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6．4.2　向量在物理中的應用舉例
通過用向量方法解決某些簡單的力學問題的過程，提高解決實際問題的能力．
活動 掌握向量在物理中的應用
物理中有許多量，比如力、速度、加速度、位移等都是具有大小和方向的，因而它們都是向量．向量在物理學中最基本的應用就是力、速度、加速度、位移等的合成與分解，在物理中動量是向量的數乘，力所做的功是向量的數量積．
例1　在日常生活中，我們有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，兩個拉力夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．你能從數學的角度解釋這種現象嗎？
思考
當θ為何值時，|F1|最小，最小值是多少？|F1|能等于|G|嗎？為什么？
用向量法解決物理問題的一般步驟：
(1) 把物理問題中的相關量用向量表示；
(2) 轉化為向量問題的模型，通過向量運算使問題解決；
(3) 將結果還原為物理問題，解釋物理現象．
如圖，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在點A，B處，同質量的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得OB⊥OC，試分析三根繩子受力的大小，判斷哪根繩子的受力最大？
例2　如圖，一條河兩岸平行，河的寬度d＝500 m，一艘船從河岸邊的A地出發，向河對岸航行．已知船的速度v1的大小為|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小為|v2|＝2 km/h，那么當航程最短時，這艘船行駛完全程需要多長時間(精確到0.1 min)
在靜水中劃船的速度是40 m/min，水流的速度是20 m/min，如果船從岸邊出發，徑直沿垂直于水流的航線到達對岸，那么船行進的方向應該指向哪里？
1. 長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸．如圖，一艘船從長江南岸的點A出發，以 5 km/h 的速度沿AD方向行駛，到達對岸點C處，且AC與江岸AB垂直，同時江水的速度為向東3 km/h，則船實際航行的速度為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. 2 km/h B. km/h
C. 4 km/h D. 8 km/h
2. 一物體受到相互垂直的兩個力F1，F2的作用，兩力大小都為5 N，則兩個力的合力的大小為(　　)
A. 10 N B. 0 N C. 5 N D. N
3. (多選)如圖，小船被繩索拉向岸邊，船在水中運動時設水的阻力大小不變，那么小船勻速靠岸過程中，下列說法中正確的是(　　)
A. 繩子的拉力不斷增大
B. 繩子的拉力不斷變小
C. 船的浮力不斷變小
D. 船的浮力保持不變
4. (2023全國高一專題練習)已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，現有動點P從點P0(－1，2)開始，沿著與向量e1＋e2相同的方向做勻速直線運動，速度大小為每秒|e1＋e2|，另一動點Q從點Q0(－2，－1)開始，沿著與向量3e1＋2e2相同的方向做勻速直線運動，速度大小為每秒|3e1＋2e2|，設點P，Q在t＝0 s時分別在點P0，Q0處，則當⊥時，t＝________s.
5. 長江某段南北兩岸平行，如圖，江面寬度d＝1 km.一艘游船從南岸碼頭A出發航行到北岸．已知游船在靜水中的航行速度v1的大小為|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小為|v2|＝4 km/h.設v1和v2的夾角為θ(0°<θ<180°)，北岸的點A′在點A的正北方向．
(1) 當θ＝120°時，試判斷游船航行到達北岸的位置是在點A′處的左側還是右側，并說明理由；
(2) 當cos θ為多少時，游船能到達點A′處？需要航行多長時間？
(3) 當θ＝120°時，游船航行到達北岸的實際航程是多少？
【答案解析】
6．4.2　向量在物理中的應用舉例
【活動方案】
例1　先來看共提旅行包的情況．如圖，設作用在旅行包上的兩個拉力分別為F1，F2，為方便起見，我們不妨設|F1|＝|F2|.另設F1，F2的夾角為θ，旅行包所受的重力為G.
由向量的平行四邊形法則、力的平衡以及直角三角形的知識，可以知道|F1| ＝.
這里，|G|為定值．分析上面的式子，我們發現，當θ由0逐漸變大到π時，由0逐漸變大到，cos 的值由大逐漸變小，此時|F1|由小逐漸變大；反之，當θ由π逐漸變小到0時，由逐漸變小到0，cos 的值由小逐漸變大，此時|F1|由大逐漸變小，這就是說，F1，F2之間的夾角越大越費力，夾角越小越省力．
同理，在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力．
思考：要使|F1|最小，只需cos 最大，此時cos ＝1，可得θ＝0.于是|F1|的最小值為.若要使|F1|＝|G|，只需cos ＝，此時＝，即 θ＝.
跟蹤訓練　設OA，OB，OC三根繩子所受的力分別為a，b，c，則a＋b＋c＝0.
因為a，b的合力為c′＝a＋b，
所以|c|＝|c′|.
如圖，在 OB′C′A′中，
因為⊥，＝，
所以||>||，||>||，
即|a|>|b|，|a|>|c|，
故細繩OA的受力最大．
例2　設點B是河對岸一點，且AB與河岸垂直，那么當這艘船實際沿著AB方向行駛時，船的航程最短．
如圖，設v＝v1＋v2，
則|v|＝＝(km/h).
此時，船的航行時間t＝＝×60≈3.1(min)，
所以當航程最短時，這艘船行駛完全程需要 3.1 min.
跟蹤訓練　設表示水流的速度，表示船在靜水中的速度，表示船實際垂直過河的速度．
因為＋＝，
所以四邊形OACB是平行四邊形．
在Rt△OBC中，||＝40，||＝||＝20，
所以∠BOC＝30°，
所以要船垂直到達對岸，其航向應與水流方向的夾角為120°.
【檢測反饋】
1. C　解析：如圖，為船速，為水速，為實際航行的速度．又⊥，||＝5，||＝||＝3，所以||＝＝4.
2. C　解析：根據向量加法的平行四邊形法則，得合力的大小為×5＝5(N).
3. AC 　解析：設水的阻力為f，繩的拉力為F，F與水平方向夾角為θ，則|F|cos θ＝|f|，所以|F|＝.因為θ增大，cos θ減小，所以|F|增大．因為|F|sin θ增大，|F|sin θ加上浮力等于船的重力，所以船的浮力減小．故選AC.
4. 2　解析：由題意，得e1＋e2＝(1，1)，則|e1＋e2|＝，與其方向相同的單位向量為，3e1＋2e2＝(3，2)，則|3e1＋2e2|＝，與其方向相同的單位向量為，如圖，則||＝t，||＝t，故＝||·(，)＝(t，t)，＝||(，)＝(3t，2t).又P0(－1，2)，Q0(－2，－1)，所以P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)，＝(－1，－3)，所以＝(2t－1，t－3).因為⊥，所以·＝0，即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2.故當⊥時，t＝2 s.
5. (1) 由題意，得v1在v2反方向上的分速度的大小為|v1|cos 60°＝5(km/h)>|v2|＝4 km/h，
所以游船航行到達北岸的位置是在點A′處的左側．
(2)要使游船能到達點A′處，則v1在v2反方向上的分速度的大小為|v1|cos (π－θ)＝|v2|＝4 km/h，
所以cos (π－θ)＝，即cos θ＝－，
又0°<θ<180°，所以sin θ＝，
則垂直方向上的速度的大小為sin θ＝2(km/h)，
所以航行時間t＝＝(h).
(3) 由(1)知，垂直方向航行時間為＝(h)，
所以水平方向航行距離為(|v1|cos 60°－|v2|)×＝(km)，
所以游船航行到達北岸的實際航程為＝(km).

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