資源簡介

6．4.3　余弦定理(2)
1. 熟練掌握余弦定理的應用．
2. 能夠運用余弦定理解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．
活動一 鞏固余弦定理
1. 回顧余弦定理(兩種形式)：
2. 用余弦定理證明：
在△ABC中，當C是銳角時，a2＋b2＞c2；當C是鈍角時，a2＋b2＜c2.
思考1
上述結論反過來也成立嗎？
若C為最大角，且a2＋b2>c2，則△ABC是銳角三角形；
若a2＋b2若a2＋b2＝c2，則△ABC是直角三角形．
活動二 利用余弦定理判斷三角形的形狀
例1　在△ABC中，AB＝4，BC＝5，CA＝6，試判斷△ABC的形狀．
判斷三角形形狀，可以用邊之間的關系去判斷(如滿足勾股定理就是直角三角形)，也可以用角(包括三角函數值)去判斷．
已知在鈍角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x－5，b＝x＋1，c＝4，求實數x的取值范圍．
活動三　利用余弦定理證明三角形中的有關結論　
例2　如圖，AM是△ABC中BC邊上的中線，求證：AM＝.
思考2
本題還有其他解法嗎？
　　
三角形中邊之間的關系，主要依靠余弦定理來連接．
平面四邊形ABCD如圖所示，其中△ABD為銳角三角形，AB＝4，BC＝1，CD＝3，C＝2A，cos A＝，求AD的長．
活動四 利用余弦定理解決一些實際問題
　 例3　A，B兩地之間隔著一個水塘，現選擇另一點C，測得CA＝182m，CB＝126m，∠ACB＝60°，求A，B兩地之間的距離(精確到1m).
對于實際問題，先構造三角形，然后利用余弦定理，解決邊角問題，最后回到實際中去．
在長江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流．一渡船在江南岸的A碼頭出發，預定要在0.1h后到達江北岸B碼頭．設為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東15°，并與A碼頭相距1.2km.該渡船應按什么方向航行？速度是多少？(角度精確到0.1°，速度精確到0.1km/h)
1. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，則·的值為(　　)
A. 79　 B. 69 C. 5　 D. －5
2. 已知銳角三角形的三邊長分別為1，3，a，那么實數a的取值范圍是(　　)
A. (8，10)　 B. (2，) C. (2，10)　 D. (，8)
3. (多選)(2023西安鐵一中學高一期末)由下列條件解△ABC，其中只有一解的是(　　)
A. b＝20，A＝45°，C＝80° B. a＝30，c＝28，B＝60°
C. a＝14，c＝16，A＝45° D. a＝6，c＝10，A＝60°
4. (2023嘉定高一期中)已知一個三角形的三邊長分別是4，5，7，則這個三角形是________三角形(填“銳角”“直角”或“鈍角”).
5. 如圖，在平面四邊形ABCD中，DA＝DC＝2，AB＞BC，∠ADC＝60°，∠ABC＝90°，AC交BD于點M.
(1) 若AD∥BC，求BD的長；
(2) 若BD＝，求∠CAB的大小．
【答案解析】
6．4.3　余弦定理(2)
【活動方案】
1. 形式一：
a2＝b2＋c2－2bc cos A
b2＝a2＋c2－2ac cos B
c2＝a2＋b2－2ab cos C
形式二：
cos A＝
cos B＝
cos C＝
2. 當C是銳角時，
cos C＝>0，則a2＋b2－c2>0，
即a2＋b2>c2.
當C是鈍角時，
cos C＝<0，則a2＋b2－c2<0，
即a2＋b2思考1：成立
例1　在△ABC中，AB所以角B最大．
又cos B＝＝>0，
所以角B為銳角，
故△ABC為銳角三角形．
跟蹤訓練　在△ABC中，根據余弦定理，得
cos B＝
＝
＝<0，
所以解得綜上所述，實數x的取值范圍為.
例2　在△ABM中，
AB2＝AM2＋BM2－2AM·BM·cos ∠AMB.①
在△ACM中，
AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos ∠AMC
＝AM2＋BM2＋2AM·BM·cos ∠AMB.②
由①＋②，得AB2＋AC2＝2AM2＋2BM2，
即AB2＋AC2＝2AM2＋BC2，
所以AM＝.
思考2：作BD∥AC，交AM的延長線于點D，
所以∠ACB＝∠DBM，∠CAM＝∠BDM.
因為BM＝CM，所以△ACM≌△DBM，
所以AC＝DB，AM＝DM，
所以cos ∠BAC＝，
cos ∠ABD＝
＝.
因為∠BAC＋∠ABD＝180°，
所以cos ∠BAC＋cos ∠ABD＝0，
所以＋＝0，
所以4AM2＝2AB2＋2AC2－BC2，
所以AM＝.
跟蹤訓練　由題意，得cos C＝cos 2A＝2cos2A－1＝2×－1＝－.
在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cosC＝12＋32－2×1×3×＝12.
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A，即12＝16＋AD2－AD，
解得AD＝2或AD＝.
若AD＝，則AD2＋BD290°，不合題意，舍去，
所以AD＝2.
例3　在△ABC中，根據余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB
＝1822＋1262－2×182×126×
＝26 068，
所以AB≈161 m.
故A，B兩地之間的距離為161 m.
跟蹤訓練　取方向為水流方向，以AC為一邊，AB為對角線作平行四邊形ACBD，則船按方向航行，
其中AB＝1.2 km，AC＝5×0.1＝0.5(km).
在△ABC中，根據余弦定理，得
BC2＝1.22＋0.52－2×1.2×0.5×cos (90°－15°)≈1.38，所以BC≈1.17 km，
所以船的航行速度為1.17÷0.1＝11.7(km/h).
在△ABC中，根據余弦定理，得
cos ∠ABC＝＝≈0.911 3，
利用計算器，可得∠ABC≈24.3°，
所以∠DAN＝∠DAB－∠NAB≈9.3°.
故渡船應按北偏西9.3°的方向，并以11.7km/h的速度航行．
【檢測反饋】
1. D　解析：由余弦定理，得cos ∠ABC＝＝＝，所以·＝||·||cos (180°－∠ABC)＝5×7×＝－5.
2. B　解析：因為三角形為銳角三角形，所以解得23. AB　解析：對于A，因為A＝45°，C＝80°，所以B＝55°，且b＝20，根據三角形全等(角角邊)可知△ABC存在且唯一，故A正確；對于B，因為a＝30，c＝28，B＝60°，根據三角形全等(邊角邊)可知△ABC存在且唯一，故B正確；對于C，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即142＝b2＋162－32b×，整理，得b2－16b＋60＝0，解得b＝8－2>0或b＝8＋2>0，所以滿足條件的三角形有兩個，故C錯誤；對于D，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即62＝b2＋102－20b×，整理，得b2－10b＋64＝0，且Δ＝100－4×64＝－156<0，無解，所以此時三角形不存在，故D錯誤．故選AB.
4. 鈍角　解析：設三邊分別為a＝4，b＝5，c＝7，其所對應的角分別為A，B，C，根據大邊對大角的結論知角C最大，則由余弦定理，得cos C＝＝＝－<0.又因為C∈(0，π)，所以C∈，所以三角形是鈍角三角形．
5. (1) 因為DA＝DC＝2，∠ADC＝60°，
所以△DAC為等邊三角形，
所以AC＝2，∠DAC＝60°.
因為AD∥BC，
所以∠BCA＝∠DAC＝60°，∠DAB＝90°，
所以在Rt△ABC中，AB＝.
在Rt△DAB中，BD2＝AD2＋AB2＝7，
所以BD＝.
(2) 設∠CAB＝θ，則AB＝2cos θ，∠DAB＝60°＋θ，
在△DAB中，由余弦定理，得DA2＋AB2－2DA·AB cos (60°＋θ)＝BD2＝7，
即4＋4cos2θ－2×2×2cosθcos (60°＋θ)＝7，
所以4cos2θ－8cosθ＝3，
所以4sin θcos θ＝3，解得sin 2θ＝.
由題意可知θ<90°－θ，得θ<45°，
所以2θ＝60°，得θ＝30°，即∠CAB＝30°.

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