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6．4.5　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例(2)
1. 掌握正、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用．
2. 綜合運(yùn)用正、余弦定理求解三角形和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題．
活動(dòng)一 距離問(wèn)題
例1　隔河可看到A，B兩目標(biāo)，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 km的C，D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求目標(biāo)A，B之間的距離．
在三角形中，知道了一邊及三個(gè)角的大小，一般用正弦定理求出其他的邊長(zhǎng)．若在三角形中，知道了兩邊及其夾角，則利用余弦定理求出第三邊的長(zhǎng)度．
如圖，A，B，C為山腳兩側(cè)共線的三點(diǎn)，計(jì)劃沿直線AC開(kāi)通穿山隧道．為求出隧道DE的長(zhǎng)度，在山頂P處測(cè)得三點(diǎn)的俯角分別為α，β，γ，測(cè)得AD＝m，EB＝n，BC＝p.用以上數(shù)據(jù)(或其中的部分?jǐn)?shù)據(jù))表示隧道DE的長(zhǎng)度．
活動(dòng)二　高度問(wèn)題　
例2　為測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可選取與塔底B 在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝s，并在C處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，求塔高AB.
解三角形在實(shí)際中的運(yùn)用，需要根據(jù)題意找到對(duì)應(yīng)的三角形中的關(guān)系，再利用正、余弦定理求解．
如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西方向行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在北偏西45°的方向上，仰角為30°，行駛4 km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在北偏西30°方向上．
(1) 求此山的高CD；
(2) 設(shè)汽車(chē)行駛過(guò)程中仰望山頂D的最大仰角為θ，求tan θ的值．
活動(dòng)三　角度問(wèn)題　
例3　位于某海域A處的甲船獲悉，在其正東方向相距20 n mile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨等待營(yíng)救．甲船立即前往救援，同時(shí)把消息告知位于甲船南偏西30°，且與甲船相距7 n mile的C處的乙船，那么乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的目標(biāo)方向線(由觀測(cè)點(diǎn)看目標(biāo)的視線)的方向是北偏東多少度(精確到1°)？需要航行的距離是多少海里(精確到1 n mile)
對(duì)于實(shí)際中的角度問(wèn)題，要分清方向角、方位角、俯角、仰角等概念．
甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的B處，測(cè)得乙船以a n mile/h的速度向正北方向行駛，甲船以a n mile/h的速度追擊，問(wèn)甲船如何航行才能最快地與乙船相遇？
活動(dòng)四 綜合應(yīng)用　　
例4　如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA＝2，B為半圓上的任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC，問(wèn)：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大？
運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要在理解題意的基礎(chǔ)上，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后利用有關(guān)定理、性質(zhì)、公式解決這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題．步驟如下：分析題意→畫(huà)示意圖→化成數(shù)學(xué)問(wèn)題→運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決(計(jì)算).
如圖，有一塊三角形的綠地ABC，其中AB的長(zhǎng)為7 m，由C處看AB的張角為45°，在邊AC上的D處看AB的張角為60°，且AD＝2DC，求這塊綠地的面積．
1. 海上A，B兩個(gè)小島相距10 n mile，從島A看島C和島B成60°的視角，從島B看島C和島A成75°的視角，則B，C間的距離是(　　)
A. 10 n mile　 B. n mile C. 5 n mile　 D. 5 n mile
(第1題) (第2題) (第3題) (第4題)
2. 如圖，位于A處的海面觀測(cè)站獲悉，在其正東方向相距40 n mile的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，并在原地等待營(yíng)救．在A處南偏西30°，且相距20 n mile的C處有一艘救援船，以50 n mile/h的速度前去救援，則該船到B處所需的時(shí)間為(　　)
A. 24 min B. 36 min C. 48 min D. 60 min
3. (多選)如圖，要測(cè)量河對(duì)岸C，D兩點(diǎn)間的距離，在河邊一側(cè)選定兩點(diǎn)A，B，測(cè)出A，B間的距離為20 m，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. BD＝10(3＋) m　　 B. DC＝10 m　
C. DC＝10 m　　 D. BC＝10 m
4. (2023榆樹(shù)實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高一聯(lián)考)開(kāi)封鐵塔是宋都開(kāi)封具有代表性的文物，是文物價(jià)值最高、分量最重的寶物之一.1961年，它被國(guó)務(wù)院定為中國(guó)首批國(guó)家重點(diǎn)保護(hù)文物之一．如圖，為測(cè)量開(kāi)封鐵塔的高度，選擇C和一個(gè)樓房DE的樓頂E為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，已知A，C，D在水平地面上，開(kāi)封鐵塔AB和樓房DE都垂直于地面．已知DE＝15 m，∠ACD＝45°，∠ADC＝60°，在點(diǎn)C處測(cè)得點(diǎn)E的仰角為15°，在點(diǎn)E處測(cè)得點(diǎn)B的仰角為45°，則開(kāi)封鐵塔AB的高度為_(kāi)_______m.
5. (2023西安高一期中)測(cè)量河對(duì)岸某一高層建筑物AB的高度時(shí)，可以選擇與建筑物的最低點(diǎn)B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C和D，如圖，測(cè)得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在C處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為60°，求建筑物AB的高度．
【答案解析】
6．4.5　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例(2)
【活動(dòng)方案】
例1　在△BCD中，由題意，得∠CBD＝60°.
由正弦定理，得＝，
所以BC＝×sin 75°＝.
在△ACD中，∠CAD＝30°，
所以AC＝CD＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 75°
＝3＋－2×××＝5，
所以AB＝，
故目標(biāo)A，B之間的距離為 km.
跟蹤訓(xùn)練　在△PBC中，∠BPC＝β－γ，∠PBC＝π－β，∠PCB＝γ，
則由正弦定理，得＝，整理可得PC＝.
在△PAC中，∠PAC＝α，∠APC＝π－α－γ，
則由正弦定理，得＝，整理可得AC＝，
則DE＝AC－AD－EB－BC＝－m－n－p.
例2　在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－60°＝45°，
由正弦定理，得＝，
所以BC＝＝＝s.
在Rt△ABC中，
AB＝BC·tan ∠ACB＝s·tan 30°＝s，
故塔高AB為s.
跟蹤訓(xùn)練　(1) 設(shè)此山的高CD為h km，
則AC＝.　
在△ABC中，∠ABC＝120°，∠BCA＝180°－120°－45°＝15°，AB＝4.
根據(jù)正弦定理，得＝，
即＝，
解得h＝2(＋).
故此山的高CD為2(＋)km.
(2) 由題意可知，當(dāng)點(diǎn)C到公路距離最小時(shí)，仰望山頂D的仰角達(dá)到最大，
所以過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB，垂足為E，連接DE，
則∠DEC＝θ，CE＝AC·sin 45°，DC＝AC·tan 30°，
所以tan θ＝＝.
例3　根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖，
由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝202＋72－2×20×7×＝589，
所以BC≈24 n mile.
由正弦定理，得＝，
所以sin C＝＝.
因?yàn)?°故乙船前往營(yíng)救遇險(xiǎn)漁船時(shí)的方向約是北偏東46°＋30°＝76°，大約需要航行24 n mile.
跟蹤訓(xùn)練　根據(jù)題意，畫(huà)出示意圖．
設(shè)兩船在點(diǎn)C處相遇，甲船經(jīng)過(guò)t h追上乙船.
因?yàn)榧状邳c(diǎn)A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的點(diǎn)B處，所以∠B＝120°.
設(shè)甲船的航行方向?yàn)楸逼珫|θ，
所以在△ABC中，＝，
所以sin (60°－θ)＝.
因?yàn)?°<θ<90°，
所以－30°<60°－θ<60°，所以θ＝30°，
所以甲船沿北偏東30°方向航行才能最快與乙船相遇．
例4　設(shè)∠AOB＝α.
在△AOB中，由余弦定理，得
AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos ∠AOB
＝22＋12－2×1×2×cos α＝5－4cos α，
則S四邊形OACB＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OB·sin α＋AB2＝×2×1×sin α＋(5－4cos α)＝sin α－cos α＋＝2sin (α－)＋.
因?yàn)?<α<π，所以當(dāng)α－＝，即∠AOB＝α＝時(shí)，四邊形OACB的面積最大．
跟蹤訓(xùn)練　設(shè)DC＝x m.
因?yàn)椤螩＝45°，∠ADB＝60°，
所以∠CBD＝15°.
在△BCD中，由正弦定理，
得BD＝·x＝·x＝(＋1)x.
在△ABD中，AB＝7，AD＝2x，∠BDA＝60°，
根據(jù)余弦定理，
得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB，
即49＝4x2＋(＋1)2x2－2·2x·(＋1)x·，
解得x＝，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BDC＝AD·BD·sin ∠ADB＋BD·DC·sin∠BDC
＝(m2)，
故這塊綠地的面積為 m2.
【檢測(cè)反饋】
1. D　解析：在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，由正弦定理，可得＝，所以BC＝×10＝5(n mile).
2. A　解析：由題意可知∠BAC＝120°，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠BAC＝400＋1 600＋800＝2 800，所以BC＝20，則該船到B處所需的時(shí)間t＝×60＝24(min).
3. AC　解析：因?yàn)锳B⊥BC，所以∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，AB＝20，所以AC＝＝＝40，BC＝40×＝20.在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ABD＝60°，∠ADB＝45°，AB＝20.根據(jù)正弦定理，得＝，解得AD＝30.在△ACD中，由余弦定理，得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos ∠DAC＝(30)2＋402－2×30×40×cos 45°＝1 000，所以CD＝10.在△ABD中，由正弦定理，得＝，所以BD＝×30＝10＋30＝10(3＋).故選AC.
4. 30＋15 　解析：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，易知△BFE為等腰直角三角形，所以BF＝EF＝AD.在Rt△ECD中，因?yàn)椤螮CD＝15°，所以CD＝＝，在△ACD中，由正弦定理，得＝，即＝＝＝，所以AD＝＝15(＋1)，則AB＝BF＋AF＝AD＋ED＝15(＋1)＋15＝30＋15，故鐵塔AB的高應(yīng)為(30＋15)m.
5. 在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，所以∠CBD＝135°，
由正弦定理，得＝，
所以BC＝＝15.
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
所以AB＝BC tan 60°＝15×＝15，
則建筑物AB的高度為15 m.

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