資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第02講 三角形的內角與外角
·模塊一 三角形的內角和定理
·模塊二 直角三角形的兩個銳角互余
·模塊三 三角形的外角
·模塊四 課后作業
三角形內角和定理
三角形的內角和等于180°。
【考點1 三角形的內角和定理】
【例1.1】（2023八年級·山東濱州·期中）回答下列問題：
(1)填空（在括號中注明理由）：如圖1所示：直線經過點，，求證：．
證明：∵
∴，（ ）
∵（ ）
∴（ ）
(2)如圖2所示，，求證：．
(3)由（1）和（2），你能得出什么結論？_________________．
【例1.2】（2023·山東臨沂·八年級期末）如圖，直線，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【例1.3】（2023·廣東惠州·八年級期末）如圖，在中，，平分，若，，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】（2023八年級·湖南婁底·期中）在中，，若，則的度數是 ．
【變式1.2】（2023八年級·山東泰安·期末）若，則按角分的形狀是 ．
【變式1.3】（2023八年級·云南昭通·期末）如圖，是直角三角形，，沿折疊，使點B恰好與邊上的點E重合，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【考點2 三角形的內角和定理的實際應用】
【例2.1】（2023八年級·河北廊坊·期末）如圖，輪船在燈塔的北偏東方向上，同時輪船在碼頭的北偏西方向上，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【例2.2】（2023·湖南永州·八年級期末）如圖為學生上課坐的椅子的側面圖，，與地面平行，，則（ ）
A． B． C． D．
【例2.3】（2023·江西南昌·八年級期末）如圖，平面鏡放在水平面上，光線，照射到鏡面上，反射光線分別為，．若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【變式2.1】（2023·河南南陽·八年級期末）為方便市民綠色出行，我市推出了共享單車服務、圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其示意圖，其中、都與地面l平行，，，當 時，．

【變式2.2】（2023八年級·江蘇蘇州·期中）如圖，輪船在島嶼的南偏東方向和島嶼的北偏東方向，島嶼在島嶼的南偏西方向，則 °．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·四川成都·期末）如圖，在中，和的平分線相交于點P，若，則的度數為 ．
【題型2】（2023八年級·河南濮陽·期末）如圖，已知，，．

(1)求的度數；
(2)若，判斷與的位置關系，并說明理由．
【題型3】（2023八年級·山東煙臺·期末）如圖，，點是射線上一動點(不與點重合)，分別平分和，交射線于兩點．

(1)求的度數；
(2)當點運動到使時，求的度數；
(3)當點運動時，與的度數之比是否隨之發生變化 若不變，求出與的度數之比；若變化，請說明變化規律．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·河北承德·期末）如圖，，，．
（1） ；
（2）在直線上取一點，使得，則的度數是 ．

【題型2】（2023八年級·江蘇鎮江·期末）如圖，，分別為的高和角平分線，若，．

(1)求的度數；
(2)若點F為線段上任意一點，當為直角三角形時，則的度數為______．
【題型3】（2023八年級·山東淄博·期中）如果三角形兩個內角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．如圖，點B，點C為直線l上的兩點，點A在直線l外，且．若點P是l上一點，且是“準直角三角形”，則 ．
1．直角三角形的性質
直角三角形的兩個銳角互余。
2．直角三角形的判定
有兩個角互余的三角形是直角三角形。
【考點1 直角三角形的性質】
【例1.1】（2023八年級·貴州銅仁·期中）在中，，，則的度數為 ．
【例1.2】（2023八年級·廣東肇慶·期末）將一副三角板按如圖所示擺放，其中，，則∠2為（ ）
A． B． C． D．
【例1.3】（2022·陜西西安·八年級期末）如圖，已知l1∥l2，l3分別與l1、l2相交，點A、B分別為l3，l2上一點，且AB⊥l2，若∠1＝52°，則∠2的度數為（　　）
A．28° B．42° C．38° D．32°
【變式1.1】（2023八年級·福建龍巖·期中）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1.2】（2023·安徽阜陽·八年級期末）一把直尺和一把含角的直角三角板按如圖所示擺放，已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1.3】（2023八年級·遼寧葫蘆島·期末）如圖所示，將一副三角尺疊放在一起，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【考點2 直角三角形的判定】
【例2.1】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如圖，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直線 DE 與 AC，BC 分別交于 D，E 兩點．若∠DEC＝∠A，則△EDC 是 ．
【例2.2】（2023八年級·貴州黔西·期末）如圖，在中，，，則是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形
【例2.3】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如圖，平分，平分，和交于點E．寫出圖中所有的直角三角形（不要求證明）．
【變式2.1】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）已知：如圖，在中，D是AB上一點，，．求證：是直角三角形．
【變式2.2】（2023八年級·江蘇淮安·期末）把下面的證明過程補充完整．
已知：如圖，在中，，平分，為邊上一點，連接，交于點，且．
求證：．
證明：（已知）
又（ ）
（等量代換）
平分（已知）
（ ）
（已知）
（ ）
（等量代換）
（有兩個角互余的三角形是直角三角形）
（垂直的定義）
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·山東濟寧·期中）在下列條件中：①；②；③，能確定是直角三角形的條件有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個
【題型2】（2023八年級·江蘇無錫·期末）如圖，在中，平分，為線段上的一個點，交直線于點．
(1)若，，求的度數．
(2)猜想與、的數量關系．
【題型3】（2023八年級·福建龍巖·期末）如圖，中，是角平分線，，垂足為．
(1)已知，，求的度數；
(2)若，求證：．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·河南漯河·期末）如圖，中，，D是邊上一動點，把沿直線折疊，點A落在點E處，當平行于的直角邊時，的度數為 ．
【題型2】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E.
(1)猜測∠1與∠2的關系，并說明理由；
(2)如果∠ABC是鈍角，如圖2，(1)中的結論是否還成立？
【題型3】（2023八年級·福建泉州·期中）如圖，線段于點，平分，為線段延長線上一點，過作，垂足為，的平分線交延長線于點．
(1)證明：．
(2)你能判斷、的位置關系嗎？請說明理由．
三角形的外角
定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
內外角的關系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
【考點1 三角形的外角的概念及性質】
【例1.1】（2023八年級·福建廈門·期末）如圖，點在線段的延長線上，過點作射線交于點，則下列是的外角的是（ ）

A． B． C． D．
【例1.2】（2023·云南昆明·八年級期末）如圖，的外角，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【例1.3】（2023八年級·湖北孝感·期中）分別求出下列圖形中x和y的值．
【變式1.1】（2023八年級·江蘇無錫·期中）如果三角形的一個外角小于與它相鄰的內角，那么這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定
【變式1.2】（2023八年級·內蒙古興安盟·期末）體育課上的側壓腿動作（如圖）可以抽象為幾何圖形（如圖），如果，則等于 度
【變式1.3】（2023八年級·山東煙臺·期中）一副三角板疊放在一起，則圖中的度數是（ ）
A． B． C． D．
【考點2 三角形的外角和】
【例2.1】（2023八年級·江蘇泰州·期末）用兩種方法證明“三角形的外角和等于”．
如圖，、、是的三個外角．求證．
(1)第一種思路可以用下面的框圖表示，請填寫其中的空格．
①___________；②___________；③___________；④___________．
(2)根據第二種思路，完成證明．
第二種思路：在圖中添加輔助線，將三角形的三個外角“集中”到同一頂點處，證明它們的和是．
【例2.2】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如果一個三角形的三個外角的度數比為5:6:7,那么這個三角形的三個內角的度數比為 ,最小內角的度數為 .
【例2.3】（2023八年級·全國·課堂例題）如圖，、、是的三個外角，，則 ．

【變式2.1】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如圖，在三角形紙片中，．若按圖中虛線將剪去，則 °．
【變式2.2】（2023八年級·山西·期末）如圖所示，是的三個外角，且，則 ．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·四川德陽·期末）如圖，是外角的平分線，且交的延長線于點E．
(1)若，，求的度數；
(2)請你寫出、、三個角之間存在的等量關系，并寫出證明過程．
【題型2】（2023八年級·遼寧沈陽·期末）如圖，已知，，點在延長線上，且，點在上，交于點．

(1)求證：；
(2)若，求的度數
【題型3】（2023八年級·江蘇泰州·期中）如圖，分別為的高、角平分線．
(1)若，，求的度數；
(2)若點G為上一點，過點G作交于點P，交于點H，試猜想、、三者之間的數量關系，并說明理由．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·陜西西安·期中）如圖，在三角形中，于點．
(1)猜想和位置關系，并說明理由。
(2)若平分平分交于點，求的度數．
【題型2】（2023八年級·安徽阜陽·期中）在中，，點D、E分別是邊上的點（不與A，B，C重合），點P是平面內一動點（P與D，E不在同一直線上），令，．

(1)若點P在邊上，如圖（1）所示，且，則______；
(2)若點P在的外部，如圖（2）所示，則之間有何關系？說明理由．
(3)若點P在邊的延長線上運動，直接寫出之間關系．
【題型3】（2023八年級·山西太原·期末）綜合與實踐
問題情境：數學課上，同學們以直角三角形為背景探究角之間的數量關系．
已知，在中，，過點B作，交的角平分線所在直線于點E．設的度數為．

初步探究：
(1)如圖1，當時，點E在線段的延長線上．“勤學”小組對這種情形進行了分析，提出如下問題，請你解答：
①當時，求的度數；
②用含的代數式表示的度數為______；
拓展延伸：
(2)“智慧”小組借助圖2進一步探究當時，與之間的數量關系，請你補全圖形并直接寫出這個結論．
1．（2023八年級·湖北武漢·期末）如圖，在中，為延長線上一點，于，，，則的度數為（ ）.
A． B． C． D．
2．（2023八年級·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在ACE中，點D在AC邊上，點B在CE延長線上，連接BD，若∠A＝47°，∠B＝55°，∠C＝43°，則∠DFE的度數是（ ）
A．125° B．45° C．135° D．145°
3．（2023·河北保定·八年級期末）如圖，在中，，點D在的延長線上，且，過點B作射線交邊于點E，則的度數可能為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·河北石家莊·八年級期末）將兩張三角形紙片 和按如圖1位置放置，點D、C分別在的延長線上， 記； 沿虛線將剪掉一部分得到圖2的， 記， 則正確的是（ ）
A． B．
C． D．無法比較α與β的大小
5．（2023八年級·山東青島·期末）如圖，C是內一點，連接，的平分線與的平分線交于點E，延長交于點F．已知，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
6．（2023八年級·江蘇無錫·期中）如圖，在中，是邊上的高，是的角平分線．若，則 ．（用含有n的代數式表示）
7．（2023八年級·廣東佛山·期末）一個零件的形狀如圖所示，按規定應等于，與的度數分別是和，牛叔叔量得，請你幫助牛叔叔判斷該零件 ．（填“合格”或“不合格”）
8．（2023八年級·廣東茂名·期中）如圖，在中，，點D在上，于點交與點F．若，則 ．
9．（2023八年級·內蒙古呼和浩特·期中）如圖所示，在中，，，將其沿折疊，使點A落在邊上的處，則 ．
10．（2023八年級·浙江溫州·期中）如圖1為一種可折疊閱讀書架，支架可以繞點O旋轉，置書面可以繞點C轉動調節．首先調節，使，如圖2所示，此時；再將繞O點順時針旋轉至，使 ，且，此時比大，則 度．
11．（2023八年級·寧夏中衛·期中）如圖，在中，，，是的一條角平分線，求的度數．
12．（2023八年級·四川內江·期中）如圖，中，D、E分別是邊上的點，平分，求證：
13．（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如圖，，，，，，求的度數．
14．（2023·廣東中山·八年級期末）如圖所示是地球截面圖，其中，分別表示南回歸線和北回歸線，表示赤道，點P表示某市的位置．現已知地球南回歸線的緯度是南緯，某市的緯度是北緯，而冬至正午時，太陽光直射南回歸線(光線的延長線經過地心O)，求某市冬至正午時，太陽光線與地面水平線的夾角α的度數
15．（2023八年級·江蘇淮安·期中）【結論發現】
小明發現：三角形的一個內角平分線與另一內角的外角平分線的夾角的度數是三角形第三內角度數的一半．
【結論應用】
（1）如圖1，在中，，點E是的內角平分線與外角平分線的交點，則的度數為 °；
（2）如圖2，在中，，延長至點E，延長至點D，已知、的角平分線與的角平分線及其反向延長線交于P、F，求的度數；
【拓展延伸】
（3）如圖3，四邊形的內角與外角的平分線形成如圖所示形狀．
①已知，，求的度數；
②直接寫出與的數量關系．中小學教育資源及組卷應用平臺
第02講 三角形的內角與外角
·模塊一 三角形的內角和定理
·模塊二 直角三角形的兩個銳角互余
·模塊三 三角形的外角
·模塊四 課后作業
三角形內角和定理
三角形的內角和等于180°。
【考點1 三角形的內角和定理】
【例1.1】（2023八年級·山東濱州·期中）回答下列問題：
(1)填空（在括號中注明理由）：如圖1所示：直線經過點，，求證：．
證明：∵
∴，（ ）
∵（ ）
∴（ ）
(2)如圖2所示，，求證：．
(3)由（1）和（2），你能得出什么結論？_________________．
【答案】(1)①兩直線平行，內錯角相等；②平角定義；③等量代換；
(2)證明見解析；
(3)三角形內角和等于．
【分析】本題考查平行線的性質與判定，熟練掌握并靈活運用平行線的性質是本題的關鍵．
（1）根據平行線的性質結合平角定義解答即可；
（2）根據平行線的性質結合平角定義解答即可；
（3）能得出結論：三角形內角和等于．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，（兩直線平行，內錯角相等），
∵（平角定義），
∴（等量代換）；
故答案為：已知；兩直線平行，內錯角相等；平角定義；等量代換；
（2）證明：∵，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：由（1）和（2），你能得出結論：三角形內角和等于．
故答案為：三角形內角和等于．
【例1.2】（2023·山東臨沂·八年級期末）如圖，直線，若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行線的性質得到，再利用三角形的內角和定理解題即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故選A．
【點睛】本題考查平行線的性質和三角形的內角和定理，掌握三角形的內角和定理是解題的關鍵．
【例1.3】（2023·廣東惠州·八年級期末）如圖，在中，，平分，若，，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，熟知三角形內角和為180度是解題的關鍵．先求出，再根據三角形內角和定理得到，由角平分線的定義得到，則，即可得出答案．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故選：C．
【變式1.1】（2023八年級·湖南婁底·期中）在中，，若，則的度數是 ．
【答案】25°
【分析】根據三角形的內角和即可求解．
【詳解】∵在中，， ，
∴∠A=180°-∠C-∠B=25°
故答案為：25°．
【點睛】此題主要考查三角形的角度求解，解題的關鍵是熟知三角形的內角和為180°．
【變式1.2】（2023八年級·山東泰安·期末）若，則按角分的形狀是 ．
【答案】直角三角形
【分析】設∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，再根據三角形內角和定理求出x的值，進而可得出結論．
【詳解】∵在△ABC中，，
∴設∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x．
∵∠A＋∠B＋∠C＝180，即x＋2x＋3x＝180，解得x＝30，
∴∠C＝3x＝90，
∴△ABC是直角三角形．
故答案為：直角三角形．
【點睛】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形內角和是180°是解答此題的關鍵．
【變式1.3】（2023八年級·云南昭通·期末）如圖，是直角三角形，，沿折疊，使點B恰好與邊上的點E重合，若，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由折疊的性質可知：，分別求出即可．
【詳解】解：由折疊的性質可知：，
，
，
，
故選：A．
【點睛】本題考查折疊的性質：對應角相等，解題的關鍵是熟記折疊的相關結論即可．
【考點2 三角形的內角和定理的實際應用】
【例2.1】（2023八年級·河北廊坊·期末）如圖，輪船在燈塔的北偏東方向上，同時輪船在碼頭的北偏西方向上，則的度數為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查與方向角有關的計算，根據題意，求出的度數，再利用三角形的內角和定理求出即可．
【詳解】解：由題意，得：，
∴；
故選B．
【例2.2】（2023·湖南永州·八年級期末）如圖為學生上課坐的椅子的側面圖，，與地面平行，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查平行線的性質，三角形的內角和定理．熟練掌握相關性質，是解題的關鍵．根據鄰補角的定義得，再由平行線的性質得，最后根據三角形的內角和定理即可得解．
【詳解】解：∵，
∴，
由題意，得：，
∴，
∵，
∴；
故選．
【例2.3】（2023·江西南昌·八年級期末）如圖，平面鏡放在水平面上，光線，照射到鏡面上，反射光線分別為，．若，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了三角形內角和定理，熟記三角形內角和是是解題的關鍵．根據光的反射規律知，，結合平角定義求出的度數，從而求出的度數，再根據三角形內角和定理求解即可．
【詳解】解：，，，
，
，
，，，
，
，
，
故選：B．
【變式2.1】（2023·河南南陽·八年級期末）為方便市民綠色出行，我市推出了共享單車服務、圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖2是其示意圖，其中、都與地面l平行，，，當 時，．

【答案】70
【分析】本題考查了三角形內角和定理的應用，平行線的性質，根據得出，根據三角形內角和定理得出，進而根據平行線的性質即可求解．掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案為：70．
【變式2.2】（2023八年級·江蘇蘇州·期中）如圖，輪船在島嶼的南偏東方向和島嶼的北偏東方向，島嶼在島嶼的南偏西方向，則 °．
【答案】85
【分析】本題考查了方向角，平行線的性質和三角形的內角和定理，關鍵是求出和的度數．如圖，利用平行線的性質，，由角的和差可得，從而得到的度數，再由三角形的內角和定理可得結果．
【詳解】解：如圖，
，，，，
，
，，
，
故答案為：85．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·四川成都·期末）如圖，在中，和的平分線相交于點P，若，則的度數為 ．
【答案】/116度
【分析】本題考查三角形的內角和定理，角平分線的定義．
根據三角形的內角和定理可求得，再根據角平分線的定義可得，從而在中根據三角形的內角和定理即可求解．
【詳解】∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：
【題型2】（2023八年級·河南濮陽·期末）如圖，已知，，．

(1)求的度數；
(2)若，判斷與的位置關系，并說明理由．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】（1）的延長線交于點，可求，從而可求，即可求解；
（2）延長交于點，可求，從而可求，即可求證．
【詳解】（1）解：如圖，的延長線交于點，，

，，
，
，
，
；
（2）證明：，理由如下：
如圖，延長交于點，

由（1）知，，
，
，
．
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形內角和定理，垂直的定義，理解定義，掌握性質是解題的關鍵．
【題型3】（2023八年級·山東煙臺·期末）如圖，，點是射線上一動點(不與點重合)，分別平分和，交射線于兩點．

(1)求的度數；
(2)當點運動到使時，求的度數；
(3)當點運動時，與的度數之比是否隨之發生變化 若不變，求出與的度數之比；若變化，請說明變化規律．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由見解析
【分析】（1）根據平行線的性質可得，再根據角平分線的定義可得 即可；
（2）根據三角形內角和定理得，再根據平行線的性質以及角平分線的定義可得，即可得結論；
（3）根據平行線的性質以及角平分線的定義可得，，結合角平分線定義可得結論．
【詳解】（1）解： ，，
，
，分別平分和，
， ，
，
；
（2）當時，
又，
，
，
，
，，
，
，
；
（3）當點運動時，：：，
理由： ，
，，
平分，
，
：：：．
【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，角平分線的定義，其中理解題意，熟悉角之間的關系是解決問題的關鍵．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·河北承德·期末）如圖，，，．
（1） ；
（2）在直線上取一點，使得，則的度數是 ．

【答案】 70° 40°或80°
【分析】（1）根據平行可得，即可求出；
（2）畫出圖形，先求出，再求出的度數即可．
【詳解】（1）∵，，
∴，
∴，；
故答案為：；
（2）∵，，
∴
當在右邊時，

∵，
∴，
∵，
∴，
當在左邊時，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：40°或80°．
【點睛】本題考查三角形內角和及平行線的性質，熟記平行線的性質并選擇合適的角度關系是解題的關鍵．
【題型2】（2023八年級·江蘇鎮江·期末）如圖，，分別為的高和角平分線，若，．

(1)求的度數；
(2)若點F為線段上任意一點，當為直角三角形時，則的度數為______．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據角平分線的定義得到，根據三角形內角和定理求出，結合高的定義計算即可；
（2）分和兩種情況解答即可．
【詳解】（1）解：為的角平分線，
，
，
，
為的高，
，
；
（2）∵，
∴，
當時，，
，
當時，，
，
故答案為：或．
【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理，三角形的高和角平分線，掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．
【題型3】（2023八年級·山東淄博·期中）如果三角形兩個內角與滿足，那么我們稱這樣的三角形為“準直角三角形”．如圖，點B，點C為直線l上的兩點，點A在直線l外，且．若點P是l上一點，且是“準直角三角形”，則 ．
【答案】或或或
【分析】本題考查三角形內角和定理、數形結合與分類討論數學思想的運用、新定義問題的求解等知識與方法．分為四種情況，一是點在點左側，是“準直角三角形”，且；二是點在點左側，是“準直角三角形”，且；三是點在點右側，是“準直角三角形”，且；四是點在點右側，是“準直角三角形”，且，畫出圖形，分別求出、、、的度數即可．
【詳解】解：如圖，若點在點左側，是“準直角三角形”，且，

，
，
，
；
若點在點左側，是“準直角三角形”，且，
，
，
；
若點在點右側，是“準直角三角形”，且，
，
，
，
；
若點在點右側，是“準直角三角形”，且，
，
，
，
綜上所述，的度數為或或或．
故答案為：或或或．
1．直角三角形的性質
直角三角形的兩個銳角互余。
2．直角三角形的判定
有兩個角互余的三角形是直角三角形。
【考點1 直角三角形的性質】
【例1.1】（2023八年級·貴州銅仁·期中）在中，，，則的度數為 ．
【答案】
【分析】此題考查了直角三角形的性質，掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．
根據直角三角形的性質直接求解即可．
【詳解】解：在中，，
，
，
．
故答案為：．
【例1.2】（2023八年級·廣東肇慶·期末）將一副三角板按如圖所示擺放，其中，，則∠2為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了直角三角形的特征，在中，利用直角三角形兩銳角互余得，在中，利用直角三角形兩銳角互余得，再利用即可求解，熟練掌握直角三角形兩銳角互余是解題的關鍵．
【詳解】解：，，
，
，
，
，
故選D．
【例1.3】（2022·陜西西安·八年級期末）如圖，已知l1∥l2，l3分別與l1、l2相交，點A、B分別為l3，l2上一點，且AB⊥l2，若∠1＝52°，則∠2的度數為（　　）
A．28° B．42° C．38° D．32°
【答案】A
【分析】根據平行線的性質求出∠3=∠1＝50°，利用直角三角形兩銳角互余求出∠2.
【詳解】解：∵，
∴∠3=∠1＝52°，
∵AB⊥l2，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠2=90°-52°=38°，
故選：C．
【點睛】此題考查了平行線的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，熟記平行線的性質是解題的關鍵．
【變式1.1】（2023八年級·福建龍巖·期中）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了直角三角形角的性質．根據直角三角形兩銳角互余可得，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：A
【變式1.2】（2023·安徽阜陽·八年級期末）一把直尺和一把含角的直角三角板按如圖所示擺放，已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了平行線的性質，直角三角形的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
根據平行線的性質以及即可求解．
【詳解】解：如圖，
由題意得：，
∴，
∵
∴，
∴，
故選B．
【變式1.3】（2023八年級·遼寧葫蘆島·期末）如圖所示，將一副三角尺疊放在一起，則的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如圖所示，根據直角三角板的特點，可知，，，在中，根據兩銳角互余即可求解．
【詳解】解：一副三角尺，如圖所示，
∴，，，
∴，
在中，，
故選：．
【點睛】本題主要考查直角三角形的性質，掌握直角三角形中兩個銳角的互余的關系是解題的關鍵．
【考點2 直角三角形的判定】
【例2.1】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如圖，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，直線 DE 與 AC，BC 分別交于 D，E 兩點．若∠DEC＝∠A，則△EDC 是 ．
【答案】直角三角形
【分析】根據直角三角形的兩個銳角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A進而可得出結論.
【詳解】解: 在Rt△ABC 中，
∵∠B＝90°,
∴∠A+∠C=90°,
∵∠DEC＝∠A,
∴∠DEC+∠C=90°,
∴∠EDC=90°,
∴△EDC 是直角三角形,
故答案為 直角三角形.
【點睛】本題考查了直角三角形的兩個銳角互余及有兩個角互余的三角形是直角三角形，是基礎知識要熟練掌握.
【例2.2】（2023八年級·貴州黔西·期末）如圖，在中，，，則是（ ）
A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形
【答案】C
【分析】本題考查了三角形內角和定理，利用三角形內角和定理，找出是解題的關鍵．
在中，利用三角形內角和定理，可得出，結合，可得出，再利用三角形內角和定理，可得出，進而可得出是直角三角形．
【詳解】解：在中，，
∴，
又∵，
，
∴，
是直角三角形．
故選：C．
【例2.3】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如圖，平分，平分，和交于點E．寫出圖中所有的直角三角形（不要求證明）．
【答案】，，
【分析】根據平行線的性質和角平分線的定義，結合三角形的內角和定理證得即可得出結論．
【詳解】解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∵和交于點E，
∴，
∴，，均為直角三角形．
【點睛】本題考查直角三角形的判定，涉及平行線的性質、角平分線的定義、鄰補角、銳角互余的三角形是直角三角形等知識，熟練掌握銳角互余的三角形是直角三角形是解答的關鍵．
【變式2.1】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）已知：如圖，在中，D是AB上一點，，．求證：是直角三角形．
【答案】見解析
【分析】利用三角形內角和定理可得，據此即可證明是直角三角形．
【詳解】解：在中，D是AB上一點，，，
∵，
∴，即，
∴，
∴是直角三角形．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理，掌握“三角形三個內角和等于”是解題的關鍵．
【變式2.2】（2023八年級·江蘇淮安·期末）把下面的證明過程補充完整．
已知：如圖，在中，，平分，為邊上一點，連接，交于點，且．
求證：．
證明：（已知）
又（ ）
（等量代換）
平分（已知）
（ ）
（已知）
（ ）
（等量代換）
（有兩個角互余的三角形是直角三角形）
（垂直的定義）
【答案】對頂角相等；角平分線定義；直角三角形兩個銳角互余；ADC
【分析】根據對頂角性質、角平分線性質和直角三角形定義可推出∠ADC．
【詳解】證明：（已知）
又（ 對頂角相等 ）
（等量代換）
平分（已知）
（ 角平分線定義 ）
（已知）
（ 直角三角形兩個銳角互余 ）
（等量代換）
ADC （有兩個角互余的三角形是直角三角形）
（垂直的定義）
故答案為：對頂角相等；角平分線定義；直角三角形兩個銳角互余；ADC
【點睛】考核知識點：對頂角性質、角平分線定義、直角三角形定義、垂直定義．理解垂直的定義和直角三角形性質是解題關鍵．
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·山東濟寧·期中）在下列條件中：①；②；③，能確定是直角三角形的條件有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個
【答案】C
【分析】根據三角形內角和為，求出三角形中最大角的度數，再根據直角三角形的定義判斷從而得到答案．
【詳解】解：①∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故小題正確；
②∵，
∴最大角，
故小題正確；
③∵，
∴，
∴，
故小題正確；
綜上所述，是直角三角形的是①②③共3個．
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理，直角三角形的判定，根據三角形內角和定理結合已知條件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解決本題的關鍵．
【題型2】（2023八年級·江蘇無錫·期末）如圖，在中，平分，為線段上的一個點，交直線于點．
(1)若，，求的度數．
(2)猜想與、的數量關系．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本題考查的是三角形內角和定理，熟知三角形的內角和等于是解答此題的關鍵．
（1）首先根據三角形的內角和定理求得的度數，再根據角平分線的定義求得的度數，從而根據三角形的內角和定理即可求出的度數，進一步求得的度數；
（2）根據第（1）小題的思路即可推導這些角之間的關系．
【詳解】（1）解： ，，
，
平分，
，
，
；
（2）如圖，
設，，
平分，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
【題型3】（2023八年級·福建龍巖·期末）如圖，中，是角平分線，，垂足為．
(1)已知，，求的度數；
(2)若，求證：．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理、角平分線的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．
（1）由三角形內角和定理得出，由角平分線的定義得出，最后再由，進行計算即可得出答案；
（2）設，則，由三角形內角和定理得出，再由角平分線的定義得出，計算出，，即可得證．
【詳解】（1）解：，，
，
是角平分線，
，
；
（2）證明：設，則，
，
是角平分線，
，
又，
，
，
，
．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·河南漯河·期末）如圖，中，，D是邊上一動點，把沿直線折疊，點A落在點E處，當平行于的直角邊時，的度數為 ．
【答案】或/或
【分析】本題考查了翻折變換，平行線的性質，三角形內角和定理的應用，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵．由折疊的性質可得， ，，分兩種情況討論，利用平行線的性質和三角形內角和定理可求解．
【詳解】解：∵中，，
∴，
∵把沿直線折疊，
∴， ，，
如圖，當時，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如圖，當時，
∴，
∴，
∴；
綜上分析可知，或．
故答案為：或．
【題型2】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如圖1，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E.
(1)猜測∠1與∠2的關系，并說明理由；
(2)如果∠ABC是鈍角，如圖2，(1)中的結論是否還成立？
【答案】（1）∠1＝∠2，理由見解析；（2）成立，理由見解析
【分析】（1）根據垂直的定義可得△ABD和△BCE是直角三角形，再根據直角三角形兩銳角互余可得∠1+∠B=90°，∠2+∠B=90°，從而得解；
（2）根據垂直的定義可得∠D=∠E=90°，然后求出∠1+∠CBE=90°，∠2+∠ABD=90°，再根據∠CBE、∠ABD是對頂角解答即可.
【詳解】解：(1)∠1＝∠2.理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE都是直角三角形．
∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.∴∠1＝∠2.
(2)結論仍然成立．理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°.
∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.
∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2.
【點睛】本題考查了直角三角形的性質，主要利用了直角三角形兩銳角互余，同角或等角的余角相等的性質，熟記性質是解題的關鍵.
【題型3】（2023八年級·福建泉州·期中）如圖，線段于點，平分，為線段延長線上一點，過作，垂足為，的平分線交延長線于點．
(1)證明：．
(2)你能判斷、的位置關系嗎？請說明理由．
【答案】(1)見解析；
(2)，理由見解析；
【分析】（）根據等角的余角相等及直角三角形的兩銳角互余證明即可；
（）延長交于點，由角平分線得，再根據直角三角形的性質及判定得從而即可證明結論成立。
【詳解】（1）解：∵
∴，
∵，
∴
（2）解：延長交于點，
∵平分，平分，
∴ ，
由（）得，
∴
∵
∴
∴
∴
∴；
【點睛】本題考查了直角三角形的性質，垂線的定義，等角的余角相等及角平分線的定義，熟練掌握直角三角形的性質以及垂線的定義是解題的關鍵．
三角形的外角
定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。
內外角的關系：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
【考點1 三角形的外角的概念及性質】
【例1.1】（2023八年級·福建廈門·期末）如圖，點在線段的延長線上，過點作射線交于點，則下列是的外角的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了三角形外角的定義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角，據此即可求解．
【詳解】解：根據三角形外角的定義可知：
是的外角，
故選：C．
【例1.2】（2023·云南昆明·八年級期末）如圖，的外角，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查三角形外角的性質．三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，由此即可求解．
【詳解】解：，，
．
故選：D．
【例1.3】（2023八年級·湖北孝感·期中）分別求出下列圖形中x和y的值．
【答案】x的值為65，y的值為60
【分析】本題考查了三角形內角和定理、三角形的外角性質以及解一元一次方程，牢記“三角形內角和是”及“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”是解題的關鍵．
在圖1中，利用三角形內角和定理，可得出關于的一元一次方程，解之即可求出的值，在圖2中，利用三角形的外角性質，可得出關于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【詳解】解：圖1：根據題意得：，
解得：；
圖2：根據題意得：，
解得：．
的值為65，的值為60．
【變式1.1】（2023八年級·江蘇無錫·期中）如果三角形的一個外角小于與它相鄰的內角，那么這個三角形是（ ）
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定
【答案】C
【分析】依據三角形的外角與它相鄰的內角互為鄰補角，可判斷出此三角形有一內角為鈍角，從而得出這個三角形是鈍角三角形．
【詳解】解：∵三角形的一個外角與它相鄰的內角和為，而這個外角小于它相鄰的內角，
∴與它相鄰的這個內角大于，
∴這個三角形是鈍角三角形．
故選：C．
【點睛】本題考查的是三角形的外角性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形的外角與它相鄰的內角互為鄰補角．
【變式1.2】（2023八年級·內蒙古興安盟·期末）體育課上的側壓腿動作（如圖）可以抽象為幾何圖形（如圖），如果，則等于 度
【答案】20
【分析】本題主要考查三角形的外角性質，解答的關鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內角之和．
【詳解】解：根據三角形外角性質得，，
，
，
故答案為：．
【變式1.3】（2023八年級·山東煙臺·期中）一副三角板疊放在一起，則圖中的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是三角形的外角的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．根據三角形的外角的性質列式計算即可．
【詳解】解：如圖，
根據三角板角度的特殊性可知，
根據三角形外角的性質可得．
故選D．
【考點2 三角形的外角和】
【例2.1】（2023八年級·江蘇泰州·期末）用兩種方法證明“三角形的外角和等于”．
如圖，、、是的三個外角．求證．
(1)第一種思路可以用下面的框圖表示，請填寫其中的空格．
①___________；②___________；③___________；④___________．
(2)根據第二種思路，完成證明．
第二種思路：在圖中添加輔助線，將三角形的三個外角“集中”到同一頂點處，證明它們的和是．
【答案】(1)，，，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和
(2)見解析
【分析】（1）根據三角形內角和定理、三角形的外角性質解答即可；
（2）作，根據平行線的性質、周角的概念證明結論．
【詳解】（1）解：①，
②，
③，（②和③可顛倒），
④三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；
（2）證明：如圖，作，
，，
，
．
【點睛】本題考查的是三角形的外角性質、平行線的性質、三角形內角和定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．
【例2.2】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如果一個三角形的三個外角的度數比為5:6:7,那么這個三角形的三個內角的度數比為 ,最小內角的度數為 .
【答案】 4∶3∶2, 40°
【分析】根據三角形的外角和為360度分別求得各個外角的度數，從而得出各個內角度數,再求解問題．
【詳解】∵三角形的三個外角的度數比為5:6:7,且外角和為360度，
∴三角形的三個外角的度數分別為：
∴三角形的三個內角的度數分別為：80o，60 o，40 o,
∴三角形的三個內角的度數比為80:60:40=4:3:2,最小內角的度數為40 o.
故答案是：4∶3∶2, 40°.
【點睛】考查了三角形的外角性質、內角和定理，根據三角形的外角和為360度，再按比分配求得各個外角的度數是解題的關鍵．
【例2.3】（2023八年級·全國·課堂例題）如圖，、、是的三個外角，，則 ．

【答案】
【分析】根據三角形的外角和等于求解，即可得到答案．
【詳解】解：、、是的三個外角，且三角形的外角和等于，
，
，
，
故答案為：．
【變式2.1】（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如圖，在三角形紙片中，．若按圖中虛線將剪去，則 °．
【答案】215
【分析】本題考查三角形外角和的性質應用，三角形的外角和為360°．關鍵在于對三角形外角和的正確記憶，以及對題意的正確分析，進而根據已知條件求解出答案．
【詳解】∵在中，，
∴的外角為145°，
由三角形的外角和為360°可得，
．
故答案為：215．
【變式2.2】（2023八年級·山西·期末）如圖所示，是的三個外角，且，則 ．
【答案】
【分析】已知，，是的三個外角，三角形外角和為360°，即，
已知，，即可求得度數，，即可求解．
【詳解】∵，，是的三個外角
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案為：70
【點睛】本題考查了三角形外角和定理，三角形的外角和為360°，熟練掌握此知識點是解題的關鍵
【規律方法綜合練】
【題型1】（2023八年級·四川德陽·期末）如圖，是外角的平分線，且交的延長線于點E．
(1)若，，求的度數；
(2)請你寫出、、三個角之間存在的等量關系，并寫出證明過程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查了角平分線的性質，三角形的外角，
（1）根據是的外角，，得，根據是外角的平分線得，根據是的外角，即可得；
（2）根據三角形的外角，角平分線的性質得，，即可得．
掌握角平分線的性質，三角形的外角是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：∵是的外角，，，
∴，
∵是外角的平分線，
∴，
∵是的外角，
∴；
（2），證明如下：
證明：∵，，
∴．
【題型2】（2023八年級·遼寧沈陽·期末）如圖，已知，，點在延長線上，且，點在上，交于點．

(1)求證：；
(2)若，求的度數
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據平行線的性質可得，根據三角形的外角性質可得，即可推得；
（2）根據平行線的性質可得，結合題意可得，根據三角形的外角性質可得，根據對頂角的性質可得，根據三角形內角和定理可得．
【詳解】（1）證明： ∵，
∴，
∵是的一個外角，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的一個外角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形的外角性質，對頂角的性質，三角形內角和定理，熟練掌握以上性質是解題的關鍵．
【題型3】（2023八年級·江蘇泰州·期中）如圖，分別為的高、角平分線．
(1)若，，求的度數；
(2)若點G為上一點，過點G作交于點P，交于點H，試猜想、、三者之間的數量關系，并說明理由．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
【分析】本題考查了三角形內角和定理，三角形外角的性質，角平分線的定義．
（1）根據三角形內角和定理求出的度數，再根據角平分線的定義求出的度數，再求出的度數，即可求出的度數；
（2）根據三角形外角的性質得出的關系，再證得與、的關系，從而得出三者之間的數量關系．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵為的角平分線，
∴，
∵為的高，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
理由：∵，
∴，
∴，
∵是的一個外角，
∴，
∵為的角平分線，
∴，
∴，
∴．
【拓廣探究創新練】
【題型1】（2023八年級·陜西西安·期中）如圖，在三角形中，于點．
(1)猜想和位置關系，并說明理由。
(2)若平分平分交于點，求的度數．
【答案】(1)，理由見解析；
(2)
【分析】（1）根據可得，利用平行線的性質結合等量代換可推出，即可求解；
（2）根據角平分線的定義可分別求出，再由三角形的外角定理即可求解．
【詳解】（1）解：，理由如下：
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
（2）解：由（1）得
∵平分
∴
∴
∵平分
∴
∴
【點睛】本題綜合考查了平行線的判定與性質、角平分線的定義、三角形的外角等知識點．熟記相關知識點進行幾何推理是解題關鍵．
【題型2】（2023八年級·安徽阜陽·期中）在中，，點D、E分別是邊上的點（不與A，B，C重合），點P是平面內一動點（P與D，E不在同一直線上），令，．

(1)若點P在邊上，如圖（1）所示，且，則______；
(2)若點P在的外部，如圖（2）所示，則之間有何關系？說明理由．
(3)若點P在邊的延長線上運動，直接寫出之間關系．
【答案】(1)；
(2)，理由見解析；
(3)或．
【分析】此題考查了三角形外角的性質和幾何圖形中的角度計算，熟練掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．
（1）利用四邊形內角和和三角形外角定理進行解答即可；
（2）根據三角形外角的性質即可得到答案；
（3）分兩種情況分別進行解答即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
即，
故答案為：；
（2）根據三角形外角的性質可知，
，
則；
（3）如圖1，

①∵，，
∴，
則；
如圖2，

②∵，
∴．
【題型3】（2023八年級·山西太原·期末）綜合與實踐
問題情境：數學課上，同學們以直角三角形為背景探究角之間的數量關系．
已知，在中，，過點B作，交的角平分線所在直線于點E．設的度數為．

初步探究：
(1)如圖1，當時，點E在線段的延長線上．“勤學”小組對這種情形進行了分析，提出如下問題，請你解答：
①當時，求的度數；
②用含的代數式表示的度數為______；
拓展延伸：
(2)“智慧”小組借助圖2進一步探究當時，與之間的數量關系，請你補全圖形并直接寫出這個結論．
【答案】(1)①；②
(2)補全的圖形見解析；，
【分析】本題考查了余角的性質，角平分線的性質，三角形外角的性質．
（1）①利用互余關系得，再利用三角形外角的性質即可求得結果；
②利用互余關系得，再利用三角形外角的性質即可求得結果；
（2）利用互余關系得，再利用三角形外角的性質即可求得與之間的數量關系．
【詳解】（1）解：①∵，
即，
∴；
∵平分，
∴；
∴；
②∵，
即，
∴；
∵平分，
∴；
∴；
故答案為：；
（2）解：補全的圖形如下：

∵，
即，
∴；
∵平分，
∴；
∴
1．（2023八年級·湖北武漢·期末）如圖，在中，為延長線上一點，于，，，則的度數為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根據△ADE中三角形內角和定理求出∠A的度數，再根據△ABC中三角形內角和定理即可求出的度數．
【詳解】∵CE⊥AF于E，∴∠AED＝90°，
∵∠D＝20°，
∴∠A＝180° ∠AED ∠D＝180° 90° 20°＝70°，
∵
∴＝180° ∠A ∠C＝180° 70° 40°＝70°．
故選：C．
【點睛】本題考查的是三角形內角和定理d的性質，解答此題的關鍵是熟知三角形的內角和為180°.
2．（2023八年級·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在ACE中，點D在AC邊上，點B在CE延長線上，連接BD，若∠A＝47°，∠B＝55°，∠C＝43°，則∠DFE的度數是（ ）
A．125° B．45° C．135° D．145°
【答案】D
【分析】利用三角形內角和定理求出∠AEC，再求出∠EFB可得結論．
【詳解】解：∵∠A+∠C+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝180°﹣47°﹣43°＝90°，
∴∠FEB＝90°，
∴∠EFB＝90°﹣∠B＝35°，
∴∠DFE＝180°﹣35°＝145°，
故選：D．
【點睛】本題考查三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握三角形的內角和定理，屬于中考常考題型．
3．（2023·河北保定·八年級期末）如圖，在中，，點D在的延長線上，且，過點B作射線交邊于點E，則的度數可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查三角形的外角的性質，先根據外角的性質，求出的度數，再根據，得到的范圍，即可．
【詳解】解：∵是的一個外角，
∴，
∴，
∵過點B作射線交邊于點E，
∴，
∵是的一個外角，
∴，
∴，
即：；
故符合題意的只有選項B；
故選B．
4．（2023·河北石家莊·八年級期末）將兩張三角形紙片 和按如圖1位置放置，點D、C分別在的延長線上， 記； 沿虛線將剪掉一部分得到圖2的， 記， 則正確的是（ ）
A． B．
C． D．無法比較α與β的大小
【答案】B
【分析】本題考查了三角形內角和定理．熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．
由題意知，，，則，整理作答即可．
【詳解】解：由題意知，，，
∴，即，
故選：B．
5．（2023八年級·山東青島·期末）如圖，C是內一點，連接，的平分線與的平分線交于點E，延長交于點F．已知，則的度數是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先延長交于F，由三角形外角的性質，可得，又由角平分線的性質，即可求得答案．
【詳解】解：如圖，延長交于F，

∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴
，
∵，
即．
故選：A．
【點睛】此題考查了三角形內角和定理、三角形外角的性質以及角平分線的定義，掌握角平分線的定義和等量代換是解決問題的關鍵．
6．（2023八年級·江蘇無錫·期中）如圖，在中，是邊上的高，是的角平分線．若，則 ．（用含有n的代數式表示）
【答案】
【分析】本題考查了三角形內角和定理、三角形的外角性質．設，則，利用三角形內角和定理及角平分線的定義，可用含的代數式表示出的度數，在，用含的代數式表示出的度數，再結合可求出的度數．
【詳解】解：，設，則，
．
平分，
，
在，，
．
故答案為：．
7．（2023八年級·廣東佛山·期末）一個零件的形狀如圖所示，按規定應等于，與的度數分別是和，牛叔叔量得，請你幫助牛叔叔判斷該零件 ．（填“合格”或“不合格”）
【答案】合格
【分析】本題主要考查三角形的外角性質，解答的關鍵是熟記三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內角之和．
延長交于點，由三角形的外角性質可得，再次利用三角形的外角性質求得，則與規定的度數一致，即可判斷．
【詳解】解：延長交于點，如圖，
是的外角，，，
，
是的外角，，
，
該零件合格．
故答案為：合格．
8．（2023八年級·廣東茂名·期中）如圖，在中，，點D在上，于點交與點F．若，則 ．
【答案】/42度
【分析】本題主要考查了余角的性質，直角三角形的性質，熟練掌握直角三角形兩銳角互余，等角的余角相等是解題的關鍵；利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB，從而可求得∠EDF；
【詳解】 ，
，
故答案為：；
9．（2023八年級·內蒙古呼和浩特·期中）如圖所示，在中，，，將其沿折疊，使點A落在邊上的處，則 ．
【答案】/20度
【分析】本題考查直三角形兩銳角互余及翻轉折疊有全等，先求出，再根據折疊性質即可得到答案；
【詳解】解：∵，，
∴，
由翻折的性質可得：，
∵，
∴，
故答案為：．
10．（2023八年級·浙江溫州·期中）如圖1為一種可折疊閱讀書架，支架可以繞點O旋轉，置書面可以繞點C轉動調節．首先調節，使，如圖2所示，此時；再將繞O點順時針旋轉至，使 ，且，此時比大，則 度．
【答案】69
【分析】本題考查三角形外角的性質，平行線的性質，關鍵是由三角形外角的性質列出關于、的方程組．
延長交于，延長交延長線于，由平行線的性質推出 ，由三角形外角的性質得到，求出的值，即可得到．
【詳解】解：延長交于，延長交延長線于，
設，
∵，
∴，
∵比大，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴①，
∵，
∴，
∵，
∴②，
由①②解得：，
，
故答案為：69．
11．（2023八年級·寧夏中衛·期中）如圖，在中，，，是的一條角平分線，求的度數．
【答案】
【分析】此題考查三角形角平分線的性質，三角形內角和定理，根據角平分線的性質求出的度數，利用三角形內角和即可求解．熟記各角度的運算方法是解題的關鍵．
【詳解】解：∵是的一條角平分線，
∴，
∵，，
∴．
12．（2023八年級·四川內江·期中）如圖，中，D、E分別是邊上的點，平分，求證：
【答案】見解析
【分析】本題主要考查了三角形的外角，根據三角形的外角大于任何一個不相鄰的內角，即可得出結論，正確地找到角的關系是解本題的關鍵．
【詳解】解：∵是的外角，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
13．（2023八年級·江蘇南京·八年級期末）如圖，，，，，，求的度數．
【答案】
【分析】本題主要考查三角形的外角的性質，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．設，根據外角性質依次得出、、、，由可得關于的方程，解之即可得．
【詳解】解：設，
則，
，
，
，且，
，
解得：，
．
14．（2023·廣東中山·八年級期末）如圖所示是地球截面圖，其中，分別表示南回歸線和北回歸線，表示赤道，點P表示某市的位置．現已知地球南回歸線的緯度是南緯，某市的緯度是北緯，而冬至正午時，太陽光直射南回歸線(光線的延長線經過地心O)，求某市冬至正午時，太陽光線與地面水平線的夾角α的度數
【答案】
【分析】本題考查了三角形內角和定理，平行線的性質，讀懂題意并熟練掌握知識點是解題的關鍵．
設與交于點K，先由三角形內角和定理求出，再根據平行線的性質求解即可．
【詳解】如圖，設與交于點K，

∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴．
15．（2023八年級·江蘇淮安·期中）【結論發現】
小明發現：三角形的一個內角平分線與另一內角的外角平分線的夾角的度數是三角形第三內角度數的一半．
【結論應用】
（1）如圖1，在中，，點E是的內角平分線與外角平分線的交點，則的度數為 °；
（2）如圖2，在中，，延長至點E，延長至點D，已知、的角平分線與的角平分線及其反向延長線交于P、F，求的度數；
【拓展延伸】
（3）如圖3，四邊形的內角與外角的平分線形成如圖所示形狀．
①已知，，求的度數；
②直接寫出與的數量關系．
【答案】（1）20；（2）；（3）①；②
【分析】（1）設，由角平分線定義得，，，由三角形外角定理得，，則，據此得，因此當時可得的度數；
（2）先求出，進而得，再由（1）可知，據此可得的度數；
（3）①延長，交于，延長，交于，先求出，，再根據，得，則，由此可得的度數；
②由①可知，，，則，據此可得與的數量關系．
【詳解】解：（1）設，
平分，平分，
，，，
，，
整理得：，
當時，，
故答案為：20．
（2）和是鄰補角，
，
平分，平分，
，，
，
即，
，
由（1）可知，
；
（3）①延長，交于，延長，交于，如下圖所示：
，，
即，
同理：，
，，
，
由（1）可知：，
；
②由①可知：，，，
，
．
【點睛】此題主要考查了角平分線定義，鄰補角定義，三角形的內角和定理，三角形的外角定理，準確識圖，理解角平分線定義，鄰補角定義，熟練掌握三角形的內角和定理，三角形的外角定理是解決問題的關鍵．

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