資源簡介

6．4.4　正弦定理(2)
1. 熟練掌握正弦定理的變形與運用．
2. 掌握三角形中的面積公式．
3. 學(xué)會將實際問題轉(zhuǎn)化成解三角形的問題來求解．
活動一 鞏固正弦定理
例1　在△ABC中，判斷下列各命題是否正確．
(1) ＝；
(2) 若a＋c＝2b，則sin A＋sin C＝2sin B；
(3) 若sin B sin C＝sin2A，則bc＝a2.
　　
在三角形中，正弦定理可以將邊之間的關(guān)系全部轉(zhuǎn)換成角之間的關(guān)系，反之可以將角之間的正弦關(guān)系轉(zhuǎn)換成邊之間的關(guān)系．
已知命題：若cos B＝，sin A＝，則A為鈍角．判斷該命題的真假．
活動二　利用正弦定理判斷三角形的形狀　
例2　在△ABC中，已知＝＝，試判斷△ABC的形狀．
判斷三角形的形狀，可以用邊之間的關(guān)系，也可以用角之間的關(guān)系，所以要把條件中的邊角關(guān)系，通過正弦定理，轉(zhuǎn)換為純的邊或角的關(guān)系．
根據(jù)下列條件，判斷△ABC的形狀．
(1) sin2A＋sin2B＝sin2C；
(2)a cos A＝b cos B.
　
活動三 利用正弦定理證明三角形中的有關(guān)結(jié)論
例3　如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，用正弦定理證明＝.
三角形中有些性質(zhì)，可以通過正弦定理去證明．
在△ABC中，證明：S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
活動四　利用正弦定理解決一些實際問題　
例4　如圖，某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為35°，沿傾斜角為20°的斜坡前進1 000m后到達D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?5°，求山的高度BC(精確到1m).
在實際生活中，會遇到一些長度和角度的大小的測量問題，可以將這些量放在三角形中，然后利用正弦定理或余弦定理去解決．
一艘船以42n mile/h的速度向正北航行. 在A處看燈塔S在船的北偏東30°，30min后航行到B處，在B處看燈塔S在船的北偏東60°.求燈塔S與A之間的距離．
1. 在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若a＝b，sin B＝sin C，則角B的大小為(　　)
A. 60°　 B. 30° C. 135°　 D. 45°
2. 已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b cos C＝a＋c cos B，則該三角形的形狀是(　　)
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等邊三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
3. (多選)已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6
B. △ABC是鈍角三角形
C. △ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍
D. 若c＝6，則△ABC外接圓的半徑為
4. 在△ABC中，若a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，則b＝________．
5. (2023南平高一統(tǒng)考)已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a－2b sin A＝0.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b＝，a＋c＝5，求△ABC的面積．
【答案解析】
6．4.4　正弦定理(2)
【活動方案】
例1　因為＝＝＝2R，
所以a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(1) ＝2R＝＝，
故該命題正確．
(2) 因為2R sin A＋2R sin C＝2·2R sin B，
所以sin A＋sin C＝2sin B，
故該命題正確．
(3) 因為·＝，
所以bc＝a2，
故該命題正確．
跟蹤訓(xùn)練　因為cos B＝，所以sin B＝，
所以sin B>sin A，即B>A.
又B是銳角，所以A為銳角，
故原命題為假命題．
例2　由＝及＝，
得＝，
所以tan A＝tan B.
因為A，B∈(0，π)，所以A＝B.
同理可得A＝C，故△ABC是正三角形．
跟蹤訓(xùn)練　(1) 由正弦定理可得a2＋b2＝c2，
所以△ABC是以C為直角的直角三角形．
(2) 由余弦定理，得a·＝b·，
化簡，得a2c2－b2c2＝a4－b4，
即c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，
所以a2＝b2或c2＝a2＋b2，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．
例3　在△ABD中，＝，
在△ADC中，＝.
又sin ∠ADB＝sin ∠ADC，∠BAD＝∠CAD，
所以＝.
跟蹤訓(xùn)練　設(shè)邊BC上的高為ha，邊AC上的高為hb，邊AB上的高為hc，
則S△ABC＝aha＝bhb＝chc.
因為ha＝b sin C，hb＝c sin A，hc＝a sin B，
所以S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B.
例4　過點D作DE∥AC交BC于點E.
因為∠DAC＝20°，所以∠ADE＝160°，
則∠ADB＝360°－160°－65°＝135°.
又∠BAD＝35°－20°＝15°，
所以∠ABD＝30°.
在△ABD中，由正弦定理，
得AB＝＝＝1 000(m).
在Rt△ABC中，
BC＝AB sin 35°＝1 000sin 35°≈811(m)，
故山的高度約為811m.
跟蹤訓(xùn)練　在△SAB中，A＝30°，B＝180°－60°＝120°，S＝60°－30°＝30°，
AB＝42×＝21(n mile).
根據(jù)正弦定理，得＝，
即SA＝·AB＝×21＝21(n mile)，
故燈塔S與A之間的距離為21 n mile.
【檢測反饋】
1. D　解析：根據(jù)正弦定理將角化邊可得b＝c.又因為a＝b，由勾股定理可得△ABC是以A為直角的等腰直角三角形，故B＝45°.
2. B　解析：由b cos C＝a＋c cos B，得sin B cos C＝sin A＋sin C cos B，可得sin (B－C)＝sin (B＋C)，當(dāng)B－C＝B＋C時，C＝0，不符合題意，故B－C＝π－B－C，解得B＝，故△ABC為直角三角形．
3. ACD　解析：因為(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可設(shè)(其中x>0)，解得a＝4x，b＝5x，c＝6x，所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，故A正確；由上可知邊c最大，所以三角形中角C最大，又cos C＝＝＝>0，所以角C為銳角，故B錯誤；由上可知邊a最小，所以三角形中角A最小，又cos A＝＝＝，所以cos 2A＝2cos2A－1＝，所以cos2A＝cos C．由三角形中角C最大，且角C為銳角，可得2A∈(0，π)，C∈，所以2A＝C，故C正確；由正弦定理，得2R＝，又sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，故D正確．故選ACD.
4．2　解析：由題意，得sin C＝，因為S△ABC＝4，所以ab sin C＝4，則b＝2.
5. (1) 由a－2b sin A＝0及正弦定理，得sin A－2sin B sin A＝0，
又A∈，則sin A≠0，可得sin B＝.
因為B為銳角，所以B＝.
(2) 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即(a＋c)2－3ac＝7，
所以25－3ac＝7，則ac＝6，
所以△ABC的面積S＝ac sin B＝.

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