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7．3*　復數(shù)的三角表示
通過復數(shù)的幾何意義，了解復數(shù)的三角表示，了解復數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系，了解復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義．
活動一　復數(shù)的三角表示式
思考1
我們知道向量可以由它的大小和方向唯一確定，而復數(shù)z＝a＋bi由向量的坐標(a，b)唯一確定，那么能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數(shù)呢？如何表示？
思考2
你能用向量的模和角θ來表示復數(shù)z嗎？
1. 復數(shù)的三角形式與代數(shù)形式：復數(shù)的三角形式為r(cos θ＋isin θ)；復數(shù)z的代數(shù)形式為a＋bi(a，b∈R).
2. 復數(shù)的輻角及輻角的主值：以x軸的非負半軸為始邊，向量 所在射線(射線OZ)為終邊的角θ叫作復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的輻角，規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值．通常記作arg z，即0≤arg z<2π.
思考3
兩個用三角形式表示的復數(shù)在什么條件下相等？
活動二 復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化
例1　將下列各復數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式(輻角取輻角的主值)：
(1) －5i；　(2) －10；　(3) －1＋i；　(4) －i.
只要確定復數(shù)的模和輻角(一般情況取輻角的主值)，就能將復數(shù)的代數(shù)形式表示成三角形式．
將復數(shù)1－i轉(zhuǎn)化為三角形式(輻角取輻角的主值).
例2　分別指出下列復數(shù)的模和一個輻角，并把這些復數(shù)表示成代數(shù)形式：
(1) cos π＋isin π；
(2) 6.
活動三　了解復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義　
思考4
設z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能計算z1z2，并將結(jié)果表示成三角形式嗎？
思考5
你能得到復數(shù)的乘法、除法的幾何意義嗎？
例3　計算下列各式的值，并把結(jié)果化為代數(shù)形式：
(1) ×2(cos ＋isin )；
(2) 4÷[2(cos ＋isin )].
復數(shù)三角形式的乘法計算，是模的相乘和輻角相加；除法計算，是模的相除和輻角相減．
計算(cos ＋isin )×(cos ＋isin )×(cos ＋isin )，并把結(jié)果化為代數(shù)形式．
例4　設z＝－i對應的向量為，將繞原點O按逆時針方向和順時針方向分別旋轉(zhuǎn)60°和30°，求所得向量對應的復數(shù)(用代數(shù)形式表示).
利用復數(shù)三角形式的乘法或除法的幾何意義，可以解決平面幾何中旋轉(zhuǎn)與伸縮的變換．
已知點A(2，－1)，B(－1，3)，四邊形ABCD 是正方形，且點A，B，C，D按順時針方向排列，求點C，D對應的復數(shù)．
1. 若a<0，則a的三角形式為(　　)
A. a(cos 0＋isin 0) B. a(cos π＋isin π)
C. －a(cos π＋isin π) D. －a(cos π－isinπ)
2. 計算的結(jié)果是(　　)
A. －9 B. 9 C. －1 D. 1
3. (多選)下列可以表示復數(shù)1＋i的三角形式的是(　　)
A. B.
C. D.
4. 復數(shù)cos ＋isin的輻角主值是________．
5. 將下列各復數(shù)轉(zhuǎn)化為三角形式(輻角取輻角的主值).
(1) 2－2i；
(2) －2i.
【答案解析】
7．3*　復數(shù)的三角表示
【活動方案】
思考1：向量的大小可以用模來刻畫，向量的方向可以借助以x軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線為終邊的角θ來刻畫的方向．
思考2：設z＝a＋bi(a，b∈R)，記向量的模||＝|a＋bi|＝r，則所以z＝r cos θ＋ir sin θ＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝.
思考3：每一個不等于零的復數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主值唯一確定．因此，兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．
例1　(1) 因為r＝＝5，cos θ＝0，sin θ＝－1，θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－5i＝5.
(2) 因為r＝＝10，cos θ＝－1，sin θ＝0，
θ∈[0，2π)，所以θ＝π，
所以－10＝10(cos π＋isin π).
(3) 因為r＝＝2，cos θ＝－，sin θ＝，θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－1＋i＝2.
(4) 因為r＝＝2，cos θ＝，
sin θ＝－，θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－i＝2.
跟蹤訓練　因為r＝＝2，cos θ＝，sin θ＝－，θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以1－i＝2.
例2　(1) 復數(shù)cos π＋isin π的模r＝1，一個輻角θ＝π，所以cos π＋isin π＝－1＋0i＝－1.
(2) 復數(shù)6的模r＝6，一個輻角θ＝，所以6＝6×＋6×i＝3－3i.
思考4：z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，
＝[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].
思考5：在復平面內(nèi)先分別畫出與復數(shù)z1，z2對應的向量，，然后把向量繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0，就要把繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量，表示的復數(shù)就是積z1z2，這是復數(shù)乘法的幾何意義．
當z2≠0時，在復平面內(nèi)先分別畫出與復數(shù)z1，z2對應的向量，，然后把向量繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0，就要把繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼模玫较蛄浚硎镜膹蛿?shù)就是，這是復數(shù)除法的幾何意義．
例3　(1) 原式＝×2[cos ＋isin(＋)]＝3＝3i.
(2) 原式＝2[cos ＋isin(－)]＝2＝2(0＋i)＝2i.
跟蹤訓練　×(cos ＋isin )×
＝2
＝2＝2i.
例4　 繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°所得向量對應的復數(shù)為×(cos 60°＋isin 60°)＝×＝1.
繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°所得向量對應的復數(shù)為×[cos (－30°)＋isin (－30°)]＝×＝－i.
跟蹤訓練　如圖，＝(－1，3)－(2，－1)＝(－3，4)，
所以對應的復數(shù)為－3＋4i.
由復數(shù)三角形式的幾何意義可知，
對應的復數(shù)為(－3＋4i)×[cos (－90°)＋isin (－90°)]＝4＋3i，
所以＝＋＝(2，－1)＋(4，3)＝(6，2)，
所以點D對應的復數(shù)為6＋2i.
同理，對應的復數(shù)為(－3＋4i)××[cos (－45°)＋isin (－45°)]＝(－3＋4i)×(1－i)＝1＋7i，
所以＝＋＝(2，－1)＋(1，7)＝(3，6)，
所以點C對應的復數(shù)為3＋6i.
【檢測反饋】
1. C　解析：因為a<0，所以輻角主值為π，所以其三角形式為－a(cos π＋isin π).
2. B　解析：
＝9[cos (270°＋90°)＋ isin (270°＋90°)]
＝9(cos 360°＋isin 360°)＝9.
3. AC　解析：因為r＝＝，cos θ＝，sin θ＝，所以輻角的主值為，所以1＋i＝(cos ＋isin )＝，故A，C正確，B，D錯誤．故選AC.
4. 　解析：原式＝cos ＋isin(2π＋)＝cos ＋isin，故其輻角主值為.
5. (1) 因為r＝＝4，cos θ＝，sin θ＝－.
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以2－2i＝4.
(2) 因為r＝2，cos θ＝0，sin θ＝－1，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－2i＝2.

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