資源簡介

7．1.2　復數的幾何意義
1. 了解復數的幾何意義，會用復平面內的點和向量來表示復數．
2. 掌握復數的模的計算公式及幾何意義．
3. 了解共軛復數的概念．
活動一 了解復數的幾何意義
思考1
實數與數軸上的點是一一對應的，實數可以用數軸上的點來表示，那么復數能否也能用點來表示呢？
1. 復平面．
2. 實軸、虛軸上的點與復數的對應關系．
實軸上的點都表示實數，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數．原點對應的有序實數對為(0，0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．
3. 復數的幾何意義．
(1) 復數z＝a＋bi(a，b∈R)復平面內的點Z(a，b)；
(2) 復數z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
4. 復數的模．
(1) 定義：向量的模叫作復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值；
(2) 記法：復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模記為|z|或|a＋bi|；
(3) 公式：|z|＝|a＋bi|＝.
例1　在復平面內，分別用點和向量表示下列復數：4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i.
復數的幾何意義就是復數與復平面上的點建立一一對應關系，以及與復平面內以原點為起點的向量建立一一對應關系(實數0與零向量對應).
若復數x＋yi(x，y∈R)的對應點在復平面的第一、三象限角的平分線上，求x，y之間的關系．
例2　已知復數z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，試比較它們模的大小．
復數的模的代數含義就是計算公式.
已知復數z滿足|z|＝5，且復數z的實部為3，求復數z.
例3　設z∈C，則滿足下列條件的點Z的集合分別是什么圖形？
(1) |z|＝1；
(2) 1<|z|<2.
復數的模的幾何含義就是復平面上兩點之間的距離．
滿足條件|z|≤3的復數z在復平面內對應的點的集合是什么圖形？它的面積是多少？
活動二　了解共軛復數的概念　
5. 共軛復數
一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫作互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫作共軛虛數．復數z的共軛復數用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.
思考2
若z1，z2是共軛復數，那么在復平面內它們所對應的點有怎樣的關系？
例4　已知復數z＝－3＋4i，則z的共軛復數在復平面內對應的點在(　　)
A. 第一象限　　　　B. 第二象限
C. 第三象限　　　　D. 第四象限
利用共軛復數之間的關系即可解決．
已知復數z，其共軛復數為z1，z1的共軛復數為z2，求證：z2＝z.
1. 若復數z的共軛復數滿足＝1＋i3，則復數z對應的點在(　　)
A. 第一象限　 B. 第二象限　 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 在復平面內，O為坐標原點，復數z對應的點為Z(1，0)，將向量按逆時針方向旋轉30°得到，則對應的復數z′為(　　)
A. ＋i B. ＋i C. －i D. －i
3. (多選)設復數z滿足z＝－1－2i，i為虛數單位，則下列命題中正確的是(　　)
A. |z|＝
B. 復數z在復平面內對應的點在第四象限
C. z的共軛復數為－1＋2i
D. 復數z在復平面內對應的點在直線y＝－2x上
4. (2023遼寧高一聯考)已知復數z滿足|z|＝1，則|z＋3－4i|(i為虛數單位)的最大值為________．
5. (2023利川第一中學高一聯考)已知復數z＝a＋bi，a，b∈R.
(1) 若a＝m2＋m－2，b＝2m2－m－3，m∈R，z對應的點在第四象限，求實數m的取值范圍；
(2) 若|z－1|＝1, 求a＋b的最大值．
【答案解析】
7．1.2　復數的幾何意義
【活動方案】
思考1：能
例1　如圖，點A，B，C，D，E分別表示復數4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i.與之對應的向量可用，，，，來表示．
跟蹤訓練　x－y＝0
例2　因為|z1|＝＝5，|z2|＝＝，且5<，所以|z1|<|z2|.
跟蹤訓練　z＝3＋4i或z＝3－4i.
例3　(1) 因為|z|＝1，即||＝1，所以滿足|z|＝1的點Z的集合是以原點為圓心，1為半徑的圓，如圖1.
(2) 不等式1<|z|<2可化為不等式組
不等式|z|>1的解集是圓|z|＝1外部所有的點組成的集合，不等式|z|<2的解集是圓|z|＝2內部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集就是上述不等式組的解集．因此，滿足條件1<|z|<2的點Z的集合是以原點為圓心，分別以1和2為半徑的兩個圓所夾的圓環，但不包括圓環的邊界，如圖2.
圖1 圖2
跟蹤訓練　圖形是以原點O為圓心，3為半徑的圓面，包括邊界，其面積為9π.
思考2：關于實軸對稱．
例4　C　解析：由題意，得＝－3－4i，則其在復平面內對應的點為(－3，－4)，位于第三象限．
跟蹤訓練　設z＝a＋bi(a，b∈R)，則z1＝a－bi，z2＝a＋bi，所以z2＝z.
【檢測反饋】
1. A　解析：由題意，得＝1－i，則z＝1＋i，故z對應的點在第一象限．
2. A　解析：設z′＝a＋bi(a，b∈R).由題意，知a＝cos 30°＝，b＝sin 30°＝，所以z′＝＋i.
3. AC　解析：|z|＝＝，故A正確；復數z在復平面內對應的點的坐標為(－1，－2)，在第三象限，故B錯誤；z的共軛復數為－1＋2i，故C正確；復數z在復平面內對應的點(－1，－2)不在直線y＝－2x上，故D錯誤．故選AC.
4. 6　解析：設z＝a＋bi(a，b為實數)，則復數z滿足|z|＝1的幾何意義是以原點為圓心，以1為半徑的圓上的點，則|z＋3－4i|＝表示的幾何意義是圓上的點到點(－3，4)的距離，根據圓的性質可知，所求最大值為＋1＝5＋1＝6.
5. (1) 由題意，得解得1故實數m的取值范圍為 .
(2) 因為|z－1|＝|(a－1)＋bi|＝＝1, 所以(a－1)2＋b2＝1，
所以≤＝， 故a＋b≤＋1，當且僅當a－1＝b時取等號，
所以a＋b的最大值為＋1.

展開更多......

收起↑