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第七章 復(fù)數(shù) 復(fù) 習(xí)
1. 掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)相等的含義．
2. 掌握復(fù)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算．
3. 理解復(fù)數(shù)及運(yùn)算的幾何意義．
活動(dòng)一 知識整合
1. 知識結(jié)構(gòu)框圖：
2. 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念．
(1) 復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫作復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，a＋bi為實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時(shí)，a＋bi是實(shí)數(shù)0；當(dāng)且僅當(dāng)b≠0時(shí)，a＋bi為虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，a＋bi為純虛數(shù)；
(2) 復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)；
(3) 共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛，a＝c，b＋d＝0(a，b，c，d∈R)；
(4) 復(fù)平面：建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫作復(fù)平面，x軸叫作實(shí)軸，y軸叫作虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示非純虛數(shù)；
(5) 復(fù)數(shù)的模：向量的模叫作復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝ (a，b∈R).
3. 復(fù)數(shù)的幾何意義．
(1) 復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)；
(2) 復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
4. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算．
(1) 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則：
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；　
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0).
(2) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算定律：
復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).
復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律和分配律，即對任意z1，z2，z3∈C，有z1z2＝z2z1，(z1z2)z3＝z1(z2z3)，z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
活動(dòng)二 鞏固復(fù)數(shù)的概念
例1　已知復(fù)數(shù)z＝a2－a－6＋i，分別求出滿足下列條件的實(shí)數(shù)a的值：
(1) z是實(shí)數(shù)；
(2) z是虛數(shù)；
(3) z是0.
　　
深刻理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(如實(shí)部、虛部、純虛數(shù)等)及兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義(實(shí)部與虛部分別相等).
已知關(guān)于x，y的方程組有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a，b的值．
活動(dòng)三　掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算　
例2　已知z是復(fù)數(shù)，z－3i為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位).求：
(1) 復(fù)數(shù)z；
(2) 的模．
復(fù)數(shù)的運(yùn)算(加、減、乘、除)與多項(xiàng)式的運(yùn)算相類似．
　　
已知z＝1＋i，i為虛數(shù)單位．
(1) 若ω＝z2＋3－4，求|ω|的值；
(2) 若＝1－i，求實(shí)數(shù)a，b的值．
活動(dòng)四　理解復(fù)數(shù)的幾何意義　
例3　已知等腰梯形OABC的頂點(diǎn)A，B在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥CB，求頂點(diǎn)C所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z.
復(fù)數(shù)的幾何意義包括復(fù)數(shù)本身的幾何意義(與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)及從原點(diǎn)出發(fā)的向量建立一一對應(yīng)關(guān)系)，以及復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義．
已知z∈C，z＋3i，均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
1. 若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A. －2 B. 2或－3 C. 3 D. －3
2. (2023高一單元測試)大數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了一個(gè)公式：eix＝cos x＋isin x，i是虛數(shù)單位，e為自然對數(shù)的底數(shù)．此公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)此公式，等于(　　)
A. 1 B. －1 C. i D. －i
3. (多選)已知復(fù)數(shù)z0＝，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A. z0的虛部為i B. z0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限
C. ＝－3－i D. 若|z－z0|＝，則0≤|z|≤2
4. (2023高一單元測試)z1，z2∈C，若|z2|＝4，則＝________．
5. 已知復(fù)數(shù)z＝2＋i(i是虛數(shù)單位)是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋px＋q＝0的根．
(1) 求p＋q的值；
(2) 復(fù)數(shù)w滿足z·w是實(shí)數(shù)，且|w|＝2，求復(fù)數(shù)w.
【答案解析】
第七章 復(fù)數(shù) 復(fù) 習(xí)
【活動(dòng)方案】
例1　(1) 由題意，得a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，
解得a＝－5或a＝3，
所以當(dāng)a＝－5或a＝3時(shí)，z為實(shí)數(shù)．
(2) 由題意，得a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
解得a≠－5且a≠3且a≠±2，
所以當(dāng)a≠－5且a≠3且a≠±2時(shí)，z是虛數(shù)．
(3) 由題意，得a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，解得a＝3，
所以當(dāng)a＝3時(shí)，z＝0.
跟蹤訓(xùn)練　設(shè)(x0，y0)是方程組的實(shí)數(shù)解．
由已知及復(fù)數(shù)相等，得
由①②得代入③④得
所以實(shí)數(shù)a，b的值分別為1，2.
例2　(1) 設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R).
因?yàn)閦－3i＝a＋(b－3)i為實(shí)數(shù)，所以b＝3.
又因?yàn)椋剑綖榧兲摂?shù)，
所以a＝－1，即z＝－1＋3i.
(2) 因?yàn)椋剑剑剑剑?＋i，
所以||＝|－2＋i|＝＝.
跟蹤訓(xùn)練　(1) 已知z＝1＋i，所以＝1－i，
所以ω＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，
所以|ω|＝.
(2) 因?yàn)椋剑?－i，
所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，
所以解得
例3　 設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，
則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y).
因?yàn)镺A∥BC，
所以kOA＝kBC，OC＝BA，
又BA2＝(6－2)2＋(－2－1)2＝25，
所以解得或
因?yàn)镺A≠BC，所以x＝－3，y＝4舍去，
故z＝－5.
跟蹤訓(xùn)練　設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R).
因?yàn)閦＋3i＝x＋(y＋3)i為實(shí)數(shù)，
所以y＝－3.
又因?yàn)椋剑?x－3i)(3＋i)＝[(3x＋3)＋(x－9)i]為實(shí)數(shù)，
所以x＝9，所以z＝9－3i.
因?yàn)?z＋ai)2＝81－(a－3)2＋18(a－3)i＝72＋6a－a2＋18(a－3)i，
由已知，得解得3故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3，12).
【檢測反饋】
1. D　解析：由題意，得解得m＝－3.
2. D　解析：因?yàn)椋剑絜i＝cos ＋isin ，所以(cos ＋isin )2 022＝cos ＋isin (＋504π)＝cos ＋isin ＝－i.
3. BD　解析：由題意，得z0＝＝＝＝3＋i.對于A，z0的實(shí)部為3，虛部為1，故A錯(cuò)誤；對于B，z0所對應(yīng)的點(diǎn)為(3，1)，在第一象限，故B正確；對于C，＝3－i，故C錯(cuò)誤；對于D，若|z－z0|＝，由幾何意義，得復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)到點(diǎn)Z0(3，1)的距離為，所以復(fù)數(shù)z的軌跡是以(3，1)為圓心，為半徑的圓，并且該圓過原點(diǎn)，設(shè)Z(a，b)，即z＝a＋bi，則|z|＝∈[0，2]，故D正確．故選BD.
4. 　解析：因?yàn)閨z2|＝4，所以z2·＝16，則16－z2＝z2－z2＝z2(－)，故z1≠z2，所以＝＝＝＝.
5. (1) 由題意，得該實(shí)系數(shù)方程x2＋px＋q＝0的兩個(gè)根是互為共軛復(fù)數(shù)的，所以方程的另一根是2－i，
所以解得故p＋q＝1.
(2) 設(shè)w＝a＋bi(a，b∈R)，則(a＋bi)·(2＋i)＝(2a－b)＋(a＋2b)i是實(shí)數(shù)，所以a＋2b＝0.
因?yàn)閨w|＝2，所以a2＋b2＝20.
聯(lián)立解得或
所以w＝4－2i或w＝－4＋2i.

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