(a－3b)，所以＝，整理，得－4k＋12＝20k＋20，解得k＝－.
3. BD　解析：因為|b|＝4|a|且a∥b，所以b＝4a＝(4，－8)或b＝－4a＝(－4，8).故選BD.
4. 5　解析：由題意，得∥，＝(－2，x－7)，＝(－2，3－x)，則－2(3－x)＝－2(x－7)，解得x＝5.
5. (1) a＋kc＝(4k＋3，k＋2)，2b－a＝(－5，2)，
由(a＋kc)∥(2b－a)，得8k＋6＝－5k－10，解得k＝－.
(2) d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2，4)，
d＋c＝(x＋4，y＋1)，a－b＝(4，0).
由(d－c)∥(a＋b)，得4x－16＝2y－2，
由(d＋c)∥(a－b)，得4y＋4＝0，
所以
所以d＝(3，－1).

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