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7．2.2　復數(shù)的乘、除運算
1. 掌握復數(shù)的乘法的運算法則．
2. 掌握復數(shù)的除法的運算法則．
活動一 理解復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則
閱讀課本相關內(nèi)容，完成下列問題：
問題1：規(guī)定z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1z2＝_____________
__________＝____________________．
問題2：試驗證復數(shù)的乘法滿足交換律、結合律、分配律．
例1　計算：
(1) (3＋4i)(－2－3i)；
(2) (＋i)(－＋i)；
(3) (1＋2i)(3－4i)(－2－i)；
(4) (1＋i)2.
復數(shù)的乘法法則與多項式的乘法法則是類似的，只是在運算過程中把i2＝－1，然后把實部與虛部分別合并．
計算：(a＋bi)(a－bi).
思考1
設x，y∈R，在復數(shù)范圍內(nèi)，你能將x2＋y2因式分解嗎？
　　
活動二 理解復數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則
若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0，a，b，c，d∈R)，則x＋yi(x，y∈R)叫作復數(shù)a＋bi除以復數(shù)c＋di的商，記作(a＋bi)÷(c＋di)或.復數(shù)除法的法則是(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0).
例2　計算：
(1) (2－i)÷(3－4i)；
(2) (2＋i)÷(1＋i).
在進行復數(shù)的除法運算時，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成的形式，再把分子與分母同乘以分母這個復數(shù)的共軛復數(shù)，從而使分母實數(shù)化．
(1) ＋(－－i)3＋；
(2) .
思考2
復數(shù)范圍內(nèi)：(1) 方程x2＋1＝0的解是什么？
(2) 當a>0時，方程x2＋a＝0的解是什么？
例3　在復數(shù)集內(nèi)解方程：z2－10z＋40＝0.
在復數(shù)范圍內(nèi)，實系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式：
(1) 當Δ≥0時，x＝；
(2) 當Δ<0時，x＝；且滿足x1＋x2＝－，x1x2＝.
已知2i－3是關于x的方程2x2＋px＋q＝0的一個根，求實數(shù)p，q的值及方程的另一個根．
1. 已知i是虛數(shù)單位，則的化簡結果為(　　)
A. 1－2i B. 2－i C. 2＋i D. 1＋2i
2. (2023大同高一階段練習)已知復數(shù)z＝i3(1－i)，則等于(　　)
A. B. 1 C. D. 2
3. (多選)已知復數(shù)ω＝－＋i(i是虛數(shù)單位)，是ω的共軛復數(shù)，則下列結論中正確的是(　　)
A. ω2＝ B. ω3＝－1 C. ω2＋ω＋1＝0 D. ω>
4. (2023陜西聯(lián)考)設復數(shù)z＝，則|z＋2|＝________．
5. 計算：
(1) (4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)；
(2) ＋；
(3) .
【答案解析】
7．2.2　復數(shù)的乘、除運算
【活動方案】
問題1：(a＋bi)(c＋di)　(ac－bd)＋(ad＋bc)i
問題2：略
例1　(1) 6－17i　(2) －5　(3) －20－15i (4) 2i
跟蹤訓練　原式＝a2－abi＋abi－b2i2＝a2－b2i2＝a2＋b2.
思考1：x2＋y2＝(x＋yi)(x－yi)
例2　(1) ＋i　(2) －i
跟蹤訓練　 (1)＋(－－i)3＋＝－i＋[2i·]3＋＝－i－8i＋i＝－8i.
(2) ＝＝＝＝＝－2－2i.
思考2：(1) x＝±i　(2) x＝±i
例3　配方，得(z－5)2＝－15，
所以z－5＝i或z－5＝－i，
所以z＝5＋i或z＝5－i.
跟蹤訓練　由題意，得2(2i－3)2＋p(2i－3)＋q＝0，
則10－3p＋q＋(2p－24)i＝0，
則解得
所以2x2＋12x＋26＝0，即x2＋6x＋13＝0，
即[x－(2i－3)]·[x＋(3＋2i)]＝0，
所以x＝2i－3或x＝－3－2i，
所以方程的另一根是－3－2i.
【檢測反饋】
1. D　解析：＝＝＝1＋2i.
2. A　解析：因為z＝i3(1－i)＝－i(1－i)＝－1－i，所以＝－1＋i，則＝＝＝－－i，則＝＝.
3. AC　解析： 因為＝－－i，所以ω2＝－i－＝－－i＝，故A正確；ω3＝ω2·ω＝＝－(－)＝1，故B錯誤；ω2＋ω＋1＝－－i－＋i＋1＝0，故C正確；虛數(shù)不能比較大小，故D錯誤．故選AC.
4. 　解析：由題意，知z＝＝＝－i，所以z＋2＝－i＋2＝＋i，所以|z＋2|＝＝.
5. (1) (4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i.
(2) ＋＝＋＝i－i＝0.
(3) ＝＝＝＝＝＝－1＋i.

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