資源簡介

6．4.3　余弦定理(1)
1. 借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系．
2. 掌握余弦定理及其簡單的應用．
活動一 探索余弦定理
思考1
在△ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和C表示c
結論：余弦定理：
思考2
余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系．應用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢？
思考3
勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系．你能說說這兩個定理之間的關系嗎？
活動二 掌握余弦定理的簡單應用　　
一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫作三角形的元素，已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形．
例1　在△ABC中，根據下列條件解三角形．
(1) 已知b＝3，c＝1，A＝60°，求a;
(2) 已知a＝2，b＝2，c＝2，求A.
如果三角形中已知兩邊及夾角，或已知三邊，求其他邊或角時，常常使用余弦定理解決．
(1) 在△ABC中，b2＋c2＝a2＋bc，求A；
(2) 在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
例2　在△ABC中，A＝120°，BC＝，D是AC的中點．若AB＋AC＝2，求BD的長．
在認清余弦定理的特征，求邊和角時，要放在恰當的三角形中解決．
在△ABC中，三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足b2＝a2＋c2－ac.
(1) 求角B的大小；
(2) 若a＋c＝4，求b的最小值．
1. 在△ABC中，若a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為(　　)
A. 　　 B. C. 　 D.
2. 在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A的大小為(　　)
A. 60° B. 45° C. 120°　 D. 30°
3. (多選)已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足B＝，a＋c＝b，則的值為(　　)
A. 2 B. 3 C. D.
4. 已知O為△ABC的外心，且＝＋，則cos ∠BOC＝________．
5. (2023湛江一中開學考試)已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos A＝.
(1) 若b＝，c＝2，求a的值；
(2) 若＝2－，求角B，C的大小．
【答案解析】
6．4.3　余弦定理(1)
【活動方案】
思考1：因為涉及的是三角形的兩邊長和它們的夾角，所以我們考慮用向量的數量積來探究．
如圖，設 ＝a， ＝b， ＝c，則c＝a－b，
所以|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2|a||b|cos C，
所以c2＝a2＋b2－2ab cos C.
同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，
b2＝c2＋a2－2ca cos B.
結論：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2＝b2＋c2－2bc cos A，
b2＝c2＋a2－2ca cos B，
c2＝a2＋b2－2ab cos C.
思考2：由余弦定理，可以得到如下推論：
cos A＝，cos B＝，cos C＝.　
利用推論，可以由三角形的三邊直接計算出三角形的三個角．從余弦定理及其推論可以看出，三角函數把幾何中關于三角形的定性結論變成了可定量計算的公式．
思考3：如果△ABC中有一個角是直角，例如，C＝90°，這時cos C＝0.由余弦定理可得c2＝a2＋b2，這就是勾股定理．由此可見，余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例．
例1　(1) 在△ABC中，根據余弦定理，得
a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋1－6×＝7，
所以a＝.
(2) 在△ABC中，根據余弦定理，得
cos A＝＝＝－，
因為0°跟蹤訓練　(1) 由b2＋c2＝a2＋bc，
得b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝.
因為0°所以A＝60°.
(2) 由A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，得B＝.
又a＋c＝8，ac＝15，
所以a2＋c2＝(a＋c)2－2ac＝64－30＝34.
根據余弦定理，得
b2＝a2＋c2－2ac cos B＝34－30×＝19，
所以b＝.
例2　在△ABC中，由余弦定理，得
3＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°，
則3＝(AB＋AC)2－AB·AC，
所以AB·AC＝1.①
又AB＋AC＝2，②
所以聯立①②，解得AB＝AC＝1，
所以在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A＝1＋－2×1××＝，
即BD＝.
跟蹤訓練　(1) 因為b2＝a2＋c2－ac，
所以ac＝a2＋c2－b2，
則cos B＝＝＝.
因為0(2) 因為a＋c＝4，所以c＝4－a，則0所以b2＝a2＋c2－ac＝a2＋(4－a)2－a(4－a)＝3a2－12a＋16＝3(a－2)2＋4.
當a＝2時，b2有最小值為4，
所以b的最小值為2.
【檢測反饋】
1. B　解析：因為c2. C　解析：由題意，得b2＋c2－a2＝－bc，故由余弦定理，得cos A＝＝＝－，又0°3. AC　解析：因為B＝，a＋c＝b，所以(a＋c)2＝a2＋c2＋2ac＝3b2①.由余弦定理，得a2＋c2－2ac cos ＝b2②，聯立①②，可得2a2－5ac＋2c2＝0，即2－5＋2＝0，解得＝2或＝.故選AC.
4. －　解析：設圓O為△ABC的外接圓，半徑為2，因為＝＋，所以－＝OB，＝，∥，CA＝OB＝1.設∠BOC＝θ，則∠OCA＝π－θ，在△OAC中，由余弦定理，得cos (π－θ)＝＝，所以cos θ＝－.
5. (1) 根據余弦定理，得cos A＝＝，b＝，c＝2，
則＝，解得a＝1.
(2) 因為cos A＝＝，＝2－，
所以＝＝，則＝0，即b＝c，
所以△ABC為等腰三角形．
因為cos A＝，A∈(0，π)，所以A＝，
故B＝C＝.

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