資源簡介

第六章 平面向量及其應用 復習(二)
能用正弦定理、余弦定理解決三角形中的邊角問題及簡單的實際問題．
活動一 構建知識網絡
活動二　利用正弦定理、余弦定理求三角形的邊長或角度的大小　
例1　如圖，D是直角三角形ABC斜邊BC上的一點，AC＝DC.
(1) 若∠BAD＝60°，求∠ADC的大小；
(2) 若BD＝2DC，且AB＝，求AD的長．
理清何時用正弦定理，何時用余弦定理，從而解決三角形中的邊長和角度問題．
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2＋c2＝b2－ac.
(1) 求角B的大小；
(2) 若≤A≤，求的取值范圍；
(3) 若c＝，∠BAC的平分線AD＝，求b.
活動三 利用正弦定理求三角形的面積
例2　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b＝，c＝1，cos B＝.求：
(1) sin C的值；
(2) △ABC的面積．
在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，且c＝－3b cos A，tan C＝.
(1) 求tan B的值；
(2) 若c＝2，求△ABC的面積．
活動四　利用正弦定理、余弦定理解決實際問題　
例3　AB是底部為B的建筑物，A是建筑物的最高點，為測量建筑物AB的高度，先將高度為1 m的測角儀放置在CD位置，測得仰角為45°，再將測角儀放置在EF位置，測得仰角為75°，已知DF＝2 m，D，F，B在同一水平線上，求建筑物AB的高度．
實際問題中的長度與角度的大小的計算，往往借助于正、余弦定理去解決，只要將所求的長度或角度放在適當的三角形中即可．
如圖，已知在東西走向上有AM，BN兩座發射塔，且AM＝100 m，BN＝200 m，一輛測量車在塔底M的正南方向的P處測得發射塔頂A的仰角為30°，該測量車向北偏西60°方向行駛了100 m后到達Q處，在Q處測得發射塔頂B的仰角為θ，且∠BQA＝θ，經計算，tan θ＝2，求兩發射塔頂A，B之間的距離．
1. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＋b＝2c，則cos C的最小值為(　　)
A. － B. C. D.
2. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若A＝45°，B＝60°，a＝1，則b的值為(　　)
A. B. C. D.
3. (多選)(2023三明高一聯考)已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則下列命題中正確的有(　　)
A. 當a＝5，b＝7，A＝60°時，滿足條件的三角形有1個
B. 若sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7則這個三角形的最大角是120°
C. 若a2＋b2>c2，則△ABC為銳角三角形
D. 若C＝，a2－c2＝bc，則△ABC為等腰直角三角形
4. 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝2，則a＋4c的最小值為________．
5. (2023菏澤高一階段練習)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2b cos C＝2a＋c.
(1) 求角B的大小；
(2) 若b＝2，D為AC邊上的一點，BD＝1，且________，求△ABC的面積．
請在下面兩個條件中選擇一個作為條件補充在橫線上，并解決問題．
①BD是∠ABC的平分線；②D為線段AC的中點．
【答案解析】
第六章 平面向量及其應用 復習(二)
【活動方案】
例1　(1) 因為∠BAD＝60°，∠BAC＝90°，
所以∠DAC＝30°.
在△ADC中，由正弦定理，得＝，
則sin ∠ADC＝·sin ∠DAC＝，
所以∠ADC＝120°或∠ADC＝60°.
又∠BAD＝60°，所以∠ADC＝120°.
(2) 因為BD＝2DC，所以BC＝3DC.
在△ABC中，由勾股定理可得BC2＝AB2＋AC2，
即9DC2＝6＋3DC2，解得DC＝1，
所以BD＝2，AC＝.
令∠ADB＝θ，
在△ADB中，由余弦定理，
得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos θ，
在△ADC中，由余弦定理，
得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos (π－θ)，
即
解得AD2＝2，故AD＝.
跟蹤訓練　(1) 因為a2＋c2＝b2－ac，
所以由余弦定理，得cos B＝＝－.
因為0(2) 因為B＝，所以A＋C＝，
所以＝＝＝－.
又因為≤A≤，所以≤tan A≤1，
所以≤≤1，
所以的取值范圍為.
(3) 在△ABD中，AB＝，AD＝，B＝，
由正弦定理，得＝，即＝，
所以sin ∠ADB＝，顯然∠ADB＝，
所以∠BAD＝，
所以∠BAC＝，C＝.
在△ABC中，C＝，B＝，c＝，
則由正弦定理＝，得＝，
解得b＝.
例2　(1) 因為b＝，c＝1，cos B＝，
所以sin B＝＝，
所以由正弦定理，得sinC＝＝＝.
(2) 因為c所以由(1)可得cos C＝＝，
所以sinA＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝×＋×＝，
所以S△ABC＝bc sin A＝××1×＝.
跟蹤訓練　(1) 由正弦定理，得 sin C＝－3sin B cos A，
即sin (A＋B)＝－3sin B cos A，
所以sin A cos B＋cos A sin B＝－3sin B cos A，
從而sin A cos B＝－4sin B cos A.
因為cos A cos B≠0，所以＝－4.
又tan C＝－tan (A＋B)＝＝，
所以＝，
解得tanB＝.
(2) 由(1)，得 sin A＝，sin B＝，sin C＝.
由正弦定理，得a＝＝＝，
所以△ABC的面積為ac sin B＝××2×＝.
例3　在△ACE中，＝，
AE＝＝＝2(m)，
AB＝AG＋1＝AE sin 75°＋1＝2×＋1＝2＋(m)，
所以建筑物AB的高度為(2＋)m.
跟蹤訓練　在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100 m，
所以PM＝100 m.
連接QM.
在△PQM中，∠QPM＝60°，PQ＝100 m，
所以△PQM為等邊三角形，所以QM＝100 m，
所以在Rt△AMQ中，得AQ＝200 m.
在Rt△BNQ中，因為tan θ＝2，BN＝200 m，
所以QN＝100 m，BQ＝100 m，cos θ＝.
在△BQA中，由余弦定理，得BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ，
所以BA＝100 m，
所以兩發射塔頂A，B之間的距離是100 m．
【檢測反饋】
1. B　解析：由余弦定理，得cos C＝＝＝≥＝，當且僅當a＝b時等號成立．
2. D　解析：因為＝，所以b＝＝1××＝.
3. BD　解析：對于A，sin B＝＝＝>1，無解，故A錯誤；對于B，由sin A∶sin B∶sin C＝3∶5∶7，得a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨令a＝3，則b＝5，c＝7，最大角C的余弦值為cos C＝＝＝－，所以C＝120°，故B正確；對于C，由條件，結合余弦定理只能得到cos C>0，即角C為銳角，無法保證其他角也為銳角，故C錯誤；對于D，由cos C＝＝＝＝cos ＝，得b＋c＝a，所以a2＝bc＋c2＝c(b＋c)＝ac，所以a＝c，所以sin A＝sin C＝sin ＝1，所以A＝，所以△ABC為等腰直角三角形，故D正確．故選BD.
4. 18　解析：根據題意，得S△ABC＝ac.因為∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝2，所以S△ABD＝·BD·c·sin ∠ABD＝c，S△CBD＝BD·a·sin ∠CBD＝a.又S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，所以ac＝c＋a，化簡，得＋＝1，則a＋4c＝(a＋4c)·＝10＋＋≥10＋2＝18，當且僅當a＝2c，即c＝3，a＝6時取等號，即a＋4c的最小值為18.
5. (1) 由題意，及正弦定理，得2sin B cos C＝2sin A＋sin C＝2sin B cos C＋2cos B sin C＋sin C，
所以2cos B sin C＋sin C＝0.
因為C∈(0，π)，
所以sin C>0，cos B＝－.
因為B∈(0，π)，所以B＝.
(2) 若選①：
由BD平分∠ABC，得S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，
所以ac sin ＝×1×c sin ＋×1×a sin ，
即ac＝a＋c.
在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos ，
又b＝2，所以a2＋c2＋ac＝12，
聯立得(ac)2－ac－12＝0，
解得ac＝4，
所以S△ABC＝ac sin ＝×4×＝.
若選②：
因為＝(＋)，
所以||2＝(＋)2＝(||2＋2·＋||2)，
即1＝(c2＋2ac cos ＋a2)，則a2＋c2－ac＝4，
在△ABC中，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos ，
又b＝2，所以a2＋c2＋ac＝12，
聯立解得ac＝4，
所以S△ABC＝ac sin ＝×4×＝.

展開更多......

收起↑