資源簡介

6．3.4　平面向量數量積的坐標表示
1. 掌握平面向量數量積的坐標表示．
2. 掌握向量垂直的坐標表示．
活動一 掌握平面向量數量積的坐標表示
1. 兩個非零平面向量a與b垂直的等價條件：
2. 設x軸上單位向量為i，y軸上單位向量為j，則i·i＝________，j·j＝________，i·j＝j·i＝________．　
3. 若兩個向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).i，j分別是x軸，y軸上的單位向量．
(1) 將a，b用向量i和j表示；
(2) 根據向量數量積的定義及上面的結論計算a·b；
(3) 由(1)(2)得出用a，b的坐標來表示它們的數量積a·b.
4. 平面向量數量積的坐標表示．
(1) 平面向量數量積的坐標表示：
根據上述探究，如果兩個向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么平面兩向量數量積的坐標表示為：
特別地，設a＝(x，y)，則a·a的幾何意義是什么？你能得到什么結論？(|a|2＝？，即|a|＝？)
(2) 平面內兩點間的距離公式：
①已知兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，求；
②能否用(1)的結論求||
③||的幾何意義是什么？
④根據①②③得出A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離公式．
(3) 兩向量夾角的余弦(0≤θ≤π)：
①設兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它們的夾角是θ，根據向量數量積的定義，如何用向量a和b的坐標來表示它們夾角的余弦？
②特別地，若a⊥b，則向量a和b的坐標滿足什么條件？
③反之，向量a和b的坐標滿足上述條件，則a⊥b成立嗎？
由此得出：a⊥b a·b＝0 __________.
活動二 掌握平面向量數量積的坐標表示的應用
例1　若點A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，則△ABC是什么形狀？證明你的猜想．
因為兩個平面向量垂直的充要條件是a·b＝0，又兩個向量的數量積的坐標運算為a·b＝x1x2＋y1y2，所以在平面直角坐標系中，要得到垂直關系，只要說明x1x2＋y1y2＝0，其中(x1，y1)，(x2，y2)分別表示兩個向量的坐標．
在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，且△ABC是直角三角形，求k的值．
例2　已知a＝(3，－1)，b＝(1，2)，求滿足x·a＝9與x·b＝4的向量x.
已知a＝(4，3)，則與a垂直的單位向量的坐標是____________________．
例3　已知平面向量a＝(－，)，b＝(－，－1).
(1) 求證：a⊥b；
(2) 若存在不同時為零的實數k，t，使得x＝a＋(t2－2)b，y＝－ka＋t2b，且x⊥y，試把k表示為t的函數．
利用兩個平面向量垂直的充要條件x1x2＋y1y2＝0，列出相應的關系，從而解決一些相關問題．
在平面直角坐標系xOy中，已知向量a＝(，－1)，b＝(cos 60°，sin 60°).
(1) 求證：|a|＝2|b|，且a⊥b；
(2) 設向量x＝a＋(t＋4)b，y＝a＋tb，且x⊥y，求實數t的值．
1. 若向量a＝(1，x)，b＝(1－x，2)，且a⊥(a－b)，則x的值為(　　)
A. －1 B. 0 C. 1 D. 0或1
2. (2023黔東一中模擬)已知向量a＝(1，0)，b＝(－，)，記向量a與b的夾角為θ，則cos 2θ等于(　　)
A. B. － C. D. －
3. (多選)已知點A(2，4)，B(4，1)，C(9，5)，D(7，8)，則下列結論中正確的是(　　)
A. ⊥
B. 四邊形ABCD為平行四邊形
C. 與 夾角θ的余弦值為
D. |＋|＝
4. 已知點A(7，5)，B(2，3)，C(6，－7)，那么△ABC的形狀為____________．
5. (2023天津濱海新區高一期中)已知向量a＝(－1，3)，b＝(1，－2).
(1) 求|a＋2b|；
(2) 若(a－b)∥(a＋kb)，求k的值；
(3) 若a－b與a＋kb的夾角為銳角，求k的取值范圍．
【答案解析】
6．3.4　平面向量數量積的坐標表示
【活動方案】
1. a·b＝0
2. 1　1　0
3. (1) a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.
(2) a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2＋y1y2.
(3) a·b＝x1x2＋y1y2.
4. (1) a·b＝x1x2＋y1y2
a·a的幾何意義是向量a在向量a上的投影向量與向量a的數量積．
|a|2＝x2＋y2，即|a|＝．
(2) ①＝(x2－x1，y2－y1)
②||＝
③表示A，B兩點間的距離．
④AB＝
(3) ①cos θ＝＝
②x1x2＋y1y2＝0
③成立
x1x2＋y1y2＝0
例1　在平面直角坐標系中畫出點A，B，C(畫圖略)發現△ABC是直角三角形，證明如下：
由題意，得＝(1，1)，＝(－3，3)，
所以·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形．
跟蹤訓練　由題意，得＝－＝(－1，k－3).
①當∠BAC＝90°，
即·＝2＋3k＝0時，k＝－；
②當∠ABC＝90°，
即·＝－2＋3k－9＝0時，k＝；
③當∠ACB＝90°，
即·＝－1＋k2－3k＝0時，k＝.
綜上，k的值為－或或或.
例2　設x＝(m，n)，
則解得
所以x＝.
跟蹤訓練　或　解析：設與a垂直的單位向量為(x，y)，則解得或所以所求的單位向量為或(－，).
例3　(1) 因為a·b＝·(－，－1)＝－＝0，所以a⊥b.
(2) |a|2＝＋＝1，|b|2＝3＋1＝4，
x·y＝[a＋(t2－2)b]·(－ka＋t2b)＝0，
即－k＋4t2(t2－2)＋(t2－kt2＋2k)a·b＝0，
所以k＝4t4－8t2.
跟蹤訓練　(1) 由題意，得b＝，|a|＝2，則|b|＝1，
所以|a|＝2|b|.
因為a·b＝－＝0，所以a⊥b.
(2) 因為x⊥y，所以x·y＝0.
由(1)，得x·y＝[a＋(t＋4)b]·(a＋tb)＝a2＋t(t＋4)b2＝t2＋4t＋4＝(t＋2)2＝0，
解得t＝－2.
【檢測反饋】
1. D　解析：a－b＝(1，x)－(1－x，2)＝(x，x－2).由a⊥(a－b)，得x＋x2－2x＝0，即x2－x＝0，解得x＝0或x＝1.
2. D　解析：因為a＝(1，0)，b＝，所以|a|＝1，|b|＝＝1，a·b＝－， 所以cos θ＝＝－，則cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.
3．BD　解析：由題意，得＝(2，－3)，＝(7，1)，＝(2，－3)，＝(3，7).對于A，·＝14－3＝11≠0，故A錯誤；對于B，由＝(2，－3)，＝(2，－3)，得＝，所以AB與DC平行且相等，故B正確； 對于C，cos θ＝＝＝，故C錯誤；對于D，|＋|＝＝，故D正確．故選BD.
4. 直角三角形　解析：由題意，得＝(－5，－2)，＝(－1，－12)，＝(4，－10)，所以·＝－20＋20＝0，即AB⊥BC.又||≠||，故△ABC是直角三角形．
5. (1) 由題意，得a＋2b＝(1，－1)，
所以|a＋2b|＝.
(2) 由題意，得a－b＝(－2，5)，a＋kb＝(k－1，3－2k)，
因為(a－b)∥(a＋kb)，
所以－2(3－2k)－5(k－1)＝0，解得k＝－1.
(3) 因為a－b與a＋kb的夾角為銳角，
所以(a－b)·(a＋kb)>0且〈a－b，a＋kb〉≠0，
即－2(k－1)＋5(3－2k)>0，解得k<.
由(2)可知當k＝－1時，a－b＝a＋kb，此時〈a－b，a＋kb〉＝0，
所以k的取值范圍為(－∞，－1)∪(－1，).

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