資源簡介

6．4.4　正弦定理(1)
1. 掌握正弦定理，并能解決一些簡單的三角形中邊與角的計算．
2. 體會“由特殊到一般”的數學思想方法．
活動一 了解正弦定理的探求過程
探究：余弦定理及其推論分別給出了已知兩邊及其夾角、已知三邊直接解三角形的公式．如果已知兩角和一邊，是否也有相應的直接解三角形的公式呢？
問題1：如圖，在Rt△ABC中，C＝90°，邊a，b，c與角A，B的關系是什么？
問題2：在Rt△ABC中，＝＝，對于銳角三角形和鈍角三角形，這個關系式是否仍然成立？如何證明？
結論：正弦定理：
思考1
你能用其他方法推導出正弦定理嗎？
思考2
在正弦定理中，比值＝＝與△ABC的外接圓的直徑之間存在怎樣的關系？
正弦定理指出了三角形中三條邊與對應角的正弦之間的關系，描述了三角形中邊與角的一種數量關系．
活動二　掌握正弦定理的簡單應用　
例1　在△ABC中，已知b＝16，A＝45°，a＝16，求角B，C及邊c.
(1) 在例1的條件下，將“a＝16”改為“a＝16”，結論如何？
(2) 在例1的條件下，將“a＝16”改為“a＝8”，結論又如何？
解三角形有三種情況，兩解，一解，無解．要考慮大角對大邊，大邊對大角，及正弦定理有a>b sin A>sin B，由此確定解的情況．
在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，解這個三角形．
活動三　掌握正弦定理在實際問題中的應用
例2　在△ABC中，已知A＝75°，C＝60°，A，C之間的距離b為100m，求A，B之間的距離c.
如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的長．
思考3
下列哪些條件可以直接使用正弦定理來解三角形？
(2)
(3) (4)
思考4
哪些類型的解三角形問題可以直接用正弦定理解決呢？
1. (2023宿遷高一階段練習)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6，則cos C等于(　　)
A. B. － C. D. －
2. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin A>sin B，則下列選項中正確的是(　　)
A. aC. a>b　 D. a，b的大小無法判定
3. (多選)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝，A＝30°，則角B的大小為(　　)
A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°
4. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝，A＝，則角C的大小為________．
5. (2023鄭州中牟縣第一高級中學高一階段練習)已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的面積為S，且(b2＋c2－a2)＝4S.
(1) 求角A的大小；
(2) 若a＝，求b＋2c的最大值．
【答案解析】
6．4.4　正弦定理(1)
【活動方案】
問題1：sin A＝，sin B＝.
問題2：成立，證明如下：
在銳角三角形ABC中，過點A作與垂直的單位向量j，則j與的夾角為－A，j與的夾角為－C.
因為＋＝，
所以j·(＋)＝j·，
即|j|||cos ＋|j|||cos ＝|j|||cos ，化簡，得a sin C＝c sin A，
所以＝.
同理，過點C作與垂直的單位向量m，可得＝.　
綜上可得＝＝.
當△ABC是鈍角三角形時，同樣可得＝＝.　
結論：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即＝＝.
思考1：如圖，在△ABC中，作AD⊥BC于點D，則c sin B＝b sin C＝AD，
所以＝，
同理可得＝，
所以＝＝.
思考2：＝＝＝2R(R為△ABC外接圓的半徑)
例1　在△ABC中 ，由正弦定理＝，
得sin B＝sin A＝×＝，
所以B＝60°或B＝120°.
①當B＝60°時，C＝180°－45°－60°＝75°.
由＝，
得c＝·a＝×16＝8(＋).
②當B＝120°時，C＝180°－120°－45°＝15°.
由＝，
得c＝·a＝×16＝8(－).
綜上所述，B＝60°，C＝75°，c＝8(＋)或B＝120°，C＝15°，c＝8(－).
跟蹤訓練1　(1) 在△ABC中，由正弦定理＝，
得sin B＝sin A＝×＝.
因為a>b，所以sin A>sin B，即A>B，
所以B＝30°，C＝180°－45°－30°＝105°.
由＝，
得c＝·a＝×16＝8(＋3).
(2) 因為b sin A＝16×＝8>8，
所以不存在滿足條件的三角形．
跟蹤訓練2　由正弦定理，得sin C＝＝＝.
因為c>b，B＝30°，
所以30°所以C＝45°或C＝135°.
①當C＝45°時，A＝105°.
此時a＝＝＝＝＋1.
②當C＝135°時，A＝15°.
此時a＝＝＝＝－1.
例2　在△ABC中，B＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理，得＝，
得c＝·b＝×100＝50，
所以A，B之間的距離c為50 m.
跟蹤訓練　在△ABD中，設∠ABD＝α，
則＝，
所以sin α＝.
因為AB>AD，所以α<60°，
所以α為銳角，
所以cos α＝，A＝120°－α，
所以sin A＝sin (120°－α)＝.
因為＝，
所以BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理，得
＝，
所以BC＝×sin 30°＝8.
思考3：(1)(3)
思考4：已知兩邊一角(非夾角)或已知兩角一邊．
【檢測反饋】
1. A　解析：由正弦邊角關系知a∶b∶c＝4∶5∶6，設a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以cos C＝＝＝.
2. C　解析：因為＝，所以＝.因為在△ABC中，sin A>0，sin B>0，且sin A>sin B，所以＝>1，所以a>b.
3. CD　解析：由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.又b>a，0°4. 　解析：由正弦定理，得＝，所以sin B＝，又a＞b，所以A＞B，所以B＝，所以C＝π－＝.
5. (1) 由題意，得(b2＋c2－a2)＝4S＝2bc sin A，
由余弦定理，得2bc cos A＝2bc sin A，
所以tan A＝，
又A∈(0，π)，所以A＝.
(2) 由正弦定理，得＝＝，即b＝2sin B，c＝2sin C，
由(1)知B＋C＝，
所以b＋2c＝2sin B＋4sin C＝2[sin B＋2sin (－B)]＝4sin B＋2cos B＝2sin (B＋φ)，
其中φ∈，sin φ＝，cos φ＝，故b＋2c≤2，
當且僅當B＋φ＝，即B＝－φ時取等號，
故b＋2c的最大值為2.

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