資源簡介

第六章 平面向量及其應(yīng)用 復(fù)習(xí)(一)
1. 梳理本章知識點，形成知識體系．
2. 掌握向量在幾何、物理學(xué)等方面的應(yīng)用，提高解決實際問題的能力．
活動一 構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)
活動二 理解概念，掌握基本方法
例1　給出下列說法：①若非零向量與共線，則A，B，C，D一定四點共線；②若|a|＝|b|，則a＝±b；③如果a·c＝b·c(c≠0)，那么a＝b；④(a·b)2＝a2·b2；⑤(b·c)·a－(c·a)·b與c垂直(a，b，c均不為0).其中正確的是________．(填序號)
例2　已知向量e1，e2不共線．
(1) 若＝e1－e2，＝2e1－8e2，＝3e1＋3e2，求證：A，B，D三點共線；
(2) 若向量λ－與－λ共線，求實數(shù)λ的值．
例3　已知a＝(－3，1)，b＝(1，－2)，若(－2a＋b)⊥(a＋kb)，求實數(shù)k的值．
掌握向量，就是從它的定義出發(fā)，大小與方向體現(xiàn)向量的本質(zhì)，解決向量問題無非就是從幾何與代數(shù)(坐標(biāo))兩方面去處理．
在例3的條件下，若(－2a＋b)∥(a＋kb)，求實數(shù)k的值．
在例3的條件下，若－2a＋b與a＋kb的夾角θ為60°，求實數(shù)k的值．
在例3的條件下，若－2a＋b與a＋kb的夾角為鈍角，求實數(shù)k的取值范圍．
活動三　提升探究能力　
例4　如圖，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若長為2a的線段PQ以A為中點，問與的夾角θ取何值時，·的值最大？并求出這個最大值．
在Rt△ABC中，AC＝6，斜邊AB＝10，點M，N在其內(nèi)切圓上運動，且MN是一條直徑，點P在△ABC的三條邊上運動，求·的最大值．
1. 已知向量＝(1，0)，＝(0，2)，＝t，則當(dāng)||取最小值時，實數(shù)t的值為(　　)
A. B. C. D.
2. 已知向量a，b為單位向量，且a·b＝－，向量c與a＋b共線，則|a＋c|的最小值為(　　)
A. 1 B. C. D.
3. (多選)已知在Rt△ABC中，斜邊BC上有異于端點的E，F(xiàn)兩點，直角邊AB，AC(ABA. 2 B. C. 3 D. 9
4. 已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2，a＝λb(λ<0)，則m－n＝________．
5. 若a，b，c是同一平面內(nèi)的三個向量，其中a＝(3，－1).
(1) 若|c|＝2，且a∥c，求c的坐標(biāo)；
(2) 若|b|＝，且a＋2b與2a－b垂直，求a與b的夾角θ.
【答案解析】
第六章 平面向量及其應(yīng)用 復(fù)習(xí)(一)
【活動方案】
例1　⑤　解析：若AB∥CD，則與共線，故①錯誤；若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，不一定有a＝±b，故②錯誤；若a·c＝b·c(c≠0)，則a·c－b·c＝0，即(a－b)·c＝0，故a＝b或(a－b)⊥c，故③錯誤；設(shè)a與b的夾角為θ，則(a·b)2＝(|a||b|·cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ，故④錯誤；[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·a·c－(c·a)·b·c＝0，故⑤正確．
例2　(1)因為＝＋＝5e1－5e2＝5，
所以與共線．
又與有公共點B，
所以A，B，D三點共線．
(2) 設(shè)λ－＝μ(－λ)，
所以解得λ＝±1.
故實數(shù)λ的值為±1.
例3　由題意，得－2a＋b＝(7，－4)，a＋kb＝(－3＋k，1－2k).
因為(－2a＋b)⊥(a＋kb)，
所以－21＋7k－4＋8k＝0，解得k＝.
跟蹤訓(xùn)練1　由題意，得7－14k＝12－4k，解得k＝－.
跟蹤訓(xùn)練2　由題意，得cos θ＝＝＝，
解得k＝.
跟蹤訓(xùn)練3　因為－2a＋b與a＋kb的夾角為鈍角，且不為180°，
所以解得
所以實數(shù)k的取值范圍為(－∞，－)∪(－，).
例4　以直角頂點A為坐標(biāo)原點，兩直角邊所在的直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系．
設(shè)AB＝c，AC＝b，則點A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，
且PQ＝2a，BC＝a，A為PQ的中點．
設(shè)點P的坐標(biāo)為(x，y)，則點Q(－x，－y)，
所以＝(x－c，y)，＝(－x，－y－b)，
＝(－c，b)，＝(－2x，－2y)，
所以·＝－x(x－c)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.
因為cos θ＝＝，
所以cx－by＝a2cos θ，
所以·＝－a2＋a2cos θ＝a2(cos θ－1)，
故當(dāng)cos θ＝1，即θ＝0時，·最大，最大值為0.
跟蹤訓(xùn)練　由題意，得BC＝＝8，△ABC的內(nèi)切圓的半徑 r＝＝＝2.
設(shè)△ABC內(nèi)切圓的圓心為O，由＋＝2，得(＋)2＝4||2，
即||2＋||2＋2·＝4||2.①
由－＝，得(－)2＝||2，
即||2＋||2－2·＝16，②
由①－②，得4·＝4||2－16，
即·＝||2－4.
當(dāng)點P在點B時，||最大，
||＝||＝＝2，
所以·的最大值為||2－4＝40－4＝36.
【檢測反饋】
1. C　解析：由＝t知點P在直線MN上，當(dāng)OP⊥MN時，||最小，MN＝＝，所以NP＝＝＝，即NP＝NM，所以＝，t＝.
2. D　解析：因為向量c與a＋b共線，所以可設(shè)c＝t(a＋b)(t∈R)，所以a＋c＝(t＋1)a＋tb，所以(a＋c)2＝(t＋1)2a2＋2t(t＋1)a·b＋t2b2.因為向量a，b為單位向量，且a·b＝－，所以(a＋c)2＝(t＋1)2－t(t＋1)＋t2＝t2＋t＋1＝＋≥，所以|a＋c|≥，所以|a＋c|的最小值為.
3. BC　解析：因為邊AB，AC(AB4. －6　解析：由題意，得m2＋n2＝20.由a＝λb(λ<0)，得解得所以m－n＝－6.
5. (1) 設(shè)c＝(x，y)，因為a∥c，a＝(3，－1)，
所以x＋3y＝0.
又|c|＝2，所以x2＋y2＝40，
解得或
所以c＝(6，－2)或c＝(－6，2).
(2) 因為|b|＝，且a＋2b與2a－b垂直，
所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
又|a|＝，代入上式解得a·b＝－5，
所以|a|·|b|cos θ＝×cos θ＝－5，
所以cos θ＝－1，又θ∈[0，π]，所以θ＝π.

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