資源簡介

6．4　平面向量的應(yīng)用
6.4.1　平面幾何中的向量方法
會(huì)用向量方法解決簡單的平面幾何問題．
活動(dòng) 向量在平面幾何中的應(yīng)用
例1　如圖，DE是△ABC的中位線，用向量方法證明：DE∥BC，DE＝BC.
在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°.
(1) 求邊BC的長；
(2) 求邊BC的中線AD的長．
平面幾何的問題可以轉(zhuǎn)化為向量問題，解決向量問題又有兩種方法，一是利用向量的幾何方法解決，二是建系解決．
例2　在邊長為2的等邊三角形ABC中，D為邊AB的中點(diǎn)，若P為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，求(＋)·的最小值．
向量中的最值問題可以用代數(shù)方法解決，主要是列出函數(shù)表達(dá)式，也可以用幾何方法，主要是畫出適合條件的圖形．
在四邊形ABCD中，若＝，|＋|＝|－|，試判斷四邊形的形狀．
例3　如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎？
用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：
(1) 建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；
(2) 通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；
(3) 把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．
如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE(利用向量證明).
1. 已知點(diǎn)G是△ABC的重心，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若∠BAC＝120°，·＝－2，則||的最小值是(　　)
A. B. C. D.
2. (2023聊城一中高一期中)已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，MN為圓O的直徑，則·的取值范圍是(　　)
A. [2，4] B. [2，3]
C. D.
3. (多選)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，則下列命題中為真命題的是(　　)
A. 若a·b<0且b·c<0，則△ABC為銳角三角形
B. 若a·b>0，則△ABC為鈍角三角形
C. 若a·b＝c·b，則△ABC為等邊三角形
D. 若(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，則△ABC為直角三角形
4. 在△ABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM＝2，則·(＋)的最小值為________．
5. (2023濟(jì)南萊蕪一中階段練習(xí))在△ABC中，CA＝2，AB＝3，∠BAC＝，D為BC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)．
(1) 求·的值；
(2) 若點(diǎn)P滿足＝λ，求·的最小值，并求此時(shí)的λ.
【答案解析】
6．4　平面向量的應(yīng)用
6.4.1　平面幾何中的向量方法
【活動(dòng)方案】
例1　如圖，因?yàn)镈E是△ABC的中位線，
所以＝，＝，
所以＝－＝－＝(－).
又＝－，
所以＝，所以DE∥BC，DE＝BC.
跟蹤訓(xùn)練　(1) 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)B(3，0)，C(1，)，
所以＝(－2，)，
所以||＝＝.
(2) 由(1)得點(diǎn)D，則＝，
所以||＝＝.
例2　以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0，0)，B(2，0)，C(，3)，D(，0)，
所以＝(0，3).
設(shè)＝λ＝(0，3λ)，λ∈[0，1]，
則點(diǎn)P(，3－3λ)，＝(0，3λ－3)，
所以(＋)·＝2·＝18λ2－18λ.
令y＝18λ2－18λ，λ∈[0，1]，
所以ymin＝－，
故(＋)·的最小值是－.
跟蹤訓(xùn)練　由＝，得四邊形ABCD為平行四邊形．
將|＋|＝|－|兩邊同時(shí)平方，得·＝0，
所以AB⊥AD，
所以四邊形ABCD為矩形．
例3　第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題：
如圖，取{，}為基底，設(shè)＝a，＝b，
則＝a＋b，＝a－b.
第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系：
||2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
||2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
上面兩式相加，得||2＋||2＝2(a2＋b2).
第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2).
跟蹤訓(xùn)練　設(shè)＝a，＝b，則＝a＋b，＝b－a，
所以·＝·＝b2－a2＋a·b.
又⊥，且||＝||，
所以a2＝b2，a·b＝0，
所以·＝0，所以⊥，即AF⊥DE.
【檢測反饋】
1. C　解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為D.由三角形重心的性質(zhì)，得＝＝(＋).因?yàn)椤螧AC＝120°，·＝－2，所以·＝||||·cos 120°＝－2，即||||＝4.設(shè)||＝x，||＝y(tǒng)，則xy＝4，||＝|＋|＝×＝≥＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即||＝||＝2，即△ABC是等腰三角形時(shí)等號(hào)成立．綜上可得||的最小值是.
2. B　解析：由題意，得＝＋，＝＋，因?yàn)椋橄喾聪蛄浚浴ぃ?＋)(＋)＝|2＋·(＋)＋·＝||2－1.因?yàn)檎呅蜛BCDEF的邊長為2，O為正六邊形的中心，所以當(dāng)點(diǎn)P與正六邊形的頂點(diǎn)重合時(shí)，||有最大值2，當(dāng)點(diǎn)P在正六邊形邊上的中點(diǎn)處時(shí)，||有最小值，此時(shí)||＝＝，所以·＝||2－1∈[2，3].
3. BD　解析：對(duì)于A，a·b＝·＝－||·||cos C<0，則cos C>0，則角C為銳角．同理，由b·c<0可知角A為銳角，但角B不一定是銳角，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，a·b＝·＝－||·||cos C>0，則cos C<0，則角C為鈍角，故B正確；對(duì)于C，由a·b＝c·b，可得(a－c)·b＝0，即(－)·＝(＋)·＝0，即(＋)·(－)＝||2－||2＝0，故||＝||，故△ABC為等腰三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由(a＋c－b)·(a＋b－c)＝0，得a2＝(b－c)2，即2＝(＋)2，即(－)2＝(＋)2，化簡，得·＝0，故A＝，即△ABC為直角三角形，故D正確．故選BD.
4. －2　解析：因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以＋＝2，則·(＋)＝2·＝2||·||cos 180°＝－2||||.設(shè)OA＝x(0≤x≤2)，則OM＝2－x.令y＝x(2－x)(0≤x≤2)，則ymax＝1，所以·(＋)的最小值為－2.
5. (1) 由題意，得＝＝(－)，
所以＝＋＝＋－＝＋，
所以·＝·(－)＝－||2＋||2－·＝－×9＋×4－×3×2×cos ＝.
(2) 因?yàn)椋溅耍裕溅耍?br/>因?yàn)椋剑剑剑?λ－1)，
所以·＝[＋(λ－1)]·λ＝λ·＋λ(λ－1)||2＝λ||||cos ＋λ(λ－1)||2＝－3λ＋4λ(λ－1)＝4λ2－7λ＝4－，
所以當(dāng)λ＝時(shí)，·取得最小值－.

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