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7．2　復數(shù)的四則運算
7.2.1　復數(shù)的加、減運算及其幾何意義
1. 理解復數(shù)代數(shù)形式的加法、減法．
2. 了解復數(shù)加、減運算的幾何意義．
活動一 理解復數(shù)代數(shù)形式的加、減法運算法則
問題1：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)是任意兩個復數(shù)，則z1＋z2＝________________＝________________.
問題2：若(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi(a，b，c，d，x，y∈R)，則記作x＋yi＝(a＋bi)－(c＋di).
由復數(shù)相等的定義知c＋x＝a，d＋y＝b，即x＝________，y＝________，
從而記z1＝a＋bi，z2＝c＋di，則z1－z2＝__________________＝____________
__________.
例1　計算：(1－3i)－(2＋5i)＋(－4＋9i).
　　
兩個復數(shù)相加(減)就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加(減).
計算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(1 999－2 000i)－(2 000－2 001i).
活動二　了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義
復數(shù)的加、減法法則及幾何意義與運算律．
z，z1，z2∈C，設，分別與復數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相對應，且，不共線
加法 減法
運算法則 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i
幾何意義 向量與的和就是與復數(shù)(a＋c)＋(b＋d)i對應的向量 向量－的差就是與復數(shù)(a－c)＋(b－d)i對應的向量
運算律 交換律 z1＋z2＝z2＋z1
結(jié)合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
　例2 已知復數(shù)z1＝2＋i，z2＝1＋2i在復平面內(nèi)對應的點分別為A，B，求對應的復數(shù)z，z在復平面內(nèi)所對應的點在第幾象限？
復數(shù)的加、減法的幾何意義就是兩個復數(shù)加、減以后所對應的向量．
已知平行四邊形OABC，頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i，試求：
(1) 所表示的復數(shù)；
(2) 對角線所表示的復數(shù)；
(3) 對角線所表示的復數(shù)及的長度．
1. 復數(shù)(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　)
A. －1＋i B. 1－i C. i D. －i
2. (2023鄭州中牟縣第一高級中學高一階段練習)復數(shù)6＋5i與－3＋4i分別表示向量與，則表示向量的復數(shù)為(　　)
A. 3＋9i B. 2＋8i C. －9－i D. 9＋i
3. (多選)已知i為虛數(shù)單位，則下列說法中正確的是(　　)
A. 若復數(shù)z滿足|z－i|＝，則復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在以(1，0)為圓心，為半徑的圓上
B. 若復數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，則復數(shù)z＝15＋8i
C. 復數(shù)的模實質(zhì)上就是復平面內(nèi)復數(shù)對應的點到原點的距離，也就是復數(shù)對應的向量的模
D. 復數(shù)z1(z1≠0)對應的向量為，復數(shù)z2(z2≠0)對應的向量為，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則⊥
4. 設a∈R，且(a＋i)2i為正實數(shù)，則實數(shù)a的值為________．
5. (2023遼寧高一聯(lián)考)已知復數(shù)z1＝a2＋(a－6)i，z2＝2a－3＋a2i，a∈R.
(1) 若z1＋z2是純虛數(shù)，求a的值；
(2) 若z1＋z2>0，求|z1|.
【答案解析】
7．2　復數(shù)的四則運算
7．2.1　復數(shù)的加、減運算及其幾何意義
【活動方案】
問題1：(a＋bi)＋(c＋di)　(a＋c)＋(b＋d)i
問題2：a－c　b－d　(a＋bi)－(c＋di)
(a－c)＋(b－d)i
例1　－5＋i
跟蹤訓練　－1 000＋1 000i
例2　z＝z2－z1＝1＋2i－2－i＝－1＋i，
對應的點在第二象限．
跟蹤訓練　(1) －3－2i
(2) 5－2i
(3) 因為對角線＝＋，所以所表示的復數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，的長度為.
【檢測反饋】
1. A　解析：原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i.
2. D　解析：復數(shù)6＋5i與－3＋4i分別表示向量與，因為＝－，所以表示向量的復數(shù)為(6＋5i)－(－3＋4i)＝9＋i.
3. CD　解析：滿足|z－i|＝的復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在以(0，1)為圓心，為半徑的圓上，故A錯誤；在B中，設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝.由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，所以解得所以z＝－15＋8i，故B錯誤；由復數(shù)的模的定義知C正確；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的幾何意義知，以，2為鄰邊的平行四邊形為矩形，從而兩鄰邊垂直，故D正確．故選CD.
4. －1　解析：因為(a＋i)2i＝(a2＋2ai＋i2)i＝(a2－1)i－2a，所以a2－1＝0，且a<0，所以a＝－1.
5. (1) 由題意，得z1＋z2＝a2＋2a－3＋(a2＋a－6)i，
因為z1＋z2是純虛數(shù)，
所以解得a＝1.
(2) 因為z1＋z2>0，
所以解得a＝2，
故|z1|＝|4－4i|＝4.

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