資源簡介

7．1　復數的概念
7.1.1　數系的擴充和復數的概念
1. 經歷數的概念的發展和數系擴充的過程，體會數學發現和創新的過程以及數學發生、發展的客觀需求．
2. 通過方程的解，認識復數．
3. 了解復數的基本概念，理解復數相等的含義．
活動一 了解數系的發展史
閱讀課本相關內容，回答下列問題：
問題1：我們說，實系數一元二次方程x2＋1＝0沒有實數根．實際上，就是在實數范圍內，沒有一個實數的平方等于負數．解決這一問題，其本質就是解決以下問題串：什么叫方程無解？方程是否有解與什么相關？有沒有必要將實數集擴充，使得此類方程在新的數集中變得有解？
問題2：方程x2＋1＝0在實數集中無解．聯系從自然數集到實數集的擴充過程，你能給出一種方法，適當擴充實數集，使這個方程有解嗎？
活動二　了解復數的基本概念　
1. 新數i的引入，并規定：
(1) i2＝－1；
(2) 實數可以與它進行加法和乘法運算．
2. 復數的有關概念．
(1) 復數是怎樣形成的？其中i叫什么？
(2) 如何對復數進行分類？
例1　完成下列表格(分類一欄填“實數”“虛數”或“純虛數”).
4 2－3i 0 －＋i 5＋i 6i i2
實部
虛部
分類
只有當a，b∈R時，a＋bi中的a稱為實部，b稱為虛部．
當實數m取什么值時，復數z＝m(m－1)＋(m－1)i是下列數？
(1) 實數；　　　　(2) 虛數；
(3) 純虛數； (4) 0.
思考1
a＝0是復數z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數的充分條件嗎？
思考2
復數集C與實數集R之間有什么關系？
活動三 理解復數相等的含義
思考3
兩個復數滿足什么條件時相等？
例2　已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，求實數x，y的值．
1. a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)
2. a＋bi＝0(a，b∈R)
3. 利用復數相等的定義可將復數問題實數化.
若復數z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m為實數，且z1>z2，求實數m的值．
1. (2023上海奉賢高一期末)“a＝0”是“復數a＋bi(a，b∈R)是純虛數”的(　　)
A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
2. 若(2k2－3k－2)＋(k2－2k)i是純虛數，則實數k的值為(　　)
A. 0或2 B. 2或－ C. － D. 2
3. (多選)已知復數z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的實部與虛部互為相反數，則α的取值可能為(　　)
A. B. C. π D.
4. 多項式x2＋1在實數范圍內不能分解因式，但數系擴充到復數以后有x2＋1＝(x＋i)(x－i)，則在復數范圍內多項式x2－4x＋5分解成一次因式乘積的結果為________________．
5. 當實數m取什么值時，復數lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是下列數？
(1) 純虛數；
(2) 實數；
(3) 虛數．
【答案解析】
7．1　復數的概念
7．1.1　數系的擴充和復數的概念
【活動方案】
問題1：略
問題2：回顧已有的數集擴充過程，為了解決x2＋1＝0這樣的方程在實數系中無解的問題，我們設想引入一個新數i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1.
2. (1) 把實數b與i相乘，結果記作bi；把實數a與bi相加，結果記作a＋bi，所有實數以及i都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數叫作復數，其中i叫作虛數單位．
(2) 復數通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a與b分別叫作復數z的實部與虛部．當且僅當b＝0時，z是實數a；當且僅當a＝b＝0時，z是實數0；當b≠0時，z叫作虛數；當a＝0且b≠0時，z＝bi叫作純虛數．
例1　
4 2－3i 0 －＋i 5＋i 6i i2
實部 4 2 0 － 5 0 －1
虛部 0 －3 0 6 0
分類 實數 虛數 實數 虛數 虛數 純虛數 實數
跟蹤訓練　(1) m＝1　(2) m≠1　(3) m＝0 (4) m＝1
思考1：不是，a＝0且b≠0是復數z＝a＋bi為純虛數的充分條件．
思考2：實數集R是復數集C的真子集，即R?C.復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系如下圖所示：
思考3：若要a＋bi與c＋di相等，當且僅當a＝c且b＝d.
例2　由題意，得解得
跟蹤訓練　由復數z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m為實數，且z1>z2，
得
即解得m＝0，故實數m的值為0.
【檢測反饋】
1. A　解析：若復數a＋bi(a，b∈R)是純虛數，則a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“復數a＋bi(a，b∈R)是純虛數”的必要不充分條件．
2. C　解析：因為(2k2－3k－2)＋(k2－2k)i是純虛數，所以解得k＝－.
3. ACD　解析：由題意，得cos α＝－cos 2α，所以2cos2α＋cosα－1＝0，解得cos α＝－1或cos α＝.因為0<α<2π，所以α的值為π或或.故選ACD.
4. (x－2＋i)(x－2－i)　解析：x2－4x＋5＝(x－2)2＋1＝(x－2＋i)(x－2－i).
5. (1) 當時，復數為純虛數，
解得m＝4.
(2) 當時，復數為實數，
解得m＝－2或m＝－3.
(3) 當時，復數為虛數，
解得m<－3或－31＋2.

展開更多......

收起↑